Cette série d’exercices corrigés sur les vecteurs de l’espace pour la 1ère Bac Sc Ex traite de la colinéarité, de la coplanarité, des bases et des repères, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Exercices corrigés sur les vecteurs de l’espace 1ère Bac

Vecteurs de l’espace · Série de synthèse 1ère Bac

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Exercice 1

Simplifier une somme dans le cube

1) \(ABCDEFGH\) est un cube. Simplifier \(\vec t=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{FH}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Convention : dans un cube (ou parallélépipède) \(ABCDEFGH\), \(ABCD\) est la base et \(E,F,G,H\) sont au-dessus de \(A,B,C,D\) : \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DH}\), \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}\), \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{FG}\). Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{BD}\) (car \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DH}\), donc \(BFHD\) est un parallélogramme).

🔢 Étape 2 : \(\vec t=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE}\) (Chasles).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CF}\) (\(DCFE\) est un parallélogramme : \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CF}\)).

🔢 Étape 4 : \(\vec t=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BF}\).

✅ \(\vec t=\overrightarrow{BF}\).

Exercice 2

Vecteurs non colinéaires

1) \(\vec u\) et \(\vec v\) sont deux vecteurs non colinéaires. Déterminer les réels \(x\) et \(y\) tels que \(x(\vec u+2\vec v)+y(\vec u+3\vec v)=2\vec u+5\vec v\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Unicité : si \(\vec u,\vec v\) sont non colinéaires, \(a\vec u+b\vec v=a’\vec u+b’\vec v\iff a=a’\) et \(b=b’\).

🔢 Étape 1 : Le membre de gauche vaut \((x+y)\vec u+(2x+3y)\vec v\).

🔢 Étape 2 : \(\vec u\) et \(\vec v\) non colinéaires : l’écriture est unique, donc \(x+y=2\) et \(2x+3y=5\).

🔢 Étape 3 : On remplace \(x=2-y\) : \(4-2y+3y=5\), donc \(y=1\) et \(x=1\).

✅ \(x=1\) et \(y=1\).

Exercice 3

Parallélisme dans le cube et le tétraèdre

1) \(ABCDEFGH\) est un cube, \(K\) le milieu de \([EF]\), \(L\) le milieu de \([CF]\) et \(M\) un point de \([CD]\) tel que \(\overrightarrow{CM}=\dfrac14\overrightarrow{CD}\). Montrer que \((ML)\parallel(DK)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Méthode : pour montrer \((MN)\parallel(PQ)\), montrer que \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{PQ}\) (vecteurs colinéaires) et que les droites ne sont pas confondues (un point de l’une n’est pas sur l’autre).

🔢 Étape 1 : Repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\), notons \(\vec i=\overrightarrow{AB},\ \vec j=\overrightarrow{AD},\ \vec k=\overrightarrow{AE}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EK}=-\vec j+\vec k+\dfrac12\vec i\).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CL}\) avec \(\overrightarrow{MC}=-\dfrac14\overrightarrow{CD}=\dfrac14\vec i\) (car \(\overrightarrow{CD}=-\vec i\)) et \(\overrightarrow{CL}=\dfrac12\overrightarrow{CF}=\dfrac12(-\vec j+\vec k)\) (\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=-\vec j+\vec k\)).

🔢 Étape 4 : \(\overrightarrow{ML}=\dfrac14\vec i-\dfrac12\vec j+\dfrac12\vec k=\dfrac12\left(\dfrac12\vec i-\vec j+\vec k\right)=\dfrac12\overrightarrow{DK}\).

✅ \(\overrightarrow{ML}=\dfrac12\overrightarrow{DK}\) : \((ML)\parallel(DK)\) (droites distinctes, car \(M\notin(DK)\)).

2) \(ABCD\) est un tétraèdre, \(E\) le milieu de \([BC]\). On définit \(L\) et \(K\) par \(\overrightarrow{CL}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\) et \(\overrightarrow{DK}=\dfrac14\overrightarrow{CB}-\dfrac12\overrightarrow{AD}\). Montrer que \((LD)\parallel(EK)\).

Correction détaillée

⚠️ Le sujet est peu lisible : j’ai lu \(\overrightarrow{CL}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\) et \(\overrightarrow{DK}=\frac14\overrightarrow{CB}-\frac12\overrightarrow{AD}\) ; avec ces valeurs la relation \(\overrightarrow{EK}=\frac12\overrightarrow{LD}\) est exacte (vérifiée par calcul).

🔢 Étape 1 : On pose \(\vec b=\overrightarrow{AB},\ \vec c=\overrightarrow{AC},\ \vec d=\overrightarrow{AD}\). \(\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CL}=\vec c+\dfrac12(\vec b+\vec c)=\dfrac12\vec b+\dfrac32\vec c\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{LD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AL}=\vec d-\dfrac12\vec b-\dfrac32\vec c\).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DK}=\vec d+\dfrac14(\vec b-\vec c)-\dfrac12\vec d=\dfrac12\vec d+\dfrac14\vec b-\dfrac14\vec c\) et \(\overrightarrow{AE}=\dfrac12(\vec b+\vec c)\).

🔢 Étape 4 : \(\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AE}=\dfrac12\vec d-\dfrac14\vec b-\dfrac34\vec c=\dfrac12\overrightarrow{LD}\).

✅ \(\overrightarrow{EK}=\dfrac12\overrightarrow{LD}\) : \((LD)\parallel(EK)\).

3) \(ABCDEFGH\) est un cube et \(K\) est le symétrique de \(D\) par rapport à \(H\). Montrer que \((AK)\parallel(BCG)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Droite // plan : \((AK)\parallel(P)\) si \(\overrightarrow{AK}\) est combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs de \((P)\) (et \(A\notin(P)\) pour un parallélisme strict).

🔢 Étape 1 : \(H\) milieu de \([DK]\) : \(\overrightarrow{DK}=2\overrightarrow{DH}\) ; \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DH}\).

🔢 Étape 2 : Or \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{CG}\) : \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CG}\).

🔢 Étape 3 : Les vecteurs \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CG}\) dirigent le plan \((BCG)\), et \(A\notin(BCG)\).

✅ \(\overrightarrow{AK}\) est combinaison de \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CG}\) : \((AK)\parallel(BCG)\).

Exercice 4

Tétraèdre et droites parallèles

1) \(ABCD\) est un tétraèdre, \(E\) le milieu de \([BC]\). Les points \(Q,P,N,M\) sont tels que \(\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{CQ}=3\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}\). Tracer une figure.

Correction détaillée

⚠️ Figure non dessinée ici ; la construction est décrite en mots.

🔢 On place \(N\) sur \((AD)\) tel que \(D\) soit le milieu de \([AN]\) ; \(M\) sur \((AB)\) tel que \(B\) soit le milieu de \([AM]\) ; \(Q\) sur \((CB)\) au-delà de \(B\) tel que \(CQ=3CB\) ; \(P\) sur \((CD)\) au-delà de \(D\) tel que \(CP=3CD\).

✅ Figure : tétraèdre \(ABCD\), avec \(M,N,Q,P\) comme décrit ci-dessus.

2) Écrire \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{PQ}\) en fonction de \(\overrightarrow{BD}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BD}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{CB}-3\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{DB}=-3\overrightarrow{BD}\).

✅ \(\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{PQ}=-3\overrightarrow{BD}\).

3) En déduire que \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{PQ}\) sont colinéaires.

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{BD}=-\dfrac13\overrightarrow{PQ}\).

✅ \(\overrightarrow{MN}=-\dfrac23\overrightarrow{PQ}\) : colinéaires.

4) Que peut-on dire des droites \((MN)\) et \((PQ)\) ?

Correction détaillée

⚠️ Le milieu \(E\) de \([BC]\) cité dans l’énoncé n’est pas utilisé dans ces questions.

🔢 Elles ont même direction que \((BD)\). Elles ne sont pas confondues : \(M\notin(PQ)\) car \((PQ)\subset(BCD)\) et \(M\notin(BCD)\).

✅ \((MN)\parallel(PQ)\) (strictement parallèles, et toutes deux parallèles à \((BD)\)).

Exercice 5

Coplanarité dans un parallélépipède

1) \(ABCDEFGH\) est un parallélépipède de centre \(O\) et \(I\) le milieu de \([AD]\). On pose \(\overrightarrow{EG}=\vec u\), \(\overrightarrow{FC}=\vec v\) et \(\overrightarrow{IO}=\vec w\). Montrer que \(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires.

Correction détaillée

📘 Méthode : Coplanarité : \(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires si l’un est combinaison linéaire des deux autres (\(\vec w=a\vec u+b\vec v\) avec \(\vec u,\vec v\) non colinéaires). Quatre points \(A,B,C,D\) sont coplanaires si \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) le sont. \(M\in(ABC)\iff\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\).

🔢 Étape 1 : Notons \(\vec a=\overrightarrow{AB},\ \vec d=\overrightarrow{AD},\ \vec e=\overrightarrow{AE}\). \(\overrightarrow{EG}=\vec a+\vec d\) ; \(\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BC}=-\vec e+\vec d\).

🔢 Étape 2 : \(O\) est le milieu de \([AG]\) : \(\overrightarrow{AO}=\dfrac12(\vec a+\vec d+\vec e)\) ; \(\overrightarrow{AI}=\dfrac12\vec d\), donc \(\overrightarrow{IO}=\dfrac12\vec a+\dfrac12\vec e\).

🔢 Étape 3 : \(\vec u-\vec v=\vec a+\vec e\).

✅ \(\vec w=\dfrac12(\vec u-\vec v)\) : \(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires.

2) \(ABCDEFGH\) est un cube, \(M\) le milieu de \([HE]\) et \(N\) le milieu de \([HG]\). Les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{CH}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont-ils coplanaires ? Justifier.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Dans le triangle \(HEG\), \(M\) et \(N\) milieux de \([HE]\) et \([HG]\) : \(\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{EG}\).

🔢 Étape 2 : Or \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}\) (car \(AEGC\) est un rectangle). Donc \(\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{AC}\).

✅ \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires : les trois vecteurs sont coplanaires.

Exercice 6

Coplanarité (pyramide, tétraèdre, parallélépipède)

1) \(EABCD\) est une pyramide de base le rectangle \(ABCD\), \(I\) le milieu de \([AE]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\). Montrer que \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{IJ}\) sont coplanaires.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}=\dfrac12\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{BC}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\). Donc \(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{IJ}\).

✅ \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac12\overrightarrow{EC}+\dfrac12\overrightarrow{AB}\) : coplanaires.

2) \(ABCD\) est un tétraèdre et \(M\) un point tel que \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\). Montrer que \(M\in(ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}\) donc \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).

✅ \(\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) : \(M\in(ABC)\).

3) En déduire que \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) sont coplanaires.

Correction détaillée

🔢 C’est la relation précédente : \(\overrightarrow{AM}\) est combinaison de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

✅ Coplanaires.

4) \(ABCDEFGH\) est un parallélépipède rectangle et \(I\) le milieu de \([BF]\). Les vecteurs \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{DE}\), \(\overrightarrow{DG}\) sont-ils coplanaires ?

Correction détaillée

⚠️ Les questions de cet exercice sont lues sur un scan : « \(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{DG}\) ».

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\). \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}\). \(\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}\).

🔢 Étape 2 : Posons \(\vec a=\overrightarrow{AB},\vec d=\overrightarrow{AD},\vec e=\overrightarrow{AE}\) : \(\overrightarrow{CA}=-\vec a-\vec d\), \(\overrightarrow{DE}=-\vec d+\vec e\), \(\overrightarrow{DG}=\vec a+\vec e\).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{DG}-\overrightarrow{DE}=\vec a+\vec d=-\overrightarrow{CA}\).

✅ \(\overrightarrow{DG}-\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{CA}\) : les trois vecteurs sont coplanaires.

5) Les vecteurs \(\overrightarrow{AI}\), \(\overrightarrow{DF}\) et \(\overrightarrow{HE}\) sont-ils coplanaires ? (Justifier.)

Correction détaillée

⚠️ Vecteurs lus sur un scan : \(\overrightarrow{AI}\), \(\overrightarrow{DF}\), \(\overrightarrow{HE}\) ; avec \(I\) milieu de \([BF]\) comme dans l’énoncé.

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\vec a+\dfrac12\vec e\) ; \(\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\vec d+\vec a+\vec e\) ; \(\overrightarrow{HE}=-\overrightarrow{AD}=-\vec d\).

🔢 Étape 2 : Cherchons \(\overrightarrow{DF}=x\overrightarrow{AI}+y\overrightarrow{HE}\) : composantes en \(\vec a\) : \(1=x\) ; en \(\vec e\) : \(1=\dfrac x2\Rightarrow x=2\). Contradiction.

🔢 Étape 3 : Donc \(\overrightarrow{DF}\notin\mathrm{Vect}(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{HE})\) (\(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{HE}\) non colinéaires).

✅ Les vecteurs \(\overrightarrow{AI}\), \(\overrightarrow{DF}\), \(\overrightarrow{HE}\) ne sont pas coplanaires.

Exercice 7

Points coplanaires par barycentre

1) Dans l’espace, \(A,B,C,D,E\) sont tels que \(2\overrightarrow{EA}+4\overrightarrow{EB}-5\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{ED}=\vec0\). Montrer que \(A,B,C,D\) sont coplanaires.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On remplace \(\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}\).

🔢 Étape 2 : \((2+4-5-1)\overrightarrow{EA}+4\overrightarrow{AB}-5\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\vec0\), et \(2+4-5-1=0\).

✅ \(\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AB}-5\overrightarrow{AC}\) : \(A,B,C,D\) sont coplanaires.

Exercice 8

Tétraèdre : combinaisons de vecteurs

1) \(ABCD\) est un tétraèdre, \(K\) tel que \(2\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD}\), \(L\) le milieu de \([BK]\), \(\overrightarrow{BM}=\dfrac13\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AN}=-2\overrightarrow{AD}\). Écrire \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{AL}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\).

Correction détaillée

⚠️ Condition lue sur le scan : \(2\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD}\) (le signe devant \(2\overrightarrow{AD}\) est peu net).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac13(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\dfrac23\overrightarrow{AB}+\dfrac13\overrightarrow{AC}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{AD}-\dfrac23\overrightarrow{AB}-\dfrac13\overrightarrow{AC}\).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{AK}=\dfrac12\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AL}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AK})=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac14\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AD}\).

✅ \(\overrightarrow{AM}=\dfrac23\overrightarrow{AB}+\dfrac13\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{MN}=-\dfrac23\overrightarrow{AB}-\dfrac13\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD}\) ; \(\overrightarrow{AL}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac14\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AD}\).

2) Montrer que \(L,M,N\) sont alignés et déterminer la position de \(L\) sur la droite \((MN)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AM}=\left(\dfrac12-\dfrac23\right)\overrightarrow{AB}+\left(\dfrac14-\dfrac13\right)\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AD}=-\dfrac16\overrightarrow{AB}-\dfrac1{12}\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AD}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(4\overrightarrow{ML}=-\dfrac23\overrightarrow{AB}-\dfrac13\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MN}\).

✅ \(\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{ML}\) : \(L,M,N\) alignés, et \(L\) est sur le segment \([MN]\), au quart de \([MN]\) à partir de \(M\) (\(ML=\dfrac14MN\)).

3) Déterminer les réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\overrightarrow{AD}=\alpha\overrightarrow{AL}+\beta\overrightarrow{AM}\). Que peut-on dire de \(A,M,D,L\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac14\overrightarrow{AC}=\dfrac34\left(\dfrac23\overrightarrow{AB}+\dfrac13\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac34\overrightarrow{AM}\), donc \(\overrightarrow{AL}=\dfrac34\overrightarrow{AM}-\dfrac12\overrightarrow{AD}\).

🔢 Étape 2 : D’où \(\overrightarrow{AD}=\dfrac32\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{AL}\).

✅ \(\alpha=-2\) et \(\beta=\dfrac32\) ; \(\overrightarrow{AD}=-2\overrightarrow{AL}+\dfrac32\overrightarrow{AM}\), donc \(A,M,D,L\) sont coplanaires.

Exercice 9

Droite parallèle à un vecteur dans un cube

1) \(ABCDEFGH\) est un cube. On pose \(\overrightarrow{AB}=\vec i\), \(\overrightarrow{AD}=\vec j\), \(\overrightarrow{AE}=\vec k\) et \(\vec u=\vec i+2\vec j+2\vec k\). \(I\) est le milieu de \([HG]\). Montrer que \(\vec u\) est un vecteur directeur de la droite \((AI)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HI}=(\vec j+\vec k)+\dfrac12\vec i\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AI}=\dfrac12\vec i+\vec j+\vec k=\dfrac12\vec u\).

✅ \(\overrightarrow{AI}=\dfrac12\vec u\) : \(\vec u\) dirige \((AI)\).

2) Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(G\) et parallèle à \((AI)\), et \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BG}\). Montrer que \(M\in(\Delta)\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé imprimé \(\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BG}\) ne donne pas \(M\in(\Delta)\) (calcul ci-contre) ; j’ai montré aussi le cas \(\frac32\overrightarrow{AB}\) qui, lui, convient. À vérifier avec la source.

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{BG}=\vec j+\vec k\) donc \(\overrightarrow{AM}=\dfrac12\vec i+2\vec j+2\vec k\). \(\overrightarrow{AG}=\vec i+\vec j+\vec k\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AG}=-\dfrac12\vec i+\vec j+\vec k\). Or \((\Delta)=\{G+t\vec u\}\) avec \(\vec u=(1,2,2)\) : \(\overrightarrow{GM}=(-\frac12,1,1)\) n’est pas colinéaire à \((1,2,2)\).

🔢 Étape 3 : Avec \(\overrightarrow{AM}=\dfrac32\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BG}\) on aurait \(\overrightarrow{GM}=\dfrac12\vec i+\vec j+\vec k=\dfrac12\vec u\) et \(M\in(\Delta)\).

✅ Avec la valeur imprimée \(\dfrac12\overrightarrow{AB}\), \(M\notin(\Delta)\) ; avec \(\dfrac32\overrightarrow{AB}\) (probable coquille), \(M\in(\Delta)\), \(\overrightarrow{GM}=\dfrac12\vec u\).

Exercice 10

Parallélépipède : centre de gravité

1) \(ABCDEFGH\) est un parallélépipède rectangle et \(I\) tel que \(\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AG}\). Montrer que \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}=3\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AG}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{IA}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE})\).

🔢 Étape 2 : Or \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}\) dans un parallélépipède.

✅ \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}=3\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AG}\).

2) Montrer que \(\overrightarrow{IE}=-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{ID}\). Que peut-on dire de \(I,B,D,E\) ?

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé imprimé demande \(\overrightarrow{IE}=-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{ID}\), qui est fausse avec la lettrage standard (il faudrait \(\overrightarrow{IA}=\vec0\)). J’ai donné la relation exacte et la conclusion qui en découle ; à vérifier avec la source.

🔢 Étape 1 : Comme \(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AI}=-2\overrightarrow{IA}\) : \(3\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IA}\) donc \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{IA}\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{ID}\).

🔢 Étape 2 : L’égalité imprimée \(\overrightarrow{IE}=-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{ID}\) n’est vraie que si \(\overrightarrow{IA}=\vec0\), ce qui est faux (\(I\neq A\)).

🔢 Étape 3 : Les points \(B,D,E\) définissent un plan ; la droite \((AG)\) le coupe au centre de gravité \(\dfrac13\overrightarrow{AG}\) du triangle \(BDE\), et \(I\) est à \(\dfrac12\overrightarrow{AG}\).

✅ Relation exacte : \(\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{ID}\). Les points \(I,B,D,E\) ne sont pas coplanaires.

Exercice 11

Cube : relations vectorielles

1) \(ABCDEFGH\) est un cube, \(M\) et \(N\) tels que \(\overrightarrow{EM}=\dfrac13\overrightarrow{EH}\) et \(\overrightarrow{AN}=\dfrac13\overrightarrow{AB}\). Montrer que \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{EA}+\dfrac13\overrightarrow{DB}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AN}=-\dfrac13\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{EA}+\dfrac13\overrightarrow{AB}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}\) donc \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{EA}+\dfrac13(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{EA}+\dfrac13\overrightarrow{DB}\).

✅ \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{EA}+\dfrac13\overrightarrow{DB}\).

2) Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{EA}\) et \(\overrightarrow{DB}\) sont coplanaires.

Correction détaillée

⚠️ Le sujet imprime \(\overrightarrow{AB}\) comme troisième vecteur ; avec \(\overrightarrow{AB}\) la propriété est fausse (\(\overrightarrow{MN}\) contient la composante \(\overrightarrow{AD}\)), donc j’ai pris \(\overrightarrow{DB}\) comme dans la question 1).

🔢 \(\overrightarrow{MN}\) est combinaison de \(\overrightarrow{EA}\) et \(\overrightarrow{DB}\) (question 1).

✅ Coplanaires.

Exercice 12

Cube : points coplanaires

1) \(ABCDEFGH\) est un cube, \(I\) le milieu de \([AB]\), \(J\) le milieu de \([AD]\), \(K\) tel que \(\overrightarrow{AK}=\dfrac15\overrightarrow{AG}\). Écrire \(\overrightarrow{EI}\), \(\overrightarrow{EJ}\) et \(\overrightarrow{EK}\) en fonction de \(\overrightarrow{EA}\), \(\overrightarrow{EF}\), \(\overrightarrow{EH}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{EA}+\dfrac12\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EA}+\dfrac12\overrightarrow{EF}\) (car \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}\)).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{EJ}=\overrightarrow{EA}+\dfrac12\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{EA}+\dfrac12\overrightarrow{EH}\).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}-\overrightarrow{EA}\), donc \(\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{EA}+\dfrac15\overrightarrow{AG}=\dfrac45\overrightarrow{EA}+\dfrac15\overrightarrow{EF}+\dfrac15\overrightarrow{EH}\).

✅ \(\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EA}+\dfrac12\overrightarrow{EF}\) ; \(\overrightarrow{EJ}=\overrightarrow{EA}+\dfrac12\overrightarrow{EH}\) ; \(\overrightarrow{EK}=\dfrac45\overrightarrow{EA}+\dfrac15\overrightarrow{EF}+\dfrac15\overrightarrow{EH}\).

2) Vérifier que \(5\overrightarrow{EK}=2\overrightarrow{EI}+2\overrightarrow{EJ}\).

Correction détaillée

🔢 \(5\overrightarrow{EK}=4\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}\) ; \(2\overrightarrow{EI}+2\overrightarrow{EJ}=4\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}\).

✅ Égalité vérifiée.

3) En déduire que \(I,J,K,E\) sont coplanaires.

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{EK}=\dfrac25\overrightarrow{EI}+\dfrac25\overrightarrow{EJ}\) : \(\overrightarrow{EK}\) est combinaison de \(\overrightarrow{EI}\) et \(\overrightarrow{EJ}\).

✅ \(I,J,K,E\) sont coplanaires.