Logique mathématique 1ère Bac Sc Ex : cours complet

1La proposition et sa valeur de vérité

L’idée En maths, une proposition c’est une phrase qui affirme quelque chose et qui est soit vraie, soit fausse — jamais les deux à la fois, jamais « peut-être ».

Définition Une proposition est un énoncé mathématique qui a un sens et qui est soit vrai, soit faux (mais pas les deux en même temps). On la note généralement P, Q, R…

1.1 Valeur de vérité

La valeur de vérité d’une proposition indique si elle est vraie ou fausse :

si la proposition est vraie, on note V (ou 1) ;
si la proposition est fausse, on note F (ou 0).

Proposition P	Valeur de vérité
« 2 est un nombre pair »	V (1)
« 2 + 3 = 6 »	F (0)
« ABCD est un parallélogramme ⇒ ses diagonales se coupent en leur milieu »	V (1)

Ce n’est pas une proposition « Quelle heure est-il ? », « Sois sage ! », « x + 1 = 3 » (sans préciser x) ne sont pas des propositions : on ne peut pas leur attribuer une valeur de vérité.

2Fonction propositionnelle

Définition Une fonction propositionnelle est un énoncé qui contient une ou plusieurs variables appartenant à des ensembles déterminés. On la note P(x) ou P(x, y, z, …).

Remarque importante Si on remplace les variables par un élément concret de leurs ensembles, la fonction propositionnelle devient une proposition (vraie ou fausse).

Exemple 1 A(x) : « x² = x » sur ℝ.

Pour x = 2 : « 2² = 2 » est faux.
Pour x = 1 : « 1² = 1 » est vrai.

Exemple 2 B(x, y) : « |x + y| ≤ |x| + |y| » sur ℝ².

Pour x = 2 et y = 5 : vrai.
Pour x = −3 et y = 1 : vrai (c’est l’inégalité triangulaire, toujours vraie).

3Les quantificateurs

3.1 Le quantificateur universel ∀

Définition « Pour tout x de E, la proposition P(x) est vraie » se note :

∀ x ∈ E, P(x)

Le symbole ∀ se lit « pour tout » ou « quel que soit ».

Exemples :

∀ x ∈ ℝ : √(x²) = |x| (vrai).
∀ x ∈ ℝ, ∀ y ∈ ℝ : |x + y| ≤ |x| + |y| (vrai).

3.2 Le quantificateur existentiel ∃

Définition « Il existe au moins un x de E tel que P(x) soit vraie » se note :

∃ x ∈ E, P(x)

Le symbole ∃ se lit « il existe ».

Exemples :

∃ x ∈ ℝ : x + 4 ≤ 3 (prendre x = −2 par exemple).
∃ a, b, c ∈ ℝ : a³ + b³ = c² (prendre a = 1, b = 2, c = 3).

3.3 Le symbole ∃! (unicité)

Définition « Il existe un unique x de E tel que P(x) soit vraie » se note :

∃! x ∈ E, P(x)

Exemple : ∃! x ∈ ℝ : x + 4 = 3 (la solution x = −1 est unique).

3.4 Ordre et négation des quantificateurs

Propriétés à retenir

L’ordre de quantificateurs identiques ne change pas le sens :
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, P(x,y) ≡ ∀y ∈ E, ∀x ∈ E, P(x,y).
L’ordre de quantificateurs différents change le sens :
∀x ∈ E, ∃y ∈ E : P(x,y) ≠ ∃y ∈ E, ∀x ∈ E : P(x,y).
Négation de ∀ : ¬(∀x ∈ E, P(x)) ≡ ∃x ∈ E, ¬P(x).
Négation de ∃ : ¬(∃x ∈ E, P(x)) ≡ ∀x ∈ E, ¬P(x).

Règle d’or Pour nier une phrase avec un quantificateur, on change le quantificateur et on nie la conclusion.

Exemple · Nier une phrase Nier ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0.

¬(∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0) ≡ ∃x ∈ ℝ, x² < 0

Autrement dit : « il existe un réel dont le carré est strictement négatif ».

4La négation d’une proposition

Définition La négation d’une proposition P est la proposition notée P̄ (ou ¬P) qui est vraie quand P est fausse, et fausse quand P est vraie.

P	¬P
V	F
F	V

Propriété (involution)

¬(¬P) ≡ P

Nier deux fois revient à ne rien faire.

Exemple

P : « 2 est un nombre pair » → ¬P : « 2 est un nombre impair ».
P : « x ≥ 3 » → ¬P : « x < 3 ».
P : « x = 5 » → ¬P : « x ≠ 5 ».

5Conjonction ∧ et disjonction ∨

5.1 La conjonction « ET »

Définition La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée P ∧ Q (lire « P et Q »). Elle est vraie uniquement lorsque P et Q sont toutes les deux vraies.

P	Q	P ∧ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Exemple (2 est un nombre pair) ∧ (2 + 3 = 6) est fausse (car la 2ᵉ proposition est fausse).

5.2 La disjonction « OU »

Définition La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée P ∨ Q (lire « P ou Q »). Elle est fausse uniquement lorsque P et Q sont toutes les deux fausses.

P	Q	P ∨ Q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Attention au « ou » En mathématiques, « P ou Q » est inclusif : c’est vrai aussi quand les deux sont vraies. (En français courant, « ou » est parfois exclusif.)

Exemple (2 est un nombre pair) ∨ (2 + 3 = 6) est vraie (car la 1ʳᵉ est vraie).

5.3 Propriétés de ∧ et ∨

Propriétés

Commutativité : P ∧ Q ≡ Q ∧ P ; P ∨ Q ≡ Q ∨ P.
Associativité : (P ∧ Q) ∧ R ≡ P ∧ (Q ∧ R) ; idem avec ∨.
Idempotence : P ∧ P ≡ P ; P ∨ P ≡ P.
Distributivité : P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) ;
P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).

Teste toi-même : choisis les valeurs de P et Q, et observe les résultats des connecteurs.

P :

Q :

¬P—

P ∧ Q—

P ∨ Q—

P ⇒ Q—

P ⇔ Q—

6L’implication ⇒

Définition L’implication de deux propositions P puis Q est la proposition notée P ⇒ Q (lire « P implique Q » ou « si P alors Q »). Elle est fausse seulement quand P est vraie et Q est fausse.

P	Q	P ⇒ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Vocabulaire Dans P ⇒ Q :

P s’appelle l’hypothèse (les données) ;
Q s’appelle la conclusion.

Q ⇒ P est l’implication réciproque.

Exemple

(2 est pair) ⇒ (2 + 3 = 6) est fausse (V ⇒ F).
(2 + 3 = 6) ⇒ (2 est pair) est vraie (F ⇒ V).

Erreur classique Si P ⇒ Q est vraie, on n’a pas forcément Q ⇒ P. Exemple : « x = 2 ⇒ x² = 4 » est vraie, mais « x² = 4 ⇒ x = 2 » est fausse (car x = −2 convient aussi).

Propriétés

Transitivité : [(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)] ⇒ (P ⇒ R).
Négation de l’implication : ¬(P ⇒ Q) ≡ P ∧ ¬Q.
Contraposée : (P ⇒ Q) ≡ (¬Q ⇒ ¬P).

Interprétation Une implication P ⇒ Q est vraie quand « P est fausse » ou « Q est vraie ». D’où l’équivalence :

(P ⇒ Q) ≡ (¬P ∨ Q)

7L’équivalence ⇔

Définition L’équivalence de deux propositions P et Q est la proposition notée P ⇔ Q (lire « P est équivalente à Q » ou « P si et seulement si Q »). Elle est définie par :

P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)

P	Q	P ⇔ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Exemple ∀ x, y ∈ ℝ : x² = y² ⇔ (x = y ou x = −y).

Propriétés

Symétrie : (P ⇔ Q) ≡ (Q ⇔ P).
Négation : (P ⇔ Q) ≡ (¬P ⇔ ¬Q).
Transitivité : [(P ⇔ Q) ∧ (Q ⇔ R)] ⇒ (P ⇔ R).

8Lois logiques et lois de Morgan

Définition Une loi logique est une proposition qui est toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent.

Lois de Morgan

¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q

¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q

« La négation du ET est un OU de négations. La négation du OU est un ET de négations. »

Preuve de la loi logique (P ∧ Q) ⇒ P

On utilise (P ⇒ Q) ≡ (¬P ∨ Q) :
(P ∧ Q) ⇒ P ≡ ¬(P ∧ Q) ∨ P.
Loi de Morgan : ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q.
Donc (P ∧ Q) ⇒ P ≡ ¬P ∨ ¬Q ∨ P.
Comme ¬P ∨ P est toujours vraie, l’expression entière est toujours vraie.

Conclusion : (P ∧ Q) ⇒ P est une loi logique.

Autres lois logiques utiles

Tiers exclu : P ∨ ¬P (toujours vraie).
Contradiction : P ∧ ¬P (toujours fausse).
Absorption : P ∧ (P ∨ Q) ≡ P.

9Les types de raisonnements

9.1 Raisonnement par contre-exemple

Définition Pour prouver qu’une propriété de la forme « ∀x ∈ E, P(x) » est fausse, il suffit d’exhiber un élément x ∈ E pour lequel P(x) est fausse. Cet élément s’appelle un contre-exemple.

Exemple La somme de deux irrationnels est-elle toujours irrationnelle ? Non : √2 et −√2 sont irrationnels, mais √2 + (−√2) = 0 est rationnel. Contre-exemple.

9.2 Raisonnement par équivalences successives

Définition Pour démontrer P ⇔ Q, on démontre une chaîne d’équivalences :

P ⇔ Q₁ ⇔ Q₂ ⇔ … ⇔ Q

Exemple : montrer que ∀a, b ∈ ℝ : a² + b² = 2ab ⇔ a = b.

a² + b² = 2ab ⇔ a² − 2ab + b² = 0 ⇔ (a − b)² = 0 ⇔ a − b = 0 ⇔ a = b.

9.3 Raisonnement déductif

Définition Si l’implication P ⇒ Q est vraie et que P est vraie (donnée de l’énoncé), alors on déduit que Q est vraie.

Exemple : on sait que ∀a, b > 0 : 2√(ab) ≤ a + b. En posant a = 1 et b = x, on déduit : ∀x > 0, 2√x ≤ 1 + x.

9.4 Raisonnement par contraposée

Définition Pour démontrer P ⇒ Q, on démontre sa contraposée ¬Q ⇒ ¬P.

Exemple : montrer que ∀x, y ∈ ]2, +∞[, x ≠ y ⇒ x² − 4x ≠ y² − 4y.
On démontre la contraposée : x² − 4x = y² − 4y ⇒ x = y.

x² − 4x = y² − 4y ⇒ (x − 2)² = (y − 2)² ⇒ x − 2 = y − 2 (car x, y > 2).

9.5 Raisonnement par disjonction des cas

Définition On partage le problème en plusieurs cas (souvent selon le signe d’une expression ou selon la parité d’un entier), et on traite chaque cas séparément.

Exemple : résoudre dans ℝ : |x + 1| + 2x = 0.

Cas 1 : x ≤ −1. Alors |x + 1| = −(x + 1). L’équation devient −x − 1 + 2x = 0, d’où x = 1, mais 1 ∉ ]−∞, −1]. Donc S₁ = ∅.
Cas 2 : x ≥ −1. Alors |x + 1| = x + 1. L’équation devient 3x + 1 = 0, d’où x = −1/3 ∈ [−1, +∞[. Donc S₂ = {−1/3}.

Conclusion : S = {−1/3}.

9.6 Raisonnement par l’absurde

Définition Pour démontrer qu’une proposition Q est vraie, on suppose que ¬Q est vraie et on aboutit à une contradiction. Donc Q est vraie.

Exemple : la somme d’un rationnel r et d’un irrationnel i est irrationnelle.
Supposons que s = r + i soit rationnel. Alors i = s − r est la différence de deux rationnels, donc rationnel — contradiction avec le fait que i est irrationnel. Donc s est irrationnel.

9.7 Raisonnement par récurrence

Principe Soit n₀ ∈ ℕ et P(n) une propriété définie pour n ≥ n₀. Pour montrer que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀ :

Initialisation : on vérifie que P(n₀) est vraie.
Hérédité : on suppose P(n) vraie pour un certain n ≥ n₀ (hypothèse de récurrence), et on montre que P(n + 1) est vraie.
Conclusion : P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

Exemple : montrer que ∀n ∈ ℕ, 3 divise n³ − n.

Initialisation : pour n = 0, 0³ − 0 = 0 = 3 × 0, donc 3 | 0³ − 0. Vrai.
Hérédité : supposons 3 | n³ − n, c’est-à-dire n³ − n = 3k pour un certain k ∈ ℕ.
(n + 1)³ − (n + 1) = n³ + 3n² + 3n + 1 − n − 1 = (n³ − n) + 3(n² + n) = 3k + 3(n² + n) = 3(k + n² + n).
Donc 3 | (n + 1)³ − (n + 1).
Conclusion : ∀n ∈ ℕ, 3 | n³ − n.

10Les symboles Σ et ∏

10.1 Le symbole somme Σ

Définition La somme a₁ + a₂ + … + a_n se note :

n∑i=1 a_i

La lettre i est une variable muette (on peut la remplacer par j ou k).

Exemples

2 + 4 + 6 + … + 2n = n∑i=1 2i
1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n∑i=0 (2i + 1)

Propriétés

n∑j=0 (a_j + b_j) = n∑j=0 a_j + n∑j=0 b_j
n∑j=1 (a_j + c) = n∑j=1 a_j + nc (car il y a n termes)

10.2 Le symbole produit ∏

Définition Le produit a₁ × a₂ × … × a_n se note :

n∏j=1 a_j

Exemples

n∏j=1 j = 1 × 2 × 3 × … × n = n! (factorielle).
n∏j=1 (c a_j) = cⁿ × n∏j=1 a_j.

11Les lettres grecques usuelles

En mathématiques, on utilise souvent les lettres grecques. Voici les principales :

αalpha

βbêta

γ · Γgamma

δ · Δdelta

εepsilon

ζzêta

ηêta

θ · Θthêta

ιiota

κkappa

λ · Λlambda

μmu

νnu

ξxi

οomicron

π · Πpi

ρrhô

σ · Σsigma

τtau

υupsilon

φ · Φphi

χchi

ψ · Ψpsi

ω · Ωoméga

12Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Propositions

Parmi les énoncés suivants, lesquels sont des propositions ? Donner leur valeur de vérité.

(a) « 2 + 2 = 4 » (b) « x + 1 = 3 » (c) « 5 est un nombre premier » (d) « 7 < 3 » (e) « Bonjour ! »

Voir la solution

(a) Proposition — V.

(b) Pas une proposition (variable libre, dépend de x).

(c) Proposition — V.

(d) Proposition — F.

(e) Pas une proposition (ce n’est pas un énoncé mathématique).

★ Exercice 2 · Quantificateurs

Écrire avec des quantificateurs, puis nier : (a) « Tout réel a un carré positif ou nul ». (b) « Il existe un entier naturel plus grand que 100 ».

Voir la solution

(a) ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0. Négation : ∃x ∈ ℝ, x² < 0.

(b) ∃n ∈ ℕ, n > 100. Négation : ∀n ∈ ℕ, n ≤ 100.

★★ Exercice 3 · Table de vérité

Dresser la table de vérité de la proposition ¬(P ∧ Q) puis de ¬P ∨ ¬Q. Que remarque-t-on ?

Voir la solution

P	Q	P∧Q	¬(P∧Q)	¬P	¬Q	¬P∨¬Q
V	V	V	F	F	F	F
V	F	F	V	F	V	V
F	V	F	V	V	F	V
F	F	F	V	V	V	V

On remarque que les colonnes ¬(P ∧ Q) et ¬P ∨ ¬Q sont identiques : c’est la première loi de Morgan.

★★ Exercice 4 · Implication

Montrer que (P ⇒ Q) ≡ (¬P ∨ Q) à l’aide d’une table de vérité.

Voir la solution

P	Q	P⇒Q	¬P	¬P∨Q
V	V	V	F	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

Les colonnes sont identiques, donc (P ⇒ Q) ≡ (¬P ∨ Q).

★★ Exercice 5 · Contraposée

Montrer que ∀x, y ∈ ]2, +∞[, x ≠ y ⇒ x² − 4x ≠ y² − 4y (on utilisera la contraposée).

Voir la solution

On démontre la contraposée : x² − 4x = y² − 4y ⇒ x = y.

En ajoutant 4 de chaque côté : x² − 4x + 4 = y² − 4y + 4, soit (x − 2)² = (y − 2)².

Donc x − 2 = y − 2 ou x − 2 = −(y − 2).

Le second cas donne x + y = 4, impossible car x > 2 et y > 2 donc x + y > 4. Donc x = y.

Par contraposée, on a bien montré l’implication demandée.

★★ Exercice 6 · Absurde

Montrer que √2 est irrationnel (raisonnement par l’absurde).

Voir la solution

Supposons √2 rationnel : √2 = p/q avec p, q ∈ ℕ* et p/q irréductible.

Alors 2 = p²/q², donc p² = 2q². Donc p² est pair, donc p est pair : p = 2k.

En reportant : 4k² = 2q², donc q² = 2k². Donc q² est pair, donc q est pair.

Ainsi p et q sont tous deux pairs, ce qui contredit l’hypothèse p/q irréductible.

Conclusion : √2 est irrationnel.

★★★ Exercice 7 · Récurrence

Montrer que ∀n ∈ ℕ* : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)2.

Voir la solution

Initialisation : pour n = 1, 1 = 1 × 2 / 2 = 1. Vrai.

Hérédité : supposons que 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 pour un certain n ≥ 1.
Alors 1 + 2 + … + n + (n + 1) = n(n + 1)/2 + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2.

C’est bien la formule au rang n + 1.

Conclusion : la formule est vraie pour tout n ≥ 1.

★★ Exercice 8 · Symbole Σ

Calculer 5∑i=1 i² et 3∑k=0 (2k + 1).

Voir la solution

5∑i=1 i² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.

3∑k=0 (2k + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

★Fiche résumé à retenir

Proposition : énoncé mathématique vrai ou faux (pas les deux).
Quantificateurs : ∀ (pour tout), ∃ (il existe), ∃! (unique).
Négation d’un quantificateur : ¬∀ = ∃, ¬∃ = ∀.
∧ (ET) : vraie ssi les deux sont vraies. ∨ (OU) : fausse ssi les deux sont fausses.
⇒ : fausse ssi P est vraie et Q est fausse. ⇔ : vraie ssi P et Q ont même valeur de vérité.
Lois de Morgan : ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q ; ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q.
Contraposée : (P ⇒ Q) ≡ (¬Q ⇒ ¬P).
Récurrence : initialisation + hérédité + conclusion.

Cours de logique mathématique 1ère Bac

1La proposition et sa valeur de vérité

1.1 Valeur de vérité

2Fonction propositionnelle

3Les quantificateurs

3.1 Le quantificateur universel ∀

3.2 Le quantificateur existentiel ∃

3.3 Le symbole ∃! (unicité)

3.4 Ordre et négation des quantificateurs

4La négation d’une proposition

5Conjonction ∧ et disjonction ∨

5.1 La conjonction « ET »

5.2 La disjonction « OU »

5.3 Propriétés de ∧ et ∨

6L’implication ⇒

7L’équivalence ⇔

8Lois logiques et lois de Morgan

9Les types de raisonnements

9.1 Raisonnement par contre-exemple

9.2 Raisonnement par équivalences successives

9.3 Raisonnement déductif

9.4 Raisonnement par contraposée

9.5 Raisonnement par disjonction des cas

9.6 Raisonnement par l’absurde

9.7 Raisonnement par récurrence

10Les symboles Σ et ∏

10.1 Le symbole somme Σ

10.2 Le symbole produit ∏

11Les lettres grecques usuelles

12Exercices corrigés

★Fiche résumé à retenir