Fonctions primitives 2ème Bac : cours complet

Ce cours de fonctions primitives 2ème Bac (PC et SVT) explique pas à pas : définition d’une primitive, existence et forme générale, condition initiale, primitives usuelles, formes u′uⁿ et u′/√u, méthode pour primitiver et application à la vitesse et à la position, avec des exemples résolus et des exercices corrigés. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.

Cours de fonctions primitives 2ème Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.

Théorème / PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Fonctions primitives 2ème Bac : définition d’une primitive

L’idée Dériver, c’est passer de F à F′. Chercher une primitive, c’est faire le chemin inverse : on connaît f et on cherche une fonction F dont la dérivée est f. Exemple : la dérivée de x² est 2x, donc x² est une primitive de 2x.

Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si, pour tout x de I :

F′(x) = f(x)

Exemple 1 · Vérifier qu’une fonction est une primitive Montrer que F(x) = x² + 3x est une primitive de f(x) = 2x + 3 sur ℝ.

F est un polynôme, donc dérivable sur ℝ.
F′(x) = 2x + 3 = f(x) pour tout x ∈ ℝ.

Conclusion : F est une primitive de f sur ℝ.

Exemple 2 Sur ℝ, F(x) = sin x est une primitive de f(x) = cos x (car (sin x)′ = cos x). Mais G(x) = 3 sin x n’est pas une primitive de cos x : G′(x) = 3 cos x ≠ cos x. C’est une primitive de 3 cos x.

Astuce Pour vérifier qu’une fonction F est une primitive de f, dérive F et regarde si tu retrouves f. C’est le meilleur moyen de contrôler tes résultats.

2Existence et forme générale des primitives

Propriété 1 (existence) Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Propriété 2 (forme générale) Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme

G(x) = F(x) + c avec c ∈ ℝ

Autrement dit, deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.

Pourquoi « + c » ? La dérivée d’une constante est 0. Donc x² + 1, x² − 5 et x² ont tous la même dérivée 2x : ce sont toutes des primitives de 2x. Il y en a une infinité.

Les primitives de f(x) = x : x²/2 + c. Les courbes se déduisent les unes des autres par une translation verticale.

Exemple Les primitives de f(x) = 2x + 3 sur ℝ sont les fonctions F(x) = x² + 3x + c, avec c ∈ ℝ.

3Primitive vérifiant une condition initiale

Propriété Soit f continue sur un intervalle I, x₀ ∈ I et y₀ ∈ ℝ. Il existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x₀) = y₀.

Méthode

Écrire toutes les primitives de f : F(x) + c.
Remplacer x par x₀ dans F(x) + c et écrire que le résultat vaut y₀.
Résoudre pour trouver c, puis écrire la primitive cherchée.

Exemple Déterminer la primitive G de f(x) = x³ + 2x + 3 sur ℝ qui vaut 0 en x = 1.

Les primitives de f sont F(x) = x⁴4 + x² + 3x + c.
La condition G(1) = 0 donne 14 + 1 + 3 + c = 0, soit 174 + c = 0, donc c = −174.
La primitive cherchée est G(x) = x⁴4 + x² + 3x − 174.

4Primitive d’une somme et d’un multiple

Propriété Si F est une primitive de f et G une primitive de g sur I, et si k est un réel, alors :

F + G est une primitive de f + g sur I ;
kF est une primitive de k f sur I.

On primitive donc terme par terme, et on garde les constantes multiplicatives.

Exemple f(x) = 3x et g(x) = cos x.

Une primitive de x est x²2, donc les primitives de f sont F(x) = 32 x² + c.
Une primitive de cos x est sin x, donc les primitives de g sont G(x) = sin x + c′.
Les primitives de f + g (c’est-à-dire 3x + cos x) sont 32 x² + sin x + c (une seule constante suffit).

5Tableau des fonctions primitives usuelles (2ème Bac)

Tableau des primitives usuelles (c désigne une constante réelle)

Fonction f(x)	Une primitive F(x)	Sur l’intervalle
0	c	ℝ
a (constante)	ax + c	ℝ
xⁿ (n ∈ ℕ)	xⁿ⁺¹n + 1 + c	ℝ
1x² (= x⁻²)	−1x + c	]−∞, 0[ ou ]0, +∞[
x^r (r ∈ ℚ, r ≠ −1)	x^r+1r + 1 + c	]0, +∞[
1√x	2√x + c	]0, +∞[
√x	23 x√x + c	[0, +∞[
cos x	sin x + c	ℝ
sin x	−cos x + c	ℝ
cos(ax + b) (a ≠ 0)	1a sin(ax + b) + c	ℝ
sin(ax + b) (a ≠ 0)	−1a cos(ax + b) + c	ℝ
1 + tan² x = 1cos² x	tan x + c	sur chaque intervalle de définition de tan

Règle d’or pour les puissances Pour primitiver x^r : on ajoute 1 à l’exposant, puis on divise par le nouvel exposant. Exemple : x⁵ → x⁶6 ; 1x³ = x⁻³ → x⁻²−2 = −12x².

Attention La formule x^r+1r + 1 ne marche pas pour r = −1, c’est-à-dire pour la fonction 1x. Sa primitive est la fonction logarithme, que tu verras dans le chapitre « Fonctions logarithmiques ».

Exemples

f(x) = 6x² − 4x + 1 : primitives F(x) = 2x³ − 2x² + x + c.
f(x) = x³ − 1x² sur ]0, +∞[ : F(x) = x⁴4 + 1x + c.
f(x) = sin(2x + 1) : F(x) = −12 cos(2x + 1) + c.
f(x) = 3x^1/2 sur ]0, +∞[ : F(x) = 3 × x^3/23/2 = 2x√x + c.

6Les formes u′uⁿ, u′/√u, u′ cos u…

L’idée Ces formules sont simplement les formules de dérivation à l’envers. Par exemple (u²)′ = 2u′u, donc u′u a pour primitive u²2. Il faut reconnaître la forme « u′ × quelque chose de u ».

Tableau des opérations (u dérivable sur I ; c constante)

Fonction à primitiver	Une primitive	Condition
u′ uⁿ	uⁿ⁺¹n + 1	n ∈ ℤ, n ≠ −1 (u ≠ 0 si n < 0)
u′ u^r	u^r+1r + 1	r ∈ ℚ, r ≠ −1 ; u > 0
u′u²	−1u	u ≠ 0
u′√u	2√u	u > 0
u′ cos u	sin u
u′ sin u	−cos u
u′ (1 + tan² u)	tan u	cos u ≠ 0
u′ + v′	u + v
k u′	k u	k constante
u′ v + u v′	u v
u′v − uv′v²	uv	v ≠ 0
u′ × f(u)	F(u)	F primitive de f
f(ax + b) (a ≠ 0)	1a F(ax + b)	F primitive de f

Méthode en 3 temps

Repère la fonction « du dedans » u(x).
Vérifie que u′(x) est bien présent (au besoin, ajuste avec une constante : par exemple x = 12 × 2x).
Applique la formule du tableau, puis dérive pour vérifier.

Exemple 1 · u′uⁿ f(x) = 2x (x² + 1)³. Ici u = x² + 1 et u′ = 2x, donc f = u′u³ et F(x) = (x² + 1)⁴4 + c.

Exemple 2 · u′/√u avec ajustement f(x) = x√(x² + 1). Avec u = x² + 1, u′ = 2x : f(x) = 12 × u′√u. Donc F(x) = 12 × 2√u = √(x² + 1) + c. (Vérification : (√(x² + 1))′ = 2x2√(x² + 1) = f(x).)

Exemple 3 · u′/u² f(x) = 3x²(x³ + 1)². Avec u = x³ + 1, u′ = 3x² : F(x) = −1x³ + 1 + c (sur un intervalle où x³ + 1 ≠ 0).

Exemple 4 · Trigonométrie f(x) = cos x × sin⁴ x. Avec u = sin x, u′ = cos x : f = u′u⁴ et F(x) = sin⁵ x5 + c.

Exemple 5 · f(ax + b) f(x) = (3x − 2)⁴ : primitive de x⁴ est x⁵5, donc F(x) = 13 × (3x − 2)⁵5 = (3x − 2)⁵15 + c.

Exemple 6 · tan f(x) = 1 + tan²(2x) : F(x) = 12 tan(2x) + c. Et f(x) = tan x (1 + tan² x) : avec u = tan x, u′ = 1 + tan² x, f = u u′ et F(x) = tan² x2 + c.

7Fonctions primitives 2ème Bac : comment trouver une primitive ?

Les 4 réflexes

Regarder si f est une fonction usuelle (tableau de la partie 5).
Chercher une forme u′ × (…) (tableau de la partie 6).
Transformer f pour retomber sur une forme connue : développer, simplifier, décomposer une fraction, linéariser.
Toujours vérifier en dérivant le résultat.

Transformer f : trois cas fréquents

Cas 1 · Développer ou décomposer f(x) = 2x² + 3x² = 2 + 3x² sur ]0, +∞[. Primitives : F(x) = 2x − 3x + c.
f(x) = x + 1√x = √x + 1√x : F(x) = 23 x√x + 2√x + c.

Cas 2 · Linéariser cos² et sin² On utilise cos² x = 1 + cos 2x2 et sin² x = 1 − cos 2x2. Donc :

f(x) = cos² x a pour primitive F(x) = x2 + sin 2x4 + c ;
f(x) = sin² x a pour primitive F(x) = x2 − sin 2x4 + c.

(Vérification : (x2 + sin 2x4)′ = 12 + 2 cos 2x4 = 1 + cos 2x2 = cos² x.)

Cas 3 · Produit de sin et cos f(x) = sin x cos x = sin 2x2 a pour primitive F(x) = −cos 2x4 + c. (On peut aussi dire : avec u = sin x, f = u u′, donc F = sin² x2 + c. Les deux résultats diffèrent d’une constante.)

8Application : de l’accélération à la position

Le lien avec la physique En physique, la vitesse est la dérivée de la position : v(t) = x′(t), et l’accélération est la dérivée de la vitesse : a(t) = v′(t). Donc, à l’envers : la vitesse est une primitive de l’accélération, et la position est une primitive de la vitesse. Les conditions initiales (position et vitesse à t = 0) fixent les constantes.

Exemple Un mobile a une accélération constante a(t) = 2 m/s². À t = 0, sa vitesse est 3 m/s et sa position est 1 m. Trouver v(t) et x(t).

v est une primitive de a : v(t) = 2t + c. La condition v(0) = 3 donne c = 3, donc v(t) = 2t + 3.
x est une primitive de v : x(t) = t² + 3t + c′. La condition x(0) = 1 donne c′ = 1, donc x(t) = t² + 3t + 1.
À t = 2 s : x(2) = 4 + 6 + 1 = 11 m.

9Erreurs à éviter avec les fonctions primitives 2ème Bac

Oublier « + c »Les primitives forment une famille : n’écris pas F(x) = x² mais F(x) = x² + c (sauf si on demande « une primitive »).

Primitive d’un produit ≠ produit des primitivesUne primitive de x × cos x n’est pas x²2 × sin x. Il faut une forme connue ou une transformation.

Oublier de diviser par aPour cos(3x), la primitive est 13 sin(3x), pas sin(3x).

Mauvais signe pour sinUne primitive de sin x est −cos x (la dérivée de cos est −sin).

Puissance −1x^r+1r + 1 ne marche pas pour 1x (r = −1). Sa primitive est ln, vue plus tard.

Oublier l’intervalleUne primitive n’existe que sur un intervalle où f est continue (par exemple ]0, +∞[ pour 1√x).

Ne pas vérifierDérive toujours ton résultat : si tu ne retrouves pas f, il y a une erreur.

Constante mal utiliséePour une condition initiale, trouve c après avoir écrit toutes les primitives.

10Exercices corrigés sur les fonctions primitives 2ème Bac

Cherche d’abord seul(e) sur ton cahier, puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Primitives usuelles

Déterminer les primitives de : (a) f(x) = 6x² − 4x + 1 sur ℝ (b) f(x) = x³ − 1x² sur ]0, +∞[ (c) f(x) = cos x + sin x sur ℝ (d) f(x) = √x sur ]0, +∞[ (e) f(x) = 1√x sur ]0, +∞[.

Voir la solution

(a) F(x) = 2x³ − 2x² + x + c.

(b) F(x) = x⁴4 + 1x + c.

(d) F(x) = 23 x√x + c.

(e) F(x) = 2√x + c.

★ Exercice 2 · Vérifier une primitive

Montrer que F(x) = x sin x + cos x est une primitive de f(x) = x cos x sur ℝ.

Voir la solution

F est dérivable sur ℝ (somme et produit de fonctions dérivables). F′(x) = sin x + x cos x − sin x = x cos x = f(x). Donc F est une primitive de f sur ℝ.

★★ Exercice 3 · Formes u′…

Déterminer une primitive de : (a) f(x) = 2x(x² + 1)³ (b) f(x) = x√(x² + 1) (c) f(x) = 3x²(x³ + 1)² sur ]−1, +∞[ (d) f(x) = cos x sin⁴ x (e) f(x) = sin(2x + 1).

Voir la solution

(a) u = x² + 1, f = u′u³ : F(x) = (x² + 1)⁴4.

(b) f = 12 × u′√u avec u = x² + 1 : F(x) = √(x² + 1).

(d) u = sin x, f = u′u⁴ : F(x) = sin⁵ x5.

(e) F(x) = −12 cos(2x + 1).

★★ Exercice 4 · Condition initiale

Déterminer la primitive G de f(x) = 3x² − 2x + 1 sur ℝ telle que G(1) = 2.

Voir la solution

Les primitives sont F(x) = x³ − x² + x + c. F(1) = 1 − 1 + 1 + c = 1 + c. La condition G(1) = 2 donne c = 1.

G(x) = x³ − x² + x + 1. (Vérification : G(1) = 1 − 1 + 1 + 1 = 2.)

★★ Exercice 5 · Linéarisation

Déterminer les primitives de cos² x et de sin² x sur ℝ.

Voir la solution

cos² x = 1 + cos 2x2 = 12 + 12 cos 2x. Une primitive de cos 2x est 12 sin 2x. Donc F(x) = x2 + sin 2x4 + c.

sin² x = 1 − cos 2x2 donc G(x) = x2 − sin 2x4 + c.

★★ Exercice 6 · Mouvement

Un mobile a une accélération a(t) = 6t (en m/s²), une vitesse nulle à t = 0 et une position x(0) = 2 m. Déterminer v(t) et x(t), puis la position à t = 3 s.

Voir la solution

v(t) = 3t² + c et v(0) = 0 donc c = 0 : v(t) = 3t².

x(t) = t³ + c′ et x(0) = 2 donc c′ = 2 : x(t) = t³ + 2.

x(3) = 27 + 2 = 29 m.

★★★ Exercice 7 · Transformer avant de primitiver

Déterminer les primitives de : (a) f(x) = 2x² + 3x² sur ]0, +∞[ (b) f(x) = x + 1√x sur ]0, +∞[ (c) f(x) = (3x − 2)⁴ sur ℝ.

Voir la solution

(a) f(x) = 2 + 3x² : F(x) = 2x − 3x + c.

(b) f(x) = √x + 1√x : F(x) = 23 x√x + 2√x + c.

★★★ Exercice 8 · Tangente

Déterminer une primitive de : (a) f(x) = 1 + tan²(2x) (b) f(x) = tan x (1 + tan² x), sur ]−π2, π2[.

Voir la solution

(a) Une primitive de 1 + tan² u est tan u, avec u = 2x et u′ = 2 : F(x) = 12 tan(2x) (sur un intervalle où cos 2x ≠ 0, par exemple ]−π4, π4[).

(b) u = tan x et u′ = 1 + tan² x, donc f = u u′ et F(x) = tan² x2.

★Fiche résumé des fonctions primitives 2ème Bac à retenir

Définition : F est une primitive de f sur I si F′ = f sur I. Pour vérifier : dériver F.
Existence : toute fonction continue sur un intervalle a des primitives. Forme générale : F + c, c ∈ ℝ.
Condition initiale : pour G(x₀) = y₀, il existe une unique primitive (on trouve c).
Linéarité : primitive de f + g = F + G ; primitive de k f = k F.
Usuelles : x^r → x^r+1r + 1 (r ≠ −1) ; 1√x → 2√x ; 1x² → −1x ; cos → sin ; sin → −cos ; 1 + tan² → tan.
Formes u′ : u′uⁿ → uⁿ⁺¹n + 1 ; u′u² → −1u ; u′√u → 2√u ; u′ cos u → sin u ; u′ sin u → −cos u ; f(ax + b) → 1a F(ax + b).
Astuces : décomposer les fractions, linéariser cos² et sin², puis vérifier en dérivant.

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Pour bien réviser les fonctions primitives 2ème Bac, commence par la définition, puis entraîne-toi sur les primitives usuelles avant d’aborder les exercices. Les fonctions primitives 2ème Bac sont indispensables pour le calcul intégral : maîtrise-les dès maintenant. Pour approfondir, consulte la page primitive d’une fonction sur Wikipédia.