Ce cours de dérivation pour la 1ère Bac Sc Ex présente le nombre dérivé, la tangente, les opérations sur les dérivées et l’étude des variations, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.
Cours de dérivation 1ère Bac
La Dérivation
Nombre dérivé, interprétation géométrique, fonction dérivée et exercices corrigés.
corrigés
1Dérivation en un point
2Dérivabilité à droite et à gauche
- \(f\) est dérivable à droite en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) – f(a)}{x – a} = f’_d(a)\) existe et est finie.
- \(f\) est dérivable à gauche en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a^-} \frac{f(x) – f(a)}{x – a} = f’_g(a)\) existe et est finie.
- À droite : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{-2x^2 + 3x}{x} = \lim_{x \to 0^+} (-2x + 3) = 3\).
- À gauche : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{3x^2 + x}{x} = \lim_{x \to 0^-} (3x + 1) = 1\).
- Comme \(f’_d(0) \neq f’_g(0)\), \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
- À droite : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 – x}{x} = \lim_{x \to 0^+} (x – 1) = -1 = f’_d(0)\).
- À gauche : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 + x}{x} = \lim_{x \to 0^-} (x + 1) = 1 = f’_g(0)\).
- \(f’_d(0) \neq f’_g(0)\), donc \(f\) n’est pas dérivable en \(0\) (point anguleux).
Soit \(f(x) = |x^2 – 2x – 3| + 2x\). Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche de \(-1\), puis en \(-1\).
Voir la solution
On a \(x^2 – 2x – 3 = (x-3)(x+1)\). Donc \(x^2 – 2x – 3 \leq 0\) sur \([-1, 3]\).
Au voisinage de \(-1\) : \(|x^2-2x-3| = -(x^2-2x-3)\) sur \([-1, 3]\), donc pour \(x \geq -1\) : \(f(x) = -x^2 + 2x + 3 + 2x = -x^2 + 4x + 3\).
Pour \(x \leq -1\) : \(f(x) = x^2 – 2x – 3 + 2x = x^2 – 3\).
À droite : \(\displaystyle\lim_{x \to -1^+} \frac{-x^2+4x+3 – 0}{x+1}\)… On a \(f(-1) = -1 – 3 = -4\) (avec la formule \(x^2-3\)).
\(\displaystyle\lim_{x \to -1^+} \frac{-x^2+4x+3 – (-4)}{x+1} = \lim_{x \to -1^+} \frac{-x^2+4x+7}{x+1}\). Or \(-x^2+4x+7 = -(x^2-4x-7)\), et \(-1\) est racine car \(-1-4+7=2\neq 0\)… Reprise : \(f(-1) = 1 – 3 = -2\) (car \((-1)^2-3 = -2\)). On recalcule :
Pour \(x \geq -1\) : \(f(x) = -x^2+4x+3\), \(f(-1) = -1-4+3 = -2\). À droite : \(( -x^2+4x+3 – (-2))/(x+1) = (-x^2+4x+5)/(x+1) = -(x^2-4x-5)/(x+1) = -(x-5) \to 6\).
À gauche : \(f(x) = x^2-3\), \(\frac{x^2-3-(-2)}{x+1} = \frac{x^2-1}{x+1} = x-1 \to -2\).
\(f’_d(-1) = 6 \neq f’_g(-1) = -2\), donc \(f\) n’est pas dérivable en \(-1\).
3Interprétation géométrique
La réciproque est fausse : \(f(x) = |x|\) est continue en 0 mais non dérivable en 0.
4Tangente et demi-tangente
- Si \(f\) est dérivable à droite en \(a\) : \((T_d) : y = f’_d(a)(x – a) + f(a)\) pour \(x \geq a\).
- Si \(f\) est dérivable à gauche en \(a\) : \((T_g) : y = f’_g(a)(x – a) + f(a)\) pour \(x \leq a\).
- \((T_d) : y = 3(x-1)\) pour \(x \geq 1\)
- \((T_g) : y = -3(x-1)\) pour \(x \leq 1\)
5Fonction dérivée
- \(f\) est dérivable sur \(]a, b[\) si elle est dérivable en tout point de \(]a, b[\).
- \(f\) est dérivable sur \([a, b[\) si elle est dérivable sur \(]a, b[\) et dérivable à droite en \(a\).
- \(f\) est dérivable sur \([a, b]\) si elle est dérivable sur \(]a, b[\), à droite en \(a\) et à gauche en \(b\).
6Dérivées des fonctions usuelles
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(ax + b\) | \(a\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{R}^*\)) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0, +\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan x\) | \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\) | \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) |
| \(\sin(ax+b)\) | \(a\cos(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos(ax+b)\) | \(-a\sin(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) |
7Opérations sur les fonctions dérivées
| Opération | Dérivée |
|---|---|
| Somme | \((f + g)’ = f’ + g’\) |
| Produit par \(k\) | \((kf)’ = kf’\) |
| Produit | \((fg)’ = f’g + fg’\) |
| Puissance | \((f^n)’ = n f^{n-1} f’\) |
| Inverse | \(\left(\frac{1}{f}\right)’ = -\frac{f’}{f^2}\) |
| Quotient | \(\left(\frac{f}{g}\right)’ = \frac{f’g – fg’}{g^2}\) |
| Racine carrée | \((\sqrt{f})’ = \frac{f’}{2\sqrt{f}}\) |
| Forme \(f(ax+b)\) | \((f(ax+b))’ = a f'(ax+b)\) |
- Toute fonction polynôme est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition.
8Exercices corrigés
Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.
Soit \(f(x) = x^3 + x\). Calculer \(f'(1)\) en utilisant la définition avec \(h\).
Voir la solution
\(\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^3 + (1+h) – 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + 3h + 3h^2 + h^3 + 1 + h – 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + 3h^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + 3h + h^2) = 4\).
Donc \(f'(1) = 4\).
Soit \(f(x) = 3x^2 + x\) si \(x < 0\), \(f(x) = -2x^2 + 3x\) si \(x \geq 0\). \(f\) est-elle dérivable en \(0\) ?
Voir la solution
À droite : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{-2x^2 + 3x}{x} = \lim_{x \to 0^+} (-2x + 3) = 3\).
À gauche : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{3x^2 + x}{x} = \lim_{x \to 0^-} (3x + 1) = 1\).
Comme \(3 \neq 1\), \(f\) n’est pas dérivable en \(0\) (point anguleux).
Soit \(f(x) = \frac{x^2}{\tan(x/2)}\) pour \(x \neq 0\), \(f(0) = 0\). 1) Montrer que \(f\) est dérivable en 0. 2) Donner une valeur approchée de \(f(10^{-5})\).
Voir la solution
1) \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^2/\tan(x/2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(x/2)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot (x/2)}{\tan(x/2)} = 2 \cdot 1 = 2\).
Donc \(f\) est dérivable en 0 avec \(f'(0) = 2\).
2) \(f(10^{-5}) \approx f(0) + 10^{-5} \cdot f'(0) = 0 + 10^{-5} \cdot 2 = 2 \cdot 10^{-5}\).
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = \sin x\) au point \(A(0, 0)\).
Voir la solution
\(f'(x) = \cos x\), donc \(f'(0) = \cos(0) = 1\).
\(f(0) = 0\). L’équation est \((T) : y = 1 \cdot (x – 0) + 0 = x\).
Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 – x}\). 1) Donner \(D_f\). 2) Donner le domaine de dérivabilité. 3) Calculer \(f'(x)\).
Voir la solution
1) \(x^2 – x \geq 0 \iff x \in ]-\infty, 0] \cup [1, +\infty[\). Donc \(D_f = ]-\infty, 0] \cup [1, +\infty[\).
2) \(x^2 – x > 0 \iff x \in ]-\infty, 0[ \cup ]1, +\infty[\). Donc \(f\) est dérivable sur \(]-\infty, 0[ \cup ]1, +\infty[\).
3) \(f'(x) = \frac{(x^2-x)’}{2\sqrt{x^2-x}} = \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}\).
Soit \(f(x) = |x^2 – 1|\). 1) Exprimer \(f\) sans valeur absolue. 2) Étudier la dérivabilité en \(x_0 = 1\). 3) Donner l’équation des demi-tangentes.
Voir la solution
1) \(f(x) = x^2 – 1\) si \(x \leq -1\) ou \(x \geq 1\) ; \(f(x) = 1 – x^2\) si \(-1 \leq x \leq 1\).
2) À droite en 1 : \(f(x) = x^2 – 1\), donc \(\frac{x^2-1}{x-1} = x+1 \to 2\). \(f’_d(1) = 2\).
À gauche en 1 : \(f(x) = 1 – x^2\), donc \(\frac{1-x^2}{x-1} = -(x+1) \to -2\). \(f’_g(1) = -2\).
\(f’_d(1) \neq f’_g(1)\), donc \(f\) n’est pas dérivable en 1 (point anguleux).
3) Demi-tangente à droite : \(y = 2(x-1)\), \(x \geq 1\). Demi-tangente à gauche : \(y = -2(x-1)\), \(x \leq 1\).
Calculer \(f'(x)\) pour :
1) \(f(x) = 11\) 2) \(f(x) = 7x + 15\) 3) \(f(x) = x^3\) 4) \(f(x) = \sin(5x-1)\)
Voir la solution
1) \(f'(x) = 0\).
2) \(f'(x) = 7\).
3) \(f'(x) = 3x^2\).
4) \(f'(x) = 5\cos(5x-1)\).
Calculer \(f'(x)\) pour :
1) \(f(x) = x^2 + 7x + 15 – \frac{1}{x} + \sqrt{x}\)
2) \(f(x) = (5x^2+1)(3x-1)\)
Voir la solution
1) \(f'(x) = 2x + 7 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
2) \((uv)’ = u’v + uv’\), avec \(u = 5x^2+1\) et \(v = 3x-1\) :
\(f'(x) = 10x(3x-1) + 3(5x^2+1) = 30x^2 – 10x + 15x^2 + 3 = 45x^2 – 10x + 3\).
Calculer \(f'(x)\) pour :
1) \(f(x) = (3x+4)^3\) 2) \(f(x) = \frac{1}{\sin x}\)
Voir la solution
1) \(f'(x) = 3(3x+4)^2 \times 3 = 9(3x+4)^2\).
2) \(f'(x) = -\frac{(\sin x)’}{(\sin x)^2} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}\).
Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x) = \frac{3x-1}{x+2}\).
Voir la solution
\(f'(x) = \frac{3(x+2) – 1(3x-1)}{(x+2)^2} = \frac{3x+6-3x+1}{(x+2)^2} = \frac{7}{(x+2)^2}\).
Soit \(f\) définie par \(f(x) = \frac{x|x+1|}{x-1}\) sur \(]-\pi, 0]\) et \(f(x) = 2\frac{\cos x – 1}{\sin x}\) sur \(]0, \pi[\).
1) Montrer que \(f\) est dérivable en \(0\) et donner l’équation de la tangente en \(0\).
2) Étudier la dérivabilité en \(-1\) et donner les équations des demi-tangentes.
Voir la solution
1) À droite : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} 2\frac{\cos x – 1}{x \sin x} = -2 \times \frac{1}{2} \times 1 = -1\).
À gauche : \(f(x) = \frac{x(x+1)}{x-1}\) (car \(x+1 > 0\) au voisinage de 0), et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{x(x+1)/(x-1)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x+1}{x-1} = -1\).
Donc \(f'(0) = -1\). Tangente : \(y = -x\).
2) À droite de \(-1\) : \(f(x) = \frac{x \cdot (-(x+1))}{x-1} = \frac{-x(x+1)}{x-1}\), \(\frac{f(x) – f(-1)}{x+1} = \frac{-x}{x-1} \to \frac{1}{2}\).
À gauche de \(-1\) : \(f(x) = \frac{x(x+1)}{x-1}\), \(\frac{f(x)}{x+1} = \frac{x}{x-1} \to -\frac{1}{2}\).
\(f’_d(-1) = 1/2 \neq f’_g(-1) = -1/2\), donc non dérivable en \(-1\) (point anguleux).
Demi-tangente à droite : \(y = \frac{1}{2}(x+1)\) pour \(x \geq -1\). À gauche : \(y = -\frac{1}{2}(x+1)\) pour \(x \leq -1\).
Calculer en utilisant la dérivation :
1) \(\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{(x+2)^{2018} – 1}{x+1}\) 2) \(\displaystyle\lim_{x \to \pi/6} \frac{2\sin x – 1}{x – \pi/6}\)
Voir la solution
1) Soit \(f(x) = (x+2)^{2018}\). \(f(-1) = 1\), \(f'(x) = 2018(x+2)^{2017}\), \(f'(-1) = 2018\). Donc la limite vaut \(2018\).
2) Soit \(g(x) = 2\sin x\). \(g(\pi/6) = 1\), \(g'(x) = 2\cos x\), \(g'(\pi/6) = 2\cos(\pi/6) = \sqrt{3}\). La limite vaut \(\sqrt{3}\).
Soit \(f(x) = \sqrt{3x-2} \left(\frac{2x+1}{x-1}\right)^3\). 1) Donner \(D_f\). 2) Donner le domaine de dérivabilité et calculer \(f'(x)\).
Voir la solution
1) \(3x-2 \geq 0\) et \(x \neq 1\), donc \(D_f = [2/3, 1[ \cup ]1, +\infty[\).
2) \(3x-2 > 0\) et \(x \neq 1\), donc \(f\) est dérivable sur \(]2/3, 1[ \cup ]1, +\infty[\).
\(f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x-2}} \left(\frac{2x+1}{x-1}\right)^3 + \sqrt{3x-2} \times 3\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)^2 \times \frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2}\)
\(= \frac{3}{2\sqrt{3x-2}} \left(\frac{2x+1}{x-1}\right)^3 + \sqrt{3x-2} \times 3\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)^2 \times \frac{-3}{(x-1)^2}\)
★Fiche résumé à retenir
- Nombre dérivé : \(f'(a) = \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}\).
- Dérivable ⟹ continue, mais la réciproque est fausse.
- Tangente : \((T) : y = f'(a)(x – a) + f(a)\).
- Demi-tangentes : si \(f’_d(a) \neq f’_g(a)\), point anguleux.
- Dérivées usuelles : \((x^n)’ = nx^{n-1}\), \((\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), \((\sin x)’ = \cos x\), \((\cos x)’ = -\sin x\).
- Opérations : \((fg)’ = f’g + fg’\), \(\left(\frac{f}{g}\right)’ = \frac{f’g – fg’}{g^2}\), \((\sqrt{f})’ = \frac{f’}{2\sqrt{f}}\), \((f(ax+b))’ = a f'(ax+b)\).