Vecteurs de l’espace 1ère Bac Sc Ex : cours

Ce cours sur les vecteurs de l’espace pour la 1ère Bac Sc Ex traite de la colinéarité, de la coplanarité, des bases et des repères, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Cours sur les vecteurs de l’espace 1ère Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.

PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Définition du vecteur de l’espace

Définition Soient \(A\) et \(B\) deux points de l’espace \(\mathcal{E}\).

Si \(A \ne B\), pour tout point \(M\) de l’espace, il existe un point unique \(N\) tel que \(ABNM\) soit un parallélogramme. On écrit :
\[ \vec{u} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MN} \]
Si \(A = B\), alors \(\vec{0} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{MN}\) (vecteur nul).

Caractérisation d’un vecteur non nul Un vecteur non nul \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) est caractérisé par :

Sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
Son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
Sa norme : \(\|\vec{u}\| = \|\overrightarrow{AB}\| = AB\).

Remarques

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.
Deux vecteurs peuvent avoir la même direction : on dit qu’ils sont colinéaires.
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MN}\) si et seulement si \(ABNM\) est un parallélogramme.

Bijection Si \(O\) est un point de l’espace, l’application \(\varphi : \mathcal{E} \to V_3\), \(M \mapsto \overrightarrow{OM}\) est une bijection. L’ensemble des vecteurs se note \(V_3\).

2Opérations dans \(V_3\)

2.1 L’addition vectorielle

Définition Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls, et \(O\), \(A\), \(B\) des points tels que \(\vec{u} = \overrightarrow{OA}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{OB}\). La somme \(\vec{u} + \vec{v}\) est le vecteur \(\overrightarrow{OC}\) tel que \(OACB\) soit un parallélogramme :

\[ \vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} \]

Propriétés

Commutativité : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\).
Associativité : \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\).
Élément neutre : \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{u} = \vec{u}\).
Opposé : \(\vec{u} + (-\vec{u}) = (-\vec{u}) + \vec{u} = \vec{0}\).

On dit que \((V_3, +)\) est un groupe commutatif.

Différence de deux vecteurs

\[ \vec{u} – \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \]

Exemple · Simplification dans un cube Soit \(ABCDEFGH\) un cube. Simplifier \(t = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{FH}\).

On a \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
\(t = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE}) + \overrightarrow{FH}\) (Chasles).
\(t = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FH} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BD}\) (car \(\overrightarrow{FH} = \overrightarrow{BD}\)).
\(t = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AE} = \vec{0} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AE}\).

2.2 Produit d’un vecteur par un réel

Définition Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(k \in \mathbb{R}^*\). Le produit \(k\vec{u}\) est le vecteur \(\vec{v}\) tel que :

\(\vec{v}\) a la même direction que \(\vec{u}\) ;
\(\vec{v}\) a le même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), le sens opposé si \(k < 0\) ;
\(\|\vec{v}\| = |k| \cdot \|\vec{u}\|\).

On pose \(k\vec{0} = \vec{0}\) et \(0\vec{u} = \vec{0}\).

Propriétés Pour tous vecteurs \(\vec{u}, \vec{v} \in V_3\) et réels \(\alpha, \beta\) :

\[ \alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v} \] \[ (\alpha + \beta)\vec{u} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{u} \] \[ 1\vec{u} = \vec{u} \] \[ \alpha(\beta\vec{u}) = (\alpha\beta)\vec{u} \]

On dit que \((V_3, +, \cdot)\) est un espace vectoriel réel.

Remarques

\[ \alpha(\vec{u} – \vec{v}) = \alpha\vec{u} – \alpha\vec{v} \] \[ (\alpha – \beta)\vec{u} = \alpha\vec{u} – \beta\vec{u} \] \[ \alpha(-\beta\vec{u}) = (-\alpha)(\beta\vec{u}) = -\alpha\beta\vec{u} \]

3Vecteurs colinéaires

Définition Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que :

\[ \vec{v} = k\vec{u} \]

Remarques

Tout vecteur est colinéaire avec lui-même : \(\vec{u} = 1\vec{u}\).
Tout vecteur est colinéaire avec \(\vec{0}\) : \(\vec{u} = k\vec{0}\) (avec \(k = 0\)).
Si \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{CD}\), alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires \(\iff (AB) \parallel (CD)\).
\(A, B, C\) non alignés \(\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.

Propriété Si \(a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{0}\) avec \(a \ne 0\) ou \(b \ne 0\), alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

Exemple · Déterminer \(x\) et \(y\) Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non colinéaires. Déterminer \(x, y \in \mathbb{R}\) tels que :

\[ x(\vec{u} + 2\vec{v}) + y(\vec{u} + 3\vec{v}) = 2\vec{u} + 5\vec{v} \]

On développe : \((x + y – 2)\vec{u} + (2x + 3y – 5)\vec{v} = \vec{0}\).
Comme \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires : \(\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases}\).
On résout : \(x = 1\) et \(y = 1\).

3.1 Droite vectorielle et détermination d’une droite

Droite vectorielle Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul. L’ensemble des vecteurs colinéaires à \(\vec{u}\) s’appelle la droite vectorielle engendrée par \(\vec{u}\) :

\[ \Delta_{\vec{u}} = \{ \vec{v} \in V_3 \mid \exists k \in \mathbb{R} : \vec{v} = k\vec{u} \} \]

Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires, alors \(\Delta_{\vec{u}} \cap \Delta_{\vec{v}} = \{\vec{0}\}\).

Détermination vectorielle d’une droite Soient \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(A\) un point de l’espace. La droite passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\) est :

\[ D(A, \vec{u}) = \{ M \in \mathcal{E} \mid \exists k \in \mathbb{R} : \overrightarrow{AM} = k\vec{u} \} \]

Remarques

Le couple \((A, \vec{u})\) détermine un repère sur la droite \(D(A, \vec{u})\).
Tout vecteur non nul et colinéaire à \(\vec{u}\) est aussi vecteur directeur de \(D(A, \vec{u})\).

4Vecteurs coplanaires

Définition Soient \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) trois vecteurs et \(A\) un point de l’espace. On pose \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\), \(\overrightarrow{AC} = \vec{v}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{w}\). Les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires si et seulement si les points \(A, B, C, D\) sont coplanaires.

Propriété Les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires si et seulement s’il existe deux réels \(x\) et \(y\) tels que :

\[ \vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v} \]

Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires, alors \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont toujours coplanaires.

4.1 Plan vectoriel et détermination d’un plan

Plan vectoriel Soient \(\vec{u}, \vec{v}\) deux vecteurs non colinéaires. L’ensemble des vecteurs \(\vec{w}\) de la forme \(\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}\) s’appelle le plan vectoriel engendré par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Détermination vectorielle d’un plan Soient \(\vec{u}, \vec{v}\) deux vecteurs non colinéaires et \(A\) un point de l’espace. Le plan passant par \(A\) et de vecteurs directeurs \(\vec{u}, \vec{v}\) est :

\[ P(A, \vec{u}, \vec{v}) = \{ M \in \mathcal{E} \mid \exists x, y \in \mathbb{R} : \overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v} \} \]

Le triplet \((A, \vec{u}, \vec{v})\) s’appelle un repère du plan.

Exemple · Parallélépipède \(ABCDEFGH\) est un parallélépipède de centre \(O\), \(I\) milieu de \([AD]\). On pose \(\overrightarrow{EG} = \vec{u}\), \(\overrightarrow{FC} = \vec{v}\), \(\overrightarrow{IO} = \vec{w}\). Montrer que \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires.

\(\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}\), donc \(\vec{u} = \overrightarrow{AC}\).
Dans le triangle \(ADF\), \(I\) milieu de \([AD]\) et \(O\) milieu de \([FD]\), donc \(\overrightarrow{IO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AF}\). Soit \(K\) milieu de \([AF]\), alors \(\vec{w} = \overrightarrow{AK}\).
Soit \(L\) tel que \(AFCL\) soit un parallélogramme, alors \(\vec{v} = \overrightarrow{AL}\).
\(\vec{u} = \overrightarrow{AC}\), \(\vec{v} = \overrightarrow{AL}\), \(\vec{w} = \overrightarrow{AK}\) : ces trois vecteurs sont dans le plan \((ACL)\), donc coplanaires.

5Parallélisme dans l’espace

5.1 Parallélisme de deux droites

Définition Deux droites \(D(A, \vec{u})\) et \(D(B, \vec{v})\) sont parallèles si et seulement si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires :

\[ D(A, \vec{u}) \parallel D(B, \vec{v}) \iff \exists k \in \mathbb{R}^* : \vec{v} = k\vec{u} \]

5.2 Parallélisme d’une droite et d’un plan

Propriété La droite \(D(A, \vec{u})\) et le plan \(P(B, \vec{v}, \vec{w})\) sont parallèles si et seulement si \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires :

\[ D(A, \vec{u}) \parallel P(B, \vec{v}, \vec{w}) \iff \exists x, y \in \mathbb{R} : \vec{u} = x\vec{v} + y\vec{w} \]

Exemple · Cube \(ABCDEFGH\) est un cube, \(K\) est le symétrique de \(D\) par rapport à \(H\). Montrer que \((AK) \parallel (BCG)\).

\(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CG}\).
Donc \(\overrightarrow{AK}\) s’écrit comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CG}\) : les vecteurs \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{CG}\) sont coplanaires.
Donc \((AK) \parallel (BCG)\).

5.3 Parallélisme de deux plans

Propriété Deux plans \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\) et \(Q(B, \vec{u}’, \vec{v}’)\) sont parallèles si et seulement si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont coplanaires avec \(\vec{u}’\) et \(\vec{v}’\).

Remarque Une seule condition n’est pas suffisante : il faut que les deux vecteurs directeurs du second plan soient combinaisons linéaires des deux premiers.

6Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★★ Exercice 1 · Colinéarité dans un cube

\(ABCDEFGH\) est un cube. \(K\) est le milieu de \([EF]\), \(L\) est le milieu de \([CF]\), et \(M\) est un point de \([CD]\) tel que \(\overrightarrow{CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CD}\). Montrer que \((ML) \parallel (DK)\).

Voir la solution

On utilise la relation de Chasles :

\(\overrightarrow{ML} = \overrightarrow{CL} – \overrightarrow{CM}\). Comme \(L\) est le milieu de \([CF]\), \(\overrightarrow{CL} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CF}\). Donc :

\(\overrightarrow{ML} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CF} – \frac{1}{4}\overrightarrow{CD}\). (1)

De même, \(\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{CK} – \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FK} – \overrightarrow{CD}\).

Comme \(K\) est le milieu de \([EF]\), \(\overrightarrow{FK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\). Donc :

\(\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{CF} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} – \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CF} – \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\). (2)

En comparant (1) et (2) : \(\overrightarrow{ML} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DK}\).

Donc \(\overrightarrow{ML}\) et \(\overrightarrow{DK}\) sont colinéaires, par suite \((ML) \parallel (DK)\).

★★ Exercice 2 · Colinéarité et droites parallèles

\(ABCD\) est un tétraèdre, \(E\) le milieu de \([BC]\). Soient \(Q, P, N, M\) des points tels que \(\overrightarrow{AN} = 2\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{CQ} = 3\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{CP} = 3\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB}\).

1) Écrire \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{PQ}\) en fonction de \(\overrightarrow{BD}\).

2) En déduire que \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{PQ}\) sont colinéaires.

3) Que peut-on dire des droites \((MN)\) et \((PQ)\) ?

Voir la solution

1) On utilise Chasles :

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD} = 2(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}) = 2\overrightarrow{BD}\).

\(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CQ} = -\overrightarrow{CP} + \overrightarrow{CQ} = -3\overrightarrow{CD} + 3\overrightarrow{CB} = -3(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}) = -3(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) = -3\overrightarrow{BD}\).

2) On a \(\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{PQ} = -3\overrightarrow{BD}\). Donc \(\overrightarrow{PQ} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{MN}\) : les vecteurs sont colinéaires.

3) Puisque \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{PQ}\) sont colinéaires, les droites \((MN)\) et \((PQ)\) sont parallèles.

★★★ Exercice 3 · Droites parallèles (tétraèdre)

\(ABCD\) est un tétraèdre, \(E\) le milieu de \([BC]\). Soient \(K, L\) des points tels que \(\overrightarrow{CL} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\) et \(\overrightarrow{DK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CB} – \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\). Montrer que \((LD) \parallel (EK)\).

Voir la solution

On veut montrer que \(\overrightarrow{LD}\) et \(\overrightarrow{EK}\) sont colinéaires.

D’après l’énoncé : \(\overrightarrow{DK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CB} – \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\).

\(\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{AK} – \overrightarrow{AD}\), donc \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{DK} + \overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\).

\(\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{AK} – \overrightarrow{AE}\). Or \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\). Donc :

\(\overrightarrow{EK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} – \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} – \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

On regroupe : \(\overrightarrow{EK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} – \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\). (1)

D’autre part, \(\overrightarrow{LD} = \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AL}\). Or \(\overrightarrow{AL} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CL} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}\).

Donc \(\overrightarrow{LD} = \overrightarrow{AD} – \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} – \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} – \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\). (2)

En comparant (1) et (2), on remarque que \(\overrightarrow{EK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{LD}\).

Donc \(\overrightarrow{EK}\) et \(\overrightarrow{LD}\) sont colinéaires, par suite \((LD) \parallel (EK)\).

★★ Exercice 4 · Coplanarité dans un cube

\(ABCDEFGH\) est un cube. \(M\) est le milieu de \([HE]\), \(N\) est le milieu de \([HG]\). Les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{CH}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont-ils coplanaires ? Justifier.

Voir la solution

On considère le triangle \(HEG\). \(M\) est le milieu de \([HE]\), \(N\) est le milieu de \([HG]\), donc d’après le théorème des milieux : \(\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{MN}\).

Or dans le cube, \(\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}\). Donc \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{MN}\), ce qui signifie que \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Par suite, les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{CH}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont coplanaires.

★★ Exercice 5 · Colinéarité (paramètres)

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non colinéaires. Déterminer les réels \(x\) et \(y\) tels que : \(x(\vec{u} + 2\vec{v}) + y(\vec{u} + 3\vec{v}) = 2\vec{u} + 5\vec{v}\).

Voir la solution

On développe : \((x + y – 2)\vec{u} + (2x + 3y – 5)\vec{v} = \vec{0}\).

Comme \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires, on obtient le système :

\(\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases}\)

En résolvant : \(x = 1\) et \(y = 1\).

★★★ Exercice 6 · Parallélisme droite/plan

\(ABCDEFGH\) est un cube. \(K\) est le symétrique de \(D\) par rapport à \(H\). Montrer que \((AK) \parallel (BCG)\).

Voir la solution

On a \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CG}\).

Donc \(\overrightarrow{AK}\) s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CG}\), qui sont deux vecteurs directeurs du plan \((BCG)\).

Donc les vecteurs \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CG}\) sont coplanaires, par suite \((AK) \parallel (BCG)\).

★Fiche résumé à retenir

Vecteur : direction + sens + norme. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MN} \iff ABNM\) parallélogramme.
Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
Colinéarité : \(\vec{v} = k\vec{u}\). Trois points alignés \(\iff\) vecteurs colinéaires.
Coplanarité : \(\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}\). Quatre points coplanaires \(\iff\) trois vecteurs coplanaires.
Droite : \(D(A, \vec{u}) = \{M \mid \overrightarrow{AM} = k\vec{u}\}\).
Plan : \(P(A, \vec{u}, \vec{v}) = \{M \mid \overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v}\}\).
Parallélisme : droites \(\iff\) vecteurs directeurs colinéaires ; plans \(\iff\) vecteurs directeurs coplanaires.

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