Étude des fonctions numériques 1 Bac SC Ex · exercices corrigés

Cette série d’exercices corrigés d’étude des fonctions numériques pour la 1ère Bac Sc Ex porte sur la concavité, les asymptotes et les branches infinies, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Exercices corrigés d’étude des fonctions numériques 1ère Bac

Étude des fonctions numériques · 1 Bac SC Ex

📌 Étude des fonctions numériques ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape
I. Dérivation, concavité, limites et branches infinies
Exercice 1
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\dfrac1{12}x^4-2x^2+x+\dfrac23\).
1. Déterminer les dérivées première et seconde de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) est un polynôme, donc dérivable sur \(\mathbb R\) autant de fois qu’on veut.
🔢 \(f'(x)=\dfrac4{12}x^3-4x+1=\dfrac13x^3-4x+1\).
🔢 \(f »(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)\).
✅ \(f'(x)=\dfrac13x^3-4x+1\) et \(f »(x)=x^2-4\).
2. Tableau de signe de \(f »(x)\), concavité et points d’inflexion.
Correction détaillée
\(x\)\(-\infty\)\(-2\)\(2\)\(+\infty\)
\(f »(x)\)\(+\)\(0\)\(-\)\(0\)\(+\)
\(C_f\)convexePIconcavePIconvexe
🔢 \(f »\) s’annule en changeant de signe en \(-2\) et en \(2\).
🔢 \(f(-2)=\dfrac{16}{12}-8-2+\dfrac23=-8\) et \(f(2)=\dfrac{16}{12}-8+2+\dfrac23=-4\).
✅ \(C_f\) est convexe sur \(]-\infty;-2]\) et sur \([2;+\infty[\), concave sur \([-2;2]\) ; deux points d’inflexion : \(I_1(-2;-8)\) et \(I_2(2;-4)\).
Exercice 2
Soit \(f\) définie sur \(I=[0;\pi]\) par \(f(x)=\sin^2x\). Étudier la concavité de \(C_f\) et déterminer les points d’inflexion sur \(I\).
Étude de \(f »\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=2\sin x\cos x=\sin2x\), puis \(f »(x)=2\cos2x\).
🔢 Pour \(x\in[0;\pi]\), \(2x\in[0;2\pi]\) : \(\cos2x>0\) si \(2x\in[0;\frac\pi2[\cup]\frac{3\pi}2;2\pi]\), c’est-à-dire \(x\in[0;\frac\pi4[\cup]\frac{3\pi}4;\pi]\) ; \(\cos2x<0\) si \(x\in]\frac\pi4;\frac{3\pi}4[\).
🔢 \(f »\) change de signe en \(\frac\pi4\) et \(\frac{3\pi}4\) avec \(f\left(\frac\pi4\right)=f\left(\frac{3\pi}4\right)=\frac12\).
✅ \(C_f\) est convexe sur \([0;\frac\pi4]\) et \([\frac{3\pi}4;\pi]\), concave sur \([\frac\pi4;\frac{3\pi}4]\) ; points d’inflexion \(\left(\frac\pi4;\frac12\right)\) et \(\left(\frac{3\pi}4;\frac12\right)\).
Exercice 3
Soit \(f(x)=x^2\sqrt{1+x}\).
1. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(x_0=-1\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f=[-1;+\infty[\) et \(f(-1)=0\).
🔢 Pour \(x>-1\) : \(\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{x+1}=\dfrac{x^2}{\sqrt{x+1}}\).
🔢 Quand \(x\to-1^+\) : \(x^2\to1\) et \(\sqrt{x+1}\to0^+\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to-1^+}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=+\infty\) : \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(-1\).
2. Interprétation géométrique.
Correction détaillée
🔢 Le taux d’accroissement tend vers \(+\infty\).
✅ \(C_f\) admet au point \((-1;0)\) une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
Exercice 4
Soit \(f(x)=\dfrac{2x-1}{3x-6}\). Déterminer les limites aux bornes de \(D_f\) et les interpréter.
Limites aux bornes de \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}\).
Correction détaillée
🔢 En \(\pm\infty\) : \(f(x)=\dfrac{2x-1}{3x-6}\to\dfrac{2x}{3x}=\dfrac23\).
🔢 En \(2^+\) : \(2x-1\to3>0\) et \(3x-6\to0^+\), donc \(f\to+\infty\).
🔢 En \(2^-\) : \(3x-6\to0^-\), donc \(f\to-\infty\).
✅ \(\lim_{\pm\infty}f=\dfrac23\) : asymptote horizontale \(y=\dfrac23\) ; \(\lim_{2^\pm}f=\pm\infty\) : asymptote verticale \(x=2\).
Exercice 5
Soit \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}x\). Montrer que la droite \((\Delta):y=-1\) est asymptote horizontale à \(C_f\) au voisinage de \(-\infty\).
Calcul de la limite en \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x<0\) : \(\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac1{x^2}}=-x\sqrt{1+\frac1{x^2}}\).
🔢 Donc \(f(x)=-\sqrt{1+\dfrac1{x^2}}\to-1\).
✅ \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1\) : la droite \(y=-1\) est asymptote horizontale en \(-\infty\).
Exercice 6
\(\forall x\in\mathbb R^*:\ f(x)=2+\dfrac{x-1}x\). Étudier la position de \(C_f\) par rapport à son asymptote horizontale.
Position relative.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=2+1-\dfrac1x=3-\dfrac1x\), donc \(\lim_{\pm\infty}f=3\) : asymptote \((\Delta):y=3\).
🔢 \(f(x)-3=-\dfrac1x\). Si \(x>0\) : négatif ; si \(x<0\) : positif.
✅ \(C_f\) est au-dessous de \((\Delta)\) sur \(]0;+\infty[\) et au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-\infty;0[\).
Exercice 7
\(\forall x\in\mathbb R\setminus\{3\}:\ f(x)=2x-1+\dfrac1{x-3}\). Montrer que \(C_f\) admet une asymptote oblique en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Asymptote oblique.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-(2x-1)=\dfrac1{x-3}\to0\) quand \(x\to\pm\infty\).
✅ La droite \(y=2x-1\) est asymptote oblique à \(C_f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Exercice 8
Soit \(f(x)=\sqrt x\). Étudier les branches paraboliques au voisinage de \(+\infty\).
Limite de \(\frac{f(x)}x\).
Correction détaillée
🔢 \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\sqrt x}x=\dfrac1{\sqrt x}\to0\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des abscisses \((Ox)\) en \(+\infty\).
Exercice 9
Soit \(f(x)=x^3\). Étudier les branches paraboliques au voisinage de \(+\infty\).
Limite de \(\frac{f(x)}x\).
Correction détaillée
🔢 \(\lim f=+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x=x^2\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées \((Oy)\) en \(+\infty\).
Exercice 10
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R^+\) par \(f(x)=x+\sqrt x\).
Branches infinies en \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x=1+\dfrac1{\sqrt x}\to1\).
🔢 \(f(x)-x=\sqrt x\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction la droite \(y=x\) en \(+\infty\).
Exercice 11
Soit \(f(x)=\sqrt{x^2+1}\). 1) Déterminer \(D_f\). 2) Montrer que \(C_f\) admet une asymptote oblique en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2+1>0\) pour tout réel \(x\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2) Asymptotes obliques.
Correction détaillée
🔢 En \(+\infty\) : \(\dfrac{f(x)}x=\sqrt{1+\frac1{x^2}}\to1\) et \(f(x)-x=\dfrac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}+x}\to0\).
🔢 En \(-\infty\) : \(\dfrac{f(x)}x\to-1\) et \(f(x)+x=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}-x}\to0\).
✅ Asymptotes obliques : \(y=x\) en \(+\infty\) et \(y=-x\) en \(-\infty\).
II. Axes et centres de symétrie
Exercice 12
Soit \(f(x)=\sqrt{x-x^2}\). 1) Déterminer \(D_f\). 2) Montrer que la droite \((\Delta):x=\frac12\) est un axe de symétrie de \(C_f\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x-x^2=x(1-x)\ge0\iff0\le x\le1\).
✅ \(D_f=[0;1]\).
2) Axe de symétrie.
Correction détaillée
🔢 Condition 1 : \(\forall x\in D_f\), \(1-x\in D_f\) (si \(0\le x\le1\), alors \(0\le1-x\le1\)).
🔢 Condition 2 : \(f(1-x)=\sqrt{(1-x)-(1-x)^2}=\sqrt{(1-x)x}=f(x)\).
✅ La droite \(x=\frac12\) est un axe de symétrie de \(C_f\).
Exercice 13
Soit \(f(x)=3x^2-2x+5\). Montrer que la droite \((\Delta):x=\frac13\) est un axe de symétrie de \(C_f\).
Axe de symétrie : \(f(2a-x)=f(x)\) avec \(a=\frac13\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f=\mathbb R\), donc \(2\times\frac13-x=\frac23-x\in D_f\).
🔢 \(f\left(\frac23-x\right)=3\left(\frac49-\frac43x+x^2\right)-\frac43+2x+5=3x^2-2x+5=f(x)\).
✅ \(x=\frac13\) est un axe de symétrie de \(C_f\).
Exercice 14
Soit \(f(x)=\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x-3}\). Montrer que \((\Delta):x=2\) est un axe de symétrie de \(C_f\).
Axe de symétrie : \(f(4-x)=f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f=\mathbb R\setminus\{1;3\}\) : si \(x\in D_f\) alors \(4-x\in D_f\).
🔢 \(f(4-x)=\dfrac1{3-x}-\dfrac1{1-x}=-\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-1}=f(x)\).
✅ \(x=2\) est un axe de symétrie de \(C_f\).
Exercice 15
Soit \(f(x)=\cos x\). Montrer que la droite \((\Delta):x=k\pi\), \(k\in\mathbb Z\), est un axe de symétrie de \(C_f\).
Axe de symétrie : \(f(2k\pi-x)=f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f=\mathbb R\) et \(\cos(2k\pi-x)=\cos(-x)=\cos x\) (périodicité de période \(2\pi\) et parité).
✅ Les droites \(x=k\pi\) sont des axes de symétrie de \(C_f\).
Exercice 16
Soit \(f(x)=\dfrac{x^2-x}{x+1}\).
1) Montrer que \(\forall x\in D_f:\ f(x)=x-2+\dfrac2{x+1}\).
Correction détaillée
🔢 \((x-2)(x+1)+2=x^2-x-2+2=x^2-x\), donc \(\dfrac{x^2-x}{x+1}=x-2+\dfrac2{x+1}\).
✅ \(f(x)=x-2+\dfrac2{x+1}\).
2) Montrer que le point \(\Omega(-1;-3)\) est centre de symétrie de \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}\) : si \(x\in D_f\) alors \(-2-x\in D_f\).
🔢 \(f(-2-x)=-2-x-2+\dfrac2{-1-x}=-x-4-\dfrac2{x+1}\).
🔢 \(f(-2-x)+f(x)=-x-4-\frac2{x+1}+x-2+\frac2{x+1}=-6=2\times(-3)\).
✅ \(\Omega(-1;-3)\) est un centre de symétrie de \(C_f\).
Exercice 17
Soit \(f(x)=\sin x-\cos x\). Montrer que le point \(\Omega\left(\frac\pi4;0\right)\) est centre de symétrie de \(C_f\).
Centre de symétrie : \(f(2a-x)+f(x)=2b\) avec \(a=\frac\pi4\), \(b=0\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f=\mathbb R\), donc \(\frac\pi2-x\in D_f\).
🔢 \(f\left(\frac\pi2-x\right)=\sin\left(\frac\pi2-x\right)-\cos\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x-\sin x=-f(x)\).
✅ \(f\left(\frac\pi2-x\right)+f(x)=0\) : \(\Omega\left(\frac\pi4;0\right)\) est centre de symétrie.
III. Études complètes de fonctions
Exercice 18
Soit \(f(x)=\sqrt{4x^2+2x-2}\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(4x^2+2x-2\ge0\) : \(\Delta=4+32=36\), racines \(x=\frac{-2\pm6}8\), soit \(-1\) et \(\frac12\).
🔢 Le trinôme est positif à l’extérieur des racines.
✅ \(D_f=]-\infty;-1]\cup\left[\frac12;+\infty\right[\).
2) Domaine de dérivabilité de \(f\) et calcul de \(f'(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) est dérivable là où \(4x^2+2x-2>0\), c’est-à-dire sur \(]-\infty;-1[\cup\left]\frac12;+\infty\right[\).
🔢 \(f'(x)=\dfrac{8x+2}{2\sqrt{4x^2+2x-2}}=\dfrac{4x+1}{\sqrt{4x^2+2x-2}}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{4x+1}{\sqrt{4x^2+2x-2}}\) sur \(]-\infty;-1[\cup\left]\frac12;+\infty\right[\).
3) Calculer \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(4x^2+2x-2\to+\infty\) quand \(x\to-\infty\) et \(\sqrt X\to+\infty\) quand \(X\to+\infty\).
✅ \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\).
4) Montrer que \(C_f\) admet une asymptote oblique en \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x<0\) : \(\dfrac{f(x)}x=-\sqrt{4+\frac2x-\frac2{x^2}}\to-2\).
🔢 \(f(x)+2x=\dfrac{f(x)^2-4x^2}{f(x)-2x}=\dfrac{2x-2}{\sqrt{4x^2+2x-2}-2x}\). On divise par \(x\) (\(x<0\)) : \(=\dfrac{2-\frac2x}{-\sqrt{4+\frac2x-\frac2{x^2}}-2}\to\dfrac2{-4}=-\dfrac12\).
✅ La droite \(y=-2x-\dfrac12\) est asymptote oblique à \(C_f\) en \(-\infty\).
Exercice 19
Soit \(f(x)=x^3-3x+3\) sur \(\mathbb R\).
1) Limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 La limite d’un polynôme à l’infini est celle de son terme de plus haut degré : \(x^3\).
✅ \(\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\lim_{-\infty}f=-\infty\).
2) Branches infinies de \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=x^2-3+\dfrac3x\to+\infty\) en \(\pm\infty\).
✅ \(C_f\) admet une branche parabolique de direction \((Oy)\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
3) Tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\) : positif sur \(]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\), négatif sur \(]-1;1[\).
🔢 \(f(-1)=-1+3+3=5\) et \(f(1)=1-3+3=1\).
x\(-\infty\)\(-1\)\(1\)\(+\infty\)
f'(x)+\(0\)−\(0\)+
f(x)\(-\infty\)↗\(5\)↘\(1\)↗\(+\infty\)
✅ \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-1]\) et \([1;+\infty[\), décroissante sur \([-1;1]\).
4) Concavité et points d’inflexion.
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=6x\) : négatif pour \(x<0\), positif pour \(x>0\), nul et changeant de signe en 0.
🔢 \(f(0)=3\).
✅ \(C_f\) est concave sur \(]-\infty;0]\), convexe sur \([0;+\infty[\) ; point d’inflexion \(I(0;3)\).
5) Montrer que \(I(0;3)\) est centre de symétrie et déterminer la tangente en \(I\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f=\mathbb R\) est symétrique par rapport à 0 et \(f(-x)+f(x)=(-x^3+3x+3)+(x^3-3x+3)=6=2\times3\).
🔢 \(f'(0)=-3\) et \(f(0)=3\) : \(y=-3x+3\).
✅ \(I(0;3)\) est centre de symétrie ; la tangente en \(I\) est \((T):y=-3x+3\).
6) Montrer que \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha<-1\), vérifier \(-2{,}2<\alpha<-2{,}1\) et donner le signe de \(f(x)\).
Correction détaillée
🔢 Sur \(]-\infty;-1]\), \(f\) est continue et strictement croissante de \(-\infty\) à \(5\) : elle s’annule une seule fois (théorème des valeurs intermédiaires).
🔢 Sur \([-1;+\infty[\), \(f\ge1>0\) (le minimum local est \(f(1)=1\) et \(f(-1)=5\)) : pas d’autre solution.
🔢 \(f(-2{,}2)=-10{,}648+6{,}6+3=-1{,}048<0\) et \(f(-2{,}1)=-9{,}261+6{,}3+3=0{,}039>0\).
✅ \(\alpha\) est unique, \(-2{,}2<\alpha<-2{,}1\) ; \(f(x)<0\) pour \(x<\alpha\) et \(f(x)>0\) pour \(x>\alpha\).
7) Tracer \(C_f\) et discuter selon \(m\) le nombre de solutions de \(x^3-3x+3=m\).
Correction détaillée
🔢 Points utiles : \((-1;5)\) max local, \((1;1)\) min local, \(I(0;3)\) centre, \((-2;1)\) et \((2;5)\), \((\alpha;0)\) avec \(\alpha\approx-2{,}1\).
🔢 Les solutions de \(f(x)=m\) sont les abscisses des points d’intersection de \(C_f\) avec la droite horizontale \(y=m\).
🔢 \(m<1\) : 1 solution ; \(m=1\) : 2 solutions (\(x=1\) double et \(x=-2\)) ; \(1<m<5\) : 3 solutions ; \(m=5\) : 2 solutions (\(x=-1\) et \(x=2\)) ; \(m>5\) : 1 solution.
✅ 1 solution si \(m<1\) ou \(m>5\) ; 2 si \(m\in\{1;5\}\) ; 3 si \(1<m<5\).
Exercice 20
Soit \(f(x)=2+\dfrac1x-\dfrac1{x-1}\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x\ne0\) et \(x\ne1\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{0;1\}\).
2) Branches infinies de \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 En \(\pm\infty\) : \(f(x)\to2\), asymptote \(y=2\).
🔢 En \(0^+\) : \(\frac1x\to+\infty\) (le reste tend vers \(1\)), donc \(f\to+\infty\) ; en \(0^-\) : \(f\to-\infty\).
🔢 En \(1^+\) : \(-\frac1{x-1}\to-\infty\) donc \(f\to-\infty\) ; en \(1^-\) : \(f\to+\infty\).
✅ Asymptotes : \(y=2\) (horizontale), \(x=0\) et \(x=1\) (verticales).
3) Position de \(C_f\) par rapport à \(y=2\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-2=\dfrac1x-\dfrac1{x-1}=\dfrac{-1}{x(x-1)}\).
🔢 \(x(x-1)>0\) pour \(x<0\) ou \(x>1\) ; \(<0\) pour \(0<x<1\).
✅ \(C_f\) est au-dessous de \(y=2\) sur \(]-\infty;0[\) et \(]1;+\infty[\), au-dessus sur \(]0;1[\).
4) Variations de \(f\) et tableau.
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=-\dfrac1{x^2}+\dfrac1{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-(x-1)^2}{x^2(x-1)^2}=\dfrac{2x-1}{x^2(x-1)^2}\), du signe de \(2x-1\).
🔢 \(f\left(\frac12\right)=2+2+2=6\).
x\(-\infty\)\(0\)\(\frac12\)\(1\)\(+\infty\)
f'(x)−||−\(0\)+||+
f(x)\(2\)↘\(-\infty\,|\,+\infty\)↘\(6\)↗\(+\infty\,|\,-\infty\)↗\(2\)
✅ \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;\frac12]\), croissante sur \([\frac12;1[\) et \(]1;+\infty[\) ; minimum local \(f(\frac12)=6\).
5) Intersections avec l’axe des abscisses.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=0\iff2x(x-1)+(x-1)-x=0\iff2x^2-2x-1=0\).
🔢 \(\Delta=4+8=12\) : \(x=\dfrac{2\pm2\sqrt3}4=\dfrac{1\pm\sqrt3}2\) (tous deux dans \(D_f\)).
✅ \(C_f\) coupe \((Ox)\) en \(\left(\frac{1-\sqrt3}2;0\right)\) et \(\left(\frac{1+\sqrt3}2;0\right)\).
6) Montrer que la droite \(x=\frac12\) est un axe de symétrie de \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Si \(x\in D_f\) alors \(1-x\in D_f\).
🔢 \(f(1-x)=2+\dfrac1{1-x}-\dfrac1{-x}=2+\dfrac1{1-x}+\dfrac1x=2+\dfrac1x-\dfrac1{x-1}=f(x)\).
✅ \(x=\frac12\) est axe de symétrie de \(C_f\).
7) Tracer \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Utiliser les asymptotes \(y=2\), \(x=0\), \(x=1\), le sommet \((\frac12;6)\), les points d’intersection avec \((Ox)\) et la symétrie par rapport à \(x=\frac12\).
✅ La courbe a trois branches : une sous \(y=2\) à gauche de 0, une « cuvette » ouverte vers le haut entre 0 et 1 de minimum 6, une sous \(y=2\) à droite de 1.
Exercice 21
Soit \(f(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x-3}\).
1) Limites aux bornes de \(D_f=\mathbb R\setminus\{3\}\).
Correction détaillée
🔢 En \(\pm\infty\) : \(f(x)\sim\dfrac{x^2}x=x\), donc \(\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\lim_{-\infty}f=-\infty\).
🔢 Numérateur en 3 : \(4>0\). Donc \(\lim_{3^+}f=+\infty\) et \(\lim_{3^-}f=-\infty\).
✅ \(\lim_{\pm\infty}f=\pm\infty\), \(\lim_{3^\pm}f=\pm\infty\).
2) Déterminer \(a,b,c\) tels que \(f(x)=ax+b+\dfrac c{x-3}\).
Correction détaillée
🔢 \((ax+b)(x-3)+c=ax^2+(b-3a)x-3b+c\). Par identification avec \(x^2-2x+1\) : \(a=1\), \(b-3=-2\) donc \(b=1\), \(-3+c=1\) donc \(c=4\).
✅ \(f(x)=x+1+\dfrac4{x-3}\).
3) Branches infinies.
Correction détaillée
🔢 \(x=3\) asymptote verticale ; \(f(x)-(x+1)=\dfrac4{x-3}\to0\) en \(\pm\infty\).
✅ Asymptotes : \(x=3\) et \(y=x+1\) (oblique en \(\pm\infty\)).
4) Variations et tableau.
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1-\dfrac4{(x-3)^2}=\dfrac{(x-3)^2-4}{(x-3)^2}=\dfrac{(x-1)(x-5)}{(x-3)^2}\).
🔢 \(f(1)=0\) et \(f(5)=\dfrac{16}2=8\).
x\(-\infty\)\(1\)\(3\)\(5\)\(+\infty\)
f'(x)+\(0\)−||−\(0\)+
f(x)\(-\infty\)↗\(0\)↘\(-\infty\,|\,+\infty\)↘\(8\)↗\(+\infty\)
✅ \(f\) croissante sur \(]-\infty;1]\) et \([5;+\infty[\), décroissante sur \([1;3[\) et \(]3;5]\).
5) \(\Omega(3;4)\) est centre de symétrie.
Correction détaillée
🔢 \(D_f\) est symétrique par rapport à 3.
🔢 \(f(6-x)+f(x)=(6-x)+1+\frac4{3-x}+x+1+\frac4{x-3}=8=2\times4\).
✅ \(\Omega(3;4)\) est centre de symétrie de \(C_f\).
6) Calculer \(f »(x)\) et étudier la concavité.
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1-4(x-3)^{-2}\), donc \(f »(x)=8(x-3)^{-3}=\dfrac8{(x-3)^3}\).
✅ \(C_f\) est concave sur \(]-\infty;3[\), convexe sur \(]3;+\infty[\) ; pas de point d’inflexion (3 n’est pas dans \(D_f\)).
7) Position de \(C_f\) et de \((\Delta):y=x+1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-(x+1)=\dfrac4{x-3}\).
✅ \(C_f\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]3;+\infty[\), au-dessous sur \(]-\infty;3[\).
8) Points d’intersection avec les axes.
Correction détaillée
🔢 \(f(0)=\dfrac1{-3}=-\dfrac13\).
🔢 \(f(x)=0\iff(x-1)^2=0\iff x=1\) (le point est un extremum : \(C_f\) est tangente à \((Ox)\)).
✅ Avec \((Oy)\) : \(\left(0;-\frac13\right)\) ; avec \((Ox)\) : \((1;0)\).
9) Tangente en \(x_0=2\).
Correction détaillée
🔢 \(f(2)=\dfrac1{-1}=-1\) et \(f'(2)=\dfrac{(1)(-3)}{1}=-3\).
🔢 \(y=-3(x-2)-1=-3x+5\).
✅ \((T):y=-3x+5\).
10) Tracer \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Placer les asymptotes \(x=3\) et \(y=x+1\), le centre \(\Omega(3;4)\), \((1;0)\), \((5;8)\), \((0;-\frac13)\) et la tangente \((T)\).
✅ La courbe a une branche au-dessus de \(y=x+1\) pour \(x>3\) (minimum \(8\) en \(x=5\)) et une branche au-dessous pour \(x<3\) (maximum \(0\) en \(x=1\)).
Exercice 22
Soit \(f(x)=\sqrt{x^2-x-2}\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\ge0\).
✅ \(D_f=]-\infty;-1]\cup[2;+\infty[\).
2) Limites aux bornes de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-x-2\to+\infty\) en \(\pm\infty\) ; \(f(-1)=f(2)=0\).
✅ \(\lim_{+\infty}f=\lim_{-\infty}f=+\infty\).
3) Branches infinies.
Correction détaillée
🔢 En \(+\infty\) : \(\frac{f(x)}x\to1\) et \(f(x)-\left(x-\frac12\right)=\dfrac{(x^2-x-2)-(x-\frac12)^2}{f(x)+x-\frac12}=\dfrac{-\frac94}{f(x)+x-\frac12}\to0\).
🔢 En \(-\infty\) : \(\frac{f(x)}x\to-1\) et \(f(x)-\left(-x+\frac12\right)=\dfrac{-\frac94}{f(x)-x+\frac12}\to0\).
✅ Asymptotes obliques : \(y=x-\dfrac12\) en \(+\infty\) et \(y=-x+\dfrac12\) en \(-\infty\).
4) Dérivabilité à droite de 2 et à gauche de \(-1\).
Correction détaillée
🔢 À droite de 2 : \(\dfrac{f(x)-0}{x-2}=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-2}}\to+\infty\).
🔢 À gauche de \(-1\) : \(x+1<0\), \(\dfrac{f(x)}{x+1}=-\sqrt{\dfrac{x-2}{x+1}}\to-\infty\) (car \(\frac{x-2}{x+1}\to+\infty\)).
✅ \(f\) n’est dérivable ni à droite de 2 ni à gauche de \(-1\) : demi-tangentes verticales en \((2;0)\) et \((-1;0)\).
5) Variations et tableau.
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-2}}\) sur \(]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[\) : négatif sur \(]-\infty;-1[\), positif sur \(]2;+\infty[\).
x\(-\infty\)\(-1\)\(2\)\(+\infty\)
f'(x)−||||+
f(x)\(+\infty\)↘\(0\)↘\(0\)↗\(+\infty\)
✅ \(f\) décroissante sur \(]-\infty;-1]\), croissante sur \([2;+\infty[\).
6) Tracer \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Branches symétriques par rapport à \(x=\frac12\) (\(f(1-x)=f(x)\)), asymptotes \(y=\pm(x-\frac12)\), demi-tangentes verticales en \((-1;0)\) et \((2;0)\).
✅ La courbe ressemble à une hyperbole d’axe \((Ox)\) : deux branches issues de \((-1;0)\) et \((2;0)\).
Exercice 23
Soit \(f(x)=2\cos\left(2x+\frac\pi4\right)\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Le cosinus est défini sur \(\mathbb R\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2) Montrer que \(f\) est périodique de période \(T=\pi\) et en déduire le domaine d’étude.
Correction détaillée
🔢 \(f(x+\pi)=2\cos\left(2x+2\pi+\frac\pi4\right)=2\cos\left(2x+\frac\pi4\right)=f(x)\).
✅ \(f\) est \(\pi\)-périodique : on l’étudie sur un intervalle de longueur \(\pi\), par exemple \([0;\pi]\) (puis on prolonge par translations de vecteur \(k\pi\vec i\)).
3) Dérivée et tableau de variation sur \([0;\pi]\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=-4\sin\left(2x+\frac\pi4\right)\). Pour \(x\in[0;\pi]\) : \(2x+\frac\pi4\in\left[\frac\pi4;\frac{9\pi}4\right]\).
🔢 \(\sin>0\) si \(2x+\frac\pi4\in]\frac\pi4;\pi[\), soit \(x\in]0;\frac{3\pi}8[\) : \(f'<0\) ; \(\sin<0\) si \(2x+\frac\pi4\in]\pi;2\pi[\), soit \(x\in]\frac{3\pi}8;\frac{7\pi}8[\) : \(f’>0\) ; puis \(f'<0\) sur \(]\frac{7\pi}8;\pi]\).
🔢 \(f(0)=f(\pi)=\sqrt2\), \(f\left(\frac{3\pi}8\right)=2\cos\pi=-2\), \(f\left(\frac{7\pi}8\right)=2\cos2\pi=2\).
x\(0\)\(\frac{3\pi}8\)\(\frac{7\pi}8\)\(\pi\)
f'(x)−\(0\)+\(0\)−
f(x)\(\sqrt2\)↘\(-2\)↗\(2\)↘\(\sqrt2\)
✅ \(f\) décroît sur \([0;\frac{3\pi}8]\), croît sur \([\frac{3\pi}8;\frac{7\pi}8]\), décroît sur \([\frac{7\pi}8;\pi]\).
4) Tracer \(C_f\) sur \([-\pi;\pi]\).
Correction détaillée
🔢 On trace sur \([0;\pi]\) puis on translate de \(-\pi\). Zéros : \(2x+\frac\pi4=\frac\pi2+k\pi\), soit \(x=\frac\pi8+\frac{k\pi}2\).
✅ Sur \([-\pi;\pi]\) la courbe est une sinusoïde d’amplitude 2 qui coupe \((Ox)\) en \(-\frac{7\pi}8,-\frac{3\pi}8,\frac\pi8,\frac{5\pi}8\).
Exercice 24
Soit \(f(x)=4\sin x+\cos2x\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Fonction définie sur \(\mathbb R\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2) Périodicité et domaine d’étude.
Correction détaillée
🔢 \(f(x+2\pi)=4\sin(x+2\pi)+\cos(2x+4\pi)=f(x)\).
✅ \(T=2\pi\) : on étudie \(f\) sur \([-\pi;\pi]\) (ou \([0;2\pi]\)).
3) Dérivée et tableau sur \([-\pi;\pi]\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=4\cos x-2\sin2x=4\cos x-4\sin x\cos x=4\cos x(1-\sin x)\).
🔢 \(1-\sin x\ge0\) (nul seulement en \(\frac\pi2\)) : \(f’\) est du signe de \(\cos x\).
🔢 \(f(-\pi)=1\), \(f\left(-\frac\pi2\right)=-4-1=-5\), \(f\left(\frac\pi2\right)=4-1=3\), \(f(\pi)=1\).
x\(-\pi\)\(-\frac\pi2\)\(\frac\pi2\)\(\pi\)
f'(x)−\(0\)+\(0\)−
f(x)\(1\)↘\(-5\)↗\(3\)↘\(1\)
✅ \(f\) décroît sur \([-\pi;-\frac\pi2]\), croît sur \([-\frac\pi2;\frac\pi2]\), décroît sur \([\frac\pi2;\pi]\).
4) Tangente en \(x_0=0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(0)=0+1=1\) et \(f'(0)=4\).
✅ \((T):y=4x+1\).
5) Calculer \(f »(x)\) en fonction de \(\sin x\).
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=-4\sin x-4\cos2x=-4\sin x-4(1-2\sin^2x)=8\sin^2x-4\sin x-4\).
🔢 \(=4(2\sin^2x-\sin x-1)=4(2\sin x+1)(\sin x-1)\).
✅ \(f »(x)=4(2\sin x+1)(\sin x-1)\).
6) Points d’inflexion de \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 \(\sin x-1\le0\) : \(f »\) est du signe de \(-(2\sin x+1)\) (sauf quand \(\sin x=1\)).
🔢 En \(\sin x=1\) (\(x=\frac\pi2+2k\pi\)), \(f »\) s’annule sans changer de signe : ce n’est pas un point d’inflexion.
🔢 En \(\sin x=-\frac12\) (\(x=-\frac\pi6+2k\pi\) ou \(x=-\frac{5\pi}6+2k\pi\)), \(f »\) change de signe ; \(f(x)=4\times\left(-\frac12\right)+\cos2x=-2+\frac12=-\frac32\).
✅ Points d’inflexion : \(\left(-\frac\pi6+2k\pi;-\frac32\right)\) et \(\left(-\frac{5\pi}6+2k\pi;-\frac32\right)\), \(k\in\mathbb Z\).
7) Tracer \(C_f\) sur \([-2\pi;4\pi]\).
Correction détaillée
🔢 Tracer sur \([-\pi;\pi]\) avec le tableau ci-dessus, puis translater de \(\pm2\pi\).
✅ La courbe est \(2\pi\)-périodique, de maximum \(3\) et de minimum \(-5\).
Exercice 25
Soit \(f(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(2+\cos x\ge1>0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2) Montrer qu’il suffit d’étudier \(f\) sur \([0;\pi]\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x+2\pi)=f(x)\) : périodique de période \(2\pi\).
🔢 \(f(-x)=\dfrac{-\sin x}{2+\cos x}=-f(x)\) : \(f\) est impaire.
✅ On étudie sur \([0;\pi]\), puis symétrie par rapport à \(O\) et translations de \(2\pi\).
3) \(f'(x)\) et tableau de variation.
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{\cos x(2+\cos x)+\sin^2x}{(2+\cos x)^2}=\dfrac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}\).
🔢 \(2\cos x+1>0\iff x<\frac{2\pi}3\) sur \([0;\pi]\).
🔢 \(f(0)=f(\pi)=0\) et \(f\left(\frac{2\pi}3\right)=\dfrac{\frac{\sqrt3}2}{\frac32}=\dfrac{\sqrt3}3\).
x\(0\)\(\frac{2\pi}3\)\(\pi\)
f'(x)+\(0\)−
f(x)\(0\)↗\(\frac{\sqrt3}3\)↘\(0\)
✅ \(f\) croît sur \([0;\frac{2\pi}3]\) puis décroît sur \([\frac{2\pi}3;\pi]\).
4) Tracer \(C_f\) sur \([-2\pi;2\pi]\).
Correction détaillée
🔢 Courbe sur \([0;\pi]\), complétée par symétrie centrale de centre \(O\) (parité) pour \([-\pi;0]\), puis translation de \(\pm2\pi\).
✅ Courbe impaire, \(2\pi\)-périodique, d’extrema \(\pm\frac{\sqrt3}3\).
Exercice 26
Soit \(f(x)=\sqrt{2x^2+2x-1}\) (lecture du scan).
1. Ensemble de définition.
Correction détaillée
🔢 \(2x^2+2x-1\ge0\) : \(\Delta=4+8=12\), racines \(\frac{-1\pm\sqrt3}2\).
✅ \(D_f=\left]-\infty;\frac{-1-\sqrt3}2\right]\cup\left[\frac{-1+\sqrt3}2;+\infty\right[\).
2. Limites aux bornes de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(2x^2+2x-1\to+\infty\) en \(\pm\infty\).
✅ \(\lim_{\pm\infty}f=+\infty\) ; \(f=0\) aux deux racines.
3. Interprétation géométrique.
Correction détaillée
🔢 \(\frac{f(x)}x\to\pm\sqrt2\) : pas d’asymptote horizontale.
✅ \(C_f\) n’a pas d’asymptote horizontale ; elle admet des branches infinies de directions \(y=\sqrt2x\) en \(+\infty\) et \(y=-\sqrt2x\) en \(-\infty\).
Exercice 27
Soit \(g(x)=\dfrac{2x^2-x}{x-1}\).
1. Ensemble de définition.
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x\ne1\).
✅ \(D_g=\mathbb R\setminus\{1\}\).
2. Limites aux bornes de \(D_g\).
Correction détaillée
🔢 En \(\pm\infty\) : \(g(x)\sim2x\), donc \(\pm\infty\).
🔢 Numérateur en 1 : \(1>0\). \(\lim_{1^+}g=+\infty\), \(\lim_{1^-}g=-\infty\).
✅ \(\lim_{\pm\infty}g=\pm\infty\) ; \(\lim_{1^\pm}g=\pm\infty\) (asymptote verticale \(x=1\)).
3. Division de \(P(x)=2x^2-x\) par \(x-1\) et écriture de \(g\).
Correction détaillée
🔢 \(2x^2-x=(x-1)(2x+1)+1\).
✅ \(g(x)=2x+1+\dfrac1{x-1}\) pour tout \(x\in D_g\).
4. \(\lim_{x\to+\infty}(g(x)-(2x+1))\).
Correction détaillée
🔢 \(g(x)-(2x+1)=\dfrac1{x-1}\to0\).
✅ La droite \(y=2x+1\) est asymptote oblique à \(C_g\) en \(+\infty\) (et en \(-\infty\)).
Exercice 28
Soit \(h(x)=\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}\) sur \(\mathbb R\).
1. Domaine de définition et parité.
Correction détaillée
🔢 \(h(-x)=\dfrac{-x}{\sqrt{x^2+1}}=-h(x)\) et \(D_h=\mathbb R\).
✅ \(h\) est impaire : \(C_h\) est symétrique par rapport à \(O\).
2. Limites en \(\pm\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(h(x)=\dfrac x{|x|\sqrt{1+\frac1{x^2}}}\to\pm1\).
✅ \(\lim_{+\infty}h=1\), \(\lim_{-\infty}h=-1\) : asymptotes \(y=1\) et \(y=-1\).
3. Dérivée et tableau de variation.
Correction détaillée
🔢 \(h'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\dfrac1{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}>0\).
x\(-\infty\)\(+\infty\)
f'(x)+
f(x)\(-1\)↗\(1\)
✅ \(h\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
4. Tangente en \(O(0;0)\).
Correction détaillée
🔢 \(h(0)=0\), \(h'(0)=1\).
✅ \((T):y=x\).
5. Positions relatives de \(T\) et de la courbe.
Correction détaillée
🔢 \(h(x)-x=x\left(\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}-1\right)\) avec \(\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}-1\le0\).
✅ \(C_h\) est au-dessous de \(T\) pour \(x>0\) et au-dessus pour \(x<0\) (elle la traverse en \(O\) : \(O\) est un point d’inflexion).
6. Tracer \(C_h\).
Correction détaillée
🔢 Asymptotes \(y=\pm1\), tangente \(y=x\) en \(O\), centre de symétrie \(O\).
✅ Courbe en « S » entre les deux asymptotes horizontales.
IV. Études de fonctions (suite)
Exercice 29
Soit \(f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x-2}\).
0) Écriture de \(f\) (utile pour la suite).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-x-1=(x-2)(x+1)+1\), donc \(f(x)=x+1+\dfrac1{x-2}\) sur \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}\).
✅ \(f(x)=x+1+\dfrac1{x-2}\).
1) Limites aux bornes de \(D_f\) et interprétation.
Correction détaillée
🔢 En \(\pm\infty\) : \(f(x)\sim x\) : \(\lim_{\pm\infty}f=\pm\infty\).
🔢 Numérateur en 2 : \(4-2-1=1>0\) : \(\lim_{2^+}f=+\infty\) et \(\lim_{2^-}f=-\infty\).
✅ Asymptote verticale \(x=2\) ; branches infinies en \(\pm\infty\) (voir question 5).
2) Variations de \(f\) et tableau.
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1-\dfrac1{(x-2)^2}=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\). \(f(1)=1\) et \(f(3)=5\).
x\(-\infty\)\(1\)\(2\)\(3\)\(+\infty\)
f'(x)+\(0\)−||−\(0\)+
f(x)\(-\infty\)↗\(1\)↘\(-\infty\,|\,+\infty\)↘\(5\)↗\(+\infty\)
✅ \(f\) croît sur \(]-\infty;1]\) et \([3;+\infty[\), décroît sur \([1;2[\) et \(]2;3]\).
3) \(\Omega(2;3)\) est centre de symétrie de \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(4-x)+f(x)=(4-x)+1+\frac1{2-x}+x+1+\frac1{x-2}=6=2\times3\).
✅ \(\Omega(2;3)\) est un centre de symétrie.
4) \(f »(x)\) et concavité.
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1-(x-2)^{-2}\) donc \(f »(x)=\dfrac2{(x-2)^3}\).
✅ \(C_f\) est concave sur \(]-\infty;2[\), convexe sur \(]2;+\infty[\) ; pas d’inflexion.
5) Asymptote oblique \((\Delta):y=x+1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-(x+1)=\dfrac1{x-2}\to0\) en \(\pm\infty\).
✅ \((\Delta):y=x+1\) est asymptote oblique à \(C_f\).
6) Position de \(C_f\) et \((\Delta)\).
Correction détaillée
🔢 Signe de \(\dfrac1{x-2}\).
✅ \(C_f\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]2;+\infty[\), au-dessous sur \(]-\infty;2[\).
7) Tracer \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Points : \((0;\frac12)\), \((1;1)\), \((3;5)\), \((4;\frac{11}2)\), centre \(\Omega(2;3)\), asymptotes \(x=2\) et \(y=x+1\).
✅ Une branche sous \(y=x+1\) à gauche de 2, une au-dessus à droite.
Exercice 30
Soit \(f(x)=\dfrac x2-\dfrac{|x^2-1|}x\).
1) Parité de \(f\) et domaine d’étude \(D_E\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f=\mathbb R^*\), symétrique par rapport à 0. \(f(-x)=-\dfrac x2-\dfrac{|x^2-1|}{-x}=-\left(\dfrac x2-\dfrac{|x^2-1|}x\right)=-f(x)\).
✅ \(f\) est impaire ; \(D_E=]0;+\infty[\).
2) Écriture de \(f(x)\) sur \(]0;1]\) et \([1;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Sur \(]0;1]\) : \(|x^2-1|=1-x^2\), \(f(x)=\dfrac x2-\dfrac{1-x^2}x=\dfrac{3x}2-\dfrac1x\).
🔢 Sur \([1;+\infty[\) : \(|x^2-1|=x^2-1\), \(f(x)=\dfrac x2-\dfrac{x^2-1}x=-\dfrac x2+\dfrac1x\).
✅ \(f(x)=\dfrac{3x}2-\dfrac1x\) sur \(]0;1]\) ; \(f(x)=-\dfrac x2+\dfrac1x\) sur \([1;+\infty[\).
3) Limites aux bornes de \(D_E\) et interprétation.
Correction détaillée
🔢 \(\lim_{0^+}f=\lim_{0^+}\left(\frac{3x}2-\frac1x\right)=-\infty\).
🔢 \(\lim_{+\infty}f=-\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}x\to-\dfrac12\) et \(f(x)+\dfrac x2=\dfrac1x\to0\).
✅ Asymptote verticale \(x=0\) ; asymptote oblique \(y=-\dfrac x2\) en \(+\infty\) (ce qui répond aussi à la question 6).
4) Dérivabilité de \(f\) en \(x_0=1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=\frac32-1=\frac12\).
🔢 À gauche : \(f'(x)=\frac32+\frac1{x^2}\to\frac52\). À droite : \(f'(x)=-\frac12-\frac1{x^2}\to-\frac32\).
✅ \(f’_g(1)=\dfrac52\ne f’_d(1)=-\dfrac32\) : \(f\) n’est pas dérivable en 1 ; \(C_f\) a un point anguleux en \((1;\frac12)\).
5) Variations et tableau sur \(]0;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Sur \(]0;1]\) : \(f’>0\). Sur \([1;+\infty[\) : \(f'<0\).
x\(0\)\(1\)\(+\infty\)
f'(x)+||−
f(x)\(-\infty\)↗\(\frac12\)↘\(-\infty\)
✅ \(f\) est croissante sur \(]0;1]\), décroissante sur \([1;+\infty[\) ; maximum \(f(1)=\frac12\).
6) \((\Delta):y=-\dfrac x2\) est asymptote oblique en \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)+\dfrac x2=\dfrac1x\to0\) pour \(x\ge1\).
✅ Vrai : \((\Delta)\) est asymptote oblique à \(C_f\) en \(+\infty\).
7) Intersections avec l’axe des abscisses.
Correction détaillée
🔢 Sur \(]0;1]\) : \(\frac{3x}2=\frac1x\iff x^2=\frac23\iff x=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}3\) (\(\approx0{,}82\in]0;1]\)).
🔢 Sur \([1;+\infty[\) : \(\frac x2=\frac1x\iff x=\sqrt2\).
✅ Sur \(\mathbb R^*\) (par imparité) : \(\pm\frac{\sqrt6}3\) et \(\pm\sqrt2\).
8) Tracer \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Tracer sur \(]0;+\infty[\) avec le point anguleux \((1;\frac12)\) et l’asymptote \(y=-\frac x2\), puis compléter par symétrie centrale de centre \(O\).
✅ Courbe impaire avec deux points anguleux \((\pm1;\pm\frac12)\).
9) Discuter graphiquement le nombre de solutions de \(x^2-2|x^2-1|=2mx\).
Correction détaillée
🔢 \(x=0\) n’est pas solution (\(-2\ne0\)). Pour \(x\ne0\) : l’équation équivaut à \(\dfrac x2-\dfrac{|x^2-1|}x=m\), c’est-à-dire \(f(x)=m\).
🔢 Valeurs de \(f\) : sur \(]0;1]\) de \(-\infty\) à \(\frac12\) ; sur \([1;+\infty[\) de \(\frac12\) à \(-\infty\) ; par imparité sur \(]-\infty;-1]\) de \(+\infty\) à \(-\frac12\) ; sur \([-1;0[\) de \(-\frac12\) à \(+\infty\).
✅ \(m>\frac12\) : 2 solutions ; \(m=\frac12\) : 3 ; \(-\frac12<m<\frac12\) : 4 ; \(m=-\frac12\) : 3 ; \(m<-\frac12\) : 2.
Exercice 31
Résoudre l’équation différentielle \(y »+4y=0\) avec \(y(0)=1\) et \(y'(0)=-2\).
Solutions de \(y »+ \omega^2y=0\) avec \(\omega=2\).
Correction détaillée
🔢 La solution générale est \(y(x)=A\cos2x+B\sin2x\).
🔢 \(y(0)=A=1\). \(y'(x)=-2A\sin2x+2B\cos2x\), donc \(y'(0)=2B=-2\), \(B=-1\).
✅ \(y(x)=\cos2x-\sin2x\) (ce chapitre relève du programme de 2ème Bac).
Exercice 32
Soit \(f(x)=\dfrac{x^3}{3(x+1)}\).
1.a) Ensemble de définition.
Correction détaillée
🔢 \(x+1\ne0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}\).
1.b) Limites aux bornes de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 En \(\pm\infty\) : \(f(x)\sim\dfrac{x^3}{3x}=\dfrac{x^2}3\to+\infty\).
🔢 En \(-1\) : numérateur \(\to-1\). \(\lim_{-1^+}f=\dfrac{-1}{0^+}=-\infty\), \(\lim_{-1^-}f=\dfrac{-1}{0^-}=+\infty\).
✅ \(\lim_{\pm\infty}f=+\infty\) ; \(\lim_{-1^+}f=-\infty\) ; \(\lim_{-1^-}f=+\infty\).
1.c) Branches infinies.
Correction détaillée
🔢 \(x=-1\) asymptote verticale ; \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{x^2}{3(x+1)}\to\pm\infty\) en \(\pm\infty\).
✅ Branches paraboliques de direction \((Oy)\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
2) Variations et tableau.
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{9x^2(x+1)-3x^3}{9(x+1)^2}=\dfrac{x^2(2x+3)}{3(x+1)^2}\), du signe de \(2x+3\) (\(f'(0)=0\) sans changement de signe).
🔢 \(f\left(-\frac32\right)=\dfrac{-27/8}{-3/2}=\dfrac94\).
x\(-\infty\)\(-\frac32\)\(-1\)\(+\infty\)
f'(x)−\(0\)+||+
f(x)\(+\infty\)↘\(\frac94\)↗\(+\infty\,|\,-\infty\)↗\(+\infty\)
✅ \(f\) décroît sur \(]-\infty;-\frac32]\), croît sur \([-\frac32;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\).
3) Tangente en \(x_0=-3\).
Correction détaillée
🔢 \(f(-3)=\dfrac{-27}{3(-2)}=\dfrac92\) et \(f'(-3)=\dfrac{9(-3)}{3\times4}=-\dfrac94\).
🔢 \(y=-\frac94(x+3)+\frac92=-\frac94x-\frac94\).
✅ \((T):y=-\dfrac94(x+1)\).
4) Concavité.
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{2x^3+3x^2}{3(x+1)^2}\), donc \(f »(x)=\dfrac{(6x^2+6x)(x+1)-2(2x^3+3x^2)}{3(x+1)^3}=\dfrac{2x(x^2+3x+3)}{3(x+1)^3}\).
🔢 \(x^2+3x+3>0\) (\(\Delta=-3<0\)) : \(f »\) est du signe de \(x(x+1)\).
✅ \(C_f\) est convexe sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]0;+\infty[\), concave sur \(]-1;0[\) ; point d’inflexion \(O(0;0)\) (tangente horizontale).
5) Tracer la droite \((T)\) et la courbe \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 Points : \((-\frac32;\frac94)\), \((0;0)\), \((1;\frac16)\), \((2;\frac89)\), \((-3;\frac92)\), asymptote \(x=-1\), tangente \((T)\) en \((-3;\frac92)\).
✅ Branche en cuvette à gauche de \(-1\), branche croissante à droite avec inflexion en \(O\).
6) Discuter le nombre de solutions de \(\frac13x^3-mx-m=0\).
Correction détaillée
🔢 \(\frac13x^3=m(x+1)\iff\dfrac{x^3}{3(x+1)}=m\) (\(x=-1\) n’est pas solution). C’est \(f(x)=m\).
🔢 Sur \(]-1;+\infty[\) \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) à \(+\infty\) : toujours 1 solution. Sur \(]-\infty;-1[\), \(f\) prend les valeurs \([\frac94;+\infty[\) (deux fois si \(m>\frac94\) : une dans \(]-\infty;-\frac32[\), une dans \(]-\frac32;-1[\)).
✅ \(m>\frac94\) : 3 solutions ; \(m=\frac94\) : 2 solutions ; \(m<\frac94\) : 1 solution.
Exercice 33
Soit \(f(x)=|x+1|+\dfrac1{x+1}\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x+1\ne0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}\).
2) Limites aux bornes et interprétation.
Correction détaillée
🔢 En \(+\infty\) : \(x+1+\frac1{x+1}\to+\infty\). En \(-\infty\) : \(-(x+1)+\frac1{x+1}\to+\infty\).
🔢 En \(-1^+\) : \(|x+1|\to0\) et \(\frac1{x+1}\to+\infty\), donc \(+\infty\) ; en \(-1^-\) : \(\to-\infty\).
✅ Asymptote verticale \(x=-1\) ; \(\lim_{\pm\infty}f=+\infty\).
3) Dérivabilité en \(x_0=-1\).
Correction détaillée
🔢 \(-1\notin D_f\) : \(f\) n’est pas définie en \(-1\) (donc pas continue, pas dérivable). Le point anguleux de \(|x+1|\) est « cassé » par l’asymptote verticale.
✅ \(f\) n’est pas dérivable en \(-1\) car elle n’y est pas définie : \(C_f\) admet la droite \(x=-1\) comme asymptote.
4) Variations et tableau.
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>-1\) : \(f(x)=x+1+\frac1{x+1}\), \(f'(x)=1-\dfrac1{(x+1)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}\), nul en \(0\). \(f(0)=2\).
🔢 Pour \(x<-1\) : \(f(x)=-(x+1)+\frac1{x+1}\), \(f'(x)=-1-\dfrac1{(x+1)^2}<0\).
x\(-\infty\)\(-1\)\(0\)\(+\infty\)
f'(x)−||−\(0\)+
f(x)\(+\infty\)↘\(-\infty\,|\,+\infty\)↘\(2\)↗\(+\infty\)
✅ \(f\) décroît sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;0]\), croît sur \([0;+\infty[\) ; minimum local \(f(0)=2\).
5) Branches infinies.
Correction détaillée
🔢 En \(+\infty\) : \(f(x)-(x+1)=\dfrac1{x+1}\to0\). En \(-\infty\) : \(f(x)-(-x-1)=\dfrac1{x+1}\to0\).
✅ Asymptotes : \(x=-1\), \(y=x+1\) en \(+\infty\), \(y=-x-1\) en \(-\infty\).
6) Tracer \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Placer le minimum local \((0;2)\), les asymptotes \(x=-1\), \(y=x+1\) et \(y=-x-1\), puis quelques points : \(f(1)=2{,}5\), \(f(-2)=1-1=0\), \(f(-3)=2-\frac12=1{,}5\).
✅ À droite de \(-1\) : cuvette de minimum \(2\) en \(x=0\) qui monte avec l’asymptote \(y=x+1\) ; à gauche de \(-1\) : branche décroissante de \(+\infty\) (près de \(-\infty\)) vers \(-\infty\) (près de \(-1\)).
Exercice 34
Soit \(f(x)=\dfrac{(x+1)^3}{x^2+2x}\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2+2x=x(x+2)\ne0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-2;0\}\).
2) \(A(-1;0)\) est centre de symétrie de \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Si \(x\in D_f\) alors \(-2-x\in D_f\).
🔢 \(f(-2-x)=\dfrac{(-1-x)^3}{(-2-x)(-x)}=\dfrac{-(x+1)^3}{x(x+2)}=-f(x)\), donc \(f(-2-x)+f(x)=0=2\times0\).
✅ \(A(-1;0)\) est un centre de symétrie de \(C_f\).
3) Limites aux bornes de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 En \(\pm\infty\) : \(f(x)\sim x\).
🔢 En \(0^\pm\) : numérateur \(\to1\), \(x(x+2)\to0^\pm\) : \(\lim_{0^+}f=+\infty\), \(\lim_{0^-}f=-\infty\).
🔢 En \(-2^\pm\) : numérateur \(\to-1\). \(x(x+2)\) : \(x\to-2\) donc du signe opposé à \(x+2\) : en \(-2^+\), \(x(x+2)\to0^-\), \(f\to+\infty\) ; en \(-2^-\), \(x(x+2)\to0^+\), \(f\to-\infty\).
✅ \(\lim_{\pm\infty}f=\pm\infty\) ; \(\lim_{0^\pm}f=\pm\infty\) ; \(\lim_{-2^+}f=+\infty\), \(\lim_{-2^-}f=-\infty\) : asymptotes \(x=0\) et \(x=-2\).
4) Variations de \(f\) sur \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{3(x+1)^2(x^2+2x)-2(x+1)(x+1)^3}{(x^2+2x)^2}=\dfrac{(x+1)^2(x^2+2x-2)}{(x^2+2x)^2}\).
🔢 \(x^2+2x-2=0\iff x=-1\pm\sqrt3\). \(f’\) est du signe de \(x^2+2x-2\) (et nul en \(-1\) sans changement de signe).
🔢 \(f(-1+\sqrt3)=\dfrac{3\sqrt3}2\approx2{,}6\) et \(f(-1-\sqrt3)=-\dfrac{3\sqrt3}2\approx-2{,}6\).
x\(-\infty\)\(-1-\sqrt3\)\(-2\)\(0\)\(-1+\sqrt3\)\(+\infty\)
f'(x)+\(0\)−||−||−\(0\)+
f(x)\(-\infty\)↗\(-\frac{3\sqrt3}2\)↘\(-\infty\,|\,+\infty\)↘\(-\infty\,|\,+\infty\)↘\(\frac{3\sqrt3}2\)↗\(+\infty\)
✅ \(f\) croît sur \(]-\infty;-1-\sqrt3]\) et \([-1+\sqrt3;+\infty[\), décroît sur les intervalles de \([-1-\sqrt3;-1+\sqrt3]\) privés de \(-2\) et de \(0\) (avec \(f'(-1)=0\)).
5) Trouver \(a,b,c\) tels que \(f(x)=a(x+1)+\dfrac bx+\dfrac c{x+2}\).
Correction détaillée
🔢 Division : \((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)(x^2+2x)+(x+1)\), donc \(f(x)=x+1+\dfrac{x+1}{x(x+2)}\).
🔢 \(\dfrac{x+1}{x(x+2)}=\dfrac bx+\dfrac c{x+2}\) donne \(b=\dfrac{0+1}{0+2}=\dfrac12\) et \(c=\dfrac{-2+1}{-2}=\dfrac12\).
✅ \(a=1\), \(b=\dfrac12\), \(c=\dfrac12\).
6) Branches infinies.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-(x+1)=\dfrac12\left(\dfrac1x+\dfrac1{x+2}\right)\to0\) en \(\pm\infty\).
✅ Asymptotes : \(x=0\), \(x=-2\) et \(y=x+1\) (oblique, en \(\pm\infty\)).
7) Position de \(C_f\) et de l’asymptote oblique.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-(x+1)=\dfrac{x+1}{x(x+2)}\), dont le signe est celui de \((x+1)\) divisé par celui de \(x(x+2)\).
\(x\)\(-\infty\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(+\infty\)
signe\(-\)\(+\)\(-\)\(+\)
✅ \(C_f\) est au-dessous de l’asymptote sur \(]-\infty;-2[\) et \(]-1;0[\), au-dessus sur \(]-2;-1[\) et \(]0;+\infty[\) ; elle la coupe en \(A(-1;0)\).
8) Tracer \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Points : \(A(-1;0)\), \((-1+\sqrt3;2{,}6)\), \((-1-\sqrt3;-2{,}6)\), asymptotes \(x=-2\), \(x=0\), \(y=x+1\), centre \(A\).
✅ Trois branches : à gauche de \(-2\), entre \(-2\) et \(0\) (courbe décroissante passant par \(A\)), à droite de 0.
Exercice 35
Soit \(f(x)=\dfrac{1+x}{1-\sqrt{1-x}}\).
1) \(D_f\) et limites aux bornes.
Correction détaillée
🔢 Il faut \(1-x\ge0\) et \(\sqrt{1-x}\ne1\), c’est-à-dire \(x\le1\) et \(x\ne0\) : \(D_f=]-\infty;0[\cup]0;1]\).
🔢 Pour simplifier : \(f(x)=\dfrac{(1+x)\left(1+\sqrt{1-x}\right)}{x}\).
🔢 En \(-\infty\) : \(f(x)\sim\dfrac{x}{1-\sqrt{-x}}\sim\sqrt{-x}\to+\infty\).
🔢 En \(0^+\) : \(f\to\dfrac{1\times2}{0^+}=+\infty\) ; en \(0^-\) : \(-\infty\). \(f(1)=2\).
✅ \(\lim_{-\infty}f=+\infty\) ; \(\lim_{0^-}f=-\infty\) ; \(\lim_{0^+}f=+\infty\) ; \(f(1)=2\).
2) Branches infinies en \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x\sim\dfrac1{-\sqrt{-x}}\to0\) et \(f\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction \((Ox)\) en \(-\infty\) ; asymptote verticale \(x=0\).
3) Dérivabilité à gauche de \(x_0=1\).
Correction détaillée
🔢 Posons \(s=\sqrt{1-x}\) : \(f=\dfrac{2-s^2}{1-s}\), \(f(1)=2\) et \(x-1=-s^2\).
🔢 \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{s(2-s)/(1-s)}{-s^2}=-\dfrac{2-s}{s(1-s)}\to-\infty\) quand \(s\to0^+\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à gauche en 1 : demi-tangente verticale au point \((1;2)\).
4) Variations et tableau.
Correction détaillée
🔢 Avec \(s=\sqrt{1-x}\) : \(\dfrac{df}{ds}=\dfrac{s^2-2s+2}{(1-s)^2}>0\) et \(\dfrac{ds}{dx}=-\dfrac1{2s}<0\).
🔢 Donc \(f'(x)=-\dfrac{s^2-2s+2}{2s(1-s)^2}<0\) sur \(D_f\setminus\{1\}\).
x\(-\infty\)\(0\)\(1\)
f'(x)−||−
f(x)\(+\infty\)↘\(-\infty\,|\,+\infty\)↘\(2\)
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;1]\).
5) Tracer \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Asymptote \(x=0\), branche parabolique horizontale à gauche, point \((1;2)\) avec tangente verticale, \((-1;0)\) car \(f(-1)=0\).
✅ Deux branches décroissantes, l’une sur \(]-\infty;0[\), l’autre sur \(]0;1]\).
6) Discuter le nombre de racines de \(\dfrac1mx+\sqrt{1-x}+\dfrac1m-1=0\) (\(m\ne0\)).
Correction détaillée
🔢 L’équation équivaut à \(\dfrac{x+1}m=1-\sqrt{1-x}\), soit \(f(x)=m\) (avec \(x\ne0\) ; \(x=0\) n’est jamais racine car on trouverait \(\frac2m=0\)).
🔢 Sur \(]-\infty;0[\), \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(-\infty\) : une racine pour tout \(m\). Sur \(]0;1]\), \(f\) prend les valeurs de \([2;+\infty[\) : une racine si \(m\ge2\).
✅ \(m\ge2\) : 2 racines ; \(m<2\), \(m\ne0\) : 1 racine.
Exercice 36
Soit \(f(x)=\dfrac x{\sqrt{x-1}}\).
1) \(D_f\) et limites.
Correction détaillée
🔢 \(D_f=]1;+\infty[\).
🔢 \(\lim_{1^+}f=\dfrac1{0^+}=+\infty\) ; \(f(x)\sim\sqrt x\) donc \(\lim_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(D_f=]1;+\infty[\) ; \(\lim_{1^+}f=+\infty\) ; \(\lim_{+\infty}f=+\infty\).
2) Branches infinies.
Correction détaillée
🔢 \(x=1\) asymptote verticale ; \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac1{\sqrt{x-1}}\to0\).
✅ Branche parabolique de direction \((Ox)\) en \(+\infty\).
3) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{x-2}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}-\frac x{2\sqrt{x-1}}}{x-1}=\dfrac{2(x-1)-x}{2(x-1)\sqrt{x-1}}=\dfrac{x-2}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\).
✅ Formule démontrée.
4) Variations et tableau.
Correction détaillée
🔢 \(f’\) est du signe de \(x-2\). \(f(2)=2\).
x\(1\)\(2\)\(+\infty\)
f'(x)−\(0\)+
f(x)\(+\infty\)↘\(2\)↗\(+\infty\)
✅ \(f\) décroît sur \(]1;2]\), croît sur \([2;+\infty[\) ; minimum \(f(2)=2\).
5) Concavité et points d’inflexion.
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=\dfrac{4-x}{4(x-1)^2\sqrt{x-1}}\) (dérivée de \(\frac{x-2}{2(x-1)^{3/2}}\)).
✅ \(C_f\) est convexe sur \(]1;4]\), concave sur \([4;+\infty[\) ; point d’inflexion \(\left(4;\dfrac4{\sqrt3}\right)\).
6) Tracer \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Asymptote \(x=1\), minimum \((2;2)\), inflexion \((4;\approx2{,}31)\).
✅ La courbe descend de \(+\infty\) jusqu’à \((2;2)\), puis remonte lentement (croissance de type \(\sqrt x\)).
V. Exercices complémentaires
Exercice 37
Repère orthogonal d’unité 1 cm sur \(Ox\) et 0,5 cm sur \(Oy\). Partie A : \(f(x)=\frac32x^2-1\) sur \([-3;4]\). Partie B : \(g(x)=-x^3+\frac32x^2+6x-1\) sur \([-3;4]\).
A.1.a) Déterminer \(f’\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\frac32\times2x=3x\).
✅ \(f'(x)=3x\).
A.1.b) Tableau de variation de \(f\) sur \([-3;4]\).
Correction détaillée
🔢 \(f(-3)=\frac{27}2-1=\frac{25}2\), \(f(0)=-1\), \(f(4)=24-1=23\).
x\(-3\)\(0\)\(4\)
f'(x)−\(0\)+
f(x)\(\frac{25}2\)↘\(-1\)↗\(23\)
✅ \(f\) décroît sur \([-3;0]\) et croît sur \([0;4]\).
A.2. Équation de la tangente \(T\) en \(x=-1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(-1)=\frac32-1=\frac12\) et \(f'(-1)=-3\).
🔢 \(y=-3(x+1)+\frac12=-3x-\frac52\).
✅ \((T):y=-3x-\dfrac52\).
A.3. Tracer \(T\) et \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Points : \((-3;12{,}5)\), \((-1;0{,}5)\), \((0;-1)\), \((1;0{,}5)\), \((2;5)\), \((4;23)\).
✅ \(C_f\) est une parabole de sommet \((0;-1)\) tournée vers le haut.
B.1.a) Dérivée \(g’\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=-3x^2+3x+6\).
✅ \(g'(x)=-3x^2+3x+6\).
B.1.b) Signe de \(g’\) et tableau de variation.
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=-3(x^2-x-2)=-3(x-2)(x+1)\) ; \(\Delta=81\), racines \(-1\) et \(2\) ; \(g’\) est positif entre les racines.
🔢 \(g(-3)=27+\frac{27}2-18-1=\frac{43}2\), \(g(-1)=1+\frac32-6-1=-\frac92\), \(g(2)=-8+6+12-1=9\), \(g(4)=-64+24+24-1=-17\).
x\(-3\)\(-1\)\(2\)\(4\)
f'(x)−\(0\)+\(0\)−
f(x)\(\frac{43}2\)↘\(-\frac92\)↗\(9\)↘\(-17\)
✅ \(g\) décroît sur \([-3;-1]\), croît sur \([-1;2]\), décroît sur \([2;4]\).
B.1.c) Nombre de solutions de \(g(x)=0\) sur \([-3;4]\).
Correction détaillée
🔢 Sur \([-3;-1]\) : \(g\) continue, strictement décroissante, \(g(-3)>0>g(-1)\) : une solution.
🔢 Sur \([-1;2]\) : strictement croissante, \(g(-1)<0<g(2)\) : une solution.
🔢 Sur \([2;4]\) : strictement décroissante, \(g(2)>0>g(4)\) : une solution \(\alpha\).
✅ L’équation \(g(x)=0\) admet exactement trois solutions sur \([-3;4]\) ; \(\alpha\in]2;4[\) est la plus grande.
B.1.d) Encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\).
Correction détaillée
🔢 \(g(3)=3{,}5>0\) et \(g(4)<0\) : \(\alpha\in]3;4[\). Par balayage au pas de \(0{,}1\) : \(g(3{,}2)\approx0{,}79>0\) et \(g(3{,}3)\approx-0{,}80<0\).
🔢 Au pas de \(0{,}01\) : \(g(3{,}25)\approx0{,}02>0\) et \(g(3{,}26)\approx-0{,}14<0\).
✅ \(3{,}25<\alpha<3{,}26\).
B.2. Points d’intersection de \(C_f\) et \(C_g\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=g(x)\iff\frac32x^2-1=-x^3+\frac32x^2+6x-1\iff-x^3+6x=0\iff x(6-x^2)=0\).
🔢 \(x=0\) ou \(x=\pm\sqrt6\) ; \(f(\pm\sqrt6)=\frac32\times6-1=8\) et \(f(0)=-1\).
✅ \(A(-\sqrt6;8)\), \(B(0;-1)\), \(C(\sqrt6;8)\).
B.3. Tracer \(C_g\).
Correction détaillée
🔢 Placer \((-3;21{,}5)\), \((-1;-4{,}5)\) (minimum local), \((2;9)\) (maximum local), \((4;-17)\) et les points \(A,B,C\).
✅ Courbe en « N » inversé : décroissante, puis croissante, puis décroissante.
Exercice 38
\(f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{2-x}\) pour \(x\ne2\) et \(g(x)=\dfrac{\sin x}x\) pour \(x\ne0\).
1.a) Limites de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 Forme indéterminée : \(f(x)=x\times\dfrac{1-\frac1x+\frac1{x^2}}{\frac2x-1}\).
🔢 Le quotient tend vers \(\dfrac1{-1}=-1\). Donc \(\lim_{+\infty}f=-\infty\) et \(\lim_{-\infty}f=+\infty\).
✅ \(\lim_{+\infty}f=-\infty\) et \(\lim_{-\infty}f=+\infty\).
1.b) Asymptote de \(C_f\) en \(\pm\infty\) ?
Correction détaillée
🔢 Les limites sont infinies : on ne peut pas en déduire d’asymptote horizontale.
✅ Pas d’asymptote horizontale (une asymptote oblique éventuelle exige une étude supplémentaire).
2. Montrer que \(-\frac1x\le g(x)\le\frac1x\) pour \(x>0\) ; limite de \(g\) en \(+\infty\) et asymptote.
Correction détaillée
🔢 \(-1\le\sin x\le1\), on divise par \(x>0\) : \(-\frac1x\le\frac{\sin x}x\le\frac1x\).
🔢 \(\lim\left(-\frac1x\right)=\lim\frac1x=0\) : théorème des gendarmes.
✅ \(\lim_{+\infty}g=0\) : \(C_g\) admet la droite \(y=0\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\).
3. Limite de \(g\) en \(-\infty\) et asymptote.
Correction détaillée
🔢 Pour \(x<0\), en divisant par \(x\) l’encadrement s’inverse : \(\frac1x\le g(x)\le-\frac1x\), et les deux bornes tendent vers 0.
✅ \(\lim_{-\infty}g=0\) : asymptote horizontale \(y=0\) en \(-\infty\).
4.a) Tableau de signe de \(2-x\).
Correction détaillée
🔢 \(2-x>0\iff x<2\).
✅ \(2-x\) est positif sur \(]-\infty;2[\), négatif sur \(]2;+\infty[\).
4.b) Limites de \(f\) en \(2^+\) et \(2^-\), asymptote.
Correction détaillée
🔢 Numérateur en 2 : \(4-2+1=3>0\).
🔢 En \(2^+\) : \(2-x\to0^-\), donc \(f\to-\infty\). En \(2^-\) : \(2-x\to0^+\), donc \(f\to+\infty\).
✅ La droite \(x=2\) est asymptote verticale à \(C_f\).
5.a) Calculer \(f'(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{(2x-1)(2-x)+(x^2-x+1)}{(2-x)^2}=\dfrac{-x^2+4x-1}{(2-x)^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{-x^2+4x-1}{(2-x)^2}\).
5.b) Signe de \(f'(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(-x^2+4x-1\) : \(\Delta=16-4=12\), racines \(2\pm\sqrt3\) ; positif entre les racines.
🔢 \((2-x)^2>0\).
✅ \(f’>0\) sur \(]2-\sqrt3;2[\cup]2;2+\sqrt3[\), \(f'<0\) ailleurs.
5.c) Tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(2-\sqrt3)=\dfrac{6-3\sqrt3}{\sqrt3}=2\sqrt3-3\approx0{,}46\) et \(f(2+\sqrt3)=-\dfrac{6+3\sqrt3}{\sqrt3}=-2\sqrt3-3\approx-6{,}46\).
x\(-\infty\)\(2-\sqrt3\)\(2\)\(2+\sqrt3\)\(+\infty\)
f'(x)−\(0\)+||+\(0\)−
f(x)\(+\infty\)↘\(2\sqrt3-3\)↗\(+\infty\,|\,-\infty\)↗\(-2\sqrt3-3\)↘\(-\infty\)
✅ \(f\) décroît sur \(]-\infty;2-\sqrt3]\), croît sur \([2-\sqrt3;2[\) et \(]2;2+\sqrt3]\), décroît sur \([2+\sqrt3;+\infty[\).
Exercice 39
\(f(x)=\dfrac{-x^2+x+1}{x-1}\) pour \(x\ne1\) et \(g(x)=\dfrac{\cos x+1}x\) pour \(x\ne0\).
1.a) Limites de \(f\) en \(\pm\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\times\dfrac{-1+\frac1x+\frac1{x^2}}{1-\frac1x}\), le quotient tend vers \(-1\).
✅ \(\lim_{+\infty}f=-\infty\) et \(\lim_{-\infty}f=+\infty\).
1.b) Asymptote en \(\pm\infty\) ?
Correction détaillée
🔢 Limites infinies : pas d’asymptote horizontale.
✅ Aucune asymptote horizontale.
2. Montrer que \(0\le g(x)\le\frac2x\) pour \(x>0\) ; limite en \(+\infty\) et asymptote.
Correction détaillée
🔢 \(-1\le\cos x\le1\Rightarrow0\le\cos x+1\le2\), puis division par \(x>0\).
🔢 Gendarmes : \(\lim_{+\infty}g=0\).
✅ \(y=0\) est asymptote horizontale à \(C_g\) en \(+\infty\).
3. Limite de \(g\) en \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x<0\) : \(\frac2x\le g(x)\le0\), et \(\frac2x\to0\).
✅ \(\lim_{-\infty}g=0\) : asymptote \(y=0\) en \(-\infty\).
4. Signe de \(x-1\), limites de \(f\) en \(1^+\) et \(1^-\).
Correction détaillée
🔢 Numérateur en 1 : \(-1+1+1=1>0\).
🔢 En \(1^+\) : \(x-1\to0^+\) donc \(f\to+\infty\) ; en \(1^-\) : \(f\to-\infty\).
✅ Asymptote verticale \(x=1\).
5. Dérivée, signe et tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{(-2x+1)(x-1)-(-x^2+x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{-x^2+2x-2}{(x-1)^2}\).
🔢 \(-x^2+2x-2\) : \(\Delta=4-8<0\), donc négatif pour tout \(x\).
x\(-\infty\)\(1\)\(+\infty\)
f'(x)−||−
f(x)\(+\infty\)↘\(-\infty\,|\,+\infty\)↘\(-\infty\)
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
Exercice 40
\(f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}-1\) sur \(\mathbb R\) ; repère orthonormal, unité 2 cm.
1.a) Limites de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\sim\dfrac x{|x|}\).
🔢 \(+\infty\) : \(1-1=0\). \(-\infty\) : \(-1-1=-2\).
✅ \(\lim_{+\infty}f=0\) et \(\lim_{-\infty}f=-2\) : asymptotes horizontales \(y=0\) et \(y=-2\).
1.b) Variations de \(f\) et tableau.
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x(x+1)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\dfrac{1-x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\), du signe de \(1-x\).
🔢 \(f(1)=\dfrac2{\sqrt2}-1=\sqrt2-1\).
x\(-\infty\)\(1\)\(+\infty\)
f'(x)+\(0\)−
f(x)\(-2\)↗\(\sqrt2-1\)↘\(0\)
✅ \(f\) croît sur \(]-\infty;1]\) puis décroît sur \([1;+\infty[\) ; maximum \(\sqrt2-1\).
2.a) Tangente \(T\) en 0.
Correction détaillée
🔢 \(f(0)=0\), \(f'(0)=1\).
✅ \((T):y=x\).
2.b) Position de \(T\) par rapport à \(C\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=(x+1)\left(\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}-1\right)\).
🔢 \(\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}-1\le0\) (nul seulement pour \(x=0\)) : le signe est celui de \(-(x+1)\).
✅ \(x<-1\) : \(C\) au-dessus de \(T\) ; \(x=-1\) et \(x=0\) : intersections \((-1;-1)\), \((0;0)\) ; sinon \(C\) au-dessous de \(T\).
3. Tracer \(T\) et \(C\).
Correction détaillée
🔢 Asymptotes \(y=0\) (à droite) et \(y=-2\) (à gauche), maximum \((1;0{,}41)\), tangente \(y=x\).
✅ Courbe croissante de \(-2\) jusqu’à \(\sqrt2-1\) puis décroissante vers 0.
Exercice 41
Sur \(I=[0;\frac\pi4]\) : \(g(x)=\tan x-x\), \(h(x)=\tan x-2x\), \(f(x)=\tan x-x-\frac{4x^3}3\).
1.a) Variations de \(g\) ; en déduire son signe.
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=1+\tan^2x-1=\tan^2x\ge0\) : \(g\) croît sur \(I\) ; \(g(0)=0\).
✅ \(g\) est croissante et \(g\ge0\) sur \(I\).
1.b) Montrer que \(0\le\tan x\le1\) sur \(I\).
Correction détaillée
🔢 Sur \([0;\frac\pi4]\) : \(\frac{\sqrt2}2\le\cos x\le1\) et \(0\le\sin x\le\frac{\sqrt2}2\) ; donc \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\in[0;1]\) (\(\tan\) croît et \(\tan\frac\pi4=1\)).
✅ \(0\le\tan x\le1\).
1.c) \(h'(x)=\tan^2x-1\) ; variations et signe de \(h\).
Correction détaillée
🔢 \(h'(x)=1+\tan^2x-2=\tan^2x-1\le0\) d’après 1.b).
🔢 \(h\) décroît sur \(I\) et \(h(0)=0\), donc \(h\le0\).
✅ \(h\) est décroissante et négative sur \(I\) : \(\tan x\le2x\).
2.a) Montrer \(f'(x)=(\tan x+2x)(\tan x-2x)\) ; signe de \(f’\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1+\tan^2x-1-4x^2=\tan^2x-4x^2=(\tan x+2x)(\tan x-2x)\).
🔢 \(\tan x+2x\ge0\) et \(\tan x-2x\le0\) d’après 1.c).
✅ \(f’\le0\) sur \(I\).
2.b) Tableau de variation de \(f\) et signe de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) est décroissante sur \(I\) avec \(f(0)=0\), donc \(f(x)\le0\) sur \(I\).
✅ \(f\) décroît de \(0\) à \(f(\frac\pi4)\) ; \(f\le0\).
2.c) Montrer que \(x\le\tan x\le x+\frac{4x^3}3\).
Correction détaillée
🔢 \(g\ge0\Rightarrow\tan x\ge x\) ; \(f\le0\Rightarrow\tan x\le x+\frac{4x^3}3\).
✅ \(x\le\tan x\le x+\dfrac{4x^3}3\) pour tout \(x\in I\).
3. Calculer \(\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x-x}{x^2}\) et \(\lim_{x\to\frac\pi4}\dfrac{\tan x-1}{x-\frac\pi4}\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>0\) : \(0\le\tan x-x\le\frac{4x^3}3\), donc \(0\le\dfrac{\tan x-x}{x^2}\le\dfrac{4x}3\to0\) : limite \(0\).
🔢 La deuxième limite est le nombre dérivé de \(\tan\) en \(\frac\pi4\) : \(1+\tan^2\frac\pi4=2\).
✅ \(\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x-x}{x^2}=0\) et \(\lim_{x\to\frac\pi4}\dfrac{\tan x-1}{x-\frac\pi4}=2\).
Exercice 42
\(f(x)=x+\cos^2x\), \(C\) sa courbe.
1.a) Montrer \(x\le f(x)\le x+1\).
Correction détaillée
🔢 \(0\le\cos^2x\le1\).
✅ \(x\le f(x)\le x+1\).
1.b) Limites de \(f\) en \(\pm\infty\).
Correction détaillée
🔢 Théorème des gendarmes avec \(x\) et \(x+1\).
✅ \(\lim_{+\infty}f=+\infty\), \(\lim_{-\infty}f=-\infty\).
1.c) Interprétation graphique.
Correction détaillée
🔢 L’encadrement signifie que \(C\) est située entre les droites \(y=x\) et \(y=x+1\).
✅ \(C\) est dans la bande comprise entre \((d_1)\) et \((d_2)\).
2. Intersections de \(C\) avec \((d_1):y=x\) et \((d_2):y=x+1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\iff\cos^2x=0\iff x=\frac\pi2+k\pi\), points \(\left(\frac\pi2+k\pi;\frac\pi2+k\pi\right)\).
🔢 \(f(x)=x+1\iff\cos^2x=1\iff x=k\pi\), points \((k\pi;k\pi+1)\).
✅ \(C\) touche \((d_1)\) en \(x=\frac\pi2+k\pi\) et \((d_2)\) en \(x=k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).
3. Dérivée, sens de variation, équation \(f'(x)=0\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1-2\sin x\cos x=1-\sin2x\in[0;2]\).
🔢 \(f'(x)=0\iff\sin2x=1\iff x=\frac\pi4+k\pi\).
✅ \(f\) est croissante sur \(\mathbb R\) ; \(f’=0\) en \(x=\frac\pi4+k\pi\) (tangentes de pente 1… horizontale en pente 0).
4. Tableau sur \([0;\pi]\) et représentation.
Correction détaillée
🔢 \(f(0)=1\), \(f\left(\frac\pi4\right)=\frac\pi4+\frac12\), \(f(\pi)=\pi+1\).
x\(0\)\(\frac\pi4\)\(\pi\)
f'(x)+\(0\)+
f(x)\(1\)↗\(\frac\pi4+\frac12\)↗\(\pi+1\)
✅ \(f\) est croissante sur \([0;\pi]\) de 1 à \(\pi+1\), avec une tangente horizontale en \(\frac\pi4\).
5. Montrer \(f(x+\pi)=f(x)+\pi\) ; en déduire \(C\) à partir de \(C\) sur \([0;\pi]\).
Correction détaillée
🔢 \(\cos^2(x+\pi)=\cos^2x\), donc \(f(x+\pi)=x+\pi+\cos^2x=f(x)+\pi\). Le point d’abscisse \(x+\pi\) s’obtient à partir du point d’abscisse \(x\) par translation de vecteur \(\pi\vec\imath+\pi\vec\jmath\).
✅ On obtient \(C\) sur \(\mathbb R\) par translations de vecteur \(k\pi(\vec\imath+\vec\jmath)\), \(k\in\mathbb Z\).
Exercice 43
\(f(x)=\sqrt{x^2-1}-x\).
1. Ensemble de définition.
Correction détaillée
🔢 \(x^2-1\ge0\).
✅ \(D_f=]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[\).
2.a) Montrer \(f(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}\) ; limite en \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\dfrac{(x^2-1)-x^2}{\sqrt{x^2-1}+x}=\dfrac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}\) (quantité conjuguée).
🔢 Le dénominateur tend vers \(+\infty\).
✅ \(\lim_{+\infty}f=0\).
2.b) Limite en \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{x^2-1}\to+\infty\) et \(-x\to+\infty\).
✅ \(\lim_{-\infty}f=+\infty\).
2.c) Asymptotes éventuelles.
Correction détaillée
🔢 \(\lim_{+\infty}f=0\).
✅ \(y=0\) est asymptote horizontale à \(C_f\) en \(+\infty\).
3. Montrer que \(y=-2x\) est asymptote oblique.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)+2x=\sqrt{x^2-1}+x=\dfrac{-1}{\sqrt{x^2-1}-x}\) (conjugué).
🔢 En \(-\infty\), \(\sqrt{x^2-1}-x\to+\infty\), donc \(f(x)+2x\to0\).
✅ \(y=-2x\) est asymptote oblique à \(C_f\) en \(-\infty\).
4.a) Étudier \(\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}\) en \(-1^-\).
Correction détaillée
🔢 \(f(-1)=1\). Pour \(x<-1\) : \(\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}-1=-\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}-1\).
🔢 \(\dfrac{x-1}{x+1}\to\dfrac{-2}{0^-}=+\infty\), donc la limite est \(-\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable en \(-1\) : demi-tangente verticale en \((-1;1)\).
4.b) Dérivabilité en 1.
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>1\) : \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{\sqrt{x^2-1}-x+1}{x-1}=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}-1\to+\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable en 1 : demi-tangente verticale en \((1;-1)\).
5. Variations de \(f\) et tableau.
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac x{\sqrt{x^2-1}}-1=\dfrac{x-\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}\).
🔢 Si \(x<-1\) : \(x<0\), donc \(f'<0\). Si \(x>1\) : \(x>\sqrt{x^2-1}\), donc \(f’>0\).
x\(-\infty\)\(-1\)\(1\)\(+\infty\)
f'(x)−||||+
f(x)\(+\infty\)↘\(1\)↘\(-1\)↗\(0\)
✅ \(f\) décroît sur \(]-\infty;-1]\) et croît sur \([1;+\infty[\).
6. Tracer \(C_f\) et les tangentes en \(-2,-1,1,2\).
Correction détaillée
🔢 \(f(-2)=\sqrt3+2\approx3{,}73\), \(f'(-2)=-\frac2{\sqrt3}-1\approx-2{,}15\).
🔢 \(f(2)=\sqrt3-2\approx-0{,}27\), \(f'(2)=\frac2{\sqrt3}-1\approx0{,}15\).
🔢 En \(-1\) et \(1\) : tangentes verticales.
✅ Courbe en deux branches : une décroissante à gauche, une croissante à droite proche de l’axe des abscisses.
Exercice 44
\(f(x)=\sqrt{x^2+1}-1\).
1. \(D_f=\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2+1>0\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
2. Parité.
Correction détaillée
🔢 \(D_f\) est symétrique et \(f(-x)=\sqrt{(-x)^2+1}-1=f(x)\).
✅ \(f\) est paire : \(C_f\) est symétrique par rapport à \((Oy)\).
3. Limites en \(\pm\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2+1\to+\infty\) en \(\pm\infty\).
✅ \(\lim_{\pm\infty}f=+\infty\).
4.a) Asymptote oblique \(y=x-1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-(x-1)=\sqrt{x^2+1}-x=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}+x}\to0\) en \(+\infty\).
✅ \(y=x-1\) est asymptote oblique à \(C_f\) en \(+\infty\).
4.b) Autre asymptote oblique.
Correction détaillée
🔢 Par parité de \(f\), la symétrique de \(y=x-1\) par rapport à \((Oy)\) est asymptote en \(-\infty\).
✅ \(y=-x-1\) est asymptote oblique en \(-\infty\).
5. Variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}\), du signe de \(x\).
✅ \(f\) décroît sur \(\mathbb R^-\) et croît sur \(\mathbb R^+\).
6. Tableau de variation.
Correction détaillée
x\(-\infty\)\(0\)\(+\infty\)
f'(x)−\(0\)+
f(x)\(+\infty\)↘\(0\)↗\(+\infty\)
✅ Minimum \(f(0)=0\).
7. Tangente au point d’abscisse 1.
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=\sqrt2-1\) et \(f'(1)=\frac1{\sqrt2}\).
🔢 \(y=\frac1{\sqrt2}(x-1)+\sqrt2-1=\frac{\sqrt2}2x+\frac{\sqrt2}2-1\).
✅ \((T):y=\dfrac{\sqrt2}2x+\dfrac{\sqrt2}2-1\).
8. Résoudre \(f(x)=0\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{x^2+1}=1\iff x^2+1=1\iff x=0\).
✅ \(S=\{0\}\).
Exercice 45
\(f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}\).
1. Ensemble de définition.
Correction détaillée
🔢 \(\Delta=4\), racines 1 et 3 ; le trinôme est positif à l’extérieur.
✅ \(D_f=]-\infty;1]\cup[3;+\infty[\).
2. Limites aux bornes de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2-4x+3\to+\infty\) en \(\pm\infty\) ; \(f(1)=f(3)=0\).
✅ \(\lim_{\pm\infty}f=+\infty\) ; \(f(1)=f(3)=0\).
3.a) Pour \(x<1\), montrer \(\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}}{x-1}=-\sqrt{\dfrac{x-3}{x-1}}\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x<1\), \(x-1=-\sqrt{(x-1)^2}\) et \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), d’où le résultat.
✅ Égalité démontrée.
3.b) \(f\) est-elle dérivable en 1 ?
Correction détaillée
🔢 \(\frac{x-3}{x-1}\to\frac{-2}{0^-}=+\infty\), donc le taux tend vers \(-\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable en 1 (demi-tangente verticale).
4. Variations sur \(]-\infty;1[\cup]3;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+3}}=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+3}}\), du signe de \(x-2\).
✅ \(f\) décroît sur \(]-\infty;1]\), croît sur \([3;+\infty[\).
5. Tableau de variation.
Correction détaillée
x\(-\infty\)\(1\)\(3\)\(+\infty\)
f'(x)−||||+
f(x)\(+\infty\)↘\(0\)↘\(0\)↗\(+\infty\)
✅ Voir tableau ci-dessus.
6. Montrer que \(y=x-2\) et \(y=-x+2\) sont asymptotes obliques.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-(x-2)=\dfrac{(x^2-4x+3)-(x-2)^2}{f(x)+x-2}=\dfrac{-1}{f(x)+x-2}\to0\) en \(+\infty\).
🔢 \(f(x)-(-x+2)=\dfrac{-1}{f(x)-x+2}\to0\) en \(-\infty\).
✅ \(y=x-2\) en \(+\infty\) et \(y=-x+2\) en \(-\infty\).
Exercice 46
\(f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)\) sur \(\mathbb R^*\).
1. Parité.
Correction détaillée
🔢 \(f(-x)=-x\sin\left(-\frac1x\right)=x\sin\left(\frac1x\right)=f(x)\).
✅ \(f\) est paire.
2. \(\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0\).
Correction détaillée
🔢 \(-|x|\le x\sin\frac1x\le|x|\) et \(|x|\to0\) : gendarmes.
✅ \(\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0\).
3. \(\lim_{x\to+\infty}x\sin\frac1x=1\).
Correction détaillée
🔢 Avec \(X=\frac1x\to0^+\) : \(x\sin\frac1x=\dfrac{\sin X}X\to1\).
✅ \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=1\).
4. Limite en \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 Par parité, \(\lim_{-\infty}f=\lim_{+\infty}f\).
✅ \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=1\).
5. Conséquences pour \(C\).
Correction détaillée
🔢 Parité : symétrie par rapport à \((Oy)\) ; limite 1 en \(\pm\infty\).
✅ \(C\) est symétrique par rapport à \((Oy)\) et admet \(y=1\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\) et \(-\infty\).
Exercice 47
\(f(x)=\dfrac1{x+1}\) sur \(\mathbb R\setminus\{-1\}\).
1. Limites aux bornes de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(\lim_{\pm\infty}f=0\) ; \(\lim_{-1^+}f=+\infty\) ; \(\lim_{-1^-}f=-\infty\).
✅ Asymptotes \(y=0\) et \(x=-1\).
2. Variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=-\dfrac1{(x+1)^2}<0\).
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\).
3.a) Tangente \(T\) en \(A(a;f(a))\), \(a\ne-1\).
Correction détaillée
🔢 \(y=-\dfrac{x-a}{(a+1)^2}+\dfrac1{a+1}=\dfrac{-x+2a+1}{(a+1)^2}\).
✅ \((T):y=\dfrac{-x+2a+1}{(a+1)^2}\).
3.b) Abscisse de \(B=T\cap(Ox)\).
Correction détaillée
🔢 \(y=0\iff x=2a+1\).
✅ \(B(2a+1;0)\).
3.c) Aire du triangle \(AHB\).
Correction détaillée
🔢 \(H(a;0)\), \(HB=|2a+1-a|=|a+1|\), \(AH=|f(a)|=\frac1{|a+1|}\).
🔢 Aire \(=\dfrac{HA\times HB}2=\dfrac12\).
✅ L’aire vaut \(\dfrac12\) quel que soit \(a\) : elle ne dépend pas de \(a\).
Exercice 48
\(f(x)=\sqrt{x^2+1}-x\) sur \(\mathbb R\).
1. Limites aux bornes.
Correction détaillée
🔢 En \(+\infty\) : forme \(\infty-\infty\) ; \(f(x)=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}+x}\to0\).
🔢 En \(-\infty\) : \(\sqrt{x^2+1}\to+\infty\) et \(-x\to+\infty\).
✅ \(\lim_{+\infty}f=0\), \(\lim_{-\infty}f=+\infty\).
2. Variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}-1=\dfrac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}<0\) car \(x\le|x|<\sqrt{x^2+1}\).
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
3. Tableau de variation.
Correction détaillée
x\(-\infty\)\(+\infty\)
f'(x)−
f(x)\(+\infty\)↘\(0\)
✅ Voir tableau.
4. \(y=-2x\) est asymptote oblique en \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)+2x=\sqrt{x^2+1}+x=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}-x}\to0\) en \(-\infty\).
✅ \(y=-2x\) est asymptote oblique à \(C\) en \(-\infty\).
5. Tangente \(T\) en \(x=0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(0)=1\), \(f'(0)=-1\).
✅ \((T):y=-x+1\).
6.a) Polynômes du second degré tangents à \(T\) en 0.
Correction détaillée
🔢 \(P(x)=ax^2+bx+c\) : \(P(0)=c=1\) et \(P'(0)=b=-1\).
✅ \(P(x)=ax^2-x+1\), \(a\ne0\).
6.b) Un de ces polynômes passe-t-il par \(A(2;1)\) ?
Correction détaillée
🔢 \(P(2)=4a-2+1=1\iff a=\frac12\).
✅ Oui : \(P(x)=\frac12x^2-x+1\).
7. Représentation graphique.
Correction détaillée
🔢 Tracer \(C\), \(T:y=-x+1\), \((d):y=-2x\) et la parabole \(P\).
✅ \(C\) est décroissante de \(+\infty\) vers 0, tangente à \(T\) au point \((0;1)\).
Exercice 49
\(f(x)=\dfrac{2x^2-6}{x-2}\) sur \(\mathbb R\setminus\{2\}\).
1. Limites aux bornes de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 En \(\pm\infty\) : \(f(x)\sim2x\), donc \(\pm\infty\).
🔢 Numérateur en 2 : \(8-6=2>0\). \(\lim_{2^+}f=+\infty\), \(\lim_{2^-}f=-\infty\).
✅ \(\lim_{\pm\infty}f=\pm\infty\) ; \(\lim_{2^\pm}f=\pm\infty\).
2. Variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{4x(x-2)-(2x^2-6)}{(x-2)^2}=\dfrac{2x^2-8x+6}{(x-2)^2}=\dfrac{2(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\).
✅ \(f’>0\) sur \(]-\infty;1[\cup]3;+\infty[\), \(f'<0\) sur \(]1;2[\cup]2;3[\).
3. Tableau de variation.
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=\dfrac{-4}{-1}=4\) et \(f(3)=\dfrac{12}1=12\).
x\(-\infty\)\(1\)\(2\)\(3\)\(+\infty\)
f'(x)+\(0\)−||−\(0\)+
f(x)\(-\infty\)↗\(4\)↘\(-\infty\,|\,+\infty\)↘\(12\)↗\(+\infty\)
✅ \(f\) croît sur \(]-\infty;1]\) et \([3;+\infty[\), décroît sur \([1;2[\) et \(]2;3]\).
4.a) Réels \(a,b,c\) tels que \(f(x)=ax+b+\dfrac c{x-2}\).
Correction détaillée
🔢 \((ax+b)(x-2)+c=ax^2+(b-2a)x-2b+c=2x^2-6\) : \(a=2\), \(b=4\), \(c=2\).
✅ \(f(x)=2x+4+\dfrac2{x-2}\).
4.b) \((d):y=2x+4\) est asymptote oblique.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-(2x+4)=\dfrac2{x-2}\to0\) en \(\pm\infty\).
✅ \((d)\) est asymptote oblique à \(C\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
5. Tangente en \(x=0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(0)=3\), \(f'(0)=\dfrac64\cdot\dfrac{1}{1}=\frac32\).
✅ \((T):y=\dfrac32x+3\).
6. Intersections de \(C\) avec l’axe des abscisses.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=0\iff2x^2-6=0\iff x=\pm\sqrt3\).
✅ \((\sqrt3;0)\) et \((-\sqrt3;0)\).
Exercice 50
1. Soit \(f(x)=x+\sqrt{x^2+1}\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(y=2x\) est asymptote à \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-2x=\sqrt{x^2+1}-x=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}+x}\to0\) en \(+\infty\).
🔢 En \(-\infty\) : \(f(x)-2x=\sqrt{x^2+1}-x\to+\infty\) : la droite n’est pas asymptote en \(-\infty\).
✅ \(y=2x\) est asymptote à \(C_f\) en \(+\infty\) seulement.
2. Soit \(f(x)=\dfrac{\sqrt x-1}{x-1}\) sur \(\mathbb R^+\setminus\{1\}\). Limites aux bornes.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\dfrac{\sqrt x-1}{(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)}=\dfrac1{\sqrt x+1}\).
🔢 \(\lim_{0}f=1\) ; \(\lim_{1^\pm}f=\frac12\) ; \(\lim_{+\infty}f=0\).
✅ \(\lim_{x\to0}f=1\), \(\lim_{x\to1}f=\frac12\), \(\lim_{x\to+\infty}f=0\).

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