Cette série d’exercices corrigés de dérivation pour la 1ère Bac Sc Ex travaille le nombre dérivé, la tangente et les variations, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.
Exercices corrigés de dérivation 1ère Bac
La dérivation · Série de synthèse 1ère Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
Nombre dérivé par la définition
1) On considère \(f(x)=x^2+x-3\) définie sur \(\mathbb R\). Justifier que \(f\) est dérivable en \(-2\) et préciser \(f'(-2)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Définition : \(f\) est dérivable en \(x_0\) si \(\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(x_0)\). Dérivabilité à droite / à gauche : limites en \(x_0^+\) / \(x_0^-\). \(f\) est dérivable en \(x_0\) \(\iff\) elle l’est à droite et à gauche avec \(f’_d(x_0)=f’_g(x_0)\). Si la limite est \(\pm\infty\) : non dérivable, demi-tangente verticale ; si \(f’_d\neq f’_g\) (finis) : point anguleux.
🔢 Étape 1 : \(f(-2)=4-2-3=-1\) et \(f(-2+h)=4-4h+h^2-2+h-3=-1-3h+h^2\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}h=\dfrac{-3h+h^2}h=-3+h\xrightarrow[h\to0]{}-3\) (limite finie).
✅ \(f\) est dérivable en \(-2\) et \(f'(-2)=-3\).
2) Calculer le nombre dérivé de \(f(x)=x^3+x\) en \(a=1\) en utilisant la deuxième formulation de la dérivation.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(1)=2\) et \(f(1+h)=1+3h+3h^2+h^3+1+h=2+4h+3h^2+h^3\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}h=4+3h+h^2\to4\).
✅ \(f'(1)=4\).
3) En utilisant la définition, calculer le nombre dérivé de \(f(x)=3x^2-2x+5\) en \(x_0=2\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{3x^2-2x+5-13}{x-2}=\dfrac{3(x^2-4)-2(x-2)}{x-2}=3(x+2)-2\to10\).
✅ \(f'(2)=10\).
4) Même question avec \(f(x)=-\dfrac3x\) en \(x_0=-2\).
Correction détaillée
🔢 \(f(-2)=\dfrac32\) ; \(\dfrac{f(x)-f(-2)}{x+2}=\dfrac{-\frac3x-\frac32}{x+2}=\dfrac{-3(2+x)}{2x(x+2)}=-\dfrac3{2x}\to\dfrac34\).
✅ \(f'(-2)=\dfrac34\).
5) Même question avec \(f(x)=\sqrt x+\dfrac x2\) en \(x_0=4\).
Correction détaillée
🔢 \(f(4)=4\) ; \(\dfrac{f(x)-4}{x-4}=\dfrac{\sqrt x-2}{x-4}+\dfrac12=\dfrac1{\sqrt x+2}+\dfrac12\to\dfrac14+\dfrac12\).
✅ \(f'(4)=\dfrac34\).
Exercice 2
Valeur absolue et points anguleux
1) Étudier la dérivabilité de \(f(x)=x^2-|x|\) en \(x_0=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Définition : \(f\) est dérivable en \(x_0\) si \(\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(x_0)\). Dérivabilité à droite / à gauche : limites en \(x_0^+\) / \(x_0^-\). \(f\) est dérivable en \(x_0\) \(\iff\) elle l’est à droite et à gauche avec \(f’_d(x_0)=f’_g(x_0)\). Si la limite est \(\pm\infty\) : non dérivable, demi-tangente verticale ; si \(f’_d\neq f’_g\) (finis) : point anguleux.
🔢 Étape 1 : \(f(0)=0\) et pour \(x\neq0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=x-\dfrac{|x|}x\).
🔢 Étape 2 : À droite (\(x>0\)) : \(x-1\to-1\). À gauche (\(x<0\)) : \(x+1\to1\).
✅ \(f’_d(0)=-1\neq f’_g(0)=1\) : \(f\) n’est pas dérivable en 0 (point anguleux, deux demi-tangentes de pentes \(-1\) et \(1\)).
2) Étudier la dérivabilité de \(f(x)=x^2+|x-1|\) en \(x_0=1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(1)=1\).
🔢 Étape 2 : À droite (\(x>1\)) : \(\dfrac{x^2+x-1-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2\to3\).
🔢 Étape 3 : À gauche (\(x<1\)) : \(\dfrac{x^2+1-x-1}{x-1}=\dfrac{x(x-1)}{x-1}=x\to1\).
✅ \(f’_d(1)=3\neq f’_g(1)=1\) : \(f\) n’est pas dérivable en 1 (point anguleux).
3) Soit \(f(x)=|x^2-1|\). Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(x_0=1\) et donner une interprétation géométrique.
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=0\). Pour \(x>1\), \(x^2-1>0\) donc \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\to2\).
✅ \(f\) est dérivable à droite en 1, \(f’_d(1)=2\) : la courbe admet au point \((1,0)\) une demi-tangente à droite de pente 2.
4) Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(x_0=1\) et donner une interprétation géométrique.
Correction détaillée
🔢 Pour \(x<1\) (proche de 1), \(x^2-1<0\) donc \(f(x)=1-x^2\) et \(\dfrac{f(x)-0}{x-1}=\dfrac{-(x-1)(x+1)}{x-1}=-(x+1)\to-2\).
✅ \(f’_g(1)=-2\) : demi-tangente à gauche de pente \(-2\).
5) \(f\) est-elle dérivable en \(x_0=1\) ? Interpréter.
Correction détaillée
🔢 \(f’_d(1)=2\neq-2=f’_g(1)\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable en 1 : point anguleux en \((1,0)\).
6) Donner les équations des demi-tangentes à droite et à gauche à la courbe de \(f\) en \(x_0=1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Demi-tangente droite : \(y=f(1)+f’_d(1)(x-1)=2(x-1)\), pour \(x\ge1\).
🔢 Étape 2 : Demi-tangente gauche : \(y=-2(x-1)\), pour \(x\le1\).
✅ À droite : \(y=2x-2\) (\(x\ge1\)) ; à gauche : \(y=-2x+2\) (\(x\le1\)).
Exercice 3
Fonction définie par morceaux (1)
1) Soit \(f(x)=\begin{cases}3x^2+x&\text{si }x<0\\-2x^2+3x&\text{si }x\ge0\end{cases}\). Calculer \(\lim_{x\to0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}x\) et \(\lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}x\). Que peut-on conclure ?
Correction détaillée
⚠️ Le sujet écrit « \(=3\) » pour la limite en \(0^-\) et « \(=1\) » pour la limite en \(0^+\) ; le calcul donne l’inverse (1 à gauche, 3 à droite). J’ai donné les valeurs calculées (la conclusion « non dérivable » est la même).
📘 Méthode : Définition : \(f\) est dérivable en \(x_0\) si \(\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(x_0)\). Dérivabilité à droite / à gauche : limites en \(x_0^+\) / \(x_0^-\). \(f\) est dérivable en \(x_0\) \(\iff\) elle l’est à droite et à gauche avec \(f’_d(x_0)=f’_g(x_0)\). Si la limite est \(\pm\infty\) : non dérivable, demi-tangente verticale ; si \(f’_d\neq f’_g\) (finis) : point anguleux.
🔢 Étape 1 : \(f(0)=0\).
🔢 Étape 2 : À gauche : \(\dfrac{3x^2+x}x=3x+1\to1\).
🔢 Étape 3 : À droite : \(\dfrac{-2x^2+3x}x=-2x+3\to3\).
✅ \(f’_g(0)=1\) et \(f’_d(0)=3\) : \(f\) n’est pas dérivable en 0 (point anguleux).
2) Montrer que \(f\) est dérivable en \(a=-2\).
Correction détaillée
🔢 Au voisinage de \(-2\), \(f(x)=3x^2+x\) polynôme : \(f'(x)=6x+1\).
✅ \(f\) est dérivable en \(-2\) et \(f'(-2)=-11\).
3) \(f\) est-elle dérivable en 0 ?
Correction détaillée
🔢 Voir 1) : \(f’_g(0)\neq f’_d(0)\).
✅ Non.
Exercice 4
Fonction définie par morceaux (2)
1) Soit \(f(x)=\begin{cases}\sqrt x&\text{si }x\ge1\\\dfrac14x^2+\dfrac34&\text{si }x<1\end{cases}\). Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0=1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Définition : \(f\) est dérivable en \(x_0\) si \(\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(x_0)\). Dérivabilité à droite / à gauche : limites en \(x_0^+\) / \(x_0^-\). \(f\) est dérivable en \(x_0\) \(\iff\) elle l’est à droite et à gauche avec \(f’_d(x_0)=f’_g(x_0)\). Si la limite est \(\pm\infty\) : non dérivable, demi-tangente verticale ; si \(f’_d\neq f’_g\) (finis) : point anguleux.
🔢 Étape 1 : \(f(1)=1\) (et \(\dfrac14+\dfrac34=1\) : \(f\) est continue en 1).
🔢 Étape 2 : À droite : \(\dfrac{\sqrt x-1}{x-1}=\dfrac1{\sqrt x+1}\to\dfrac12\).
🔢 Étape 3 : À gauche : \(\dfrac{\frac14x^2+\frac34-1}{x-1}=\dfrac{\frac14(x^2-1)}{x-1}=\dfrac{x+1}4\to\dfrac12\).
✅ \(f’_d(1)=f’_g(1)=\dfrac12\) : \(f\) est dérivable en 1 et \(f'(1)=\dfrac12\).
2) Soit \(f(x)=\begin{cases}\dfrac x{x-1}&\text{si }x\le0\\-\dfrac12x^2&\text{si }x>0\end{cases}\). Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(0)=0\).
🔢 Étape 2 : À gauche : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac1{x-1}\to-1\).
🔢 Étape 3 : À droite : \(\dfrac{f(x)}x=-\dfrac x2\to0\).
✅ \(f’_g(0)=-1\neq f’_d(0)=0\) : \(f\) n’est pas dérivable en 0.
Exercice 5
Valeur absolue dans un polynôme
1) Soit \(f(x)=|x^2-2x-3|+2x\). Écrire \(f(x)\) sans valeur absolue.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\) est \(\ge0\) pour \(x\le-1\) ou \(x\ge3\), \(<0\) sur \(]-1;3[\).
🔢 Étape 2 : Si \(x\le-1\) ou \(x\ge3\) : \(f(x)=x^2-2x-3+2x=x^2-3\).
🔢 Étape 3 : Si \(-1<x<3\) : \(f(x)=-x^2+2x+3+2x=-x^2+4x+3\).
✅ \(f(x)=x^2-3\) sur \(]-\infty;-1]\cup[3;+\infty[\) et \(f(x)=-x^2+4x+3\) sur \(]-1;3[\).
2) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche de \(-1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(-1)=1-3=-2\).
🔢 Étape 2 : À gauche : \(\dfrac{x^2-3+2}{x+1}=\dfrac{x^2-1}{x+1}=x-1\to-2\).
🔢 Étape 3 : À droite : \(\dfrac{-x^2+4x+3+2}{x+1}=\dfrac{-(x-5)(x+1)}{x+1}=5-x\to6\).
✅ \(f’_g(-1)=-2\) et \(f’_d(-1)=6\).
3) \(f\) est-elle dérivable en \(-1\) ?
Correction détaillée
🔢 \(f’_g(-1)\neq f’_d(-1)\).
✅ Non : point anguleux en \((-1,-2)\).
Exercice 6
Dérivabilité avec la tangente
1) Soit \(f\) définie sur \(]-\pi;\pi[\) par \(f(x)=\dfrac{x^2}{\tan\frac x2}\) si \(x\neq0\) et \(f(0)=0\). Étudier la dérivabilité de \(f\) en 0.
Correction détaillée
📘 Méthode : Définition : \(f\) est dérivable en \(x_0\) si \(\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(x_0)\). Dérivabilité à droite / à gauche : limites en \(x_0^+\) / \(x_0^-\). \(f\) est dérivable en \(x_0\) \(\iff\) elle l’est à droite et à gauche avec \(f’_d(x_0)=f’_g(x_0)\). Si la limite est \(\pm\infty\) : non dérivable, demi-tangente verticale ; si \(f’_d\neq f’_g\) (finis) : point anguleux.
🔢 Étape 1 : Pour \(x\neq0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=\dfrac x{\tan\frac x2}=2\cdot\dfrac{x/2}{\tan(x/2)}\).
🔢 Étape 2 : Comme \(\lim_{t\to0}\dfrac{\tan t}t=1\), on obtient \(2\times1=2\).
✅ \(f\) est dérivable en 0 et \(f'(0)=2\).
2) En déduire une valeur approchée de \(f(10^{-3})\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Approximation affine : si \(f\) est dérivable en \(a\), \(f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)\) pour \(h\) proche de 0.
🔢 Approximation affine : \(f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)\) pour \(h\) petit. Avec \(a=0\), \(h=10^{-3}\) : \(f(10^{-3})\approx0+2\times10^{-3}\).
✅ \(f(10^{-3})\approx2\times10^{-3}=0{,}002\).
Exercice 7
Racines : demi-tangentes et tangente verticale
1) Soit \(f(x)=(1+x)\sqrt{1-x^2}\) si \(0\le x\le1\) et \(f(x)=\sqrt{x^3-x}\) si \(x>1\). Déterminer le domaine de définition de \(f\).
Correction détaillée
⚠️ Le sujet ne précise pas \(f\) pour \(x<0\) : on ne considère que les deux morceaux donnés, donc en 0 seule la dérivabilité à droite a un sens.
🔢 Étape 1 : Sur \([0;1]\) : \(1-x^2\ge0\), donc \(f\) est définie.
🔢 Étape 2 : Pour \(x>1\) : \(x^3-x=x(x-1)(x+1)>0\), donc \(f\) est définie.
✅ \(D_f=[0;+\infty[\).
2) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(x_0=0\) et donner une interprétation géométrique.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(0)=1\). Pour \(x>0\) petit : \(\dfrac{f(x)-1}x=\dfrac{\sqrt{1-x^2}-1}x+\sqrt{1-x^2}\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{\sqrt{1-x^2}-1}x=\dfrac{-x^2}{x\left(\sqrt{1-x^2}+1\right)}=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}+1}\to0\) et \(\sqrt{1-x^2}\to1\).
✅ \(f’_d(0)=1\) : demi-tangente à droite en \(A(0,1)\) de pente 1 (\(y=x+1\)).
3) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche en \(x_0=1\) et donner une interprétation géométrique.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(1)=0\).
🔢 Étape 2 : À droite (\(x>1\)) : \(\dfrac{\sqrt{x(x-1)(x+1)}}{x-1}=\dfrac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt{x-1}}\to+\infty\).
🔢 Étape 3 : À gauche (\(x<1\)) : \(\dfrac{(1+x)\sqrt{(1-x)(1+x)}}{x-1}=-\dfrac{(1+x)\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}\to-\infty\).
✅ Limites infinies : \(f\) n’est pas dérivable en 1 ; la courbe admet en \((1,0)\) une tangente verticale (demi-tangentes verticales : vers le haut à droite, vers le bas à gauche, allure de \(y=\sqrt{|x-1|}\)).
Exercice 8
Fonction trigonométrique et valeur absolue
1) Soit \(f\) définie sur \(]-\pi;\pi[\) par \(f(x)=\dfrac{2(\cos x-1)}{\sin x}\) si \(0<x<\pi\) et \(f(x)=\dfrac{x|x+1|}{x-1}\) si \(-\pi<x\le0\). Montrer que \(f\) est dérivable en \(x_0=0\) et donner l’équation de la tangente en \(x_0=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Définition : \(f\) est dérivable en \(x_0\) si \(\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(x_0)\). Dérivabilité à droite / à gauche : limites en \(x_0^+\) / \(x_0^-\). \(f\) est dérivable en \(x_0\) \(\iff\) elle l’est à droite et à gauche avec \(f’_d(x_0)=f’_g(x_0)\). Si la limite est \(\pm\infty\) : non dérivable, demi-tangente verticale ; si \(f’_d\neq f’_g\) (finis) : point anguleux.
🔢 Étape 1 : \(f(0)=\dfrac{0\cdot1}{-1}=0\).
🔢 Étape 2 : À droite (\(0<x<\pi\)) : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{2(\cos x-1)}{x\sin x}=2\cdot\dfrac{\cos x-1}{x^2}\cdot\dfrac x{\sin x}\to2\times\left(-\dfrac12\right)\times1=-1\).
🔢 Étape 3 : À gauche (\(x<0\), \(x+1>0\)) : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{x+1}{x-1}\to-1\).
✅ \(f’_g(0)=f’_d(0)=-1\) : \(f\) est dérivable en 0, \(f'(0)=-1\), tangente \(T:y=-x\).
2)a) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0=-1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(-1)=0\). Pour \(x\) proche de \(-1\) : \(\dfrac{f(x)}{x+1}=\dfrac{x|x+1|}{(x-1)(x+1)}\).
🔢 Étape 2 : À droite (\(x>-1\)) : \(\dfrac x{x-1}\to\dfrac{-1}{-2}=\dfrac12\). À gauche (\(x<-1\)) : \(-\dfrac x{x-1}\to-\dfrac12\).
✅ \(f’_d(-1)=\dfrac12\neq f’_g(-1)=-\dfrac12\) : \(f\) n’est pas dérivable en \(-1\).
2)b) Donner les équations des demi-tangentes à la courbe de \(f\) en \(x_0=-1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Demi-tangente à droite : \(y=\dfrac12(x+1)\) (\(x\ge-1\)).
🔢 Étape 2 : Demi-tangente à gauche : \(y=-\dfrac12(x+1)\) (\(x\le-1\)).
✅ À droite \(y=\dfrac12x+\dfrac12\) ; à gauche \(y=-\dfrac12x-\dfrac12\).
Exercice 9
Dérivabilité sur \(\mathbb R\)
1) Soit \(f(x)=2x^2+x\). Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Soit \(a\in\mathbb R\) : \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\dfrac{2(x^2-a^2)+(x-a)}{x-a}=2(x+a)+1\to4a+1\).
✅ \(f\) est dérivable en tout réel \(a\) : sur \(\mathbb R\), avec \(f'(x)=4x+1\).
Exercice 10
Équation de la tangente
1) Déterminer la fonction affine tangente en \(-3\) à la fonction \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Tangente en \(x_0\) (si \(f\) dérivable en \(x_0\)) : \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\). Approximation affine : \(f(x_0+h)\approx f(x_0)+hf'(x_0)\).
🔢 Étape 1 : \(f(-3)=\dfrac{-6}{10}=-\dfrac35\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{2(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\) donc \(f'(-3)=\dfrac{-16}{100}=-\dfrac4{25}\).
🔢 Étape 3 : \(y=-\dfrac4{25}(x+3)-\dfrac35=-\dfrac4{25}x-\dfrac{27}{25}\).
✅ \(y=-\dfrac4{25}x-\dfrac{27}{25}\).
2) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(f(x)=\sin x\) au point \(A(0,f(0))\).
Correction détaillée
🔢 \(f(0)=0\), \(f'(x)=\cos x\), \(f'(0)=1\).
✅ \(y=x\).
3) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(f(x)=2x^2+x-1\) en \(x_0=1\).
Correction détaillée
⚠️ Dans le scan du second sujet, la fonction du 1) est lue \(f(x)=2x^2+x-1\) (le signe devant \(x\) est peu net).
🔢 \(f(1)=2\), \(f'(x)=4x+1\), \(f'(1)=5\) : \(y=5(x-1)+2\).
✅ \(y=5x-3\).
4) Même question avec \(f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}\) en \(x_0=1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=\dfrac23\), \(f'(x)=\dfrac{(x+2)-(x+1)}{(x+2)^2}=\dfrac1{(x+2)^2}\), \(f'(1)=\dfrac19\) : \(y=\dfrac19(x-1)+\dfrac23\).
✅ \(y=\dfrac19x+\dfrac59\).
5) Même question avec \(f(x)=\cos(2x)\) en \(x_0=\dfrac\pi4\).
Correction détaillée
🔢 \(f\left(\dfrac\pi4\right)=\cos\dfrac\pi2=0\), \(f'(x)=-2\sin2x\), \(f’\left(\dfrac\pi4\right)=-2\) : \(y=-2\left(x-\dfrac\pi4\right)\).
✅ \(y=-2x+\dfrac\pi2\).
Exercice 11
Approximation affine
1) Donner une approximation de \(\sin3\).
Correction détaillée
⚠️ Le sujet ne précise pas le point d’approximation ; j’ai pris \(a=\pi\) (le plus proche de 3 où les valeurs de \(\sin\) et \(\cos\) sont connues).
📘 Méthode : Tangente en \(x_0\) (si \(f\) dérivable en \(x_0\)) : \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\). Approximation affine : \(f(x_0+h)\approx f(x_0)+hf'(x_0)\).
🔢 Étape 1 : On choisit \(a=\pi\) proche de 3 : \(f(x)=\sin x\), \(f(\pi)=0\), \(f'(\pi)=\cos\pi=-1\).
🔢 Étape 2 : \(h=3-\pi\) : \(\sin3\approx f(\pi)+h\,f'(\pi)=-(3-\pi)=\pi-3\).
✅ \(\sin3\approx\pi-3\approx0{,}1416\) (valeur exacte \(0{,}14112\ldots\)).
Exercice 12
Dérivées de \(\sin\) et de \(1/x\) par la définition
1) Déterminer la fonction dérivée de la fonction \(\sin\) sur \(\mathbb R\) (par la définition).
Correction détaillée
📘 Méthode : Formules : \((x^n)’=nx^{n-1}\) ; \((\sqrt x)’=\dfrac1{2\sqrt x}\) ; \(\left(\dfrac1x\right)’=-\dfrac1{x^2}\) ; \((\sin x)’=\cos x\) ; \((\cos x)’=-\sin x\) ; \((\sin(ax+b))’=a\cos(ax+b)\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\) ; \((u^n)’=nu’u^{n-1}\) ; \((\sqrt u)’=\dfrac{u’}{2\sqrt u}\).
🔢 Étape 1 : Soit \(a\in\mathbb R\) : \(\dfrac{\sin x-\sin a}{x-a}=\dfrac{2\sin\frac{x-a}2\cos\frac{x+a}2}{x-a}=\dfrac{\sin\frac{x-a}2}{\frac{x-a}2}\cos\dfrac{x+a}2\).
🔢 Étape 2 : Quand \(x\to a\) : \(\dfrac{\sin t}t\to1\) et \(\cos\dfrac{x+a}2\to\cos a\).
✅ \(\sin'(a)=\cos a\) : \((\sin x)’=\cos x\) sur \(\mathbb R\).
2) Déterminer la fonction dérivée de \(x\mapsto\dfrac1x\) sur \(\mathbb R^*_+\) et sur \(\mathbb R^*_-\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(a\neq0\) : \(\dfrac{\frac1x-\frac1a}{x-a}=\dfrac{a-x}{ax(x-a)}=-\dfrac1{ax}\to-\dfrac1{a^2}\).
✅ \(\left(\dfrac1x\right)’=-\dfrac1{x^2}\) sur \(\mathbb R^*_+\) et sur \(\mathbb R^*_-\).
Exercice 13
Dérivées usuelles (1)
1) Déterminer la fonction dérivée de \(f(x)=11\) ; \(f(x)=7x+15\) ; \(f(x)=x^3\) ; \(f(x)=\sin(5x-1)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Formules : \((x^n)’=nx^{n-1}\) ; \((\sqrt x)’=\dfrac1{2\sqrt x}\) ; \(\left(\dfrac1x\right)’=-\dfrac1{x^2}\) ; \((\sin x)’=\cos x\) ; \((\cos x)’=-\sin x\) ; \((\sin(ax+b))’=a\cos(ax+b)\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\) ; \((u^n)’=nu’u^{n-1}\) ; \((\sqrt u)’=\dfrac{u’}{2\sqrt u}\).
🔢 Constante : \(0\) ; \(7\) ; \(3x^2\) ; \(5\cos(5x-1)\).
✅ \(0\) ; \(7\) ; \(3x^2\) ; \(5\cos(5x-1)\).
2) Déterminer la fonction dérivée de \(f(x)=x^2+7x+15-\dfrac1x+\sqrt x\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) dérivable sur \(\mathbb R^*_+\) : \(f'(x)=2x+7+\dfrac1{x^2}+\dfrac1{2\sqrt x}\).
✅ \(f'(x)=2x+7+\dfrac1{x^2}+\dfrac1{2\sqrt x}\) sur \(]0;+\infty[\).
3) Déterminer la fonction dérivée de \(f(x)=(5x^2+1)(3x-1)\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=10x(3x-1)+3(5x^2+1)=30x^2-10x+15x^2+3\).
✅ \(f'(x)=45x^2-10x+3\).
4) Déterminer la fonction dérivée de \(f(x)=(3x+4)^3\).
Correction détaillée
🔢 \((u^3)’=3u’u^2\) avec \(u=3x+4\).
✅ \(f'(x)=9(3x+4)^2\).
5) Déterminer la fonction dérivée de \(f(x)=\dfrac1{\sin x}\).
Correction détaillée
🔢 \(\left(\dfrac1v\right)’=-\dfrac{v’}{v^2}\) avec \(v=\sin x\), pour \(\sin x\neq0\).
✅ \(f'(x)=-\dfrac{\cos x}{\sin^2x}\) pour \(x\neq k\pi\).
6) Déterminer la fonction dérivée de \(f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{3(x+2)-(3x-1)}{(x+2)^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac7{(x+2)^2}\) pour \(x\neq-2\).
7) Déterminer la fonction dérivée de \(f(x)=\sqrt{x^2+8x}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{2x+8}{2\sqrt{x^2+8x}}\), sur le domaine où \(x^2+8x>0\), c’est-à-dire \(x(x+8)>0\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{x+4}{\sqrt{x^2+8x}}\) sur \(]-\infty;-8[\cup]0;+\infty[\).
Exercice 14
Dérivées usuelles (2)
1) Calculer la fonction dérivée de \(f(x)=4x^4-\dfrac13x^3-x+1\) ; \(f(x)=\dfrac3x\) ; \(f(x)=4\sqrt x-1\) ; \(f(x)=\cos2x+3\sin3x\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Formules : \((x^n)’=nx^{n-1}\) ; \((\sqrt x)’=\dfrac1{2\sqrt x}\) ; \(\left(\dfrac1x\right)’=-\dfrac1{x^2}\) ; \((\sin x)’=\cos x\) ; \((\cos x)’=-\sin x\) ; \((\sin(ax+b))’=a\cos(ax+b)\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\) ; \((u^n)’=nu’u^{n-1}\) ; \((\sqrt u)’=\dfrac{u’}{2\sqrt u}\).
🔢 \(16x^3-x^2-1\) ; \(-\dfrac3{x^2}\) (\(x\neq0\)) ; \(\dfrac4{2\sqrt x}=\dfrac2{\sqrt x}\) (\(x>0\)) ; \(-2\sin2x+9\cos3x\).
✅ \(16x^3-x^2-1\) ; \(-\dfrac3{x^2}\) ; \(\dfrac2{\sqrt x}\) ; \(-2\sin2x+9\cos3x\).
2) Calculer la fonction dérivée de \(f(x)=(3x^2+2)(7x+1)\) ; \(f(x)=\dfrac1{5x+7}\) ; \(f(x)=\dfrac{7x}{x^2+1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(6x(7x+1)+7(3x^2+2)=63x^2+6x+14\).
🔢 Étape 2 : \(-\dfrac5{(5x+7)^2}\).
🔢 Étape 3 : \(\dfrac{7(x^2+1)-7x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{7(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\).
✅ \(63x^2+6x+14\) ; \(-\dfrac5{(5x+7)^2}\) ; \(\dfrac{7(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\).
3) Calculer la fonction dérivée de \(f(x)=\dfrac{\sqrt{2x^2+1}}{x^2+1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\left(\sqrt{2x^2+1}\right)’=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}(x^2+1)-\sqrt{2x^2+1}\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2x\left[(x^2+1)-(2x^2+1)\right]}{\sqrt{2x^2+1}(x^2+1)^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{-2x^3}{\sqrt{2x^2+1}\,(x^2+1)^2}\).
4) Calculer la fonction dérivée de \(f(x)=\dfrac{\sin2x}{\cos3x+1}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{2\cos2x(\cos3x+1)-\sin2x\cdot(-3\sin3x)}{(\cos3x+1)^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2\cos2x(\cos3x+1)+3\sin2x\sin3x}{(\cos3x+1)^2}\) pour \(\cos3x\neq-1\).
Exercice 15
Dérivées usuelles (3)
1) Déterminer \(f'(x)\) pour \(f(x)=\dfrac x{x^2+1}\) et \(f(x)=\dfrac1{(2x+1)^5}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Formules : \((x^n)’=nx^{n-1}\) ; \((\sqrt x)’=\dfrac1{2\sqrt x}\) ; \(\left(\dfrac1x\right)’=-\dfrac1{x^2}\) ; \((\sin x)’=\cos x\) ; \((\cos x)’=-\sin x\) ; \((\sin(ax+b))’=a\cos(ax+b)\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\) ; \((u^n)’=nu’u^{n-1}\) ; \((\sqrt u)’=\dfrac{u’}{2\sqrt u}\).
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\).
🔢 Étape 2 : \(f=(2x+1)^{-5}\) : \(f’=-5\cdot2(2x+1)^{-6}\).
✅ \(\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\) ; \(-\dfrac{10}{(2x+1)^6}\).
2) Déterminer \(f'(x)\) pour \(f(x)=(5x^3-3)^4\) et \(f(x)=\sqrt{2x^2-6x+4}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(4(5x^3-3)^3\cdot15x^2\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{4x-6}{2\sqrt{2x^2-6x+4}}\), pour \(2x^2-6x+4=2(x-1)(x-2)>0\).
✅ \(60x^2(5x^3-3)^3\) ; \(\dfrac{2x-3}{\sqrt{2x^2-6x+4}}\) sur \(]-\infty;1[\cup]2;+\infty[\).
3) Déterminer \(f'(x)\) pour \(f(x)=\dfrac{1-\sqrt x}{1+\sqrt x}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{-\frac1{2\sqrt x}(1+\sqrt x)-(1-\sqrt x)\frac1{2\sqrt x}}{(1+\sqrt x)^2}=\dfrac{-(1+\sqrt x)-(1-\sqrt x)}{2\sqrt x(1+\sqrt x)^2}\).
✅ \(f'(x)=-\dfrac1{\sqrt x\,(1+\sqrt x)^2}\) pour \(x>0\).
4) Déterminer \(f'(x)\) pour \(f(x)=x+\dfrac{x^2}{x-1}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1+\dfrac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)^2+x^2-2x}{(x-1)^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2x^2-4x+1}{(x-1)^2}\), \(x\neq1\).
5) Déterminer \(f'(x)\) pour \(f(x)=\sqrt{\dfrac{2x+1}{x-3}}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=\dfrac{2x+1}{x-3}\) : \(u’=\dfrac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3)^2}=\dfrac{-7}{(x-3)^2}\).
🔢 Étape 2 : \(f’=\dfrac{u’}{2\sqrt u}\), valable si \(u>0\) : \(x<-\dfrac12\) ou \(x>3\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{-7}{2(x-3)^2}\sqrt{\dfrac{x-3}{2x+1}}\) sur \(\left]-\infty;-\dfrac12\right[\cup]3;+\infty[\).
6) Déterminer \(f'(x)\) pour \(f(x)=x\cos x\) et \(f(x)=\tan^2x\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((x\cos x)’=\cos x-x\sin x\).
🔢 Étape 2 : \(\tan^2x=(\tan x)^2\) et \((\tan x)’=1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}\) : \(f’=2\tan x(1+\tan^2x)\).
✅ \(\cos x-x\sin x\) ; \(\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}\) (\(\cos x\neq0\)).
7) Déterminer \(f'(x)\) pour \(f(x)=\cos x\times\sin x\) et \(f(x)=\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f’=-\sin^2x+\cos^2x=\cos2x\).
🔢 Étape 2 : \(f’=\dfrac{(\cos x-\sin x)^2+(\cos x+\sin x)^2}{(\cos x-\sin x)^2}\) (car \((\cos x+\sin x)’=\cos x-\sin x\) et \((\cos x-\sin x)’=-(\sin x+\cos x)\)), \(=\dfrac2{(\cos x-\sin x)^2}\).
✅ \(\cos2x\) ; \(\dfrac2{(\cos x-\sin x)^2}\).
8) Déterminer \(f'(x)\) pour \(f(x)=\dfrac{(1+2x+x^2)^5}4\) et \(f(x)=1+x+\dfrac{x-1}{\sqrt{2+x^2}}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=\dfrac{(1+x)^{10}}4\) donc \(f'(x)=\dfrac{10(1+x)^9}4\).
🔢 Étape 2 : \(\left(\dfrac{x-1}{\sqrt{2+x^2}}\right)’=\dfrac{\sqrt{2+x^2}-\frac{x(x-1)}{\sqrt{2+x^2}}}{2+x^2}=\dfrac{(2+x^2)-x(x-1)}{(2+x^2)^{3/2}}=\dfrac{x+2}{(2+x^2)^{3/2}}\).
✅ \(\dfrac52(1+x)^9\) ; \(1+\dfrac{x+2}{(2+x^2)\sqrt{2+x^2}}\).
9) Déterminer \(f'(x)\) pour \(f(x)=\dfrac{\sin2x}{1-\cos2x}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\dfrac{2\cos2x(1-\cos2x)-\sin2x\cdot2\sin2x}{(1-\cos2x)^2}=\dfrac{2(\cos2x-1)}{(1-\cos2x)^2}=\dfrac{-2}{1-\cos2x}\).
🔢 Étape 2 : Comme \(1-\cos2x=2\sin^2x\) : \(f'(x)=-\dfrac1{\sin^2x}\) (on a aussi \(f=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)).
✅ \(f'(x)=-\dfrac1{\sin^2x}\) pour \(x\neq k\pi\).
Exercice 16
Racine d’un trinôme
1) Soit \(f(x)=\sqrt{x^2-x}\). Étudier le domaine de dérivation de \(f\) et déterminer sa fonction dérivée.
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappel : un polynôme, \(\sin\), \(\cos\) sont dérivables sur \(\mathbb R\) ; une fraction rationnelle sur son domaine ; \(\sqrt u\) est dérivable là où \(u>0\) (en un zéro de \(u\), étudier la limite du taux d’accroissement).
🔢 Étape 1 : \(D_f\) : \(x(x-1)\ge0\), donc \(D_f=]-\infty;0]\cup[1;+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(f\) est dérivable là où \(x^2-x>0\) : sur \(]-\infty;0[\cup]1;+\infty[\), avec \(f'(x)=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}\).
🔢 Étape 3 : En 0 (à gauche) : \(\dfrac{\sqrt{x^2-x}}x=-\sqrt{1-\dfrac1x}\to-\infty\). En 1 (à droite) : \(\dfrac{\sqrt{x(x-1)}}{x-1}=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x-1}}\to+\infty\).
✅ \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\cup]1;+\infty[\), \(f'(x)=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}\) ; non dérivable en 0 et en 1 (demi-tangentes verticales).
Exercice 17
Domaine de dérivation et fonction dérivée
1) Étudier le domaine de dérivation et calculer \(f’\) pour : \(f(x)=x^2+3x-1\) ; \(f(x)=4\sin x\) ; \(f(x)=x^4\cos x\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappel : un polynôme, \(\sin\), \(\cos\) sont dérivables sur \(\mathbb R\) ; une fraction rationnelle sur son domaine ; \(\sqrt u\) est dérivable là où \(u>0\) (en un zéro de \(u\), étudier la limite du taux d’accroissement).
🔢 Étape 1 : Polynôme, \(\sin\), \(\cos\) : dérivables sur \(\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=2x+3\) ; \(4\cos x\) ; \(4x^3\cos x-x^4\sin x\).
✅ Dérivables sur \(\mathbb R\) ; \(2x+3\) ; \(4\cos x\) ; \(x^3(4\cos x-x\sin x)\).
2) Même question : \(f(x)=\sqrt x+x^3\) ; \(f(x)=\dfrac1{\sqrt x}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt x\) dérivable sur \(]0;+\infty[\) (non dérivable en 0 : \(\dfrac{\sqrt x}x=\dfrac1{\sqrt x}\to+\infty\)).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}+3x^2\) ; \(\left(\dfrac1{\sqrt x}\right)’=-\dfrac{1}{2x\sqrt x}\).
✅ Sur \(]0;+\infty[\) : \(\dfrac1{2\sqrt x}+3x^2\) ; \(-\dfrac1{2x\sqrt x}\).
3) Même question : \(f(x)=\dfrac6{4x^2+3x-1}\) ; \(f(x)=\dfrac{4x-3}{2x-1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(4x^2+3x-1=(4x-1)(x+1)\) : dénominateur nul en \(\dfrac14\) et \(-1\) : \(D=\mathbb R\setminus\left\{-1;\dfrac14\right\}\), \(f'(x)=\dfrac{-6(8x+3)}{(4x^2+3x-1)^2}\).
🔢 Étape 2 : \(D=\mathbb R\setminus\left\{\dfrac12\right\}\) : \(f'(x)=\dfrac{4(2x-1)-2(4x-3)}{(2x-1)^2}=\dfrac2{(2x-1)^2}\).
✅ \(\mathbb R\setminus\{-1;\frac14\}\), \(\dfrac{-6(8x+3)}{(4x^2+3x-1)^2}\) ; \(\mathbb R\setminus\{\frac12\}\), \(\dfrac2{(2x-1)^2}\).
4) Même question : \(f(x)=\sqrt{x^2-4}\) ; \(f(x)=(2x+3)^5\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\) ; dérivable sur \(]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac x{\sqrt{x^2-4}}\) ; en \(\pm2\), taux d’accroissement \(\to\pm\infty\).
🔢 Étape 2 : \((2x+3)^5\) : dérivable sur \(\mathbb R\), \(f'(x)=10(2x+3)^4\).
✅ \(]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[\), \(\dfrac x{\sqrt{x^2-4}}\) ; \(\mathbb R\), \(10(2x+3)^4\).
Exercice 18
Dérivabilité et dérivées (second sujet)
1) \(f(x)=\dfrac{2-\sqrt x}{2+\sqrt x}\). Préciser l’ensemble de dérivabilité et calculer \(f’\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=[0;+\infty[\) ; \(f\) dérivable sur \(]0;+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{-\frac1{2\sqrt x}(2+\sqrt x)-(2-\sqrt x)\frac1{2\sqrt x}}{(2+\sqrt x)^2}=\dfrac{-2}{\sqrt x(2+\sqrt x)^2}\).
🔢 Étape 2 : En 0 : \(\dfrac{f(x)-1}x=\dfrac{-2\sqrt x}{x(2+\sqrt x)}=\dfrac{-2}{\sqrt x(2+\sqrt x)}\to-\infty\).
✅ Dérivable sur \(]0;+\infty[\), \(f'(x)=\dfrac{-2}{\sqrt x\,(2+\sqrt x)^2}\) ; non dérivable en 0.
2) \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+x+1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2+x+1>0\) pour tout \(x\) (\(\Delta=-3<0\)) donc \(f\) dérivable sur \(\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{2(x^2+x+1)-(2x-1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}=\dfrac{-2x^2+2x+3}{(x^2+x+1)^2}\).
✅ Sur \(\mathbb R\) : \(f'(x)=\dfrac{-2x^2+2x+3}{(x^2+x+1)^2}\).
3) \(f(x)=x^2\sqrt x\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f=[0;+\infty[\) ; sur \(]0;+\infty[\) : \(f'(x)=2x\sqrt x+\dfrac{x^2}{2\sqrt x}=\dfrac52x\sqrt x\).
🔢 Étape 2 : En 0 : \(\dfrac{f(x)}x=x\sqrt x\to0\).
✅ \(f\) dérivable sur \([0;+\infty[\) (à droite en 0, \(f'(0)=0\)) ; \(f'(x)=\dfrac52x\sqrt x\).
4) \(f(x)=x(2x-1)^5\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=(2x-1)^5+10x(2x-1)^4=(2x-1)^4(12x-1)\).
✅ Sur \(\mathbb R\) : \(f'(x)=(2x-1)^4(12x-1)\).
5) \(f(x)=(x-1)^3(x+2)^2\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=3(x-1)^2(x+2)^2+2(x-1)^3(x+2)=(x-1)^2(x+2)[3(x+2)+2(x-1)]\).
✅ Sur \(\mathbb R\) : \(f'(x)=(x-1)^2(x+2)(5x+4)\).
6) \(f(x)=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^3\).
Correction détaillée
🔢 \(D=\mathbb R\setminus\{-1\}\) ; \(\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)’=\dfrac2{(x+1)^2}\) donc \(f’=3\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2\cdot\dfrac2{(x+1)^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{6(x-1)^2}{(x+1)^4}\).
7) \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{(x+1)^2}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{2x(x+1)^2-(x^2+1)\cdot2(x+1)}{(x+1)^4}=\dfrac{2[x(x+1)-(x^2+1)]}{(x+1)^3}\).
✅ Sur \(\mathbb R\setminus\{-1\}\) : \(f'(x)=\dfrac{2(x-1)}{(x+1)^3}\).
Exercice 19
Produit et composée
1) Soit \(f(x)=\sqrt{3x-2}\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)^3\). Déterminer le domaine de définition \(D_f\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Rappel : un polynôme, \(\sin\), \(\cos\) sont dérivables sur \(\mathbb R\) ; une fraction rationnelle sur son domaine ; \(\sqrt u\) est dérivable là où \(u>0\) (en un zéro de \(u\), étudier la limite du taux d’accroissement).
🔢 Il faut \(3x-2\ge0\) et \(x\neq1\).
✅ \(D_f=\left[\dfrac23;1\right[\cup]1;+\infty[\).
2) Déterminer le domaine de dérivation de \(f\) et sa fonction dérivée.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt{3x-2}\) est dérivable si \(3x-2>0\), la fraction si \(x\neq1\) : domaine \(\left]\dfrac23;1\right[\cup]1;+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(u=\sqrt{3x-2}\), \(u’=\dfrac3{2\sqrt{3x-2}}\) ; \(v=\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)^3\), \(v’=3\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)^2\cdot\dfrac{-3}{(x-1)^2}=\dfrac{-9(2x+1)^2}{(x-1)^4}\).
🔢 Étape 3 : \(f’=u’v+uv’=\dfrac{3(2x+1)^3}{2\sqrt{3x-2}(x-1)^3}-\dfrac{9\sqrt{3x-2}(2x+1)^2}{(x-1)^4}\). Dénominateur commun \(2\sqrt{3x-2}(x-1)^4\) : numérateur \(3(2x+1)^2\left[(2x+1)(x-1)-6(3x-2)\right]=3(2x+1)^2(2x^2-19x+11)\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{3(2x+1)^2(2x^2-19x+11)}{2(x-1)^4\sqrt{3x-2}}\) sur \(\left]\dfrac23;1\right[\cup]1;+\infty[\).
Exercice 20
Limites par le nombre dérivé
1) Calculer \(\lim_{x\to-1}\dfrac{(x+2)^{2018}-1}{x+1}\) (de même avec \(2021\) au lieu de \(2018\)).
Correction détaillée
📘 Méthode : Principe : si \(f\) est dérivable en \(a\), \(\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\). Reconnaître \(f\) et \(a\), puis calculer \(f'(a)\).
🔢 Étape 1 : \(f(x)=(x+2)^{2018}\) et \(f(-1)=1\) : la limite est \(f'(-1)\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=2018(x+2)^{2017}\), \(f'(-1)=2018\).
✅ \(2018\) (et \(2021\) avec l’exposant 2021).
2) Calculer \(\lim_{x\to\frac\pi6}\dfrac{2\sin x-1}{x-\frac\pi6}\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=2\sin x\), \(f\left(\dfrac\pi6\right)=1\) : limite \(=f’\left(\dfrac\pi6\right)=2\cos\dfrac\pi6\).
✅ \(\sqrt3\).
3) Calculer \(\lim_{x\to\pi}\dfrac{\sin2x}{x-\pi}\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\sin2x\), \(f(\pi)=0\) : limite \(=f'(\pi)=2\cos2\pi\).
✅ \(2\).
4) Calculer \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x+\cos x-1}x\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\sin x+\cos x\), \(f(0)=1\) : limite \(=f'(0)=\cos0-\sin0\).
✅ \(1\).
Exercice 21
Étude du signe de \(f’\) et variations
1) Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe, puis déduire les variations de \(f(x)=x^3-3x+1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Variations : \(f’>0\Rightarrow f\) croissante ; \(f'<0\Rightarrow f\) décroissante.
🔢 \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\), positif pour \(x<-1\) ou \(x>1\), négatif sur \(]-1;1[\).
✅ \(f\) croissante sur \(]-\infty;-1]\) et \([1;+\infty[\), décroissante sur \([-1;1]\) ; \(f(-1)=3\), \(f(1)=-1\).
2) \(f(x)=x^4-\dfrac23x^3-x^2-2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=4x^3-2x^2-2x=2x(2x^2-x-1)=2x(2x+1)(x-1)\), racines \(-\dfrac12,0,1\).
🔢 Étape 2 : Signe : \(-\) sur \(]-\infty;-\frac12[\), \(+\) sur \(]-\frac12;0[\), \(-\) sur \(]0;1[\), \(+\) sur \(]1;+\infty[\).
🔢 Étape 3 : \(f\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac{101}{48}\), \(f(0)=-2\), \(f(1)=-\dfrac83\).
✅ Décroissante sur \(]-\infty;-\frac12]\) et \([0;1]\) ; croissante sur \([-\frac12;0]\) et \([1;+\infty[\).
3) \(f(x)=\dfrac{x^3}{x-1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D=\mathbb R\setminus\{1\}\) ; \(f'(x)=\dfrac{3x^2(x-1)-x^3}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2}\).
🔢 Étape 2 : Signe de \(2x-3\) : \(f'<0\) pour \(x<\dfrac32\) (\(x\neq1\)), \(f’>0\) pour \(x>\dfrac32\) ; \(f\left(\dfrac32\right)=\dfrac{27}4\).
✅ Décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;\frac32]\), croissante sur \([\frac32;+\infty[\) ; minimum local \(\dfrac{27}4\) en \(\dfrac32\).
4) \(f(x)=(3x-1)^4\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=12(3x-1)^3\), du signe de \(3x-1\).
✅ Décroissante sur \(]-\infty;\frac13]\), croissante sur \([\frac13;+\infty[\) ; minimum \(f(\frac13)=0\).
Exercice 22
Problème d’optimisation (aire)
1) \(ABCD\) est un rectangle avec \(AB=5\) et \(BC=7\). \(U\in[AB]\), \(L\in[BC]\), et \(BLEU\) est un carré de côté \(BL=x\). Dans quel intervalle varie \(x\) ?
Correction détaillée
⚠️ L’aire hachurée est lue sur la figure : les deux bandes de l’« équerre » autour du carré \(BLEU\) (bande verticale à gauche de la droite \((LL’)\) au-dessus de \(U\), bande horizontale à droite de \(L\) sous \((UU’)\)).
🔢 \(L\in[BC]\) : \(x\le7\) ; \(U\in[AB]\) : \(x\le5\).
✅ \(x\in[0;5]\).
2) Exprimer l’aire hachurée \(A(x)\) en fonction de \(x\).
Correction détaillée
🔢 Bande à gauche : \(x\times(5-x)\) ; bande en bas : \(x\times(7-x)\).
✅ \(A(x)=x(5-x)+x(7-x)=12x-2x^2\).
3) Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) cette aire est-elle maximale ?
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(A'(x)=12-4x\), nulle en \(x=3\) ; \(A’>0\) sur \([0;3[\), \(A'<0\) sur \(]3;5]\).
🔢 Étape 2 : \(A(3)=36-18=18\).
✅ L’aire est maximale pour \(x=3\) et vaut \(18\).