Limites d’une fonction 1ère Bac Sc Ex : cours

Ce cours sur les limites d’une fonction pour la 1ère Bac Sc Ex explique les limites en un point et à l’infini, les opérations et les formes indéterminées, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Cours sur les limites d’une fonction 1ère Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.

PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Introduction : la notion de limite

L’idée La limite d’une fonction, c’est « vers quoi tend » la fonction. Quand \(x\) se rapproche d’une valeur (ou devient très grand), qu’est-ce que \(f(x)\) fait ?

Prenons la fonction inverse : \(f(x) = \frac{1}{x}\). Quand \(x\) devient très grand (tend vers \(+\infty\)), la fonction devient très petite, elle se rapproche de \(0\). On dit qu’elle tend vers \(0\).

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0^+ \]

On lit : « limite quand \(x\) tend vers plus l’infini de \(\frac{1}{x}\) est égal à \(0\) plus ».

2Limite finie en un point \(a\)

Propriété Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(k \in \mathbb{R}^*\), les fonctions \(x \mapsto x^n\), \(x \mapsto k|x|\), \(x \mapsto k\sqrt{|x|}\), \(x \mapsto k|x|^n\) tendent vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(0\).

Exemples

\(\lim_{x \to 0} x^8 = 0\)
\(\lim_{x \to 0} 5|x| = 0\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{2}|x|^3 = 0\)

Propriété Si \(P\) est une fonction polynôme, alors \(\lim_{x \to a} P(x) = P(a)\).

Exemple

\[ \lim_{x \to -1} (5x^2 + 2x – 8) = 5(-1)^2 + 2(-1) – 8 = -5 \]

Définition Soit \(f\) définie sur un intervalle pointé de centre \(a\) et \(l\) un réel. On dit que \(f\) tend vers \(l\) quand \(x\) tend vers \(a\) si :

\[ \lim_{x \to a} |f(x) – l| = 0 \]

Théorème de comparaison (Gendarmes) Si sur un intervalle pointé de centre \(a\) on a \(|f(x) – l| \le u(x)\) et \(\lim_{x \to a} u(x) = 0\), alors \(\lim_{x \to a} f(x) = l\).

Exemple · \(x^2 \cos(2x)\) Montrer que \(\lim_{x \to 0} x^2 \cos(2x) = 0\).

Pour tout \(x \in \mathbb{R}^*\), \(|\cos(2x)| \le 1\).
Donc \(|x^2 \cos(2x)| \le x^2\).
Or \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\), donc par comparaison, \(\lim_{x \to 0} x^2 \cos(2x) = 0\).

Propriété (Valeur absolue)

\[ \lim_{x \to a} |f(x)| = 0 \iff \lim_{x \to a} f(x) = 0 \]

3Limites en \(\pm\infty\) (finie et infinie)

Propriétés (Limites en \(\pm\infty\))

Les fonctions \(x \mapsto x^2\), \(x \mapsto x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)), \(x \mapsto \sqrt{x}\), \(x \mapsto |x|\) tendent vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Les fonctions \(x \mapsto \frac{k}{x^n}\) (\(k \in \mathbb{R}^*\)) tendent vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(\pm\infty\).

Exemples

\(\lim_{x \to +\infty} x^6 = +\infty\)
\(\lim_{x \to -\infty} x^{2014} = +\infty\) (car 2014 est pair)
\(\lim_{x \to -\infty} -7x^9 = +\infty\) (car 9 est impair, et \(-7 \times -\infty = +\infty\))
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x^7} = 0\)
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{-4}{x^5} = 0\)

Attention Si \(x \to -\infty\) et \(n\) est pair, alors \(x^n \to +\infty\). Si \(n\) est impair, \(x^n \to -\infty\).

4Limites infinies en un point

Propriété

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \]

Plus généralement, quand le dénominateur tend vers \(0\), on étudie le signe du quotient.

Exemples

\(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = +\infty\)
\(\lim_{x \to 0^+} \frac{-5}{x^3} = -\infty\)
\(\lim_{x \to 0^+} \frac{9}{x^5} = +\infty\)
\(\lim_{x \to 0^+} \frac{-12}{x^4} = -\infty\)
\(\lim_{x \to 0^+} \frac{-1}{\sqrt{x}} = -\infty\)

5Limite à droite et limite à gauche

Théorème Une fonction \(f\) admet une limite \(l\) en \(a\) si et seulement si sa limite à droite et sa limite à gauche en \(a\) existent et sont toutes les deux égales à \(l\).

\[ \lim_{x \to a} f(x) = l \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = l \]

Exemple · Fonction avec valeur absolue Soit \(f(x) = \frac{(x+1)^2}{|x^2 – 1|}\) pour \(x \ne \pm 1\). Étudier la limite en \(-1\).

Si \(-1 < x < 1\) : \(f(x) = \frac{(x+1)^2}{-(x^2-1)} = \frac{-(x+1)}{x-1}\). Donc \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = 0\).
Si \(x < -1\) : \(f(x) = \frac{(x+1)^2}{x^2-1} = \frac{x+1}{x-1}\). Donc \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = 0\).

Les limites à droite et à gauche sont égales, donc \(\lim_{x \to -1} f(x) = 0\).

Exemple · Trouver un paramètre Soit \(g(x) = 2x^2 – x + 3\) si \(x \ge 1\) et \(g(x) = -x^2 + x + \alpha\) si \(x < 1\). Trouver \(\alpha\) pour que \(g\) ait une limite en 1.

À droite : \(\lim_{x \to 1^+} g(x) = 2(1)^2 – 1 + 3 = 4\).
À gauche : \(\lim_{x \to 1^-} g(x) = -1^2 + 1 + \alpha = \alpha\).
Pour avoir une limite, il faut \(4 = \alpha\). Donc \(\alpha = 4\).

6Opérations sur les limites

6.1 Limites finies

Propriétés Si \(\lim f = l\) et \(\lim g = l’\) (finies), alors :

\(\lim (f+g) = l + l’\)
\(\lim (f \times g) = l \times l’\)
\(\lim \left(\frac{1}{g}\right) = \frac{1}{l’}\) si \(l’ \neq 0\)
\(\lim \left(\frac{f}{g}\right) = \frac{l}{l’}\) si \(l’ \neq 0\)
\(\lim \sqrt{f} = \sqrt{l}\) si \(l \ge 0\)

6.2 Limites infinies et formes indéterminées

Les propriétés s’étendent aux limites infinies, sauf dans 4 cas appelés formes indéterminées (FI) :

Forme indéterminée	Exemple	Méthode de résolution
\(\infty – \infty\)	\(x^2 – x\) en \(+\infty\)	Factoriser par le terme dominant
\(0 \times \infty\)	\(x \cdot \frac{1}{x}\) en \(0\)	Simplifier l’expression
\(\frac{0}{0}\)	\(\frac{x^2-1}{x-1}\) en \(1\)	Factoriser ou utiliser le conjugué
\(\frac{\infty}{\infty}\)	\(\frac{3x^2+1}{x^2-2}\) en \(+\infty\)	Diviser par le terme de plus haut degré

Limites des polynômes et fractions rationnelles en \(\pm\infty\)

La limite d’un polynôme en \(\pm\infty\) est la limite de son terme de plus haut degré.
La limite d’une fraction rationnelle en \(\pm\infty\) est la limite du rapport des termes de plus haut degré.

Exemples

\(\lim_{x \to +\infty} (2x^3 + x^2 – x + 4) = \lim_{x \to +\infty} 2x^3 = +\infty\)
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+8x^2-2x^5}{x^2+2x^6} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^5}{2x^6} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{x} = 0\)

7Limites des fonctions trigonométriques

Propriétés

\(\lim_{x \to a} \sin x = \sin a\)
\(\lim_{x \to a} \cos x = \cos a\)
\(\lim_{x \to a} \tan x = \tan a\) (si \(a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\))

Limites usuelles en 0

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]

Exemple Calculer \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}\).

\[ \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{\sin 2x}{2x} \times \frac{3x}{\sin 3x} \times \frac{2}{3} \xrightarrow{x \to 0} 1 \times 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \]

8Limites et ordres (Théorèmes de comparaison)

Théorème des gendarmes (ou d’encadrement) Si sur un intervalle autour de \(a\), on a \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) et si \(\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = l\), alors :

\[ \lim_{x \to a} f(x) = l \]

Théorème de comparaison (limites infinies)

Si \(f(x) \ge g(x)\) et \(\lim_{x \to a} g(x) = +\infty\), alors \(\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\).
Si \(f(x) \le g(x)\) et \(\lim_{x \to a} g(x) = -\infty\), alors \(\lim_{x \to a} f(x) = -\infty\).

Exemple · \(x^2 \sin(1/x)\) Montrer que \(\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0\).

Pour tout \(x \ne 0\), \(-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1\).
En multipliant par \(x^2 \ge 0\), on obtient : \(-x^2 \le x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le x^2\).
Or \(\lim_{x \to 0} x^2 = \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0\).
D’après le théorème des gendarmes, \(\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0\).

Exemple · \(x + \sin x – 1\) Déterminer \(\lim_{x \to -\infty} (x + \sin x – 1)\).

Pour tout \(x\), \(-1 \le \sin x \le 1\).
Donc \(x – 2 \le x + \sin x – 1 \le x\).
Or \(\lim_{x \to -\infty} x = -\infty\).
Par comparaison (minoration), \(\lim_{x \to -\infty} (x + \sin x – 1) = -\infty\).

9Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Calculs directs

Calculer les limites suivantes :

1) \(\lim_{x \to 2} 3x^2 + 2x + 1\)

2) \(\lim_{x \to 1} \frac{3x^2 – x}{2x^3 + 3x – 4}\)

3) \(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4x+1} + 3}{x^2 + 3x + 2}\)

Voir la solution

1) \(3(2)^2 + 2(2) + 1 = 12 + 4 + 1 = 17\).

2) \(\frac{3(1)^2 – 1}{2(1)^3 + 3(1) – 4} = \frac{2}{1} = 2\).

3) \(\frac{\sqrt{9} + 3}{4 + 6 + 2} = \frac{3+3}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\).

★★ Exercice 2 · Forme indéterminée \(\frac{0}{0}\)

Calculer \(\lim_{x \to 1} \frac{2x^3 + 3x^2 – 4x – 1}{x^3 – 1}\).

Voir la solution

On a \(x^3 – 1 = (x-1)(x^2+x+1)\).

Et \(2x^3 + 3x^2 – 4x – 1 = (x-1)(2x^2 + 5x + 1)\).

Donc : \(\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(2x^2 + 5x + 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{2x^2 + 5x + 1}{x^2 + x + 1} = \frac{2+5+1}{1+1+1} = \frac{8}{3}\).

★★ Exercice 3 · Forme indéterminée \(\infty – \infty\)

Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + x} – x\).

Voir la solution

On multiplie par le conjugué :

\(\sqrt{x^2+x} – x = \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x^2+x – x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\).

On factorise par \(x\) au dénominateur :

\(= \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}} + x} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1}\).

Quand \(x \to +\infty\), cela tend vers \(\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\).

★★ Exercice 4 · Limite avec la fonction tangente

Calculer \(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x – 1}{x – \frac{\pi}{4}}\).

Voir la solution

On pose \(h = x – \frac{\pi}{4}\). Quand \(x \to \frac{\pi}{4}\), \(h \to 0\).

\(\frac{\tan x – 1}{x – \frac{\pi}{4}} = \frac{\tan(h + \frac{\pi}{4}) – 1}{h}\).

On sait que \(\tan(h + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan h + 1}{1 – \tan h}\).

Donc l’expression devient \(\frac{\frac{\tan h + 1}{1 – \tan h} – 1}{h} = \frac{\frac{\tan h + 1 – 1 + \tan h}{1 – \tan h}}{h} = \frac{2\tan h}{h(1 – \tan h)}\).

Comme \(\lim_{h \to 0} \frac{\tan h}{h} = 1\), la limite vaut \(\frac{2 \times 1}{1 – 0} = 2\).

★★★ Exercice 5 · Limite avec racine et gendarmes

Déterminer \(\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{x}{2 + \sqrt{x^4+1}}\right)\).

Voir la solution

On pose \(f(x) = 1 + \frac{x}{2 + \sqrt{x^4+1}}\).

On a \(\sqrt{x^4+1} \ge \sqrt{x^4} = x^2\). Donc \(2 + \sqrt{x^4+1} \ge 2 + x^2\).

Donc \(\left|\frac{x}{2+\sqrt{x^4+1}}\right| \le \frac{|x|}{x^2} = \frac{1}{|x|}\).

Or \(\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{|x|} = 0\). Donc \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1\).

★Fiche résumé à retenir

Limite finie en \(a\) : \(\lim f(x) = l \iff \lim |f(x)-l| = 0\).
Limite à droite / gauche : \(\lim f = l \iff \lim f^- = \lim f^+ = l\).
Polynôme en \(\pm\infty\) : on garde le terme dominant.
Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : on garde le rapport des termes dominants.
4 formes indéterminées : \(\infty-\infty\), \(0 \times \infty\), \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\).
Trigonométrie en 0 : \(\frac{\sin x}{x} \to 1\), \(\frac{1-\cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}\).
Gendarmes : si \(g \le f \le h\) et \(\lim g = \lim h = l\), alors \(\lim f = l\).

↑