Généralités sur les fonctions 1ère Bac Sc Ex

Ce cours de généralités sur les fonctions pour la 1ère Bac Sc Ex couvre le domaine de définition, la parité, les variations, les extremums et les courbes, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Cours de généralités sur les fonctions 1ère Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.

PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Définitions et domaine de définition

Définition Une fonction est un procédé qui à un nombre \(x\) appartenant à un ensemble \(D\) associe un nombre \(y\). On note :

\[ f : D \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto y = f(x) \]

\(y\) est l’image de \(x\) par \(f\).
\(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\).

Domaine de définition L’ensemble de tous les réels qui ont une image calculable par \(f\) s’appelle le domaine de définition de \(f\), noté \(D_f\).

Règles pratiques pour trouver \(D_f\)

Polynôme : \(D_f = \mathbb{R}\).
Fraction rationnelle : dénominateur \(\ne 0\).
Racine carrée : expression sous la racine \(\ge 0\).
Logarithme / tangente : arguments \(> 0\) et angles \(\ne \frac{\pi}{2} + k\pi\).

Exemple · \(f(x) = 3x^2 – 1\)

\(f(1) = 3 – 1 = 2\).
\(f(\sqrt{2}) = 3(2) – 1 = 5\).
\(f(-1) = 3 – 1 = 2\).
Antécédents de 2 : \(3x^2 – 1 = 2 \iff x^2 = 1 \iff x = \pm 1\).

2Fonctions paires et impaires

Définition Soit \(f\) définie sur \(D_f\) avec \(D_f\) centré (si \(x \in D_f\), alors \(-x \in D_f\)).

\(f\) est paire si \(\forall x \in D_f\), \(f(-x) = f(x)\).
\(f\) est impaire si \(\forall x \in D_f\), \(f(-x) = -f(x)\).

Interprétation graphique

Si \(f\) est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Si \(f\) est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

Règles opératoires

Somme de deux fonctions paires : paire.
Produit de deux fonctions paires ou de deux fonctions impaires : paire.
Produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire : impaire.
Inverse et opposé conservent la parité.

Exemples

\(f(x) = 3x^2 – 5\) : \(f(-x) = f(x)\) → paire.
\(g(x) = \frac{3}{x}\) : \(g(-x) = -g(x)\) → impaire.
\(h(x) = 2x^3 + x^2\) : \(h(-x) \neq h(x)\) et \(h(-x) \neq -h(x)\) → ni paire ni impaire.

3Variations d’une fonction

Définitions Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\).

\(f\) est croissante sur \(I\) si \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)\).
\(f\) est strictement croissante si \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)\).
\(f\) est décroissante si \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) \ge f(x_2)\).
\(f\) est constante si \(f(x_1) = f(x_2)\) pour tous \(x_1, x_2\).

Taux d’accroissement Pour \(x_1 \ne x_2\) dans \(D_f\) :

\[ T(x_1, x_2) = \frac{f(x_1) – f(x_2)}{x_1 – x_2} \]

Lien taux d’accroissement / monotonie

\(f\) strictement croissante \(\iff T(x_1, x_2) > 0\).
\(f\) strictement décroissante \(\iff T(x_1, x_2) < 0\).
\(f\) constante \(\iff T(x_1, x_2) = 0\).

Exemple · \(f(x) = 3x^2 + 2\)

\[ T(x_1, x_2) = \frac{3x_1^2 – 3x_2^2}{x_1 – x_2} = 3(x_1 + x_2) \]

Sur \([0, +\infty[\) : \(x_1, x_2 \ge 0\) donc \(T > 0\) → croissante.
Sur \(]-\infty, 0]\) : \(x_1, x_2 \le 0\) donc \(T < 0\) → décroissante.

4Variations et parité

Propriété Soit \(f\) définie sur \(I \subset \mathbb{R}^*\), et \(I’\) le symétrique de \(I\) par rapport à \(0\).

Si \(f\) est paire : \(f\) croissante sur \(I\) \(\iff\) \(f\) décroissante sur \(I’\).
Si \(f\) est impaire : \(f\) croissante sur \(I\) \(\iff\) \(f\) croissante sur \(I’\).

Conséquence pratique Si \(f\) est paire ou impaire, on peut se limiter à étudier ses variations sur \(D_f \cap \mathbb{R}^+\), puis compléter par symétrie.

Exemple · \(f(x) = x + \frac{1}{x}\)

\(D_f = \mathbb{R}^*\), \(f\) est impaire.
\(T(x_1, x_2) = \frac{x_1 x_2 – 1}{x_1 x_2}\).
Sur \(]0, 1]\) : \(T < 0\) → décroissante.
Sur \([1, +\infty[\) : \(T > 0\) → croissante.
Par imparité : croissante sur \(]-\infty, -1]\), décroissante sur \([-1, 0[\).

5Variations de \(af\) et \(f + \alpha\)

Propriété Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\).

Si \(\alpha > 0\), \(f\) et \(\alpha f\) ont les mêmes variations.
Si \(\alpha < 0\), \(f\) et \(\alpha f\) ont des variations opposées.
\(f\) et \(f + \alpha\) ont toujours les mêmes variations.

Exemple

\(f(x) = x^2\) est décroissante sur \(]-\infty, 0]\) et croissante sur \([0, +\infty[\).
\(g(x) = -\frac{1}{2}x^2\) a les variations opposées : croissante sur \(]-\infty, 0]\), décroissante sur \([0, +\infty[\).
\(h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 5\) a les mêmes variations que \(g\).

6Comparaison de fonctions et fonctions bornées

Définitions Soient \(f\) et \(g\) définies sur un intervalle \(I\).

\(f \le g\) sur \(I\) si \(\forall x \in I\), \(f(x) \le g(x)\).
\(f \ge 0\) sur \(I\) si \(\forall x \in I\), \(f(x) \ge 0\).
\(f\) est majorée sur \(I\) s’il existe \(M\) tel que \(f(x) \le M\) sur \(I\).
\(f\) est minorée sur \(I\) s’il existe \(m\) tel que \(f(x) \ge m\) sur \(I\).
\(f\) est bornée si elle est majorée et minorée.

Interprétation graphique

\(f \le g\) \(\iff\) \((C_f)\) est en dessous de \((C_g)\).
\(f \ge 0\) \(\iff\) \((C_f)\) est au-dessus de l’axe des abscisses.

Exemple · \(f(x) = -x^2 + x\) Forme canonique : \(f(x) = -(x – \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}\). Donc \(f(x) \le \frac{1}{4}\) : \(f\) est majorée par \(\frac{1}{4}\). Exemple · \(g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) \(x^2 + 1 \ge 1\), donc \(0 < g(x) \le 1\). \(g\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).

7Extremums d’une fonction

Définition Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\).

\(f(a)\) est un maximum de \(f\) sur \(I\) si \(\forall x \in I\), \(f(x) \le f(a)\).
\(f(a)\) est un minimum de \(f\) sur \(I\) si \(\forall x \in I\), \(f(x) \ge f(a)\).

Exemple · \(f(x) = -4x^2 + 4x + 5\)

\[ f(x) = 6 – (2x – 1)^2 \le 6 \quad \text{et} \quad f\left(\tfrac{1}{2}\right) = 6 \]

Donc \(6\) est le maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), atteint en \(x = \frac{1}{2}\).

Exemple · \(f(x) = x^2 – 2x + 3\)

\[ f(x) = (x – 1)^2 + 2 \ge 2 \quad \text{et} \quad f(1) = 2 \]

Donc \(2\) est le minimum de \(f\), atteint en \(x = 1\).

8Fonction polynôme du second degré

Forme canonique Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\).

\[ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{\Delta}{4a} \]

Le sommet de la parabole est \(S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\), l’axe de symétrie est \(x = -\frac{b}{2a}\).

Variations

Si \(a > 0\) : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty, -\frac{b}{2a}]\), croissante sur \([-\frac{b}{2a}, +\infty[\). Le sommet est un minimum.
Si \(a < 0\) : \(f\) est croissante puis décroissante. Le sommet est un maximum.

Exemple · \(f(x) = 2x^2 – 4x – 2\)

\(-\frac{b}{2a} = \frac{4}{4} = 1\) et \(f(1) = -4\).
Sommet \(W(1, -4)\), axe \(x = 1\).
\(a = 2 > 0\) : minimum en \(x = 1\).

Exemple · \(g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1\)

\(-\frac{b}{2a} = 2\) et \(g(2) = 3\).
Sommet \(W(2, 3)\), axe \(x = 2\).
\(a = -\frac{1}{2} < 0\) : maximum en \(x = 2\).

9Fonction homographique

Définition \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\) avec \(c \neq 0\) et \(ad – bc \neq 0\).

\[ D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\} \]

Propriétés Soit \(\Delta = ad – bc\).

Si \(\Delta > 0\) : \(f\) est croissante sur chaque intervalle de \(D_f\).
Si \(\Delta < 0\) : \(f\) est décroissante sur chaque intervalle de \(D_f\).
Centre de symétrie : \(W\left(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}\right)\).
Asymptote verticale : \(x = -\frac{d}{c}\).
Asymptote horizontale : \(y = \frac{a}{c}\).

Exemple · \(f(x) = \frac{2x+1}{x-1}\)

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
\(\Delta = 2(-1) – 1(1) = -3 < 0\) → décroissante sur \(]-\infty, 1[\) et \(]1, +\infty[\).
Centre \(W(1, 2)\), asymptotes \(x = 1\) et \(y = 2\).

10Fonctions cube et racine carrée

10.1 \(f(x) = ax^3\)

\(D_f = \mathbb{R}\).
Si \(a > 0\) : strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Si \(a < 0\) : strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Exemple · \(f(x) = \frac{1}{4}x^3\) \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Tableau : \(f(x) \to -\infty\) en \(-\infty\), \(+\infty\) en \(+\infty\).

10.2 \(f(x) = \sqrt{x + a}\)

\(D_f = [-a, +\infty[\).
\(f\) est strictement croissante sur \([-a, +\infty[\).

Exemple · \(f(x) = \sqrt{x + 2}\) \(D_f = [-2, +\infty[\), croissante sur \(D_f\).

11Composée de deux fonctions

Définition Soit \(f\) définie sur \(I\) et \(g\) définie sur \(J\) avec \(f(I) \subset J\). La composée \(g \circ f\) est définie sur \(I\) par :

\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \quad \forall x \in I \]

De manière générale :

\[ D_{g \circ f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\} \]

Attention \(g \circ f \neq f \circ g\) en général (la composée n’est pas commutative).

Variations de la composée

Si \(f\) et \(g\) ont la même monotonie, alors \(g \circ f\) est croissante.
Si \(f\) et \(g\) ont des monotonies opposées, alors \(g \circ f\) est décroissante.

Exemple · \(f(x) = x^2 – 2x + 3\) et \(g(x) = 2x + 1\)

\[ (g \circ f)(x) = 2(x^2 – 2x + 3) + 1 = 2x^2 – 4x + 7 \]

\[ (f \circ g)(x) = (2x+1)^2 – 2(2x+1) + 3 = 4x^2 + 2 \]

Exemple · \(f(x) = 1 – x\) et \(g(x) = \sqrt{x}\) \(h = g \circ f\) : \(D_h = ]-\infty, 1]\). \(h(x) = \sqrt{1 – x}\).
\(f\) décroissante, \(g\) croissante → \(h\) décroissante sur \(]-\infty, 1]\).

12Fonctions périodiques

Définition \(f\) est périodique de période \(T > 0\) si :

\(\forall x \in D_f\), \(x + T \in D_f\) ;
\(\forall x \in D_f\), \(f(x + T) = f(x)\).

La période est le plus petit réel strictement positif vérifiant ces conditions.

Périodes usuelles

\(\sin x\), \(\cos x\) : \(T = 2\pi\).
\(\tan x\) : \(T = \pi\).
\(\sin(ax)\), \(\cos(ax)\) : \(T = \frac{2\pi}{|a|}\).

Exemple · \(f(x) = x – E(x)\) \(E(x)\) est la partie entière. On a \(f(x+1) = (x+1) – E(x+1) = x + 1 – (E(x) + 1) = x – E(x) = f(x)\).
Donc \(f\) est périodique de période 1.

13Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Domaines de définition

Déterminer le domaine de définition de :

1) \(f(x) = 3x^2 – x + 1\) 2) \(f(x) = \frac{x^3}{2x-4}\) 3) \(f(x) = \frac{2x^4}{x^2-4}\) 4) \(f(x) = \sqrt{-3x+6}\)

Voir la solution

1) Polynôme : \(D_f = \mathbb{R}\).

2) \(2x – 4 \ne 0 \iff x \ne 2\). Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

3) \(x^2 – 4 \ne 0 \iff x \ne \pm 2\). Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

4) \(-3x + 6 \ge 0 \iff x \le 2\). Donc \(D_f = ]-\infty, 2]\).

★★ Exercice 2 · Parité

Étudier la parité de :

1) \(f(x) = \frac{x^2-1}{x}\) 2) \(f(x) = x^2 + \frac{1}{x}\) 3) \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\) 4) \(f(x) = \frac{2x^3}{x^2+5}\)

Voir la solution

1) \(D_f = \mathbb{R}^*\). \(f(-x) = \frac{x^2-1}{-x} = -f(x)\) → impaire.

2) \(D_f = \mathbb{R}^*\). \(f(-x) = x^2 – \frac{1}{x} \neq \pm f(x)\) → ni paire ni impaire.

3) \(D_f = [-1, 1]\). \(f(-x) = \sqrt{1-x^2} = f(x)\) → paire.

4) \(D_f = \mathbb{R}\). \(f(-x) = \frac{-2x^3}{x^2+5} = -f(x)\) → impaire.

★★ Exercice 3 · Fonction définie par relation

Soit \(f\) telle que \(5f(x) + f(-x) = 2x^3 – 3x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

1) Montrer que \(f\) est impaire. 2) Donner l’expression de \(f(x)\).

Voir la solution

1) En remplaçant \(x\) par \(-x\) : \(5f(-x) + f(x) = -2x^3 + 3x\).

En additionnant : \(6(f(x) + f(-x)) = 0\), donc \(f(-x) = -f(x)\) → impaire.

2) \(5f(x) – f(x) = 2x^3 – 3x\), donc \(4f(x) = 2x^3 – 3x\), soit \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 – \frac{3}{4}x\).

★★ Exercice 4 · Courbe symétrique

Soit \(f(x) = \frac{|x|+1}{2|x|-3}\). Montrer que sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Voir la solution

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\}\).

\(f(-x) = \frac{|-x|+1}{2|-x|-3} = \frac{|x|+1}{2|x|-3} = f(x)\).

Donc \(f\) est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

★★ Exercice 5 · Comparaison et bornes

Soit \(f(x) = -x^2 + x\). Démontrer que \(f\) est majorée sur \(\mathbb{R}\).

Voir la solution

\(f(x) = -(x^2 – x) = -\left((x – \frac{1}{2})^2 – \frac{1}{4}\right) = -(x – \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}\).

Donc \(f(x) \le \frac{1}{4}\) pour tout \(x\). \(f\) est majorée par \(\frac{1}{4}\).

★★ Exercice 6 · Fonction bornée

Soit \(g(x) = 4\sin x – 3\). Montrer que \(g\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).

Voir la solution

\(-1 \le \sin x \le 1\), donc \(-4 \le 4\sin x \le 4\), donc \(-7 \le g(x) \le 1\).

\(g\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).

★★ Exercice 7 · Extremums

Soit \(f(x) = -4x^2 + 4x + 5\). 1) Montrer que \(f(x) = 6 – (2x-1)^2\). 2) En déduire le maximum de \(f\).

Voir la solution

1) \(6 – (4x^2 – 4x + 1) = -4x^2 + 4x + 5 = f(x)\).

2) \((2x-1)^2 \ge 0\), donc \(f(x) \le 6\). Et \(f(\frac{1}{2}) = 6\). Donc \(6\) est le maximum de \(f\), atteint en \(x = \frac{1}{2}\).

★★ Exercice 8 · Polynôme degré 2

Soit \(f(x) = 2x^2 – 4x – 2\). Déterminer le sommet, l’axe de symétrie et le tableau de variation.

Voir la solution

\(-\frac{b}{2a} = \frac{4}{4} = 1\) et \(f(1) = -4\). Sommet \(W(1, -4)\).

Axe de symétrie : \(x = 1\). \(a = 2 > 0\) : minimum en \(x = 1\).

\(f\) décroissante sur \(]-\infty, 1]\), croissante sur \([1, +\infty[\).

★★ Exercice 9 · Homographique

Soit \(f(x) = \frac{2x+1}{x-1}\). 1) \(D_f\). 2) Calculer \(\Delta\) et en déduire la monotonie. 3) Donner les asymptotes et le centre de symétrie.

Voir la solution

1) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

2) \(\Delta = 2(-1) – 1(1) = -3 < 0\) → \(f\) décroissante sur chaque intervalle de \(D_f\).

3) Centre \(W(1, 2)\), asymptotes \(x = 1\) et \(y = 2\).

★★ Exercice 10 · Fonction cubique

Soit \(f(x) = \frac{1}{4}x^3\). Étudier ses variations et tracer sa courbe.

Voir la solution

\(D_f = \mathbb{R}\). Si \(x_1 < x_2\), alors \(x_1^3 < x_2^3\), donc \(f(x_1) < f(x_2)\).

\(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Valeurs : \(f(-2) = -2\), \(f(0) = 0\), \(f(2) = 2\).

★★ Exercice 11 · Racine carrée

Soit \(f(x) = \sqrt{x+2}\). 1) \(D_f\). 2) Variations. 3) Tracer.

Voir la solution

1) \(x + 2 \ge 0 \iff x \ge -2\). Donc \(D_f = [-2, +\infty[\).

2) \(f\) est strictement croissante sur \([-2, +\infty[\).

3) \(f(-2) = 0\), \(f(-1) = 1\), \(f(2) = 2\), \(f(7) = 3\).

★★★ Exercice 12 · Composée et variations

Soient \(f(x) = 1 – x\) et \(g(x) = \sqrt{x}\). On pose \(h = g \circ f\).

1) Déterminer \(D_h\). 2) Donner l’expression de \(h(x)\). 3) Étudier les variations de \(h\).

Voir la solution

1) \(D_h = \{x \in \mathbb{R} \mid 1 – x \ge 0\} = ]-\infty, 1]\).

2) \(h(x) = \sqrt{1 – x}\).

3) \(f\) est décroissante sur \(]-\infty, 1]\) et \(g\) est croissante sur \([0, +\infty[\). D’après le théorème des fonctions composées, \(h\) est décroissante sur \(]-\infty, 1]\).

★★★ Exercice 13 · Composée et variations

Soient \(f(x) = \frac{2x+3}{x-1}\) et \(h(x) = x^2 + 2\). On pose \(F = h \circ f\).

1) Montrer que \(F(x) = \frac{6x^2+8x+11}{(x-1)^2}\).

2) Étudier les variations de \(F\) sur \(]1, +\infty[\), sur \(]-\frac{3}{2}, 1[\) et sur \(]-\infty, -\frac{3}{2}]\).

Voir la solution

1) \(F(x) = \left(\frac{2x+3}{x-1}\right)^2 + 2 = \frac{(2x+3)^2 + 2(x-1)^2}{(x-1)^2} = \frac{4x^2+12x+9+2x^2-4x+2}{(x-1)^2} = \frac{6x^2+8x+11}{(x-1)^2}\).

2) \(\Delta = -5 < 0\) → \(f\) décroissante sur chaque intervalle de \(D_f\).

Sur \(]1, +\infty[\) : \(f(x) \in ]2, +\infty[\), \(h\) croissante → \(F\) décroissante.

Sur \(]-\frac{3}{2}, 1[\) : \(f(x) \in ]-\infty, 0[\), \(h\) décroissante → \(F\) croissante.

Sur \(]-\infty, -\frac{3}{2}]\) : \(f(x) \in [0, 2[\), \(h\) croissante → \(F\) décroissante.

★★ Exercice 14 · Périodicité

1) Montrer que \(f(x) = x – E(x)\) est périodique de période 1.

2) Quelle est la période de \(g(x) = \sin(4x-1)\) ? De \(h(x) = \cos(5x)\) ?

Voir la solution

1) \(f(x+1) = (x+1) – E(x+1) = x+1 – E(x) – 1 = x – E(x) = f(x)\). Donc \(T = 1\).

2) \(g\) : \(T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). \(h\) : \(T = \frac{2\pi}{5}\).

★★★ Exercice 15 · Fonction bornée

Soit \(f(x) = \frac{2x^2+3}{x^2+1}\). 1) \(D_f\). 2) Montrer que \(f\) est majorée par 3 et minorée par 2. 3) \(f\) est-elle bornée ?

Voir la solution

1) \(x^2 + 1 \ne 0\) toujours → \(D_f = \mathbb{R}\).

2) \(f(x) – 3 = \frac{2x^2+3-3x^2-3}{x^2+1} = \frac{-x^2}{x^2+1} \le 0\) → \(f(x) \le 3\).

\(f(x) – 2 = \frac{2x^2+3-2x^2-2}{x^2+1} = \frac{1}{x^2+1} > 0\) → \(f(x) > 2\).

3) \(2 < f(x) \le 3\) → \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).

★Fiche résumé à retenir

Domaine : dénominateur \(\ne 0\), racine \(\ge 0\).
Parité : \(f(-x) = f(x)\) (paire), \(f(-x) = -f(x)\) (impaire).
Taux d’accroissement : \(T = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\) ; \(T > 0\) → croissante.
\(af\) : même sens si \(a > 0\), opposé si \(a < 0\). \(f+\alpha\) : mêmes variations.
Parabole : sommet \(\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\) ; \(a > 0\) → minimum.
Homographique : \(\Delta = ad – bc\) ; \(\Delta > 0\) → croissante.
Composée : \(g \circ f(x) = g(f(x))\) ; même monotonie → croissante, opposée → décroissante.
Période : plus petit \(T > 0\) tel que \(f(x+T) = f(x)\).

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