Ce cours de probabilités 2BAC PC et SVT couvre la formule de Laplace, la probabilité conditionnelle, les variables aléatoires et la loi binomiale, avec méthodes et exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 2Bac PC-SVT.
Cours de probabilités 2ème Bac
Ce cours de probabilités 2BAC PC est conçu pour les élèves de Physique-Chimie et SVT. Tu y trouveras toutes les notions des probabilités 2BAC PC : dénombrement, probabilité conditionnelle, variables aléatoires et loi binomiale, avec des exemples résolus pas à pas.
Probabilités
Mesurer le hasard : probabilité d’un événement, conditionnement, variable aléatoire, espérance et loi binomiale. Cours pas à pas et exercices corrigés.
à maîtriser
1Vocabulaire des probabilités 2BAC PC et formule de Laplace
- Expérience aléatoire : une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat (lancer un dé, tirer une boule…).
- Univers Ω : l’ensemble de tous les résultats possibles (les éventualités).
- Événement A : une partie de Ω. Événement élémentaire : un seul résultat. Événement certain : Ω. Événement impossible : ∅.
- A ∪ B = « A ou B » ; A ∩ B = « A et B » ; A = « non A » (événement contraire).
- A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅.
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0.
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Si A et B sont incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
- P(A) = 1 − P(A).
On lance deux dés. Ω contient 6 × 6 = 36 résultats équiprobables.
P(somme = 7) : les couples (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), soit 6 cas : 636 = 16.
P(deux résultats égaux) = 636 = 16.
Une urne contient 9 boules numérotées de 1 à 9. On en tire 2 simultanément. P(deux boules impaires) ?
P = 1036 = 518
Avec des tirages successifs sans remise : 59 × 48 = 2072 = 518 : même résultat ✓.
2Probabilités 2BAC PC : probabilité conditionnelle et indépendance
Une urne : 7 boules blanches et 5 noires. On tire 2 boules successivement sans remise. P(2 blanches) ?
P(B1 ∩ B2) = 712 × 611 = 42132 = 722
Une usine a deux machines. M1 fabrique 60 % des pièces, dont 2 % sont défectueuses. M2 fabrique 40 %, dont 5 % sont défectueuses. D = « la pièce est défectueuse ».
Sachant qu’une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle vienne de M1 ?
3Variable aléatoire et loi de probabilité
La loi de probabilité de X est la donnée des couples (xi ; pi), présentée dans un tableau. On a toujours p1 + … + pr = 1.
X = la somme des deux résultats. Loi de X (on compte pour chaque somme le nombre de couples sur 36) :
| xi | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| pi | 136 | 236 | 336 | 436 | 536 | 636 | 536 | 436 | 336 | 236 | 136 |
On lance deux dés. Si on obtient deux fois le même résultat, on gagne 10 €, sinon on perd 1 €. Soit Y le gain algébrique.
| yi | 10 | −1 |
|---|---|---|
| pi | 636 = 16 | 3036 = 56 |
4Espérance, variance, écart type
E(X) = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 1236 = 25236 = 7. En moyenne, la somme vaut 7.
V(X) = 136(2 − 7)² + 236(3 − 7)² + … + 136(12 − 7)² = 356, donc σ(X) = √(356) ≈ 2,42.
E(Y) = 10 × 16 − 1 × 56 = 56 € : le jeu est favorable (en moyenne on gagne 56 € par partie).
E(Y²) = 100 × 16 + 1 × 56 = 1056 = 17,5. V(Y) = 17,5 − (56)² = 630 − 2536 = 60536, σ(Y) ≈ 4,10.
5La loi binomiale en probabilités 2BAC PC
1) Pile ou face 30 fois. X = nombre de « face ». P(X = 10) = C1030 (12)10(12)20 = C1030 (12)30 ≈ 0,0280. E(X) = 30 × 12 = 15 ; V(X) = 30 × 12 × 12 = 7,5.
2) Dé lancé 30 fois. X = nombre de « 6 ». P(X = 10) = C1030 (16)10 (56)20 ≈ 0,0130. E(X) = 30 × 16 = 5 ; V(X) = 30 × 16 × 56 = 256 ≈ 4,17.
Essaie toi-même
| P(X = k) | P(X ≤ k) | E(X) | V(X) | σ(X) |
|---|---|---|---|---|
6Méthodes et erreurs à éviter en probabilités 2BAC PC
Que faire dans un exercice ?
| On te demande… | Tu fais… |
|---|---|
| Probabilité d’un événement (tous les cas équiprobables) | Laplace : cas favorables / cas possibles, avec les outils de dénombrement. |
| « Au moins un… » | 1 − P(aucun). |
| Tirages successifs sans remise | Multiplie les probabilités le long de l’arbre, ou compte avec des arrangements. |
| Probabilité sachant B | PB(A) = P(A ∩ B) / P(B). |
| Loi d’une variable aléatoire | Liste les valeurs, calcule chaque P(X = xi), vérifie que la somme fait 1. |
| Espérance, variance | E = Σ xipi ; V = E(X²) − E(X)² ; σ = √V. |
| Répétition indépendante d’une épreuve à 2 issues | Loi binomiale B(n ; p) : P(X = k) = Ckn pkqn−k, E = np, V = npq. |
| Jeu équitable ? | Calcule E(X) : le jeu est équitable si E(X) = 0. |
Erreurs à éviter
7Exercices corrigés de probabilités 2BAC PC
On lance 5 pièces de monnaie équilibrées. Probabilité d’obtenir : a) exactement 3 faces ; b) au moins 3 faces.
Voir la solution
Ω a 25 = 32 résultats équiprobables.
a) C35 = 10 cas : P = 1032 = 516.
b) 3, 4 ou 5 faces : C35 + C45 + C55 = 10 + 5 + 1 = 16 : P = 1632 = 12.
Un sac contient 9 boules numérotées de 1 à 9. Probabilité de tirer une boule paire et une boule impaire : i) simultanément ; ii) successivement sans remise.
Voir la solution
Il y a 4 paires (2, 4, 6, 8) et 5 impaires.
i) C14 × C15C29 = 2036 = 59.
ii) (paire puis impaire) ou (impaire puis paire) : 49 × 58 + 59 × 48 = 4072 = 59. Même résultat ✓.
Une urne contient 5 boules rouges, 3 blanches et 7 noires. On tire simultanément 3 boules. Probabilité d’obtenir : a) une boule de chaque couleur ; b) trois boules de même couleur ; c) 2 rouges et une boule d’une autre couleur ; d) au moins 2 noires.
Voir la solution
Cas possibles : C315 = 455.
a) 5 × 3 × 7 = 105 : P = 105455 = 313.
b) C35 + C33 + C37 = 10 + 1 + 35 = 46 : P = 46455.
c) C25 × 10 autres boules = 100 : P = 100455 = 2091.
d) Exactement 2 noires : C27 × 8 = 168 ; 3 noires : C37 = 35. Total 203 : P = 203455 = 2965.
On choisit 6 numéros parmi 49. Le tirage officiel comprend 6 numéros gagnants et 1 numéro complémentaire. Probabilité d’avoir : a) les 6 bons numéros ; b) 5 bons numéros et le complémentaire ; c) exactement 5 bons numéros (sans le complémentaire) ; d) 4 bons numéros ; e) 3 bons numéros (les autres numéros du tirage sont parmi les 43 non gagnants).
Voir la solution
Nombre de grilles : C649 = 13 983 816.
a) 1 grille : P = 113 983 816 ≈ 7,15 × 10−8.
b) C56 × 1 = 6 grilles : P = 613 983 816 = 12 330 636.
c) C56 × 42 = 252 grilles (le 6ᵉ numéro n’est ni gagnant ni complémentaire : 49 − 6 − 1 = 42) : P = 25213 983 816 ≈ 1,8 × 10−5.
d) C46 × C243 = 15 × 903 = 13 545 : P ≈ 9,7 × 10−4.
e) C36 × C343 = 20 × 12 341 = 246 820 : P ≈ 0,0177.
Six villageois choisissent chacun, au hasard, un des 6 bistrots. a) Probabilité qu’ils choisissent tous le même ? b) Qu’au moins deux aient choisi le même ?
Voir la solution
Cas possibles : 66 = 46 656 (6 choix pour chacun, répétitions permises).
a) 6 cas (tous dans le bistrot 1, ou tous dans le 2, …) : P = 646 656 = 17 776.
b) Le contraire : tous différents, 6 ! = 720 cas. P = 1 − 72046 656 = 1 − 5324 = 319324 ≈ 0,985.
Une tombola comprend 1 000 billets dont 2 gagnants. Quel est le nombre minimal de billets à acheter pour que la probabilité de gagner (au moins un lot) soit supérieure à 0,5 ?
Voir la solution
En achetant k billets, P(aucun gagnant) = Ck998Ck1000 = (1000 − k)(999 − k)1000 × 999.
On veut P(gagner) = 1 − (1000 − k)(999 − k)999 000 > 0,5, c’est-à-dire (1000 − k)(999 − k) < 499 500.
Essais : k = 292 : 708 × 707 = 500 556 (trop grand) ; k = 293 : 707 × 706 = 499 142 < 499 500 ✓. Il faut acheter au minimum 293 billets.
Une commission de 20 membres : 12 allemands, 6 polonais et 2 hongrois. On en choisit 2 au hasard. Probabilité qu’ils aient la même nationalité ?
Voir la solution
Cas possibles : C220 = 190. Même nationalité : C212 + C26 + C22 = 66 + 15 + 1 = 82.
P = 82190 = 4195 ≈ 0,43.
Au jeu de « pile ou face », on gagne 1 € si on obtient « pile » et on perd 2 € si on obtient « face ». X est le gain. Calculer E(X), V(X), σ(X).
Voir la solution
X vaut 1 ou −2, chacune avec la probabilité 12.
E(X) = 12 − 22 = −0,5 € (jeu défavorable). E(X²) = 12 × 1 + 12 × 4 = 2,5. V(X) = 2,5 − 0,25 = 2,25. σ(X) = 1,5.
Une urne contient 12 boules noires et 8 blanches. Si on tire une blanche on gagne 5 €, si on tire une noire on perd 3 €. X est le gain. Calculer E(X), V(X), σ(X).
Voir la solution
P(X = 5) = 820 = 0,4 ; P(X = −3) = 1220 = 0,6.
E(X) = 5 × 0,4 − 3 × 0,6 = 2 − 1,8 = 0,2 €. E(X²) = 25 × 0,4 + 9 × 0,6 = 10 + 5,4 = 15,4. V(X) = 15,4 − 0,04 = 15,36. σ(X) = √15,36 ≈ 3,92.
On jette un dé non truqué : on gagne 5 € si on obtient 6, 2 € si on obtient 4 ou 5, on perd 3 € si on obtient 2 ou 3, et on perd 4 € si on obtient 1. X est le gain. Donner la loi de X, E(X), V(X), σ(X). Le jeu est-il favorable ? Combien faudrait-il gagner avec le 6 pour que le jeu soit équitable ?
Voir la solution
| xi | 5 | 2 | −3 | −4 |
|---|---|---|---|---|
| pi | 16 | 26 | 26 | 16 |
E(X) = 5 + 4 − 6 − 46 = −16 ≈ −0,17 € : jeu défavorable.
E(X²) = 25 + 8 + 18 + 166 = 676. V(X) = 676 − 136 = 40136 ≈ 11,14, σ(X) ≈ 3,34.
Si le 6 rapporte g € : E = g + 4 − 6 − 46 = 0 donne g = 6 €.
On jette un dé. Si le nombre est premier, on gagne autant d’euros ; sinon on perd le nombre d’euros indiqué par le dé. Calculer E(X), V(X), σ(X). Proposer un changement minimal pour rendre le jeu équitable.
Voir la solution
Premiers : 2, 3, 5 (gains 2, 3, 5). Non premiers : 1, 4, 6 (gains −1, −4, −6). Chaque valeur a la probabilité 16.
E(X) = 2 + 3 + 5 − 1 − 4 − 66 = −16. E(X²) = 4 + 9 + 25 + 1 + 16 + 366 = 916. V(X) = 916 − 136 = 54536 ≈ 15,14. σ(X) ≈ 3,89.
Proposition : perdre 5 € (au lieu de 6 €) quand le 6 sort : E = 2 + 3 + 5 − 1 − 4 − 56 = 0 : le jeu devient équitable.
Une boîte contient 30 articles dont 7 défectueux. On tire 3 articles simultanément. Quelle est l’espérance du nombre d’articles défectueux ?
Voir la solution
X = nombre de défectueux. C330 = 4 060. P(X = k) = Ck7 C3−k234 060 :
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de cas | 1 771 | 7 × 253 = 1 771 | 21 × 23 = 483 | 35 |
Total : 1 771 + 1 771 + 483 + 35 = 4 060 ✓. E(X) = 1 771 × 0 + 1 771 + 2 × 483 + 3 × 354 060 = 2 8424 060 = 0,7.
Un étudiant répond au hasard à 10 questions à choix multiple (4 réponses, une seule correcte). a) Quel résultat peut-il espérer ? b) Quelle est sa probabilité de réussite (au moins 5 bonnes réponses) ?
Voir la solution
X = nombre de bonnes réponses ; X suit B(10 ; 14) (10 épreuves indépendantes, succès avec p = 14).
a) E(X) = 10 × 14 = 2,5 bonnes réponses.
b) P(X ≥ 5) = 10Σk=5 Ck10 (14)k(34)10−k ≈ 0,078 (environ 7,8 %).
Une pièce est lancée 6 fois. X = nombre de « face ». a) Loi de X. b) P(X < 3). c) Nombre de « pile » espéré. d) V(X) et σ(X).
Voir la solution
X suit B(6 ; 12). P(X = k) = Ck664 :
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X = k) | 164 | 664 | 1564 | 2064 | 1564 | 664 | 164 |
b) P(X < 3) = 1 + 6 + 1564 = 2264 = 1132.
c) E(X) = 6 × 12 = 3, donc 3 « pile » en moyenne.
d) V(X) = 6 × 12 × 12 = 1,5 ; σ(X) = √1,5 ≈ 1,22.
Un tireur atteint une cible avec la probabilité 13. a) S’il tire 6 fois, probabilité qu’il atteigne la cible au moins 3 fois ? b) Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois dépasse 0,999 999 ?
Voir la solution
a) X suit B(6 ; 13). P(X ≥ 3) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) − P(X = 2).
P(X = 1) = 6 × 13 × (23)5 = 192729
P(X = 2) = 15 × (13)2 × (23)4 = 240729
P(X ≥ 3) = 1 − 496729 = 233729 ≈ 0,320.
b) P(au moins une fois) = 1 − (23)n > 0,999 999 ⇔ (23)n < 10−6 ⇔ n × ln(32) > 6 ln 10 ⇔ n > 6 ln 10ln 1,5 ≈ 34,07. Il faut tirer au moins 35 fois.
On jette deux dés. X est la différence positive des deux chiffres. Déterminer la loi de X, puis E(X).
Voir la solution
X vaut |a − b| avec a, b ∈ {1, …, 6}. Pour k ≥ 1 il y a 2(6 − k) couples ; pour k = 0 il y en a 6.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X = k) | 636 | 1036 | 836 | 636 | 436 | 236 |
Somme : 6 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 36 ✓. E(X) = 0 + 10 + 16 + 18 + 16 + 1036 = 7036 = 3518 ≈ 1,94.
10 % des pièces d’un lot sont défectueuses. On prélève un échantillon de 100 pièces (le lot est assez grand pour assimiler à des tirages avec remise). Probabilité d’avoir au plus 10 pièces défectueuses ?
Voir la solution
X suit B(100 ; 0,1). P(X ≤ 10) = 10Σk=0 Ck100 (0,1)k(0,9)100−k ≈ 0,583.
(Remarque : E(X) = 10 et σ(X) = √(100 × 0,1 × 0,9) = 3. Le calcul se fait à la calculatrice, ou avec l’outil « Essaie toi-même » du cours : n = 100 est trop grand pour lui, mais n = 40, p = 0,1 donne une idée du comportement.)
On suppose qu’il y a autant de chances d’avoir une fille ou un garçon. Une famille a 10 enfants. a) Nombre moyen de filles ? b) Probabilité d’avoir un nombre de filles égal à cette moyenne ? exactement 3 garçons ? au moins 2 filles ?
Voir la solution
X = nombre de filles suit B(10 ; 12).
a) E(X) = 10 × 12 = 5 filles.
b) P(X = 5) = C5101 024 = 2521 024 = 63256 ≈ 0,246.
Exactement 3 garçons = 7 filles : C7101 024 = 1201 024 = 15128.
Au moins 2 filles : 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 1 − 1 + 101 024 = 1 0131 024.
Un aquarium contient 6 poissons rouges à 1,5 € pièce et 4 poissons jaunes à 2 € pièce. Un client achète 3 poissons au hasard. X est le prix à payer. a) Loi de X. b) E(X). c) Écart type de X.
Voir la solution
Soit k le nombre de poissons jaunes : prix = 4,5 + 0,5k. Cas possibles : C310 = 120. P(k) = Ck4 C3−k6120.
| Prix xi (€) | 4,5 | 5 | 5,5 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| pi | 20120 | 60120 | 36120 | 4120 |
(Somme : 20 + 60 + 36 + 4 = 120 ✓.)
b) E(X) = 4,5 × 20 + 5 × 60 + 5,5 × 36 + 6 × 4120 = 612120 = 5,1 €.
c) E(X²) = 20,25 × 20 + 25 × 60 + 30,25 × 36 + 36 × 4120 = 3 138120 = 26,15. V(X) = 26,15 − 5,1² = 26,15 − 26,01 = 0,14. σ(X) = √0,14 ≈ 0,37 €.
Une usine possède deux machines A et B. A produit 70 % des pièces et B produit 30 %. 3 % des pièces de A et 6 % des pièces de B sont défectueuses. 1) Probabilité qu’une pièce prise au hasard soit défectueuse ? 2) Sachant qu’elle est défectueuse, probabilité qu’elle vienne de B ? 3) On prend 5 pièces au hasard (on assimile à des tirages avec remise). Probabilité d’avoir au moins une pièce défectueuse ?
Voir la solution
1) P(D) = 0,7 × 0,03 + 0,3 × 0,06 = 0,021 + 0,018 = 0,039.
2) PD(B) = 0,0180,039 = 613 ≈ 0,46.
3) X suit B(5 ; 0,039). P(X ≥ 1) = 1 − (0,961)5 ≈ 1 − 0,820 = 0,18.
★Fiche résumé des probabilités 2BAC PC à retenir
- Laplace : P(A) = Card(A) / Card(Ω) en équiprobabilité. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; P(A) = 1 − P(A).
- Tirages : simultané → Cpn ; successif sans remise → Apn ; avec remise → np.
- Conditionnelle : PB(A) = P(A ∩ B) / P(B) ; P(A ∩ B) = P(B) PB(A) ; probabilités totales sur l’arbre.
- Indépendants : P(A ∩ B) = P(A) P(B). Incompatibles ≠ indépendants.
- Variable aléatoire : loi = tableau (xi ; pi), Σ pi = 1.
- Espérance : E(X) = Σ xipi. Jeu équitable si E(X) = 0.
- Variance : V(X) = E(X²) − E(X)² ; σ(X) = √V(X).
- Loi binomiale B(n ; p) : P(X = k) = Ckn pkqn−k ; E = np ; V = npq ; σ = √(npq).
- Au moins un succès : 1 − qn.
Pour réussir en probabilités 2BAC PC, révise d’abord le cours puis entraîne-toi sur les exercices corrigés. Les probabilités 2BAC PC reviennent chaque année à l’examen national : bien maîtriser les probabilités 2BAC PC rapporte des points sûrs. Pour aller plus loin, consulte l’article loi binomiale sur Wikipédia.
Cette page de probabilités 2BAC PC se veut complète : chaque chapitre de probabilités 2BAC PC est suivi d’exercices corrigés, et la fiche finale résume les formules à connaître en probabilités 2BAC PC. Révise-la avant l’examen pour gagner du temps en probabilités 2BAC PC.