Limites d’une fonction 1ère Bac Sc Ex : exercices

Exercice 1

Limites usuelles

1) Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(f(x)=\dfrac1{x^3}\), \(f(x)=-x^4\), \(f(x)=-3+\dfrac1x\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Limites usuelles : \(\lim_{\pm\infty}\dfrac1{x^n}=0\) ; \(\lim_{+\infty}x^n=+\infty\) ; \(\lim_{-\infty}x^n=+\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair ; \(\lim_{+\infty}\sqrt x=+\infty\) ; \(\lim_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty\), \(\lim_{x\to0^-}\dfrac1x=-\infty\). Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré. Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré.

🔢 \(\dfrac1{x^3}\to0\) ; \(x^4\to+\infty\) donc \(-x^4\to-\infty\) ; \(\dfrac1x\to0\) donc \(-3+\dfrac1x\to-3\).

✅ \(0\) ; \(-\infty\) ; \(-3\).

2) Déterminer la limite en \(-\infty\) de \(f(x)=-x^3\), \(f(x)=5+\dfrac1x\), \(f(x)=\sqrt{-x}\).

Correction détaillée

🔢 \(x\to-\infty\) : \(x^3\to-\infty\) donc \(-x^3\to+\infty\) ; \(\dfrac1x\to0\) ; \(-x\to+\infty\) donc \(\sqrt{-x}\to+\infty\).

✅ \(+\infty\) ; \(5\) ; \(+\infty\).

3) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2x+1-\dfrac1x\right)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(x^2-4+\dfrac1x\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(2x\to+\infty\) et \(-\dfrac1x\to0\).

🔢 Étape 2 : En \(0^+\) : \(x^2-4\to-4\) et \(\dfrac1x\to+\infty\).

✅ \(+\infty\) ; \(+\infty\).

Exercice 2

Limites de polynômes

1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(-x^2+x-3\right)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(3x^2-2x+10\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Limites usuelles : \(\lim_{\pm\infty}\dfrac1{x^n}=0\) ; \(\lim_{+\infty}x^n=+\infty\) ; \(\lim_{-\infty}x^n=+\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair ; \(\lim_{+\infty}\sqrt x=+\infty\) ; \(\lim_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty\), \(\lim_{x\to0^-}\dfrac1x=-\infty\). Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré. Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré.

🔢 On garde le terme de plus haut degré : \(-x^2\to-\infty\) ; \(3x^2\to+\infty\).

✅ \(-\infty\) ; \(+\infty\).

2) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(-4x^3+5x-2\right)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2x+5x^2-7x^4\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(-4x^3\) avec \(x\to-\infty\) : \(x^3\to-\infty\) donc \(+\infty\). \(-7x^4\to-\infty\).

✅ \(+\infty\) ; \(-\infty\).

3) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x(-x+1)\), \(\displaystyle\lim_{t\to-\infty}-3t(t-4)\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\left(\dfrac1x+3\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x(-x+1)=-x^2+x\to-\infty\).

🔢 Étape 2 : \(-3t(t-4)=-3t^2+12t\to-\infty\).

🔢 Étape 3 : \(x\left(\dfrac1x+3\right)=1+3x\to-\infty\).

✅ \(-\infty\) ; \(-\infty\) ; \(-\infty\).

4) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x^2-\sqrt x\right)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(x^2+x+2+\dfrac1{x^2}\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^2-\sqrt x=x^2\left(1-\dfrac1{x^{3/2}}\right)\to+\infty\) (forme \(\infty-\infty\) levée par factorisation).

🔢 Étape 2 : En 0 : \(x^2+x+2\to2\) et \(\dfrac1{x^2}\to+\infty\).

✅ \(+\infty\) ; \(+\infty\).

5) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}2x^3+x^2-x+4\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2x^3+x^2-x+4\).

Correction détaillée

🔢 Terme dominant \(2x^3\).

✅ \(+\infty\) en \(+\infty\) ; \(-\infty\) en \(-\infty\).

Exercice 3

Fractions rationnelles en l’infini

1) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac3{x-4}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{-2+\frac3x}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Limites usuelles : \(\lim_{\pm\infty}\dfrac1{x^n}=0\) ; \(\lim_{+\infty}x^n=+\infty\) ; \(\lim_{-\infty}x^n=+\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair ; \(\lim_{+\infty}\sqrt x=+\infty\) ; \(\lim_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty\), \(\lim_{x\to0^-}\dfrac1x=-\infty\). Polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son terme de plus haut degré. Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré.

🔢 Étape 1 : \(x-4\to-\infty\) donc \(\dfrac3{x-4}\to0\).

🔢 Étape 2 : \(-2+\dfrac3x\to-2\) et \(x^2\to+\infty\) : \(\dfrac{x^2}{-2+3/x}\to-\infty\).

✅ \(0\) ; \(-\infty\).

2) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2+4}{x^2+x+1}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x+5x^2-7x^4}{x-10x^2+14x^3}\).

Correction détaillée

🔢 Termes dominants : \(\dfrac{3x^2}{x^2}=3\) ; \(\dfrac{-7x^4}{14x^3}=-\dfrac x2\).

✅ \(3\) ; \(-\infty\).

3) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-8x^3+1}{4x+16}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3x+8x^2-2x^5}{x^2+2x^6}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{-8x^3}{4x}=-2x^2\to-\infty\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{-2x^5}{2x^6}=-\dfrac1x\to0\).

✅ \(-\infty\) ; \(0\).

4) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^3+1}{(x-1)^2}\).

Correction détaillée

🔢 Dominants : \(\dfrac{x^3}{x^2}=x\).

✅ \(+\infty\).

Exercice 4

Dénominateur qui tend vers 0

1) Étudier le comportement de \(f(x)=\dfrac1{x-2}\) en \(2\), \(f(x)=\dfrac{-2}{x+3}\) en \(-3\), \(f(x)=\dfrac1{x^2}\) en \(0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Méthode : si le dénominateur tend vers 0 et le numérateur vers un réel non nul \(a\), la limite est \(\pm\infty\) : on détermine le signe du dénominateur à gauche et à droite (tableau de signes). Si numérateur et dénominateur tendent vers 0 (forme \(\frac00\)), on factorise par \((x-a)\) ou on multiplie par la quantité conjuguée. La limite en \(a\) existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

🔢 Étape 1 : \(\dfrac1{x-2}\) : \(x\to2^+\Rightarrow x-2\to0^+\Rightarrow+\infty\) ; \(x\to2^-\Rightarrow-\infty\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{-2}{x+3}\) : \(x\to-3^+\Rightarrow\dfrac{-2}{0^+}=-\infty\) ; \(x\to-3^-\Rightarrow\dfrac{-2}{0^-}=+\infty\).

🔢 Étape 3 : \(\dfrac1{x^2}\) : \(x^2\to0^+\) des deux côtés : \(+\infty\).

✅ Pas de limite en 2 ni en \(-3\) (droites \(x=2\) et \(x=-3\) asymptotes verticales) ; \(\lim_{x\to0}\dfrac1{x^2}=+\infty\).

2) \(f(x)=\dfrac x{(x+1)(x-2)}\) : limites en \(2\) et en \(-1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En 2 : numérateur \(\to2\). \(2^+\) : \((x+1)(x-2)\to3\cdot0^+=0^+\) donc \(+\infty\) ; \(2^-\) : \(0^-\) donc \(-\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-1\) : numérateur \(\to-1\). \(-1^+\) : \((x+1)(x-2)\to0^+\cdot(-3)=0^-\) donc \(\dfrac{-1}{0^-}=+\infty\) ; \(-1^-\) : \(0^+\) donc \(-\infty\).

✅ \(\lim_{2^+}=+\infty\), \(\lim_{2^-}=-\infty\) ; \(\lim_{-1^+}=+\infty\), \(\lim_{-1^-}=-\infty\).

3) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^3+1}{(x-1)^2}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\dfrac{3x+1}{x^2+x-2}\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan lit « \(x\to1^+\) » pour le second ; j’ai aussi donné la limite à gauche.

🔢 Étape 1 : \((x-1)^2\to0^+\), numérateur \(\to2\) : \(+\infty\).

🔢 Étape 2 : \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\) : en \(1^+\), \((x-1)(x+2)\to0^+\) ; numérateur \(\to4\).

✅ \(+\infty\) ; \(+\infty\) (et \(-\infty\) à gauche de 1).

4) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{3x^2-x}{2x^3+2x-4}\).

Correction détaillée

🔢 Numérateur \(\to2\). \(2x^3+2x-4=2(x-1)(x^2+x+2)\) : en \(1^+\), \(0^+\) ; en \(1^-\), \(0^-\).

✅ \(\lim_{1^+}=+\infty\), \(\lim_{1^-}=-\infty\) : pas de limite en 1.

Exercice 5

Formes indéterminées \(0/0\) : factorisation

1) \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-x-2}{x-2}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+2x-3}{2x^2-x-1}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Méthode : si le dénominateur tend vers 0 et le numérateur vers un réel non nul \(a\), la limite est \(\pm\infty\) : on détermine le signe du dénominateur à gauche et à droite (tableau de signes). Si numérateur et dénominateur tendent vers 0 (forme \(\frac00\)), on factorise par \((x-a)\) ou on multiplie par la quantité conjuguée. La limite en \(a\) existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

🔢 Étape 1 : \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\) : \(\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1\to3\).

🔢 Étape 2 : \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\), \(2x^2-x-1=(x-1)(2x+1)\) : quotient \(\dfrac{x+3}{2x+1}\to\dfrac43\).

✅ \(3\) ; \(\dfrac43\).

2) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{2x^3+3x^2-4x-1}{x^3-1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Numérateur en 1 : \(2+3-4-1=0\) : \(=(x-1)(2x^2+5x+1)\). Dénominateur : \((x-1)(x^2+x+1)\).

🔢 Étape 2 : Quotient \(\dfrac{2x^2+5x+1}{x^2+x+1}\to\dfrac83\).

✅ \(\dfrac83\).

Exercice 6

Radicaux : quantité conjuguée

1) \(\displaystyle\lim_{x\to9}\dfrac{\sqrt x-3}{x-9}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-3x+2}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Quantité conjuguée : \(\sqrt a-b=\dfrac{a-b^2}{\sqrt a+b}\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{\sqrt x-3}{x-9}=\dfrac1{\sqrt x+3}\to\dfrac16\).

🔢 Étape 2 : \(\sqrt{4x+1}-3=\dfrac{4(x-2)}{\sqrt{4x+1}+3}\) ; \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) : quotient \(\dfrac4{(\sqrt{4x+1}+3)(x-1)}\to\dfrac4{6}\).

✅ \(\dfrac16\) ; \(\dfrac23\).

2) \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{\sqrt{2x}-2}{x^2+3x-10}\).

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt{2x}-2=\dfrac{2x-4}{\sqrt{2x}+2}=\dfrac{2(x-2)}{\sqrt{2x}+2}\) et \(x^2+3x-10=(x-2)(x+5)\).

✅ \(\dfrac2{(2+2)(7)}=\dfrac1{14}\).

3) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+3}-\sqrt x\right)\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x+3}-(x+2)\right)\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sqrt{x+3}-\sqrt x=\dfrac3{\sqrt{x+3}+\sqrt x}\to0\).

🔢 Étape 2 : \(\sqrt{x^2+4x+3}-(x+2)=\dfrac{x^2+4x+3-(x+2)^2}{\sqrt{x^2+4x+3}+x+2}=\dfrac{-1}{\sqrt{x^2+4x+3}+x+2}\to0\).

🔢 Étape 3 : \(\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac x{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\dfrac12\).

🔢 Étape 4 : \(\sqrt{x^2+1}-x=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}+x}\to0\).

✅ \(0\) ; \(0\) ; \(\dfrac12\) ; \(0\).

Exercice 7

Valeur absolue

1) \(f(x)=\dfrac{|x-1|\,x}{x^2-1}\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Méthode : si le dénominateur tend vers 0 et le numérateur vers un réel non nul \(a\), la limite est \(\pm\infty\) : on détermine le signe du dénominateur à gauche et à droite (tableau de signes). Si numérateur et dénominateur tendent vers 0 (forme \(\frac00\)), on factorise par \((x-a)\) ou on multiplie par la quantité conjuguée. La limite en \(a\) existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

🔢 Étape 1 : Pour \(x>1\) : \(|x-1|=x-1\) et \(f(x)=\dfrac{(x-1)x}{(x-1)(x+1)}=\dfrac x{x+1}\to\dfrac12\).

🔢 Étape 2 : Pour \(x<1\) : \(|x-1|=1-x\) et \(f(x)=-\dfrac x{x+1}\to-\dfrac12\).

✅ \(\lim_{1^+}f=\dfrac12\) ; \(\lim_{1^-}f=-\dfrac12\) : pas de limite en 1.

2) \(f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{|x^2-1|}\). Limite en \(x_0=-1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|x^2-1|=|x-1||x+1|\) : \(f(x)=\dfrac{|x+1|^2}{|x-1||x+1|}=\dfrac{|x+1|}{|x-1|}\) pour \(x\neq-1\).

🔢 Étape 2 : \(x\to-1\) : \(|x+1|\to0\) et \(|x-1|\to2\).

✅ \(\lim_{x\to-1}f(x)=0\).

Exercice 8

Fonctions définies par morceaux

1) \(f(x)=1-x\) si \(x\le1\), \(f(x)=x^2\) si \(x>1\) (courbe donnée). Déterminer graphiquement les limites de \(f\) à droite et à gauche de 1.

Correction détaillée

⚠️ Le texte du sujet écrit « \(x^2\) si \(x>2\) » ; la figure et la fonction données dans la légende indiquent \(x>1\). C’est cette lecture qui est traitée.

🔢 Étape 1 : À gauche de 1, la courbe est la droite \(y=1-x\) qui arrive au point \((1;0)\) (point plein) : \(\lim_{1^-}f=0\).

🔢 Étape 2 : À droite de 1, la courbe est la parabole \(y=x^2\) qui part du point \((1;1)\) (point vide) : \(\lim_{1^+}f=1\).

✅ \(\lim_{1^-}f=0\), \(\lim_{1^+}f=1\) : pas de limite en 1 (\(f(1)=0\)).

2) \(g(x)=2x^2-x+3\) si \(x\ge1\) et \(g(x)=-x^2+x+\alpha\) si \(x<1\). Déterminer \(\alpha\) pour que \(g\) admette une limite en 1.

Correction détaillée

📘 Méthode : Méthode : si le dénominateur tend vers 0 et le numérateur vers un réel non nul \(a\), la limite est \(\pm\infty\) : on détermine le signe du dénominateur à gauche et à droite (tableau de signes). Si numérateur et dénominateur tendent vers 0 (forme \(\frac00\)), on factorise par \((x-a)\) ou on multiplie par la quantité conjuguée. La limite en \(a\) existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

🔢 Étape 1 : \(\lim_{1^+}g=2-1+3=4\) ; \(\lim_{1^-}g=-1+1+\alpha=\alpha\).

🔢 Étape 2 : La limite existe si et seulement si \(\alpha=4\).

✅ \(\alpha=4\) (alors \(\lim_{x\to1}g(x)=4=g(1)\)).

Exercice 9

Limites d’une famille de fonctions

1) \(f(x)=\sqrt{2x+1}\left(-3x^2+x\right)\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En 2 : \(\sqrt5\,(-12+2)\).

🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(\sqrt{2x+1}\to+\infty\) et \(-3x^2+x\to-\infty\) : produit \(-\infty\).

✅ \(-10\sqrt5\) ; \(-\infty\).

2) \(g(x)=\dfrac{-2x^2+1}{(x-3)^2}\left(\sqrt x+1\right)\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to3}g(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(\dfrac{-2x^2+1}{(x-3)^2}\to-2\) et \(\sqrt x+1\to+\infty\) : \(-\infty\).

🔢 Étape 2 : En 3 : numérateur \(\to-17(\sqrt3+1)<0\) et \((x-3)^2\to0^+\).

✅ \(-\infty\) ; \(-\infty\).

3) \(h(x)=\dfrac{x^2+1}{x^3}\sin x\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}h(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(h(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2}\cdot\dfrac{\sin x}x\), avec \(\dfrac{x^2+1}{x^2}\to+\infty\) et \(\dfrac{\sin x}x\to1\).

✅ \(+\infty\).

4) \(k(x)=\dfrac{-3x+1}{x(x-2)}\). Limites aux bornes de \(D_k\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(D_k=\mathbb R\setminus\{0;2\}\) ; en \(\pm\infty\) : \(\dfrac{-3x}{x^2}=-\dfrac3x\to0\).

🔢 Étape 2 : En 0 : numérateur \(\to1\). \(0^+\) : \(x(x-2)\to0^-\) donc \(-\infty\) ; \(0^-\) : \(0^+\) donc \(+\infty\).

🔢 Étape 3 : En 2 : numérateur \(\to-5\). \(2^+\) : \(x(x-2)\to0^+\) donc \(-\infty\) ; \(2^-\) : \(0^-\) donc \(+\infty\).

✅ \(\lim_{\pm\infty}k=0\) ; \(\lim_{0^+}=-\infty\), \(\lim_{0^-}=+\infty\) ; \(\lim_{2^+}=-\infty\), \(\lim_{2^-}=+\infty\).

Exercice 10

Démonstration de \(\lim\frac{\sin x}x=1\)

1) Soit \(x\in\left]0;\dfrac\pi2\right[\), \(O(0;0)\), \(A(1;0)\), \(M(\cos x;\sin x)\), \(P(\cos x;0)\), \(T(1;\tan x)\). \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) : aires du triangle \(OAM\), du secteur \(OAM\), du triangle \(OAT\). Montrer que \(\sin x\le x\le\tan x\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Limites usuelles : \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}x=1\) ; \(\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}x=1\) ; \(\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12\) ; \(\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}x=0\). Nombre dérivé : \(\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\). Pour un point \(a\neq0\) : poser \(h=x-a\).

🔢 Étape 1 : \(A_1=\dfrac12\cdot OA\cdot MP=\dfrac{\sin x}2\) ; \(A_2=\dfrac x2\) (secteur de rayon 1 et d’angle \(x\)) ; \(A_3=\dfrac12\cdot OA\cdot AT=\dfrac{\tan x}2\).

🔢 Étape 2 : Le triangle \(OAM\) est inclus dans le secteur, lui-même inclus dans le triangle \(OAT\) : \(A_1\le A_2\le A_3\).

✅ \(\sin x\le x\le\tan x\) ✓.

2) En déduire \(\cos x<\dfrac{\sin x}x<1\), puis \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}x=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Division par \(\sin x>0\) : \(1\le\dfrac x{\sin x}\le\dfrac1{\cos x}\), soit \(\cos x\le\dfrac{\sin x}x\le1\) (inégalités strictes pour \(x\in]0;\frac\pi2[\)).

🔢 Étape 2 : \(\cos x\to1\) en \(0^+\) : théorème des gendarmes ; la fonction \(\dfrac{\sin x}x\) est paire : même limite à gauche.

✅ \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}x=1\) ✓.

Exercice 11

Limites trigonométriques et nombres dérivés

1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{2x}\), \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac x{\sin3x}\), \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{\sin4x}\), \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}x\), \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin2x}{\sin3x}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Limites usuelles : \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}x=1\) ; \(\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}x=1\) ; \(\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12\) ; \(\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}x=0\). Nombre dérivé : \(\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\). Pour un point \(a\neq0\) : poser \(h=x-a\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{\sin5x}{2x}=\dfrac52\cdot\dfrac{\sin5x}{5x}\to\dfrac52\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac x{\sin3x}=\dfrac13\cdot\dfrac{3x}{\sin3x}\to\dfrac13\).

🔢 Étape 3 : \(\dfrac{\sin5x}{\sin4x}=\dfrac54\cdot\dfrac{\sin5x/5x}{\sin4x/4x}\to\dfrac54\).

🔢 Étape 4 : \(\dfrac{\tan x}x=\dfrac{\sin x}x\cdot\dfrac1{\cos x}\to1\).

🔢 Étape 5 : \(\dfrac{\sin2x}{\sin3x}\to\dfrac23\).

✅ \(\dfrac52\) ; \(\dfrac13\) ; \(\dfrac54\) ; \(1\) ; \(\dfrac23\).

2) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{\cos\sqrt x-1}x\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan montre « \(x\to0^-\) » alors que \(\sqrt x\) n’est défini que pour \(x\ge0\) : j’ai pris \(x\to0^+\).

🔢 Avec \(u=\sqrt x\to0^+\) : \(\dfrac{\cos u-1}{u^2}=-\dfrac{1-\cos u}{u^2}\to-\dfrac12\).

✅ \(-\dfrac12\).

3) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi6}\dfrac{\sqrt3\sin x-\cos x}{x-\frac\pi6}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sqrt3\sin x-\cos x=2\left(\dfrac{\sqrt3}2\sin x-\dfrac12\cos x\right)=2\sin\left(x-\dfrac\pi6\right)\).

🔢 Étape 2 : Avec \(h=x-\frac\pi6\) : \(\dfrac{2\sin h}h\to2\).

✅ \(2\).

4) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi4}\dfrac{\tan x-1}{x-\frac\pi4}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi6}\dfrac{2\cos2x-1}{6x-\pi}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Nombre dérivé de \(\tan\) en \(\frac\pi4\) : \(1+\tan^2\frac\pi4=2\).

🔢 Étape 2 : \(f(x)=2\cos2x-1\), \(f\left(\frac\pi6\right)=0\), \(f'(x)=-4\sin2x\), \(f’\left(\frac\pi6\right)=-2\sqrt3\). Le dénominateur est \(6\left(x-\frac\pi6\right)\).

✅ \(2\) ; \(\dfrac{-2\sqrt3}6=-\dfrac{\sqrt3}3\).

5) Par la définition du nombre dérivé : \(\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{x-3}\), \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}x\), \(\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi2}\dfrac{\cos x}{x-\frac\pi2}\), \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt x-1}{x-1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)=\sqrt{x+6}\), \(f'(3)=\dfrac1{2\sqrt9}=\dfrac16\).

🔢 Étape 2 : \(\sin'(0)=\cos0=1\).

🔢 Étape 3 : \(\cos\frac\pi2=0\) et \(\cos’\left(\frac\pi2\right)=-\sin\frac\pi2=-1\).

🔢 Étape 4 : \(\sqrt{\ }'(1)=\dfrac1{2}\).

✅ \(\dfrac16\) ; \(1\) ; \(-1\) ; \(\dfrac12\).

Exercice 12

Encadrements abstraits

1) Pour tout \(x\ge1\), \(\dfrac2{x^2}\le f(x)\le\dfrac2x\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorèmes : si \(f\ge u\) et \(u\to+\infty\) alors \(f\to+\infty\) ; si \(f\le v\) et \(v\to-\infty\) alors \(f\to-\infty\) ; si \(|f-\ell|\le u\) et \(u\to0\) alors \(f\to\ell\) ; gendarmes : \(u\le f\le v\), \(u\) et \(v\) de même limite \(\ell\) \(\Rightarrow f\to\ell\). Astuce : \(|\sin|\le1\), \(|\cos|\le1\).

🔢 \(\dfrac2{x^2}\to0\) et \(\dfrac2x\to0\) : gendarmes.

✅ \(\lim_{+\infty}f=0\).

2) Pour tout \(x\ge1\), \(\dfrac2x\le f(x)-\dfrac32\le\dfrac3x\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac2x\to0\), \(\dfrac3x\to0\) donc \(f(x)-\dfrac32\to0\).

✅ \(\lim_{+\infty}f=\dfrac32\).

3) Peut-on conclure à propos de \(\lim_{+\infty}f\) et \(\lim_{-\infty}f\) si (a) \(f(x)\ge2x-3\) ; (b) \(f(x)\ge x^2-3\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : (a) \(2x-3\to+\infty\) en \(+\infty\) : \(f\to+\infty\). En \(-\infty\), \(2x-3\to-\infty\) : un minorant qui tend vers \(-\infty\) ne permet pas de conclure.

🔢 Étape 2 : (b) \(x^2-3\to+\infty\) aussi bien en \(+\infty\) qu’en \(-\infty\) : on conclut dans les deux cas.

✅ (a) \(\lim_{+\infty}f=+\infty\), rien en \(-\infty\) ; (b) \(\lim_{+\infty}f=\lim_{-\infty}f=+\infty\).

Exercice 13

Minoration ou majoration par une fonction de référence

1) \(f(x)=x-\sqrt x+4\) sur \([0;+\infty[\). Montrer que \(f(x)\ge3\sqrt x\) puis la limite en \(+\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorèmes : si \(f\ge u\) et \(u\to+\infty\) alors \(f\to+\infty\) ; si \(f\le v\) et \(v\to-\infty\) alors \(f\to-\infty\) ; si \(|f-\ell|\le u\) et \(u\to0\) alors \(f\to\ell\) ; gendarmes : \(u\le f\le v\), \(u\) et \(v\) de même limite \(\ell\) \(\Rightarrow f\to\ell\). Astuce : \(|\sin|\le1\), \(|\cos|\le1\).

🔢 Étape 1 : \(f(x)-3\sqrt x=x-4\sqrt x+4=(\sqrt x-2)^2\ge0\).

🔢 Étape 2 : \(3\sqrt x\to+\infty\).

✅ \(f(x)\ge3\sqrt x\) donc \(\lim_{+\infty}f=+\infty\).

2) \(f(x)=3x^2+5x+1\). Montrer que \(\forall x>0,\ 3x^2\le f(x)\) ; en déduire \(\lim_{+\infty}f\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-3x^2=5x+1>0\) pour \(x>0\).

✅ \(\lim_{+\infty}f=+\infty\).

3) \(f(x)=x+\sin x-1\) : \(\lim_{-\infty}f\). \(f(x)=2x+\sin x\) : encadrer \(f\) puis limites en \(\pm\infty\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin x\le1\) : \(x+\sin x-1\le x\to-\infty\) en \(-\infty\).

🔢 Étape 2 : \(2x-1\le2x+\sin x\le2x+1\) : en \(+\infty\), \(2x-1\to+\infty\) ; en \(-\infty\), \(2x+1\to-\infty\).

✅ \(\lim_{-\infty}(x+\sin x-1)=-\infty\) ; \(\lim_{+\infty}(2x+\sin x)=+\infty\), \(\lim_{-\infty}(2x+\sin x)=-\infty\).

Exercice 14

Comparaison avec des fonctions de référence

1) \(f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt x\) sur \([0;+\infty[\). Montrer que \(f(x)=\dfrac2{\sqrt{x+2}+\sqrt x}\) puis que \(0\le f(x)\le\dfrac2{\sqrt x}\) pour \(x>0\), puis \(\lim_{+\infty}f\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorèmes : si \(f\ge u\) et \(u\to+\infty\) alors \(f\to+\infty\) ; si \(f\le v\) et \(v\to-\infty\) alors \(f\to-\infty\) ; si \(|f-\ell|\le u\) et \(u\to0\) alors \(f\to\ell\) ; gendarmes : \(u\le f\le v\), \(u\) et \(v\) de même limite \(\ell\) \(\Rightarrow f\to\ell\). Astuce : \(|\sin|\le1\), \(|\cos|\le1\).

🔢 Étape 1 : Quantité conjuguée : \(f(x)=\dfrac{x+2-x}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}\).

🔢 Étape 2 : \(\sqrt{x+2}+\sqrt x\ge\sqrt x\), donc \(0\le f(x)\le\dfrac2{\sqrt x}\to0\).

✅ \(\lim_{+\infty}f=0\).

2) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x^2}}x\) en \(+\infty\) : \(x^2<1+x^2<(1+x)^2\) pour \(x>0\), encadrer \(f\) et conclure.

Correction détaillée

⚠️ Le scan lit « \(f(x)=\frac{\sqrt{1+x}}x\) » mais la question 1) porte sur \(1+x^2\) : j’ai traité \(\sqrt{1+x^2}/x\) (avec \(\sqrt{1+x}/x\) la limite serait 0).

🔢 Étape 1 : Racine (croissante) : \(x<\sqrt{1+x^2}<1+x\). Division par \(x>0\) : \(1<f(x)<1+\dfrac1x\).

🔢 Étape 2 : \(1+\dfrac1x\to1\).

✅ \(\lim_{+\infty}f=1\).

3) \(f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sqrt x}\) en \(+\infty\) ; \(f(x)=\dfrac{x\sin x}{x^2+1}\) en \(\pm\infty\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(0\le1+\cos x\le2\) donc \(0\le f(x)\le\dfrac2{\sqrt x}\to0\).

🔢 Étape 2 : \(|f(x)|\le\dfrac{|x|}{x^2+1}\le\dfrac{|x|}{x^2}=\dfrac1{|x|}\to0\).

✅ \(\lim_{+\infty}\dfrac{1+\cos x}{\sqrt x}=0\) ; \(\lim_{\pm\infty}\dfrac{x\sin x}{x^2+1}=0\).

4) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x^3}\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1+\sin x}{x^2(2+\cos x)}\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(1+\dfrac x{2+\sqrt{x^4+1}}\right)\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1+\sin x}{1+\sqrt x}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\left|\dfrac{\cos x}{x^3}\right|\le\dfrac1{x^3}\to0\).

🔢 Étape 2 : \(0\le1+\sin x\le2\) et \(2+\cos x\ge1\) : \(0\le f(x)\le\dfrac2{x^2}\to0\).

🔢 Étape 3 : \(\left|\dfrac x{2+\sqrt{x^4+1}}\right|\le\dfrac{|x|}{x^2}=\dfrac1{|x|}\to0\) donc la limite est \(1\).

🔢 Étape 4 : \(0\le\dfrac{1+\sin x}{1+\sqrt x}\le\dfrac2{1+\sqrt x}\to0\).

✅ \(0\) ; \(0\) ; \(1\) ; \(0\).

Exercice 15

Encadrement en un point (avec \(\sin\frac1x\), \(\cos\frac2x\))

1) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\dfrac2x=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(2+x^2\sin\dfrac1x\right)=2\) ; calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(x^2+x^4\right)\sin\dfrac1x\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\dfrac1x\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorèmes : si \(f\ge u\) et \(u\to+\infty\) alors \(f\to+\infty\) ; si \(f\le v\) et \(v\to-\infty\) alors \(f\to-\infty\) ; si \(|f-\ell|\le u\) et \(u\to0\) alors \(f\to\ell\) ; gendarmes : \(u\le f\le v\), \(u\) et \(v\) de même limite \(\ell\) \(\Rightarrow f\to\ell\). Astuce : \(|\sin|\le1\), \(|\cos|\le1\).

🔢 Étape 1 : \(\left|x^2\cos\frac2x\right|\le x^2\to0\).

🔢 Étape 2 : \(\left|x^2\sin\frac1x\right|\le x^2\to0\) donc \(2+x^2\sin\frac1x\to2\).

🔢 Étape 3 : \(\left|(x^2+x^4)\sin\frac1x\right|\le x^2+x^4\to0\).

✅ \(0\) ; \(2\) ; \(0\) ; \(0\).

2) Montrer que \(\left|\sqrt{2x+1}-3\right|\le\dfrac23|x-4|\) puis \(\displaystyle\lim_{x\to4}\sqrt{2x+1}=3\).

Correction détaillée

⚠️ Le sujet écrit « \(|f(x)-3|\le\frac23|x-4|\) » sans définir \(f\) ; la question b) montre \(f(x)=\sqrt{2x+1}\).

🔢 Étape 1 : \(\left|\sqrt{2x+1}-3\right|=\dfrac{|2x+1-9|}{\sqrt{2x+1}+3}=\dfrac{2|x-4|}{\sqrt{2x+1}+3}\le\dfrac{2|x-4|}3\) (dénominateur \(\ge3\)).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac23|x-4|\to0\).

✅ \(\lim_{x\to4}\sqrt{2x+1}=3\).

3) \(f(x)=\dfrac{2+\sin\frac1x}{x^2}\). Montrer que \(f(x)\ge\dfrac1{x^2}\) pour \(x\neq0\) et déduire \(\lim_{x\to0}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(\sin\frac1x\ge-1\) donc \(2+\sin\frac1x\ge1\) ; on divise par \(x^2>0\).

✅ \(\lim_{x\to0}f(x)=+\infty\) (car \(\dfrac1{x^2}\to+\infty\)).

Exercice 16

Asymptotes verticales et horizontales

1) Rechercher les asymptotes parallèles aux axes de \(f(x)=\dfrac{3x-1}x\), \(-\dfrac1{x^2}\), \(\dfrac1{x+2}\), \(\dfrac1{x^2-4}\), \(\dfrac{2x-1}{x^2-3x+2}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Asymptotes : \(\lim_{x\to a}f=\pm\infty\Rightarrow x=a\) asymptote verticale ; \(\lim_{\pm\infty}f=b\Rightarrow y=b\) asymptote horizontale ; \(\lim_{\pm\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0\Rightarrow y=ax+b\) asymptote oblique. Position : signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{3x-1}x\) : \(\lim_{0^\pm}=\mp\infty\) (numérateur \(\to-1\)), \(\lim_{\pm\infty}=3\) : \(x=0\) et \(y=3\).

🔢 Étape 2 : \(-\dfrac1{x^2}\) : \(\lim_0=-\infty\), \(\lim_{\pm\infty}=0\) : \(x=0\) et \(y=0\).

🔢 Étape 3 : \(\dfrac1{x+2}\) : \(x=-2\) et \(y=0\).

🔢 Étape 4 : \(\dfrac1{x^2-4}\) : \(x=2\), \(x=-2\) et \(y=0\).

🔢 Étape 5 : \(\dfrac{2x-1}{(x-1)(x-2)}\) : numérateur \(1\) en 1 et \(3\) en 2, non nul : \(x=1\), \(x=2\), et \(\lim_{\pm\infty}=0\) : \(y=0\).

✅ \(x=0,\ y=3\) ; \(x=0,\ y=0\) ; \(x=-2,\ y=0\) ; \(x=\pm2,\ y=0\) ; \(x=1,\ x=2,\ y=0\).

Exercice 17

Asymptote oblique (1)

1) \(f(x)=2x+1+\dfrac1{x^2}\). Étudier le comportement en \(0\), \(+\infty\), \(-\infty\), préciser les asymptotes et les positions relatives.

Correction détaillée

📘 Méthode : Asymptotes : \(\lim_{x\to a}f=\pm\infty\Rightarrow x=a\) asymptote verticale ; \(\lim_{\pm\infty}f=b\Rightarrow y=b\) asymptote horizontale ; \(\lim_{\pm\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0\Rightarrow y=ax+b\) asymptote oblique. Position : signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 Étape 1 : En 0 : \(\dfrac1{x^2}\to+\infty\) : \(\lim_0f=+\infty\), asymptote \(x=0\).

🔢 Étape 2 : En \(\pm\infty\) : \(f(x)\sim2x\to\pm\infty\) et \(f(x)-(2x+1)=\dfrac1{x^2}\to0\) : asymptote oblique \(\Delta:y=2x+1\).

🔢 Étape 3 : \(f(x)-(2x+1)=\dfrac1{x^2}>0\) : la courbe est au-dessus de \(\Delta\).

✅ Asymptotes \(x=0\) et \(y=2x+1\) ; \(C_f\) au-dessus de \(\Delta\) partout.

Exercice 18

Asymptote oblique (2) : division

1) \(f(x)=\dfrac{2x^2+3x-1}{x+2}\). Déterminer \(a,b,c\) tels que \(f(x)=ax+b+\dfrac c{x+2}\) pour \(x\neq-2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Asymptotes : \(\lim_{x\to a}f=\pm\infty\Rightarrow x=a\) asymptote verticale ; \(\lim_{\pm\infty}f=b\Rightarrow y=b\) asymptote horizontale ; \(\lim_{\pm\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0\Rightarrow y=ax+b\) asymptote oblique. Position : signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 Division euclidienne : \(2x^2+3x-1=(x+2)(2x-1)+1\).

✅ \(a=2\), \(b=-1\), \(c=1\).

2) Étudier le comportement de \(f\) en \(+\infty\) (limite, asymptote).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)\to+\infty\) ; \(f(x)-(2x-1)=\dfrac1{x+2}\to0\).

✅ \(\lim_{+\infty}f=+\infty\) ; asymptote oblique \(y=2x-1\), \(C_f\) au-dessus pour \(x>-2\).

Exercice 19

Asymptote oblique (3) : fonctions avec racine

1) Montrer que \(y=x\) est asymptote en \(+\infty\) à la courbe de \(f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Asymptotes : \(\lim_{x\to a}f=\pm\infty\Rightarrow x=a\) asymptote verticale ; \(\lim_{\pm\infty}f=b\Rightarrow y=b\) asymptote horizontale ; \(\lim_{\pm\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0\Rightarrow y=ax+b\) asymptote oblique. Position : signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 \(f(x)-x=\dfrac{x^3-x^3-x}{x^2+1}=-\dfrac x{x^2+1}\to0\).

✅ \(y=x\) est asymptote en \(+\infty\) (et en \(-\infty\)) ; \(C_f\) est en dessous pour \(x>0\), au-dessus pour \(x<0\).

2) Montrer que \(y=2x\) est asymptote en \(+\infty\) à la courbe de \(f(x)=x+\sqrt{x^2-1}\).

Correction détaillée

⚠️ Le sujet écrit « définie sur \(\mathbb R\) » ; en réalité \(\sqrt{x^2-1}\) exige \(|x|\ge1\) : \(D_f=]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[\).

🔢 \(f(x)-2x=\sqrt{x^2-1}-x=\dfrac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}\to0\).

✅ \(y=2x\) est asymptote en \(+\infty\) ; \(f(x)-2x<0\) : courbe en dessous.

Exercice 20

Courbe asymptote (parabole)

1) \(f(x)=\dfrac{x^3+3x^2-4x-20}{x+3}\). Ensemble de définition \(D\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Asymptotes : \(\lim_{x\to a}f=\pm\infty\Rightarrow x=a\) asymptote verticale ; \(\lim_{\pm\infty}f=b\Rightarrow y=b\) asymptote horizontale ; \(\lim_{\pm\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0\Rightarrow y=ax+b\) asymptote oblique. Position : signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 \(x+3\neq0\).

✅ \(D=\mathbb R\setminus\{-3\}\).

2) Déterminer \(a,b,c\) tels que \(f(x)=ax^2+b+\dfrac c{x+3}\).

Correction détaillée

🔢 \((x+3)(x^2-4)=x^3+3x^2-4x-12\) ; le numérateur vaut ce produit \(-8\).

✅ \(a=1\), \(b=-4\), \(c=-8\) : \(f(x)=x^2-4-\dfrac8{x+3}\).

3) Déterminer \(\lim_{\pm\infty}f\), \(\lim_{-3^+}f\), \(\lim_{-3^-}f\) et \(\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax^2+b)\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(\pm\infty\) : \(f(x)\sim x^2\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-3\) : numérateur \(\to-8\) ; \(-3^+\) : \(\dfrac{-8}{0^+}=-\infty\) ; \(-3^-\) : \(\dfrac{-8}{0^-}=+\infty\).

🔢 Étape 3 : \(f(x)-(x^2-4)=-\dfrac8{x+3}\to0\).

✅ \(+\infty\) en \(\pm\infty\) ; \(-\infty\) en \(-3^+\), \(+\infty\) en \(-3^-\) ; la parabole \(y=x^2-4\) est courbe asymptote.

4) \(g(x)=x^2-4\). Signe de \(f(x)-g(x)\) et positions relatives.

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-g(x)=-\dfrac8{x+3}\) : positif si \(x+3<0\), négatif si \(x+3>0\).

✅ \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\) pour \(x<-3\), en dessous pour \(x>-3\).

Exercice 21

Retrouver une fonction à partir de sa courbe

1) Cas 1 : parmi \(f_1=-\dfrac1{(x+1)(x+2)}\), \(f_2=\dfrac1{(x+1)(x-2)}\), \(f_3=-\dfrac1{(x+1)(x-2)}\), laquelle est représentée par une courbe de droites asymptotes \(x=-1\) et \(x=2\), avec la courbe au-dessus de l’axe entre les deux asymptotes et en dessous à l’extérieur ?

Correction détaillée

⚠️ Les courbes sont déduites de la description de la figure (asymptotes \(x=-1\), \(x=2\), branche supérieure entre les deux).

📘 Méthode : Asymptotes : \(\lim_{x\to a}f=\pm\infty\Rightarrow x=a\) asymptote verticale ; \(\lim_{\pm\infty}f=b\Rightarrow y=b\) asymptote horizontale ; \(\lim_{\pm\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0\Rightarrow y=ax+b\) asymptote oblique. Position : signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 Étape 1 : Asymptotes verticales en \(-1\) et \(2\) : on élimine \(f_1\) (pôles \(-1\), \(-2\)).

🔢 Étape 2 : Entre \(-1\) et \(2\), \((x+1)>0\) et \((x-2)<0\) : \((x+1)(x-2)<0\). \(f_2<0\) y est négatif (courbe en dessous) : élimine \(f_2\). \(f_3>0\) : cohérent.

🔢 Étape 3 : À l’extérieur, \((x+1)(x-2)>0\) donc \(f_3<0\) ✓.

✅ \(f_3\) est la fonction représentée.

2) Cas 2 : parmi \(g_1=\dfrac1{(x-2)^2}\), \(g_2=1-\dfrac1{(x+2)^2}\), \(g_3=-\dfrac1{(x+2)^2}\), laquelle admet une asymptote verticale \(x=-2\) et une asymptote horizontale \(y=1\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g_1\) : pôle en 2, limite 0 en \(\pm\infty\) : éliminée. \(g_3\) : pôle en \(-2\) mais limite 0 : éliminée.

🔢 Étape 2 : \(g_2\) : \(\lim_{\pm\infty}g_2=1\) et \(\lim_{-2}g_2=-\infty\).

✅ \(g_2\) est la fonction représentée.

Exercice 22

Lecture de limites sur graphique

1) Retrouver les limites de \(f\) à partir des trois graphiques donnés (asymptotes tracées).

Correction détaillée

⚠️ Les trois graphiques du sujet sont d’une résolution trop faible pour en lire les valeurs avec certitude (graduations illisibles) : je n’ai donné que la méthode, sans inventer de valeurs.

📘 Méthode : Asymptotes : \(\lim_{x\to a}f=\pm\infty\Rightarrow x=a\) asymptote verticale ; \(\lim_{\pm\infty}f=b\Rightarrow y=b\) asymptote horizontale ; \(\lim_{\pm\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0\Rightarrow y=ax+b\) asymptote oblique. Position : signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 Méthode : asymptote verticale \(x=a\) : lire si la courbe monte ou descend de chaque côté (\(\pm\infty\)) ; asymptote horizontale \(y=b\) : \(\lim=b\) du côté où la courbe s’en rapproche ; la position (au-dessus/en dessous) donne \(b^+\) ou \(b^-\).

✅ Application aux trois figures du sujet (courbes à asymptotes \(x=a\) et \(y=b\)).

Exercice 23

Calculatrice et limite en 0

1) \(f(x)=\dfrac{(50+x^{20})^2-2500}{x^{20}}\) pour \(x\neq0\). Compléter le tableau pour \(x=0{,}6;\ 0{,}5;\ 0{,}4;\ 0{,}3;\ 0{,}2;\ 0{,}1;\ 0{,}01\) (calculatrice).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On calcule \(f(x)\) : valeurs voisines de 100 (la calculatrice arrondit à \(100\) dès que \(x\le0{,}4\)).

🔢 Étape 2 : \(x=0{,}6\) : \(f\approx100{,}0000366\) ; \(x=0{,}5\) : \(100{,}00000095\) ; \(x=0{,}4\) : \(100{,}0000000011\) ; \(x\le0{,}3\) : \(100\) (à la précision de la machine).

✅ \(f(x)\approx100\) pour toutes ces valeurs.

2) Peut-on conjecturer la limite en 0 ? Développer \((50+x^{20})^2\), simplifier \(f(x)\) et calculer la limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Conjecture : \(\lim_0f=100\).

🔢 Étape 2 : \((50+x^{20})^2=2500+100x^{20}+x^{40}\) donc \(f(x)=\dfrac{100x^{20}+x^{40}}{x^{20}}=100+x^{20}\).

✅ \(f(x)=100+x^{20}\) et \(\lim_{x\to0}f(x)=100\) (la calculatrice peut être trompée par les arrondis, ici elle ne l’est pas).

Exercice 24

Vrai ou faux, paramètres et formes indéterminées

1) Vrai ou faux : si \(f\) est strictement croissante et positive sur \([0;+\infty[\), alors \(\lim_{+\infty}f=+\infty\).

Correction détaillée

🔢 Contre-exemple : \(f(x)=2-\dfrac1{x+1}\) : croissante, \(f(0)=1>0\), \(f\to2\).

✅ Faux.

2) Vrai ou faux : si \(\lim_{+\infty}f=0\) alors, pour \(x\) assez grand, tous les \(f(x)\) sont de même signe.

Correction détaillée

🔢 Contre-exemple : \(f(x)=\dfrac{\sin x}x\to0\) mais change de signe indéfiniment.

✅ Faux.

3) Vrai ou faux : si \(\lim_{+\infty}f=-1\) alors, pour \(x\) assez grand, tous les \(f(x)\) sont de même signe.

Correction détaillée

🔢 Définition avec \(\varepsilon=\dfrac12\) : pour \(x\) assez grand, \(f(x)\in\left]-\dfrac32;-\dfrac12\right[\), donc \(f(x)<0\).

✅ Vrai (\(f(x)<0\) pour \(x\) assez grand).

4) \(f(x)=ax+\dfrac2{x-b}\). Déterminer \(a\) et \(b\) sachant que \(\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty\) et \(\lim_{x\to5}f(x)=11\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pôle en \(x=b\) ; \(\lim_{3^+}f=+\infty\) exige \(x-b\to0^+\) quand \(x\to3^+\), donc \(b=3\).

🔢 Étape 2 : \(f(5)=5a+\dfrac22=5a+1=11\Rightarrow a=2\).

✅ \(a=2\), \(b=3\) : \(f(x)=2x+\dfrac2{x-3}\).

5) Trouver deux fonctions \(f\) et \(g\) de limite \(+\infty\) en \(+\infty\) telles que (1) \(\lim(f-g)=1\) ; (2) \(\lim\dfrac fg=7\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : (1) \(f(x)=x+1\), \(g(x)=x\) : \(f-g=1\).

🔢 Étape 2 : (2) \(f(x)=7x\), \(g(x)=x\) : \(\dfrac fg=7\).

✅ Exemples : (1) \(f=x+1,\ g=x\) ; (2) \(f=7x,\ g=x\) (forme indéterminée \(\infty-\infty\) ou \(\frac\infty\infty\) : tout est possible).

Exercices corrigés sur les limites d’une fonction 1ère Bac

Limites d’une fonction · Série de synthèse 1ère Bac