Fonctions exponentielles 2ème Bac PC-SVT : cours

Ce cours sur les fonctions exponentielles pour la 2ème Bac PC et SVT couvre les propriétés, les limites, la dérivée et la résolution d’équations, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 2Bac PC-SVT.

Cours de fonctions exponentielles 2ème Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.

Théorème / PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1La fonction exponentielle népérienne

L’idée Tu connais la fonction ln. Elle est continue et strictement croissante sur ]0, +∞[ et prend toutes les valeurs de ℝ : c’est une bijection de ]0, +∞[ sur ℝ. Donc elle admet une réciproque. Cette réciproque s’appelle la fonction exponentielle.

Définition La fonction exponentielle népérienne, notée exp (ou x ↦ e^x), est la fonction réciproque de ln :

exp : ℝ → ]0, +∞[ x ↦ e^x

Le nombre e = exp(1) (environ 2,718) vérifie donc ln e = 1.

Conséquences

exp est continue et strictement croissante sur ℝ, et e^x > 0 pour tout réel x.
Pour tout réel x : ln(e^x) = x. Pour tout x > 0 : e^{ln x} = x.
Pour y > 0 : e^x = y ⇔ x = ln y.
e⁰ = 1 et e¹ = e.
Les courbes de ln et de exp sont symétriques par rapport à la droite y = x.

En bleu foncé : exp. En rouge : ln. Tirets : la droite y = x.

Exemples

e^{ln 24} = 24 et ln(e¹³) = 13.
e^{ln 5 + ln 2} n’est pas à calculer directement : on écrit ln 5 + ln 2 = ln 10, donc le nombre vaut 10.
e^x = 7 ⇔ x = ln 7.

Attention e^x est toujours strictement positif. Les équations e^x = 0 et e^x = −3 n’ont aucune solution.

2Propriétés algébriques

Propriétés (a, b réels ; r rationnel)

e^{a + b} = e^a × e^b
e^{a − b} = e^ae^b ; e^−b = 1e^b
(e^a)^r = e^ra ; par exemple (e^x)³ = e^3x et √(e^x) = e^x/2

Pourquoi e^a+b = e^a e^b ? On pose A = e^a e^b et B = e^a+b. En appliquant ln : ln A = ln(e^a) + ln(e^b) = a + b = ln B. Comme ln est injective, A = B.

Règles pratiques

e^2x = (e^x)² = e^x × e^x ; e^nx = (e^x)ⁿ
e^x × e^−x = e⁰ = 1
Ces règles marchent aussi pour e^u(x) : e^{u(x) + v(x)} = e^u(x) × e^v(x).

Exemples de simplification

e^{2x + 1}e^{x − 1} = e^{(2x + 1) − (x − 1)} = e^{x + 2}.
(e^x + e^−x)² − (e^x − e^−x)² = 4 e^x e^−x = 4.
e^x1 + e^x = 1e^−x + 1 (on divise par e^x en haut et en bas).

Attention e^{a + b} ≠ e^a + e^b et (e^a)(e^b) ≠ e^ab. Les exposants s’additionnent quand on multiplie.

3Équations et inéquations avec exp

Équivalences (exp est strictement croissante et bijective)

e^a = e^b ⇔ a = b
e^a < e^b ⇔ a < b (même sens pour ≤, >, ≥)
e^x = y ⇔ x = ln y (pour y > 0) ; e^x > y ⇔ x > ln y (pour y > 0)

Exemple 1 e^{x + 3} = e^{2x + 7} ⇔ x + 3 = 2x + 7 ⇔ x = −4. S = {−4}.

Exemple 2 e^3x = 30 ⇔ 3x = ln 30 ⇔ x = ln 303.

Exemple 3 · Inéquation e^{x + 1} ≤ e^{6x + 2} ⇔ x + 1 ≤ 6x + 2 ⇔ −1 ≤ 5x ⇔ x ≥ −15. S = [−15, +∞[.

Exemple 4 · Changement d’inconnue e^2x − 3e^x + 2 = 0. On pose X = e^x (donc X > 0). L’équation devient X² − 3X + 2 = 0, soit (X − 1)(X − 2) = 0, donc X = 1 ou X = 2.
Alors e^x = 1 ⇔ x = 0, et e^x = 2 ⇔ x = ln 2. S = {0 ; ln 2}.

Méthode

Ramène l’équation à la forme e^A = e^B (ou e^A = nombre positif).
Si on voit e^2x et e^x : pose X = e^x et résous l’équation en X (en gardant X > 0).
Retourne à x avec ln : x = ln X.

4Limites

Limites à connaître

limx→+∞ e^x = +∞ ; limx→−∞ e^x = 0 (la droite y = 0 est asymptote horizontale en −∞).
limx→0 e^x − 1x = 1
Croissances comparées (n ∈ ℕ*) :
limx→+∞ e^xxⁿ = +∞ ; limx→+∞ xⁿ e^−x = 0 ; limx→−∞ xⁿ e^x = 0

À retenir : « l’exponentielle gagne toujours » En +∞, e^x tend vers +∞ beaucoup plus vite que n’importe quelle puissance de x. Donc dans un produit xⁿ e^−x, c’est l’exponentielle qui l’emporte et la limite est 0.

Exemple 1 · Croissances comparées avec changement de variable limx→+∞ e^2xx. On écrit e^2xx = 2 × e^2x2x. En posant t = 2x (t → +∞) : 2 × e^tt → 2 × (+∞) = +∞.

Exemple 2 · Forme +∞ − ∞ limx→+∞ (e^x − x). On factorise : e^x − x = e^x(1 − xe^x). Comme xe^x → 0, on a 1 − xe^x → 1, et la limite est +∞.

Exemple 3 · Dérivée en 0 limx→0 e^3x − 1x = 3 × lim e^3x − 13x = 3 × 1 = 3.

Exemple 4 · Quotient limx→+∞ e^x + 1e^x − 1 = lim 1 + e^−x1 − e^−x = 11 = 1.

Exemple 5 · Limite en 0 avec e^1/x limx→0⁺ e^1/x : quand x → 0⁺, 1x → +∞ donc e^1/x → +∞. Quand x → 0⁻, 1x → −∞ donc e^1/x → 0.

Attention Pour e^u(x), on calcule d’abord la limite de u(x) = L, puis on applique : e^L si L est réel, +∞ si L = +∞, 0 si L = −∞.

5Dérivée et primitives

Théorème La fonction exp est dérivable sur ℝ et (e^x)′ = e^x. La fonction exponentielle est sa propre dérivée !

Pourquoi ? ln est dérivable sur ]0, +∞[ avec ln′(x) = 1x ≠ 0. Par le théorème de dérivation de la réciproque : exp′(x) = 1ln′(e^x) = 11/e^x = e^x.

Dérivée de e^u Si u est dérivable sur I, alors f(x) = e^u(x) est dérivable sur I et

f′(x) = u′(x) × e^u(x) , c’est-à-dire (e^u)′ = u′ e^u

Primitives Les primitives de u′ e^u sont e^u + c (c ∈ ℝ).
En particulier, les primitives de e^{ax + b} (a ≠ 0) sont 1a e^{ax + b} + c.

Exemples · Dérivées

f(x) = e^{5x³ − 3x} : f′(x) = (15x² − 3) e^{5x³ − 3x}.
g(x) = x e^x : g′(x) = e^x + x e^x = (x + 1) e^x.
h(x) = e^−x² : h′(x) = −2x e^−x².
k(x) = e^xe^x + 1 : k′(x) = e^x(e^x + 1) − e^x × e^x(e^x + 1)² = e^x(e^x + 1)².

Exemples · Primitives

f(x) = x e^{3x² + 1} : avec u = 3x² + 1, u′ = 6x, donc f = 16 u′ e^u et F(x) = 16 e^{3x² + 1} + c.
f(x) = e^{2x + 1} : F(x) = 12 e^{2x + 1} + c.
f(x) = e^x(1 + e^x)² : avec u = 1 + e^x, f = u′u² et F(x) = −11 + e^x + c.

Attention (e^u)′ = u′ e^u, et pas e^u′ ni u e^u−1. On garde l’exponentielle et on multiplie par la dérivée de l’exposant.

6Étude de la fonction f(x) = e^x

Résumé de l’étude

Domaine : ℝ. f est continue et dérivable, et f′(x) = e^x > 0 : f est strictement croissante.
limx→−∞ e^x = 0 (asymptote horizontale y = 0) et limx→+∞ e^x = +∞.
f(0) = 1 : la courbe passe par le point (0 ; 1), et f(1) = e.
Tangente en 0 : y = f′(0)(x − 0) + f(0) = x + 1.
f″(x) = e^x > 0 : la courbe est convexe, donc au-dessus de toutes ses tangentes.
Branche infinie en +∞ : e^xx → +∞, donc branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

x	−∞		+∞
f′(x)		+
f(x)	0	↗	+∞

Inégalité classique Pour tout réel x : e^x ≥ x + 1 (la courbe est au-dessus de sa tangente en 0). L’égalité n’a lieu qu’en x = 0.

Preuve rapide On pose g(x) = e^x − x − 1. g′(x) = e^x − 1 est négative pour x < 0 et positive pour x > 0. Donc g a un minimum en 0 : g(0) = 0. Ainsi g(x) ≥ 0 pour tout x, c’est-à-dire e^x ≥ x + 1.

Application Comme e^x ≥ x + 1 et lim (x + 1) = +∞ quand x → +∞, le théorème de comparaison redonne limx→+∞ e^x = +∞.

7Étude d’une fonction contenant e^x : un exemple complet

Le plan d’étude

Domaine de définition.
Limites aux bornes et branches infinies (asymptotes).
Dérivée : factoriser par e^…, puis étudier le signe. (Comme e^… > 0, le signe vient du facteur restant.)
Tableau de variations, extremums.
Dérivée seconde : concavité, point d’inflexion.
Tracé.

Exemple complet : f(x) = (x + 1) e^−x

Domaine : D_f = ℝ.
Limites :
- En +∞ : f(x) = x e^−x + e^−x → 0 + 0 = 0 (croissances comparées). La droite y = 0 est asymptote horizontale en +∞.
- En −∞ : x + 1 → −∞ et e^−x → +∞, donc f(x) → −∞. De plus f(x)x = (1 + 1x) e^−x → +∞ : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
Dérivée : f′(x) = e^−x + (x + 1)(−e^−x) = e^−x(1 − x − 1) = −x e^−x. Comme e^−x > 0, f′(x) a le signe de −x.
Valeurs : f(0) = 1 (maximum), f(−1) = 0.

x	−∞		0		+∞
f′(x)		+	0	−
f(x)	−∞	↗	1	↘	0

Dérivée seconde : f″(x) = −e^−x + x e^−x = (x − 1) e^−x. f″ < 0 sur ]−∞, 1[ (concave), f″ > 0 sur ]1, +∞[ (convexe). f″ change de signe en 1 : le point d’abscisse 1, de coordonnées (1 ; 2e), est un point d’inflexion.
Tangente en 0 : f′(0) = 0, donc la tangente en (0 ; 1) est horizontale : y = 1.

8Fonction exponentielle de base a

Définition Soit a > 0 avec a ≠ 1. La fonction log_a définie par log_a(x) = ln xln a est continue et strictement monotone sur ]0, +∞[ ; sa réciproque est la fonction exponentielle de base a, notée x ↦ a^x. On a

a^x = e^{x ln a} pour tout réel x

Exemples : 5^x = e^{x ln 5} et 10^x = e^{x ln 10}.

Propriétés (x, y réels)

a^{x + y} = a^x a^y ; a^{x − y} = a^xa^y ; a^−x = 1a^x ; (a^x)^y = a^xy
log_a(a^x) = x ; a^{log_a x} = x (pour x > 0)
a^x = y ⇔ x = log_a y = ln yln a (pour y > 0)
Pour a = 10 : 10^x = y ⇔ x = log y (logarithme décimal).

Dérivée et variations f(x) = a^x est dérivable sur ℝ et f′(x) = (ln a) a^x. Comme a^x > 0, le signe de f′ est celui de ln a :

	a > 1 (ln a > 0)	0 < a < 1 (ln a < 0)
Variations	strictement croissante	strictement décroissante
Limite en +∞	+∞	0
Limite en −∞	0	+∞

En bleu foncé : 2^x (croissante). En rouge : (12)^x (décroissante). Elles sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple 1 · Étude de f(x) = 3^{x³ − x}

f(x) = e^{(x³ − x) ln 3}.
En +∞, x³ − x → +∞ donc f(x) → +∞. En −∞, x³ − x → −∞ donc f(x) → 0.
f′(x) = (3x² − 1)(ln 3) 3^{x³ − x}. Comme ln 3 > 0 et 3^… > 0, le signe de f′ est celui de 3x² − 1.

Exemple 2 · Équations

2^x = 5 ⇔ x = ln 5ln 2 (≈ 2,32).
3^{2x − 1} = 9 = 3² ⇔ 2x − 1 = 2 ⇔ x = 32.

Calculatrice : calcule e^x et a^x.

a = x =

e^x	ln a	a^x = e^{x ln a}	Variations de a^x

9Que faire dans un exercice ?

La question	Le réflexe
Simplifier une expression avec e^…	e^ae^b = e^a+b, e^ae^b = e^a−b, (e^a)ⁿ = e^na.
Résoudre e^A = e^B ou e^A ≤ e^B	Passer aux exposants : A = B (ou A ≤ B).
Résoudre e^x = y	Vérifier y > 0, puis x = ln y.
Équation avec e^2x et e^x	Poser X = e^x (X > 0), résoudre, revenir avec ln.
Limite avec x et e^x	Croissances comparées ; sinon factoriser par e^x.
Limite de e^u(x)	Calculer lim u(x) = L, puis e^L (0 si L = −∞, +∞ si L = +∞).
Dériver e^u	(e^u)′ = u′ e^u. Puis factoriser par e^u.
Étudier le signe de f′	e^… > 0 : le signe est celui du facteur restant.
Primitive de u′ e^u	e^u. Ajuster avec une constante si besoin.
Fonction a^x	Écrire a^x = e^{x ln a}, puis tout se fait avec e.

10Erreurs à éviter

e^x = 0 ou e^x < 0Impossible : e^x > 0 pour tout x.

e^a+b = e^a + e^bFaux. e^a+b = e^a × e^b.

(e^u)′ = e^u′Faux. (e^u)′ = u′ e^u.

Oublier la condition X > 0Si X = e^x et que tu trouves X = −2, cette solution est à rejeter.

Croissances comparées mal appliquéesxⁿe^x en +∞ est +∞ (pas une forme indéterminée). xⁿe^−x en +∞ vaut 0.

Mauvais sens pour a^xSi 0 < a < 1, a^x est décroissante.

Oublier de factoriser e^uPour le signe de f′, factorise : f′(x) = e^u × (facteur), puis le signe est évident.

Confondre exp et lnln(e^x) = x pour tout x, mais e^{ln x} = x seulement pour x > 0.

11Exercices d’entraînement corrigés

Cherche d’abord seul(e) sur ton cahier, puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Simplifier

Simplifier : (a) (e^x)² × e^−x (b) e^{2x + 1}e^{x − 1} (c) (e^x + e^−x)² − (e^x − e^−x)².

Voir la solution

(a) e^2x × e^−x = e^x.

(b) e^{(2x + 1) − (x − 1)} = e^{x + 2}.

★ Exercice 2 · Équations et inéquations

Résoudre dans ℝ : (a) e^{2x − 1} = e^{x + 3} (b) e^x = −2 (c) e^2x − 3e^x + 2 = 0 (d) e^{x + 1} ≤ e^{6x + 2} (e) e^x > 5.

Voir la solution

(a) 2x − 1 = x + 3 ⇔ x = 4. S = {4}.

(b) e^x > 0 pour tout x : S = ∅.

(d) x + 1 ≤ 6x + 2 ⇔ x ≥ −15. S = [−15, +∞[.

(e) x > ln 5. S = ]ln 5, +∞[.

★★ Exercice 3 · Limites

Calculer : (a) limx→+∞ x² e^−x (b) limx→+∞ (e^x − x) (c) limx→0 e^3x − 1x (d) limx→−∞ x e^x (e) limx→+∞ e^x + 1e^x − 1 (f) limx→0⁺ e^1/x.

Voir la solution

(a) Croissances comparées : 0.

(b) e^x(1 − xe^x) → (+∞) × 1 = +∞.

(d) Croissances comparées en −∞ : 0.

(e) On divise par e^x : 1 + e^−x1 − e^−x → 1.

(f) 1x → +∞ donc e^1/x → +∞.

★★ Exercice 4 · Dérivées

Calculer la dérivée de : (a) f(x) = (x² − x) e^x (b) g(x) = e^2x1 + e^x (c) h(x) = e^−x².

Voir la solution

(a) f′(x) = (2x − 1)e^x + (x² − x)e^x = (x² + x − 1) e^x.

(b) g′(x) = 2e^2x(1 + e^x) − e^2x e^x(1 + e^x)² = e^2x(e^x + 2)(1 + e^x)².

★★ Exercice 5 · Primitives

Déterminer une primitive de : (a) f(x) = 2x e^x² (b) f(x) = e^{3x − 1} (c) f(x) = e^x(1 + e^x)² (d) f(x) = x e^−x².

Voir la solution

(a) u = x², f = u′e^u : F(x) = e^x².

(b) F(x) = 13 e^{3x − 1}.

(d) u = −x², u′ = −2x, f = −12 u′e^u : F(x) = −12 e^−x².

★★★ Exercice 6 · Étude complète

Soit f(x) = x e^−x. Étudier f : limites, dérivée, tableau de variations, concavité et point d’inflexion.

Voir la solution

Limites : en +∞, f(x) = x e^−x → 0 (croissances comparées) : asymptote y = 0. En −∞, x → −∞ et e^−x → +∞, donc f(x) → −∞.

Dérivée : f′(x) = e^−x − x e^−x = (1 − x) e^−x. Signe de 1 − x : f est croissante sur ]−∞, 1], décroissante sur [1, +∞[. Maximum f(1) = 1e.

Dérivée seconde : f″(x) = −e^−x − (1 − x)e^−x = (x − 2) e^−x. f″ < 0 sur ]−∞, 2[ (concave), f″ > 0 sur ]2, +∞[ (convexe). Point d’inflexion (2 ; 2e²).

★★ Exercice 7 · Base a

(1) Résoudre 2^x = 5 et 3^{2x − 1} = 9. (2) Dériver f(x) = 2^x². (3) Calculer limx→+∞ (13)^x.

Voir la solution

(1) 2^x = 5 ⇔ x = ln 5ln 2. 3^{2x − 1} = 3² ⇔ 2x − 1 = 2 ⇔ x = 32.

(2) f(x) = e^{x² ln 2}, donc f′(x) = 2x (ln 2) e^{x² ln 2} = 2x (ln 2) 2^x².

(3) 0 < 13 < 1 donc (13)^x = e^{−x ln 3} → 0.

★★★ Exercice 8 · Inégalité e^x ≥ x + 1

Soit g(x) = e^x − x − 1. (1) Étudier les variations de g. (2) En déduire que e^x ≥ x + 1 pour tout réel x. (3) En déduire limx→+∞ e^x.

Voir la solution

(1) g′(x) = e^x − 1. g′(x) < 0 pour x < 0 et g′(x) > 0 pour x > 0 : g est décroissante sur ]−∞, 0] et croissante sur [0, +∞[. Minimum g(0) = 1 − 0 − 1 = 0.

(2) Donc g(x) ≥ 0 pour tout x : e^x ≥ x + 1.

(3) lim (x + 1) = +∞ et e^x ≥ x + 1, donc lim e^x = +∞.

★Fiche résumé à retenir

Définition : exp est la réciproque de ln. e^x > 0 ; ln(e^x) = x ; e^{ln x} = x (x > 0) ; e^x = y ⇔ x = ln y.
Règles : e^a+b = e^ae^b ; e^a−b = e^ae^b ; (e^a)^r = e^ra.
Équations : e^a = e^b ⇔ a = b ; e^a < e^b ⇔ a < b ; poser X = e^x pour une équation du second degré.
Limites : e^x → +∞ (+∞), 0 (−∞) ; e^x − 1x → 1 en 0 ; croissances comparées : e^xxⁿ → +∞ ; xⁿe^−x → 0.
Dérivée : (e^x)′ = e^x ; (e^u)′ = u′e^u. Primitive : u′e^u → e^u.
Étude de exp : strictement croissante, convexe, asymptote y = 0 en −∞, tangente en 0 : y = x + 1, e^x ≥ x + 1.
Base a : a^x = e^{x ln a} ; (a^x)′ = (ln a)a^x ; croissante si a > 1, décroissante si 0 < a < 1.

↑

Cours de fonctions exponentielles 2ème Bac

1La fonction exponentielle népérienne

2Propriétés algébriques

3Équations et inéquations avec exp

4Limites

5Dérivée et primitives

6Étude de la fonction f(x) = ex

7Étude d’une fonction contenant ex : un exemple complet

8Fonction exponentielle de base a

9Que faire dans un exercice ?

10Erreurs à éviter

11Exercices d’entraînement corrigés

★Fiche résumé à retenir

6Étude de la fonction f(x) = e^x

7Étude d’une fonction contenant e^x : un exemple complet