Étude des fonctions numériques 1ère Bac Sc Ex : cours

Ce cours d’étude des fonctions numériques pour la 1ère Bac Sc Ex traite de la concavité, des points d’inflexion, des asymptotes, des branches infinies et des éléments de symétrie, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Cours d’étude des fonctions numériques 1ère Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.

PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Concavité, convexité et points d’inflexion

Définitions Soit \(f\) une fonction dont la courbe représentative est \((C_f)\).

\((C_f)\) est convexe si elle se trouve au-dessus de toutes ses tangentes.
\((C_f)\) est concave si elle se trouve au-dessous de toutes ses tangentes.
Un point d’inflexion est un point où la courbe change de concavité (elle traverse sa tangente).

Théorème (dérivée seconde et concavité) Soit \(f\) deux fois dérivable sur un intervalle \(I\).

Si \(f » \geq 0\) sur \(I\), alors \((C_f)\) est convexe sur \(I\).
Si \(f » \leq 0\) sur \(I\), alors \((C_f)\) est concave sur \(I\).
Si \(f »\) s’annule en \(a\) en changeant de signe, alors \((C_f)\) admet un point d’inflexion en \(A(a, f(a))\).

Attention Les conditions du théorème sont suffisantes mais pas nécessaires. Une courbe peut être convexe, concave ou présenter un point d’inflexion sans que \(f »\) existe.

Exemple · \(f(x) = \frac{1}{12}x^4 – 2x^2 + x + \frac{2}{3}\)

\(f'(x) = \frac{1}{3}x^3 – 4x + 1\).
\(f »(x) = x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\).
\(f »(x) = 0 \iff x = -2\) ou \(x = 2\).
Tableau de signes : \(f » > 0\) sur \(]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[\), \(f » < 0\) sur \(]-2, 2[\).
Donc \((C_f)\) est convexe sur \(]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[\), concave sur \([-2, 2]\).
Points d’inflexion : \(A(-2, f(-2))\) et \(B(2, f(2))\).

2Demi-tangente verticale

Propriété Soit \(f\) définie sur un intervalle de la forme \([a, a+r[\) (ou \(]a-r, a]\)). Si \(f\) est continue en \(a\) et

\[ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x) – f(a)}{x – a} = \pm\infty \]

alors \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale en \(A(a, f(a))\) (à droite de \(a\)).

Exemple · \(f(x) = \sqrt{x}\) en \(x_0 = 0\)

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty \]

Donc \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale à droite de \(0\), dirigée vers le haut.

Exemple · \(f(x) = x^2\sqrt{1+x}\) en \(x_0 = -1\)

\[ \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2\sqrt{1+x}}{x+1} = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2}{\sqrt{1+x}} = \frac{1}{0^+} = +\infty \]

Donc \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale à droite de \(A(-1, 0)\), dirigée vers le haut.

3Branches infinies et asymptotes

3.1 Asymptotes verticales et horizontales

Asymptote verticale Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\), alors la droite \(x = a\) est une asymptote verticale à \((C_f)\).

Asymptote horizontale Si \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b\) (finie), alors la droite \(y = b\) est une asymptote horizontale à \((C_f)\) en \(\pm\infty\).

3.2 Asymptote oblique

Propriété La droite \((\Delta) : y = ax + b\) (avec \(a \neq 0\)) est une asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\) si et seulement si :

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \big(f(x) – ax\big) = b \]

3.3 Branches paraboliques

Si \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\)

Si \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\) : branche parabolique de direction \((Ox)\).
Si \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty\) : branche parabolique de direction \((Oy)\).
Si \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) – ax) = \pm\infty\) : branche parabolique de direction la droite \(y = ax\).

Exemple 1 · \(f(x) = \frac{2x-1}{3x-6}\)

\(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\), \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\) ⟹ asymptote verticale \(x = 2\).
\(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{2}{3}\) ⟹ asymptote horizontale \(y = \frac{2}{3}\).

Exemple 2 · \(f(x) = 2x – 1 + \frac{1}{x-3}\)

\[ \lim_{x \to \pm\infty} \big(f(x) – (2x-1)\big) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x-3} = 0 \]

Donc la droite \(y = 2x – 1\) est une asymptote oblique en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Exemple 3 · \(f(x) = x + \sqrt{x}\)

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 1 \]

\[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) – x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty \]

Donc \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction la droite \(y = x\).

4Éléments de symétrie d’une courbe

4.1 Axe de symétrie

Propriété La droite \((\Delta) : x = a\) est un axe de symétrie de \((C_f)\) si et seulement si :

\[ \forall x \in D_f : \quad 2a – x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a – x) = f(x) \]

Exemple · \(f(x) = \sqrt{x – x^2}\)

\(D_f = [0, 1]\).
Si \(x \in [0, 1]\), alors \(1 – x \in [0, 1]\).
\(f(1 – x) = \sqrt{(1-x) – (1-x)^2} = \sqrt{x – x^2} = f(x)\).
Donc la droite \(x = \frac{1}{2}\) est un axe de symétrie de \((C_f)\).

4.2 Centre de symétrie

Propriété Le point \(\Omega(a, b)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\) si et seulement si :

\[ \forall x \in D_f : \quad 2a – x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a – x) = 2b – f(x) \]

Exemple · \(f(x) = \frac{x^2 – x}{x+1}\)

On peut écrire \(f(x) = x – 2 + \frac{2}{x+1}\).
\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
Pour \(a = -1\) : si \(x \neq -1\), alors \(-2 – x \neq -1\).
\(f(-2 – x) = -2 – x – 2 + \frac{2}{-2-x+1} = -4 – x – \frac{2}{x+1}\).
\(f(x) + f(-2-x) = \big(x – 2 + \frac{2}{x+1}\big) + \big(-4 – x – \frac{2}{x+1}\big) = -6\).
Donc \(f(-2-x) = -6 – f(x) = 2b – f(x)\) avec \(b = -3\).
Le point \(\Omega(-1, -3)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).

Exemple · \(f(x) = \sin x – \cos x\), \(\Omega(\frac{\pi}{4}, 0)\)

\[ f\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) – \cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \cos x – \sin x = -f(x) \]

Comme \(2b = 0\), on a bien \(f(2a – x) = 2b – f(x)\), donc \(\Omega(\frac{\pi}{4}, 0)\) est un centre de symétrie.

5Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★★ Exercice 1 · Concavité de \(\sin^2 x\)

Soit \(f(x) = \sin^2 x\) sur \(I = [0, \pi]\). Étudier la concavité et déterminer les points d’inflexion.

Voir la solution

\(f'(x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x)\).

\(f »(x) = 2\cos(2x)\).

\(f »(x) = 0 \iff \cos(2x) = 0 \iff 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\).

Sur \([0, \pi]\) : \(x = \frac{\pi}{4}\) ou \(x = \frac{3\pi}{4}\).

\(f » > 0\) sur \(\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right]\), \(f » < 0\) sur \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]\).

Donc \((C_f)\) est convexe sur \([0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \pi]\), concave sur \([\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]\).

Points d’inflexion : \(A(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{2})\) et \(B(\frac{3\pi}{4}, \frac{1}{2})\).

★★ Exercice 2 · Axe de symétrie

Soit \(f(x) = 3x^2 – 2x + 5\). Montrer que la droite \(x = \frac{1}{3}\) est un axe de symétrie.

Voir la solution

\(D_f = \mathbb{R}\). Si \(x \in \mathbb{R}\), alors \(\frac{2}{3} – x \in \mathbb{R}\).

\(f\left(\frac{2}{3} – x\right) = 3\left(\frac{2}{3} – x\right)^2 – 2\left(\frac{2}{3} – x\right) + 5 = 3x^2 – 2x + 5 = f(x)\).

Donc \(x = \frac{1}{3}\) est un axe de symétrie.

★★ Exercice 3 · Axe de symétrie (fractions)

Soit \(f(x) = \frac{1}{x-1} – \frac{1}{x-3}\). Montrer que \(x = 2\) est un axe de symétrie de \((C_f)\).

Voir la solution

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1, 3\}\). Si \(x \in D_f\), alors \(4 – x \in D_f\).

\(f(4-x) = \frac{1}{4-x-1} – \frac{1}{4-x-3} = \frac{1}{3-x} – \frac{1}{1-x} = \frac{1}{x-1} – \frac{1}{x-3} = f(x)\).

Donc \(x = 2\) est un axe de symétrie de \((C_f)\).

★★ Exercice 4 · Axe de symétrie (cosinus)

Soit \(f(x) = \cos x\). Montrer que \(x = k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)) est un axe de symétrie.

Voir la solution

\(D_f = \mathbb{R}\). Si \(x \in \mathbb{R}\), alors \(2k\pi – x \in \mathbb{R}\).

\(f(2k\pi – x) = \cos(2k\pi – x) = \cos(-x) = \cos x = f(x)\).

Donc \(x = k\pi\) est un axe de symétrie de \((C_f)\).

★★ Exercice 5 · Centre de symétrie

Soit \(f(x) = \sin x – \cos x\). Montrer que \(\Omega(\frac{\pi}{4}, 0)\) est un centre de symétrie.

Voir la solution

Si \(x \in \mathbb{R}\), alors \(2 \times \frac{\pi}{4} – x = \frac{\pi}{2} – x \in \mathbb{R}\).

\(f\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) – \cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \cos x – \sin x = -f(x) = 2 \times 0 – f(x)\).

Donc \(\Omega(\frac{\pi}{4}, 0)\) est un centre de symétrie.

★★ Exercice 6 · Domaine et dérivée

Soit \(f(x) = \sqrt{4x^2 + 2x – 2}\). 1) Déterminer \(D_f\). 2) Domaine de dérivabilité et \(f'(x)\).

Voir la solution

1) \(4x^2 + 2x – 2 \geq 0 \iff 2x^2 + x – 1 \geq 0\). \(\Delta = 1 + 8 = 9\), racines \(x = -1\) et \(x = \frac{1}{2}\). Donc \(D_f = ]-\infty, -1] \cup [\frac{1}{2}, +\infty[\).

2) \(f\) est dérivable là où \(4x^2 + 2x – 2 > 0\), c’est-à-dire sur \(]-\infty, -1[ \cup ]\frac{1}{2}, +\infty[\).

\(f'(x) = \frac{8x + 2}{2\sqrt{4x^2+2x-2}} = \frac{4x + 1}{\sqrt{4x^2+2x-2}}\).

★★★ Exercice 7 · Étude complète (polynôme)

Soit \(f(x) = x^3 – 3x + 3\). 1) Limites. 2) Branches infinies. 3) Tableau de variation. 4) Concavité. 5) Centre de symétrie \(I(0, 3)\).

Voir la solution

1) \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

2) \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty\) ⟹ branche parabolique de direction \((Oy)\).

3) \(f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x-1)(x+1)\). Max en \(x = -1\) : \(f(-1) = 5\). Min en \(x = 1\) : \(f(1) = 1\).

4) \(f »(x) = 6x\). \(f » > 0\) sur \(]0, +\infty[\), \(f » < 0\) sur \(]-\infty, 0[\). Point d’inflexion \(I(0, 3)\).

5) \(f(-x) + f(x) = (-x^3 + 3x + 3) + (x^3 – 3x + 3) = 6 = 2 \times 3\). Donc \(I(0, 3)\) est centre de symétrie.

★★★ Exercice 8 · Étude complète (fractions)

Soit \(f(x) = 2 + \frac{1}{x} – \frac{1}{x-1}\). 1) \(D_f\). 2) Branches infinies. 3) Position par rapport à l’asymptote horizontale. 4) Tableau de variation. 5) Axe de symétrie \(x = \frac{1}{2}\).

Voir la solution

1) \(D_f = ]-\infty, 0[ \cup ]0, 1[ \cup ]1, +\infty[\).

2) \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2\) ⟹ asymptote \(y = 2\). \(\lim_{x \to 0} f(x) = \pm\infty\) ⟹ asymptote \(x = 0\). \(\lim_{x \to 1} f(x) = \pm\infty\) ⟹ asymptote \(x = 1\).

3) \(f(x) – 2 = \frac{-1}{x(x-1)}\). \(> 0\) sur \(]0, 1[\), \(< 0\) sur \(]-\infty, 0[ \cup ]1, +\infty[\).

4) \(f\) est croissante puis décroissante (d’après les variations de \(1/x\) et \(-1/(x-1)\)).

5) \(f(1-x) = 2 + \frac{1}{1-x} + \frac{1}{x} = 2 – \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} = f(x)\). Donc \(x = \frac{1}{2}\) est axe de symétrie.

★★★ Exercice 9 · Étude complète (rationnelle)

Soit \(f(x) = \frac{x^2 – 2x + 1}{x-3}\). 1) \(D_f\). 2) Écrire \(f(x) = ax + b + \frac{c}{x-3}\). 3) Branches infinies. 4) Tableau de variation. 5) Centre de symétrie \(\Omega(3, 4)\). 6) Concavité. 7) Position par rapport à l’asymptote oblique.

Voir la solution

1) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).

2) \(x^2 – 2x + 1 = (x-3)(x+1) + 4\). Donc \(f(x) = x + 1 + \frac{4}{x-3}\).

3) \(\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty\) ⟹ asymptote \(x = 3\). \(\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) – (x+1)) = 0\) ⟹ asymptote oblique \(y = x + 1\).

4) \(f'(x) = 1 – \frac{4}{(x-3)^2} = \frac{(x-5)(x-1)}{(x-3)^2}\). \(f’ > 0\) sur \(]-\infty, 1[ \cup ]5, +\infty[\), \(f’ < 0\) sur \(]1, 3[ \cup ]3, 5[\). Max en \(x = 1\) : \(f(1) = 0\). Min en \(x = 5\) : \(f(5) = 8\).

5) \(f(6-x) + f(x) = 8\). Donc \(\Omega(3, 4)\) est centre de symétrie.

6) \(f »(x) = \frac{8}{(x-3)^3}\). \(f » > 0\) si \(x > 3\) (convexe), \(f » < 0\) si \(x < 3\) (concave).

7) \(f(x) – (x+1) = \frac{4}{x-3}\). \(> 0\) si \(x > 3\) (courbe au-dessus), \(< 0\) si \(x < 3\) (courbe en-dessous).

★★★ Exercice 10 · Fonction avec racine

Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 – x – 2}\). 1) \(D_f\). 2) Limites aux bornes. 3) Branches infinies. 4) Dérivabilité en \(-1\) et \(2\). 5) Tableau de variation.

Voir la solution

1) \(x^2 – x – 2 \geq 0 \iff (x-2)(x+1) \geq 0 \iff x \in ]-\infty, -1] \cup [2, +\infty[\).

2) \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty\).

3) \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1\), \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) – x) = -\frac{1}{2}\) ⟹ asymptote oblique \(y = x – \frac{1}{2}\) en \(+\infty\).
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -1\), \(\lim_{x \to -\infty} (f(x) + x) = \frac{1}{2}\) ⟹ asymptote oblique \(y = -x + \frac{1}{2}\) en \(-\infty\).

4) \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x) – f(2)}{x-2} = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -1^-} \frac{f(x) – f(-1)}{x+1} = -\infty\) ⟹ demi-tangentes verticales aux points \(A(-1, 0)\) et \(B(2, 0)\).

5) \(f'(x) = \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-2}}\). \(f'(x) > 0 \iff x > \frac{1}{2}\). Sur \(D_f\), \(f\) est croissante sur \([2, +\infty[\), décroissante sur \(]-\infty, -1]\).

★★★ Exercice 11 · Fonction trigonométrique

Soit \(f(x) = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\). 1) \(D_f\). 2) Périodicité et domaine d’étude. 3) \(f’\) et tableau de variation. 4) Tracer sur \([-\pi, \pi]\).

Voir la solution

1) \(D_f = \mathbb{R}\).

2) \(f(\pi + x) = 2\cos\left(2(\pi+x) + \frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = f(x)\). Donc \(T = \pi\). Domaine d’étude : \(D_E = [0, \pi]\).

3) \(f'(x) = -4\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\). Sur \([0, \pi]\), \(2x + \frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}]\). \(f’\) s’annule en \(x = \frac{3\pi}{8}\) (max) et \(x = \frac{7\pi}{8}\) (min).

★★★ Exercice 12 · Trigonométrie complète

Soit \(f(x) = 4\sin x + \cos(2x)\). 1) \(D_f\). 2) Périodicité et domaine d’étude. 3) \(f’\) et tableau de variation. 4) Tangente en \(x_0 = 0\). 5) \(f »\) en fonction de \(\sin x\). 6) Points d’inflexion.

Voir la solution

1) \(D_f = \mathbb{R}\).

2) \(f(x + 2\pi) = f(x)\), donc \(T = 2\pi\). Domaine d’étude : \([0, 2\pi]\).

3) \(f'(x) = 4\cos x – 2\sin(2x) = 4\cos x(1 – \sin x)\). Max en \(\pi/2\) : \(f = 3\). Min en \(3\pi/2\) : \(f = -5\).

4) \(f(0) = 1\), \(f'(0) = 4\). Tangente : \(y = 4x + 1\).

5) \(f »(x) = -4\sin x – 4\cos(2x) = 8\sin^2 x – 4\sin x – 4\).

6) \(f »(x) = 4(2\sin x + 1)(\sin x – 1)\). \(f »(x) = 0 \iff \sin x = -\frac{1}{2}\). Solutions dans \([0, 2\pi]\) : \(x = \frac{7\pi}{6}\) et \(x = \frac{11\pi}{6}\).

★★★ Exercice 13 · Périodicité et imparité

Soit \(f(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x}\). 1) \(D_f\). 2) Périodicité et parité, domaine d’étude réduit. 3) \(f’\) et tableau de variation.

Voir la solution

1) \(2 + \cos x \neq 0\) toujours, donc \(D_f = \mathbb{R}\).

2) \(f(x + 2\pi) = f(x)\) : \(T = 2\pi\). \(f(-x) = \frac{-\sin x}{2 + \cos x} = -f(x)\) : \(f\) impaire. On peut étudier sur \([0, \pi]\).

3) \(f'(x) = \frac{\cos x(2 + \cos x) + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}\). \(f'(x) \geq 0 \iff \cos x \geq -\frac{1}{2} \iff x \in [0, \frac{2\pi}{3}]\). Max en \(\frac{2\pi}{3}\) : \(f = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

★Fiche résumé à retenir

Convexité / Concavité : \(f » \geq 0\) ⟹ convexe ; \(f » \leq 0\) ⟹ concave ; \(f »\) change de signe ⟹ point d’inflexion.
Demi-tangente verticale : \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \pm\infty\).
Asymptote verticale : \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\) ⟹ \(x = a\).
Asymptote horizontale : \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b\) ⟹ \(y = b\).
Asymptote oblique : \(\lim \frac{f(x)}{x} = a\) et \(\lim (f(x) – ax) = b\) ⟹ \(y = ax + b\).
Branche parabolique : \(\lim \frac{f(x)}{x} = 0\) (dir. \(Ox\)) ou \(= \pm\infty\) (dir. \(Oy\)).
Axe de symétrie \(x = a\) : \(f(2a – x) = f(x)\).
Centre de symétrie \(\Omega(a,b)\) : \(f(2a – x) = 2b – f(x)\).

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