Cette série d’exercices corrigés sur le produit scalaire pour le Tronc Commun travaille la définition, la norme, l’orthogonalité et l’expression analytique, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Exercices corrigés sur le produit scalaire Tronc Commun

Produit scalaire · Série d’exercices Tronc Commun

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape

Exercice 1.1

Calculer des produits scalaires dans des figures usuelles

1) Soit \(ABC\) un triangle rectangle et isocèle en \(A\) et \(AB=2\,\text{cm}\).

Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CB}\).

Correction détaillée

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}\) ; vecteurs orthogonaux : produit nul.

🔢 Le triangle est rectangle en \(A\), donc \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\).

🔢 Il est isocèle : \(AC=AB=2\), \(BC=2\sqrt2\) (Pythagore) et \(\widehat{ABC}=45^\circ\). Alors \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=BA\times BC\times\cos45^\circ=2\times2\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=4\).

🔢 Comme \(\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}\) : \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-4\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) ; \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=4\) ; \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CB}=-4\).

2) Soit un triangle équilatéral \(ABC\) de côté \(a\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}\).

🔢 Les angles d’un triangle équilatéral valent \(60^\circ\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos60^\circ=a\times a\times\dfrac12=\dfrac{a^2}{2}\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2}{2}\).

3) Soit un carré \(ABCD\) de côté \(c\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

Décomposer un vecteur avec la relation de Chasles pour utiliser un angle droit.

🔢 On décompose avec Chasles : \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\). Alors \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\).

🔢 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=AB^2=c^2\) et \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}\) donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0\). D’où \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=c^2\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=c^2\).

4) \(MNPQ\) est un carré de centre \(I\) tel que \(MN=5\).

Calculer :
   a) \(NI\).
   b) \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{QP}\) et \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{PN}\).
   c) \(\overrightarrow{IN}\cdot\overrightarrow{IP}\).
   d) \(\overrightarrow{QI}\cdot\overrightarrow{NI}\).

Correction détaillée

Vecteurs égaux : produit \(=\) norme au carré ; vecteurs opposés : \(-\) norme au carré ; orthogonaux : 0.

🔢 a) La diagonale du carré vaut \(NQ=5\sqrt2\) et \(I\) est son milieu : \(NI=\dfrac{5\sqrt2}{2}\).

🔢 b) Dans le carré \(MNPQ\), \(\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{MN}\) donc \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{QP}=MN^2=25\). De plus \((MN)\perp(NP)\) donc \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{PN}=0\).

🔢 c) Les diagonales du carré sont perpendiculaires : \(\overrightarrow{IN}\cdot\overrightarrow{IP}=0\).

🔢 d) \(I\) est le milieu de \([NQ]\), donc \(\overrightarrow{QI}=\overrightarrow{IN}\) et \(\overrightarrow{QI}\cdot\overrightarrow{NI}=\overrightarrow{IN}\cdot\overrightarrow{NI}=-IN^2=-\dfrac{25}{2}\).

✅ a) \(NI=\dfrac{5\sqrt2}{2}\) ; b) \(25\) et \(0\) ; c) \(0\) ; d) \(-\dfrac{25}{2}\).

5) \(ABC\) est un triangle équilatéral de côté \(a=5\) et \(I\) le milieu de \([BC]\).

1) Calculer \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\), en déduire \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BI}\).
2) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), en déduire \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AC}\).
3) Calculer la distance \(AI\).

Correction détaillée

\(I\) milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{AI}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\).

🔢 1) \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=5\times5\times\cos60^\circ=\dfrac{25}{2}\). Comme \(\overrightarrow{BI}=\dfrac12\overrightarrow{BC}\) : \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BI}=\dfrac12\times\dfrac{25}{2}=\dfrac{25}{4}\).

🔢 2) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times5\times\cos60^\circ=\dfrac{25}{2}\). Comme \(\overrightarrow{AI}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\) : \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac12\left(AB^2+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac12\left(25+\dfrac{25}{2}\right)=\dfrac{75}{4}\), et de même \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{75}{4}\).

🔢 3) \(AI^2=\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AI}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac12\times\dfrac{75}{2}=\dfrac{75}{4}\), donc \(AI=\dfrac{5\sqrt3}{2}\).

✅ 1) \(\dfrac{25}{2}\) et \(\dfrac{25}{4}\) ; 2) \(\dfrac{25}{2}\), \(\dfrac{75}{4}\), \(\dfrac{75}{4}\) ; 3) \(AI=\dfrac{5\sqrt3}{2}\).

6) Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté 5 cm et \(I\) le milieu de \([BC]\). Calculer les produits scalaires suivants : \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CI}\) ; \(\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AI}\).

Correction détaillée

Dans un triangle équilatéral, médiane, hauteur et médiatrice sont confondues.

🔢 \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=5\times5\times\cos60^\circ=\dfrac{25}{2}\).

🔢 \(\overrightarrow{CI}=\dfrac12\overrightarrow{CB}\), donc \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CI}=\dfrac12\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=\dfrac12\times\dfrac{25}{2}=\dfrac{25}{4}\).

🔢 \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\). Dans un triangle équilatéral, la médiane \((AI)\) est aussi une hauteur : \((AI)\perp(BC)\). Donc \(\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AI}=0\).

✅ \(\dfrac{25}{2}\) ; \(\dfrac{25}{4}\) ; \(0\).

Exercice 2.1

Calculer le cosinus d’un angle à l’aide du produit scalaire

1) Soient les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) avec \(\theta=\widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}\). Calculer \(\cos\theta\) dans chacun des cas suivants :
   a) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-18\) ; \(AC=4\sqrt3\) ; \(AB=3\).
   b) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-5\sqrt2\) ; \(AC=2\) ; \(AB=5\).
   c) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\sqrt2\) ; \(AC=3\) ; \(AB=2\).
   d) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-20\) ; \(AC=5\) ; \(AB=4\).

Correction détaillée

\(\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}\).

🔢 On utilise \(\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}\).

🔢 a) \(\cos\theta=\dfrac{-18}{3\times4\sqrt3}=\dfrac{-18}{12\sqrt3}=-\dfrac{3}{2\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\).

🔢 b) \(\cos\theta=\dfrac{-5\sqrt2}{5\times2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\).

🔢 c) \(\cos\theta=\dfrac{3\sqrt2}{2\times3}=\dfrac{\sqrt2}{2}\).

🔢 d) \(\cos\theta=\dfrac{-20}{4\times5}=-1\).

✅ a) \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\) ; b) \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\) ; c) \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) ; d) \(-1\).

2) Soit \(EFG\) un triangle tel que \(EF=5\), \(EG=3\) et \(\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EG}=-6\). Calculer \(\cos\left(\widehat{FEG}\right)\).

Correction détaillée

\(\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EG}}{EF\times EG}\).

🔢 \(\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EG}=EF\times EG\times\cos\widehat{FEG}\), donc \(\cos\widehat{FEG}=\dfrac{-6}{5\times3}=-\dfrac{2}{5}\).

✅ \(\cos\widehat{FEG}=-\dfrac25\).

Exercice 2.2

Calculer un produit scalaire à l’aide de l’angle

1) Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) dans chacun des cas suivants :
   a) \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}\) ; \(AC=3\) ; \(AB=2\).
   b) \(\widehat{BAC}=\dfrac{3\pi}{4}\) ; \(AC=2\) ; \(AB=5\).
   c) \(\widehat{BAC}=\dfrac{5\pi}{6}\) ; \(AC=4\sqrt3\) ; \(AB=3\).
   d) \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\) ; \(AC=4\) ; \(AB=5\).

Correction détaillée

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}\).

🔢 a) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times3\times\cos\dfrac{\pi}{4}=6\times\dfrac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2\).

🔢 b) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times2\times\cos\dfrac{3\pi}{4}=10\times\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-5\sqrt2\).

🔢 c) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times4\sqrt3\times\cos\dfrac{5\pi}{6}=12\sqrt3\times\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-18\).

🔢 d) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times4\times\cos\dfrac{\pi}{3}=20\times\dfrac12=10\).

✅ a) \(3\sqrt2\) ; b) \(-5\sqrt2\) ; c) \(-18\) ; d) \(10\).

2) Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs tels que \(\|\vec u\|=\dfrac52\sqrt2\), \(\|\vec v\|=4\) et \((\vec u\,;\vec v)\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\). Calculer \(\vec u\cdot\vec v\).

Correction détaillée

\(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u\,;\vec v)\).

🔢 \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\vec u\,;\vec v)=\dfrac52\sqrt2\times4\times\cos\dfrac{\pi}{4}=10\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=10\).

✅ \(\vec u\cdot\vec v=10\).

3) Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=3\), \(AC=4\) et \(\widehat{BAC}=\dfrac{2\pi}{3}\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}\).

🔢 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times4\times\cos\dfrac{2\pi}{3}=12\times\left(-\dfrac12\right)=-6\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-6\).

Exercice 2.3

Calculer un produit scalaire dans un rectangle, puis un angle

1) Soit \(ABCD\) un rectangle tel que \(AD=3\) et \(AB=5\). \(E\) est le milieu de \([AB]\).

1) Calculer les longueurs \(AC\) et \(DE\).
2) En exprimant chacun des vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{DE}\) en fonction des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\), calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DE}\).
3) En déduire la valeur de l’angle \(\left(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{AC}\right)\) en degrés.

Correction détaillée

Exprimer les vecteurs dans une base orthogonale \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\) : les produits croisés s’annulent.

🔢 1) \(ABCD\) est un rectangle : \(AC^2=AB^2+AD^2=25+9=34\), donc \(AC=\sqrt{34}\). Dans le triangle rectangle \(ADE\) : \(DE^2=AD^2+AE^2=9+\dfrac{25}{4}=\dfrac{61}{4}\), donc \(DE=\dfrac{\sqrt{61}}{2}\).

🔢 2) \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{AB}\). Comme \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\) : \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DE}=\dfrac12AB^2-AD^2=\dfrac{25}{2}-9=\dfrac72\).

🔢 3) \(\cos\left(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DE}}{AC\times DE}=\dfrac{7/2}{\sqrt{34}\times\sqrt{61}/2}=\dfrac{7}{\sqrt{2074}}\approx0{,}1537\). Donc l’angle mesure environ \(81{,}2^\circ\) (angle orienté positif dans la figure).

✅ 1) \(AC=\sqrt{34}\), \(DE=\dfrac{\sqrt{61}}{2}\) ; 2) \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DE}=\dfrac72\) ; 3) \(\left(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{AC}\right)\approx81{,}2^\circ\).

Exercice 3.1

Calculs avec des normes et des produits scalaires de vecteurs

1) 1) Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=7\), \(AC=5\) et \(BC=6\).
   a) Calculer \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}\) et en déduire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
   b) Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\). Calculer \(AH\).
2) Sachant que \(\|\vec u\|=4\), \(\|\vec v\|=2\) et \(\vec u\cdot\vec v=-\dfrac12\).
   a) Calculer \(A=(2\vec u-3\vec v)\cdot(\vec u+2\vec v)\), \(B=\left(\dfrac{\vec u}{2}-\vec v\right)\cdot\left(\vec u+\dfrac{\vec v}{2}\right)\), \(C=(\vec u-\vec v)^2\) et \(D=(2\vec u+3\vec v)^2\).
   b) En déduire \(E=\|\vec u-\vec v\|\) et \(F=\|2\vec u+3\vec v\|\).

Correction détaillée

\((\vec u+\vec v)^2=\vec u^2+2\vec u\cdot\vec v+\vec v^2\) ; \(\|\vec w\|=\sqrt{\vec w^2}\).

🔢 1) a) \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\), donc \(BC^2=BA^2+AC^2+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}\), soit \(36=49+25+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}\). Donc \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=-19\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=19\).

🔢 b) \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\). Ce produit est positif : \(H\) est sur la demi-droite \([AB)\) et \(AB\times AH=19\), donc \(AH=\dfrac{19}{7}\).

🔢 2) a) On développe : \(A=2\vec u^2+4\vec u\cdot\vec v-3\vec u\cdot\vec v-6\vec v^2=2\times16+\vec u\cdot\vec v-6\times4=32-\dfrac12-24=\dfrac{15}{2}\). \(B=\dfrac{\vec u^2}{2}+\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{4}-\vec u\cdot\vec v-\dfrac{\vec v^2}{2}=8-\dfrac18+\dfrac12-2=\dfrac{51}{8}\). \(C=\vec u^2-2\vec u\cdot\vec v+\vec v^2=16+1+4=21\). \(D=4\vec u^2+12\vec u\cdot\vec v+9\vec v^2=64-6+36=94\).

🔢 b) \(E=\sqrt{C}=\sqrt{21}\) et \(F=\sqrt{D}=\sqrt{94}\).

✅ 1) a) \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=-19\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=19\) ; b) \(AH=\dfrac{19}{7}\) ; 2) a) \(A=\dfrac{15}{2}\), \(B=\dfrac{51}{8}\), \(C=21\), \(D=94\) ; b) \(E=\sqrt{21}\), \(F=\sqrt{94}\).

2) Soient les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\), tels que : \(\|\vec u\|=\sqrt7\) ; \(\|\vec v\|=\sqrt5\) et \(\|2\vec u-3\vec v\|=\sqrt{37}\).
1) Montrer que \(\vec u\cdot\vec v=3\).
2) Montrer que \(\|3\vec u+2\vec v\|=\sqrt{119}\).
3) On pose : \(\vec X=4\vec u-5\vec v\) et \(\vec Y=\vec u+\vec v\).
a) Montrer que \(\vec X\) et \(\vec Y\) sont orthogonaux.
b) Calculer \(\|\vec X\|\).

Correction détaillée

Développer \(\|a\vec u+b\vec v\|^2=a^2\vec u^2+2ab\,\vec u\cdot\vec v+b^2\vec v^2\).

🔢 1) \(\|2\vec u-3\vec v\|^2=4\vec u^2-12\vec u\cdot\vec v+9\vec v^2=28-12\vec u\cdot\vec v+45\). Comme cela vaut 37 : \(12\vec u\cdot\vec v=36\), donc \(\vec u\cdot\vec v=3\).

🔢 2) \(\|3\vec u+2\vec v\|^2=9\vec u^2+12\vec u\cdot\vec v+4\vec v^2=63+36+20=119\), donc \(\|3\vec u+2\vec v\|=\sqrt{119}\).

🔢 3) a) \(\vec X\cdot\vec Y=(4\vec u-5\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=4\vec u^2-\vec u\cdot\vec v-5\vec v^2=28-3-25=0\). Donc \(\vec X\) et \(\vec Y\) sont orthogonaux.

🔢 b) \(\|\vec X\|^2=16\vec u^2-40\vec u\cdot\vec v+25\vec v^2=112-120+125=117\), donc \(\|\vec X\|=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\).

✅ 1) \(\vec u\cdot\vec v=3\) ; 2) \(\|3\vec u+2\vec v\|=\sqrt{119}\) ; 3) a) \(\vec X\cdot\vec Y=0\) donc orthogonaux ; b) \(\|\vec X\|=3\sqrt{13}\).

3) Soient les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\), tels que : \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=2\sqrt2\) et \(\|\vec u-\vec v\|=2\).
1) Montrer que \(\vec u\cdot\vec v=6\).
2) Montrer que \(\|\vec u+\vec v\|=\sqrt{28}\).
3) On pose : \(\vec e_1=\vec u-2\vec v\) et \(\vec e_2=5\vec u-2\vec v\).
a) Montrer que \(\vec e_1\) et \(\vec e_2\) sont orthogonaux.
b) Calculer \(\|\vec e_1\|\).

Correction détaillée

🔢 1) \(\|\vec u-\vec v\|^2=\vec u^2-2\vec u\cdot\vec v+\vec v^2\), soit \(4=8-2\vec u\cdot\vec v+8\). Donc \(\vec u\cdot\vec v=6\).

🔢 2) \(\|\vec u+\vec v\|^2=\vec u^2+2\vec u\cdot\vec v+\vec v^2=8+12+8=28\), donc \(\|\vec u+\vec v\|=\sqrt{28}\).

🔢 3) a) \(\vec e_1\cdot\vec e_2=5\vec u^2-2\vec u\cdot\vec v-10\vec u\cdot\vec v+4\vec v^2=40-72+32=0\) : \(\vec e_1\) et \(\vec e_2\) sont orthogonaux.

🔢 b) \(\|\vec e_1\|^2=\vec u^2-4\vec u\cdot\vec v+4\vec v^2=8-24+32=16\), donc \(\|\vec e_1\|=4\).

✅ 1) \(\vec u\cdot\vec v=6\) ; 2) \(\|\vec u+\vec v\|=\sqrt{28}\) ; 3) a) \(\vec e_1\cdot\vec e_2=0\) ; b) \(\|\vec e_1\|=4\).

Exercice 3.2

Calculs vectoriels et orthogonalité dans un triangle

1) Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=1\), \(AC=\sqrt2\) et \(CB=2\), et \(D\) un point tel que \(\overrightarrow{DB}+2\overrightarrow{DC}=\vec0\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-\dfrac12\) et en déduire \(\cos A\).
2) Écrire \(\overrightarrow{AD}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3) Calculer \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}\) et en déduire la nature du triangle \(ABD\).

Correction détaillée

Chasles pour écrire un vecteur dans la base \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) ; théorème de la médiane pour les longueurs.

🔢 1) \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\), donc \(BC^2=AC^2+AB^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), soit \(4=2+1-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-\dfrac12\). Alors \(\cos A=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{-1/2}{\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}{4}\).

🔢 2) \(\overrightarrow{DB}+2\overrightarrow{DC}=\vec0\) donne \((\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})+2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})=\vec0\), donc \(3\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac23\overrightarrow{AC}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac13AB^2+\dfrac23\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac13-\dfrac13=0\). Donc \((AD)\perp(AB)\) : le triangle \(ABD\) est rectangle en \(A\).

✅ 1) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-\dfrac12\), \(\cos A=-\dfrac{\sqrt2}{4}\) ; 2) \(\overrightarrow{AD}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac23\overrightarrow{AC}\) ; 3) \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=0\), \(ABD\) rectangle en \(A\)

2) 4) Calculer \(AD\).
5) Soit \(I\) le milieu du segment \([BC]\) et \(J\) le milieu du segment \([AC]\). Calculer \(AI\) et \(BJ\).

Correction détaillée

Chasles pour écrire un vecteur dans la base \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) ; théorème de la médiane pour les longueurs.

🔢 4) \(AD^2=\dfrac19AB^2+\dfrac49AC^2+2\times\dfrac13\times\dfrac23\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac19+\dfrac89-\dfrac29=\dfrac79\), donc \(AD=\dfrac{\sqrt7}{3}\).

🔢 5) Théorème de la médiane dans \(ABC\) : \(AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}\), soit \(3=2AI^2+2\), donc \(AI=\dfrac{\sqrt2}{2}\). Dans \(ABC\) avec la médiane \([BJ]\) : \(BA^2+BC^2=2BJ^2+\dfrac{AC^2}{2}\), soit \(5=2BJ^2+1\), donc \(BJ=\sqrt2\).

✅ 4) \(AD=\dfrac{\sqrt7}{3}\) ; 5) \(AI=\dfrac{\sqrt2}{2}\) et \(BJ=\sqrt2\).

3) Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=\sqrt7\), \(AC=2\) et \(BC=3\), \(I\) le milieu du segment \([BC]\).
1)
   a) Calculer \(\cos\widehat{BAC}\).
   b) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\).
   c) Calculer \(AI\).
2) Soit \(M\) un point tel que \(\overrightarrow{AM}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac16\overrightarrow{AC}\).
   a) Calculer \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC}\).
   b) Montrer que \(\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\).
   c) Que peut-on déduire des droites \((MB)\) et \((AC)\) ?

Correction détaillée

Produit scalaire nul entre deux vecteurs non nuls : droites perpendiculaires.

🔢 1) a) D’après Al-Kashi : \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\,AB\times AC}=\dfrac{7+4-9}{2\sqrt7\times2}=\dfrac{1}{2\sqrt7}=\dfrac{\sqrt7}{14}\).

🔢 b) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}=\sqrt7\times2\times\dfrac{1}{2\sqrt7}=1\).

🔢 c) Théorème de la médiane : \(AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}\), soit \(11=2AI^2+\dfrac92\), donc \(AI^2=\dfrac{13}{4}\) et \(AI=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\).

🔢 2) a) \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac13\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\dfrac16AC^2=\dfrac13+\dfrac46=1\).

🔢 b) \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\dfrac23\overrightarrow{AB}-\dfrac16\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac23\times1-\dfrac16\times4=0\).

🔢 c) \(\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) avec \(\overrightarrow{MB}\neq\vec0\) et \(\overrightarrow{AC}\neq\vec0\) : les droites \((MB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires.

✅ 1) a) \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\sqrt7}{14}\) ; b) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\) ; c) \(AI=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\) ; 2) a) \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC}=1\) ; b) \(\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) ; c) \((MB)\perp(AC)\).

4) Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=1\) et \(BC=AC=\sqrt2\), \(I\) le milieu du segment \([AB]\) et \(D\) un point tel que \(\overrightarrow{DB}-2\overrightarrow{DC}=\vec0\).
1) Calculer \(CI\).
2) Calculer \(\overrightarrow{AD}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI}\).

Correction détaillée

Projection orthogonale : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\) où \(H\) est le projeté de \(C\) sur \((AB)\).

🔢 1) Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(C\) et \(I\) est le milieu de \([AB]\) : \((CI)\perp(AB)\). Dans le triangle rectangle \(AIC\) : \(CI^2=CA^2-AI^2=2-\dfrac14=\dfrac74\), donc \(CI=\dfrac{\sqrt7}{2}\).

🔢 2) \(\overrightarrow{DB}-2\overrightarrow{DC}=\vec0\) donne \((\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})-2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})=\vec0\), donc \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\) avec \(\overrightarrow{IC}\perp\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI}\).

✅ 1) \(CI=\dfrac{\sqrt7}{2}\) ; 2) \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\) ; 3) voir calcul

5) 4) En déduire que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12\) et en déduire \(\cos\widehat{BAC}\).
5) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\) et en déduire la nature du triangle \(BAD\).

Correction détaillée

Projection orthogonale : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\) où \(H\) est le projeté de \(C\) sur \((AB)\).

🔢 4) \(\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI}=\dfrac12AB^2=\dfrac12\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12\). Alors \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{1/2}{1\times\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}\).

🔢 5) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-AB^2=1-1=0\). Donc \((AB)\perp(AD)\) : le triangle \(BAD\) est rectangle en \(A\).

✅ 4) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12\), \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\sqrt2}{4}\) ; 5) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\), \(BAD\) rectangle en \(A\).

6) \(ABC\) est un triangle tel que \(AB=1\), \(AC=3\) et \(\widehat{A}=\dfrac{\pi}{3}\).
1) Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
2) Démontrer que \(BC=\sqrt7\).
3) \(E\) et \(F\) sont deux points tels que \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}\) et \(7\overrightarrow{CF}=6\overrightarrow{CE}\).
   a) Démontrer que \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{12}{7}\overrightarrow{AB}+\dfrac17\overrightarrow{AC}\).
   b) Démontrer que \(\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).
   c) Démontrer que \((CE)\perp(AF)\).

Correction détaillée

Écrire les vecteurs dans la base \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\), puis développer le produit scalaire.

🔢 1) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times3\times\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac32\).

🔢 2) \(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1+9-3=7\), donc \(BC=\sqrt7\).

🔢 3) a) \(\overrightarrow{CF}=\dfrac67\overrightarrow{CE}\) et d’après b) \(\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\). Alors \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AC}+\dfrac67(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\dfrac{12}{7}\overrightarrow{AB}+\dfrac17\overrightarrow{AC}\).

🔢 b) \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).

🔢 c) \(\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{AF}=(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\cdot\left(\dfrac{12}{7}\overrightarrow{AB}+\dfrac17\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{24}{7}AB^2+\dfrac27\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\dfrac{12}{7}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\dfrac17AC^2=\dfrac{24}{7}-\dfrac{10}{7}\times\dfrac32-\dfrac97=0\). Les vecteurs sont non nuls : \((CE)\perp(AF)\).

✅ 1) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac32\) ; 2) \(BC=\sqrt7\) ; 3) a) \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{12}{7}\overrightarrow{AB}+\dfrac17\overrightarrow{AC}\) ; b) \(\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) ; c) \(\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{AF}=0\), donc \((CE)\perp(AF)\).

7) \(ABC\) est un triangle tel que \(BC=4\), \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=12\) et \(\widehat{C}=\dfrac{\pi}{4}\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=4\).
2) Démontrer que \(AC=\sqrt2\) et calculer \(AB\).
3) Soit le point \(E\) tel que \(\overrightarrow{BE}=\dfrac34\overrightarrow{BC}\), calculer \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}\), que peut-on déduire ?

Correction détaillée

\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=BC^2+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BC}\) (Chasles) ; produit scalaire nul : droites perpendiculaires.

🔢 1) \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\), donc \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=BC^2+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BC}=16-\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\). Ainsi \(12=16-\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=4\).

🔢 2) \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=CA\times CB\times\cos\dfrac{\pi}{4}=CA\times4\times\dfrac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2\,CA\). Donc \(2\sqrt2\,CA=4\) et \(AC=\sqrt2\). Par Al-Kashi : \(AB^2=AC^2+BC^2-2AC\times BC\times\cos C=2+16-2\times\sqrt2\times4\times\dfrac{\sqrt2}{2}=10\), donc \(AB=\sqrt{10}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{BC}\), donc \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\dfrac34BC^2=-12+12=0\). On en déduit que \((AE)\perp(BC)\) : \(E\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).

✅ 1) \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=4\) ; 2) \(AC=\sqrt2\), \(AB=\sqrt{10}\) ; 3) \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}=0\), donc \((AE)\perp(BC)\) : \(E\) est le pied de la hauteur issue de \(A\).

Exercice 3.3

Calculs vectoriels et orthogonalité dans un triangle (suite)

1) \(ABC\) est un triangle tel que \(AB=a\) et \(AC=3a\) et \(\cos\widehat{A}=\dfrac23\) et \(O\) milieu de \([BC]\) (\(a\in\mathbb R_+^*\)).
1) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
2) En déduire que \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-a^2\) et que \(BC=a\sqrt6\).
3) Calculer \(AO\).
4) Soit \(E\) un point tel que : \(\overrightarrow{BE}=\dfrac29\overrightarrow{CA}\).
a) Montrer que \(9\overrightarrow{AE}=9\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\).
b) Montrer que le triangle \(ACE\) est rectangle en \(A\).

Correction détaillée

Chasles pour décomposer ; théorème de la médiane \(AB^2+AC^2=2AO^2+\dfrac{BC^2}{2}\).

🔢 1) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=a\times3a\times\dfrac23=2a^2\).

🔢 2) \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=BA^2-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=a^2-2a^2=-a^2\). De plus \(BC^2=BA^2+AC^2-2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}\) avec \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=-2a^2\) : \(BC^2=a^2+9a^2-4a^2=6a^2\), donc \(BC=a\sqrt6\).

🔢 3) Théorème de la médiane : \(AB^2+AC^2=2AO^2+\dfrac{BC^2}{2}\), soit \(10a^2=2AO^2+3a^2\). Donc \(AO^2=\dfrac{7a^2}{2}\) et \(AO=a\sqrt{\dfrac72}=\dfrac{a\sqrt{14}}{2}\).

🔢 4) a) \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\dfrac29\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-\dfrac29\overrightarrow{AC}\), donc \(9\overrightarrow{AE}=9\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\).

🔢 b) \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\dfrac29AC^2=2a^2-\dfrac29\times9a^2=0\). Donc \((AE)\perp(AC)\) : le triangle \(ACE\) est rectangle en \(A\).

✅ 1) \(2a^2\) ; 2) \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-a^2\), \(BC=a\sqrt6\) ; 3) \(AO=\dfrac{a\sqrt{14}}{2}\) ; 4) a) \(9\overrightarrow{AE}=9\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\) ; b) \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AC}=0\), \(ACE\) rectangle en \(A\).

2) \(ABC\) est un triangle isocèle de sommet \(A\) tel que \(\cos\widehat{A}=\dfrac34\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\). Soit \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(F\) tel que \(\overrightarrow{AF}=-2\overrightarrow{BC}\).
1) Montrer que \(AB=2\sqrt2\) et \(BC=2\).
2) Calculer \(\overrightarrow{IF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3) Montrer que le triangle \(AIF\) est rectangle en \(I\).

Correction détaillée

Médiane dans \(ABF\) avec \(I\) milieu de \([AB]\) : \(FA^2+FB^2=2FI^2+\dfrac{AB^2}{2}\).

🔢 1) \(AB=AC\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^2\cos\widehat A=\dfrac34AB^2=6\) : \(AB^2=8\) et \(AB=2\sqrt2\). Ensuite \(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8+8-12=4\), donc \(BC=2\).

🔢 2) \(\overrightarrow{IF}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AF}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}-2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\dfrac32\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\).

🔢 3) \(\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IF}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}\cdot\left(\dfrac32\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac12\left(\dfrac32\times8-2\times6\right)=-\dfrac12(12-12)=0\). Donc \((IA)\perp(IF)\) : \(AIF\) est rectangle en \(I\).

✅ 1) \(AB=2\sqrt2\), \(BC=2\) ; 2) \(\overrightarrow{IF}=\dfrac32\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\) ; 3) \(\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IF}=0\)

3) 4) Montrer que \(IF=\sqrt{14}\).
5) En utilisant le théorème de la médiane, montrer que \(BF=4\).

Correction détaillée

Médiane dans \(ABF\) avec \(I\) milieu de \([AB]\) : \(FA^2+FB^2=2FI^2+\dfrac{AB^2}{2}\).

🔢 4) \(IF^2=\dfrac94AB^2-6\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+4AC^2=18-36+32=14\), donc \(IF=\sqrt{14}\).

🔢 5) \(AF=2BC=4\). Dans le triangle \(ABF\), \(I\) est le milieu de \([AB]\) : \(FA^2+FB^2=2FI^2+\dfrac{AB^2}{2}\), soit \(16+FB^2=28+4\). Donc \(FB^2=16\) et \(BF=4\).

✅ 4) \(IF=\sqrt{14}\) ; 5) \(BF=4\).

4) \(ABC\) est un triangle tel que \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{4}\), \(AB=2\sqrt2\) et \(AC=3\). \(I\) et \(J\) sont respectivement les milieux des segments \([BC]\) et \([AB]\) et \(K\) un point tel que \(\overrightarrow{AK}=\dfrac23\overrightarrow{AC}\).
1) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), en déduire que \(BC=\sqrt5\).
2) Montrer que \(AI=\dfrac{\sqrt{29}}{2}\).
3)
   a) Écrire \(\overrightarrow{AI}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
   b) Calculer \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AB}\).
   c) Calculer \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AC}\), en déduire \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AK}\).
   d) Calculer \(\overrightarrow{AJ}\cdot\overrightarrow{AB}\), en déduire \(\overrightarrow{AJ}\cdot\overrightarrow{AK}\).
4) Vérifier que \(\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AJ}\cdot\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AJ}\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AB}\).
5) Montrer que les droites \((IJ)\) et \((BK)\) sont perpendiculaires.

Correction détaillée

Développer \((\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI})\cdot(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB})\) puis utiliser les produits déjà calculés.

🔢 1) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt2\times3\times\cos\dfrac{\pi}{4}=6\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=6\). Alors \(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8+9-12=5\), donc \(BC=\sqrt5\).

🔢 2) Théorème de la médiane : \(AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}\), soit \(17=2AI^2+\dfrac52\). Donc \(AI^2=\dfrac{29}{4}\) et \(AI=\dfrac{\sqrt{29}}{2}\).

🔢 3) a) \(I\) est le milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}\).

🔢 b) \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac12AB^2+\dfrac12\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac12\times8+\dfrac12\times6=7\).

🔢 c) \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\dfrac12AC^2=3+\dfrac92=\dfrac{15}{2}\). Comme \(\overrightarrow{AK}=\dfrac23\overrightarrow{AC}\) : \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AK}=\dfrac23\times\dfrac{15}{2}=5\).

🔢 d) \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac12\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{AJ}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac12\times8=4\). Et \(\overrightarrow{AJ}\cdot\overrightarrow{AK}=\dfrac12\times\dfrac23\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac13\times6=2\).

🔢 4) \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB}\). En développant : \(\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AJ}\cdot\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AJ}\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AB}\).

🔢 5) \(\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{BK}=2-4-5+7=0\). Donc \((IJ)\perp(BK)\).

✅ 1) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\), \(BC=\sqrt5\) ; 2) \(AI=\dfrac{\sqrt{29}}{2}\) ; 3) a) \(\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}\) ; b) \(7\) ; c) \(\dfrac{15}{2}\) et \(5\) ; d) \(4\) et \(2\) ; 4) égalité vérifiée ; 5) \(\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{BK}=0\), donc \((IJ)\perp(BK)\).

Exercice 3.4

Calculs vectoriels et orthogonalité dans un carré

1) \(ABCD\) est un carré tel que \(AB=1\). \(E\) et \(F\) deux points tels que : \(\overrightarrow{BF}=\dfrac13\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DE}=\dfrac34\overrightarrow{DC}\).

1) Montrer que \(\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DF}=1\).
2) Montrer que les droites \((AE)\) et \((DF)\) sont orthogonales.
3)
   a) Calculer \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}\).
   b) Calculer chacune des distances \(AE\) et \(AF\).
   c) En déduire \(\cos\left(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}\right)\).
4) Calculer la distance \(EF\).

Correction détaillée

Dans un repère orthonormé : \(\vec u\cdot\vec v=xx’+yy’\) et \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\).

🔢 On munit le plan du repère orthonormé \((B\,;\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})\) : \(A(0\,;1)\), \(B(0\,;0)\), \(C(1\,;0)\), \(D(1\,;1)\). Comme \(\overrightarrow{AB}=(0\,;-1)\) : \(\overrightarrow{BF}=\left(0\,;-\dfrac13\right)\), donc \(F\left(0\,;-\dfrac13\right)\). Comme \(\overrightarrow{DC}=(0\,;-1)\) : \(\overrightarrow{DE}=\left(0\,;-\dfrac34\right)\), donc \(E\left(1\,;\dfrac14\right)\).

🔢 1) \(\overrightarrow{DE}=\left(0\,;-\dfrac34\right)\) et \(\overrightarrow{DF}=\left(-1\,;-\dfrac43\right)\), donc \(\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DF}=0+\dfrac34\times\dfrac43=1\).

🔢 2) \(\overrightarrow{AE}=\left(1\,;-\dfrac34\right)\) et \(\overrightarrow{DF}=\left(-1\,;-\dfrac43\right)\), donc \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DF}=-1+1=0\) : \((AE)\perp(DF)\).

🔢 3) a) \(\overrightarrow{AF}=\left(0\,;-\dfrac43\right)\), donc \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}=\dfrac34\times\dfrac43=1\). b) \(AE=\sqrt{1+\dfrac{9}{16}}=\dfrac54\) et \(AF=\dfrac43\). c) \(\cos\left(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}\right)=\dfrac{1}{\dfrac54\times\dfrac43}=\dfrac35\).

🔢 4) \(\overrightarrow{EF}=\left(-1\,;-\dfrac{7}{12}\right)\), donc \(EF^2=1+\dfrac{49}{144}=\dfrac{193}{144}\) et \(EF=\dfrac{\sqrt{193}}{12}\).

✅ 1) \(\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DF}=1\) ; 2) \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DF}=0\) ; 3) a) \(1\) ; b) \(AE=\dfrac54\), \(AF=\dfrac43\) ; c) \(\dfrac35\) ; 4) \(EF=\dfrac{\sqrt{193}}{12}\).

2) \(ABCD\) est un carré tel que \(AB=a\). \(E\) et \(F\) deux points tels que : \(\overrightarrow{CF}=\dfrac32\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{BE}=\dfrac32\overrightarrow{BC}\).
1) Calculer en fonction de \(a\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BF}\) et \(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BF}\). En déduire \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF}\).
2) Montrer que les droites \((AE)\) et \((BF)\) sont orthogonales.

Correction détaillée

Décomposer avec Chasles dans la base \((\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})\) : produits croisés nuls.

🔢 1) Dans le carré, \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\), donc \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BC}+\dfrac32\overrightarrow{BA}\). Alors \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\dfrac32\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BA}=0-\dfrac32a^2=-\dfrac32a^2\). Et \(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BF}=\dfrac32\overrightarrow{BC}\cdot\left(\overrightarrow{BC}+\dfrac32\overrightarrow{BA}\right)=\dfrac32a^2+0=\dfrac32a^2\). Enfin \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}\), donc \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BF}=-\dfrac32a^2+\dfrac32a^2=0\).

🔢 2) \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF}=0\) avec \(\overrightarrow{AE}\neq\vec0\) et \(\overrightarrow{BF}\neq\vec0\) : les droites \((AE)\) et \((BF)\) sont orthogonales.

✅ 1) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BF}=-\dfrac32a^2\), \(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BF}=\dfrac32a^2\), \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF}=0\) ; 2) \((AE)\perp(BF)\).

Exercice 3.5

Propriété du cercle : produit scalaire constant

1) \((\mathcal C)\) est un cercle de centre \(O\), de rayon \(r\) et \(A\) un point fixé du plan. Le but du problème est d’établir la propriété suivante : quelle que soit la droite \((D)\) passant par \(A\), coupant le cercle \((\mathcal C)\) en deux points \(P\) et \(Q\), le produit scalaire \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}\) est constant.

1) Soit \(P’\) le point diamétralement opposé à \(P\). Démontrer que \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP’}\).
2) Démontrer que \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP’}=AO^2-r^2\).
3) Conclure.

Correction détaillée

Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit ; \((\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=a^2-b^2\).

🔢 1) \([PP’]\) est un diamètre et \(Q\) est sur le cercle : le triangle \(PQP’\) est rectangle en \(Q\), donc \((QP’)\perp(PQ)=(D)\) (si \(Q=P’\), l’égalité est évidente). Avec Chasles : \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP’}=\overrightarrow{AP}\cdot\left(\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QP’}\right)=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{QP’}\). Le vecteur \(\overrightarrow{AP}\) dirige la droite \((D)\) et \(\overrightarrow{QP’}\) lui est orthogonal, donc \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{QP’}=0\). Ainsi \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP’}\).

🔢 2) \(O\) est le milieu de \([PP’]\) : \(\overrightarrow{OP’}=-\overrightarrow{OP}\). Alors \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP’}=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP’})=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{OP})=AO^2-OP^2=AO^2-r^2\).

🔢 3) D’après 1) et 2), \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=AO^2-r^2\) quelle que soit la droite \((D)\) : cette valeur ne dépend ni de \(P\) ni de \(Q\), elle est constante.

✅ \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=AO^2-r^2\) : constante, quelle que soit la droite \((D)\) passant par \(A\).

Exercice 3.6

Déterminer un ensemble de points

1) \([AB]\) est un segment de milieu \(I\) et \(AB=2\,\text{cm}\).
1) Démontrer que, pour tout point \(M\) du plan : \(MA^2-MB^2=2\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}\).
2) Trouver et représenter l’ensemble des points \(M\) du plan tels que : \(MA^2-MB^2=14\).

Correction détaillée

\(MA^2-MB^2=\text{cte}\) : droite perpendiculaire à \((AB)\).

🔢 1) \(MA^2-MB^2=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})\). Or \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\). Donc \(MA^2-MB^2=2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MI}=2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}\).

🔢 2) \(MA^2-MB^2=14\iff2\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=14\iff\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=7\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(M\) sur \((AB)\) : \(\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IH}\cdot\overrightarrow{AB}\). Le point \(H\) est donc le point de \((AB)\) tel que \(\overrightarrow{IH}\cdot\overrightarrow{AB}=7\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{IH}=\dfrac{7}{AB^2}\overrightarrow{AB}=\dfrac74\overrightarrow{AB}\) : \(H\) est du côté de \(B\) avec \(IH=\dfrac74\times2=3{,}5\,\text{cm}\). L’ensemble cherché est la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(H\).

✅ 1) \(MA^2-MB^2=2\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}\) ; 2) l’ensemble est la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par le point \(H\) de \((AB)\) situé du côté de \(B\) tel que \(IH=3{,}5\,\text{cm}\).

2) On considère un segment \([AB]\) avec \(AB=10\,\text{cm}\). Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que :
1) \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=1\).
2) \(MA^2+MB^2=5\).

Correction détaillée

\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}\) et \(MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}\).

🔢 Soit \(I\) le milieu de \([AB]\) : \(IA=IB=5\).

🔢 1) \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})\cdot(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})=MI^2-IA^2=MI^2-25\). L’égalité \(MI^2-25=1\) donne \(MI^2=26\), donc \(MI=\sqrt{26}\).

🔢 2) Théorème de la médiane : \(MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}=2MI^2+50\). L’égalité \(2MI^2+50=5\) donne \(MI^2=-\dfrac{45}{2}<0\) : impossible.

✅ 1) le cercle de centre \(I\) (milieu de \([AB]\)) et de rayon \(\sqrt{26}\,\text{cm}\) ; 2) l’ensemble vide.

3) 1) Soit \(ABCD\) un rectangle de centre \(I\) et \(M\) un point quelconque du plan. Démontrer que : \(MA^2+MC^2=MB^2+MD^2\).
2) Soit \(ABCD\) un parallélogramme. À quelle condition sur le quadrilatère \(ABCD\) a-t-on \(MD^2-MC^2=MA^2-MB^2\) pour tout point \(M\) du plan.

Correction détaillée

Dans un rectangle, les diagonales ont même longueur et même milieu.

🔢 1) \(I\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\). Théorème de la médiane dans \(MAC\) et dans \(MBD\) : \(MA^2+MC^2=2MI^2+\dfrac{AC^2}{2}\) et \(MB^2+MD^2=2MI^2+\dfrac{BD^2}{2}\). Dans un rectangle, \(AC=BD\) : les deux sommes sont égales.

🔢 2) Soient \(I’\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([CD]\). \(MD^2-MC^2=(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC})\cdot(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{MJ}\) et \(MA^2-MB^2=2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MI’}\). Dans un parallélogramme, \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\). L’égalité équivaut donc à \(\overrightarrow{BA}\cdot(\overrightarrow{MJ}-\overrightarrow{MI’})=0\), soit \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{I’J}=0\). Or \(\overrightarrow{I’J}=\overrightarrow{I’B}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\dfrac12\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}\) (car \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\)). La condition devient \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\), c’est-à-dire \((AB)\perp(BC)\).

✅ 1) \(MA^2+MC^2=MB^2+MD^2\) ; 2) l’égalité est vraie pour tout \(M\) si et seulement si \(ABCD\) est un rectangle.

Exercice 4.1

Calculer une longueur ou un cosinus (théorème d’Al-Kashi)

1) Soit \(CFG\) un triangle tel que \(CF=7\), \(CG=6\) et \(FG=3\). Calculer \(\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{CF}\).

Correction détaillée

\(\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{CF}=\dfrac12\left(CG^2+CF^2-FG^2\right)\).

🔢 \(\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{CF}\), donc \(FG^2=CG^2+CF^2-2\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{CF}\) (théorème d’Al-Kashi). Soit \(9=36+49-2\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{CF}\).

🔢 D’où \(\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{CF}=\dfrac{85-9}{2}=38\).

✅ \(\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{CF}=38\).

2) Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=5\), \(AC=8\) et \(\widehat A=\dfrac{2\pi}{3}\). Calculer \(BC\) et \(\cos C\).

Correction détaillée

Al-Kashi : \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\).

🔢 Théorème d’Al-Kashi : \(BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\times\cos A=25+64-2\times5\times8\times\left(-\dfrac12\right)=89+40=129\). Donc \(BC=\sqrt{129}\).

🔢 On applique Al-Kashi pour le côté \(AB\) : \(AB^2=AC^2+BC^2-2\,AC\times BC\times\cos C\), donc \(\cos C=\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\,AC\times BC}=\dfrac{64+129-25}{16\sqrt{129}}=\dfrac{168}{16\sqrt{129}}=\dfrac{21}{2\sqrt{129}}=\dfrac{7\sqrt{129}}{86}\).

✅ \(BC=\sqrt{129}\) ; \(\cos C=\dfrac{21}{2\sqrt{129}}=\dfrac{7\sqrt{129}}{86}\approx0{,}92\).

3) Soit \(EFG\) un triangle tel que \(EF=7\), \(EG=5\) et \(\widehat{FEG}=\dfrac{\pi}{4}\). Calculer \(FG\) et \(\cos\widehat{EGF}\).

Correction détaillée

Al-Kashi : un côté à partir de deux côtés et de l’angle compris ; un cosinus à partir des trois côtés.

🔢 Théorème d’Al-Kashi : \(FG^2=EF^2+EG^2-2\,EF\times EG\times\cos\widehat{FEG}=49+25-2\times7\times5\times\dfrac{\sqrt2}{2}=74-35\sqrt2\). Donc \(FG=\sqrt{74-35\sqrt2}\approx4{,}95\).

🔢 \(EF^2=EG^2+FG^2-2\,EG\times FG\times\cos\widehat{EGF}\), donc \(\cos\widehat{EGF}=\dfrac{EG^2+FG^2-EF^2}{2\,EG\times FG}=\dfrac{25+74-35\sqrt2-49}{10\,FG}=\dfrac{50-35\sqrt2}{10\sqrt{74-35\sqrt2}}\approx0{,}01\).

✅ \(FG=\sqrt{74-35\sqrt2}\approx4{,}95\) ; \(\cos\widehat{EGF}=\dfrac{10-7\sqrt2}{2\sqrt{74-35\sqrt2}}\approx0{,}01\).

4) \(ABC\) est un triangle tel que \(AB=6\) et \(AC=5\) et \(BC=7\).
1) Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) en déduire \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=30\).
2) Démontrer que \(\cos\widehat A=\dfrac15\).
3) Soit \(H\) la projection orthogonale de \(A\) sur \((BC)\), calculer \(BH\).

Correction détaillée

\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=BH\times BC\) où \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).

🔢 1) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)=\dfrac12(36+25-49)=6\). Ensuite \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=BA^2-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=36-6=30\).

🔢 2) \(\cos\widehat A=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{6}{30}=\dfrac15\).

🔢 3) \(H\) est le projeté de \(A\) sur \((BC)\) : \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{BC}\). Ce produit est positif donc \(H\) est du côté de \(C\) et \(BH\times BC=30\), soit \(BH=\dfrac{30}{7}\).

✅ 1) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\) et \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=30\) ; 2) \(\cos\widehat A=\dfrac15\) ; 3) \(BH=\dfrac{30}{7}\).

Exercice 4.2

Utiliser le théorème de la médiane

1) Soit \(ABC\) un triangle tel que \(BC=4\,\text{cm}\), \(AC=6\,\text{cm}\) et \(AB=3\,\text{cm}\) et \(I\) le milieu du segment \([BC]\). Calculer \(AI\).

Correction détaillée

\(AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}\).

🔢 Théorème de la médiane : \(AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}\), soit \(9+36=2AI^2+8\).

🔢 Donc \(AI^2=\dfrac{37}{2}\) et \(AI=\sqrt{\dfrac{37}{2}}=\dfrac{\sqrt{74}}{2}\,\text{cm}\).

✅ \(AI=\dfrac{\sqrt{74}}{2}\,\text{cm}\approx4{,}30\,\text{cm}\).

2) Soit \(ABC\) un triangle tel que : \(BC=5\) ; \(AC=7\) et \(AB=8\) et \(K\) le milieu du segment \([AB]\). Calculer \(CK\).

Correction détaillée

\(CA^2+CB^2=2CK^2+\dfrac{AB^2}{2}\).

🔢 Théorème de la médiane dans le triangle \(CAB\) avec \(K\) milieu de \([AB]\) : \(CA^2+CB^2=2CK^2+\dfrac{AB^2}{2}\), soit \(49+25=2CK^2+32\).

🔢 Donc \(CK^2=21\) et \(CK=\sqrt{21}\).

✅ \(CK=\sqrt{21}\).

3) Soit \(ABM\) un triangle tel que : \(AM=3\,\text{cm}\), \(BM=4\,\text{cm}\) et \(AB=4\,\text{cm}\). \(I\) le milieu du segment \([AB]\), \(J\) le milieu de \([AM]\) et \(K\) le milieu du segment \([BM]\). Calculer : \(MI\), \(AK\) et \(BJ\).

Correction détaillée

Médiane : \(a^2+b^2=2m^2+\dfrac{c^2}{2}\) où \(m\) est la médiane relative au côté \(c\).

🔢 Dans \(MAB\) avec \(I\) milieu de \([AB]\) : \(MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}\), soit \(9+16=2MI^2+8\). Donc \(MI^2=\dfrac{17}{2}\) et \(MI=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\).

🔢 Dans \(ABM\) avec \(K\) milieu de \([BM]\) : \(AB^2+AM^2=2AK^2+\dfrac{BM^2}{2}\), soit \(16+9=2AK^2+8\). Donc \(AK^2=\dfrac{17}{2}\) et \(AK=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\).

🔢 Dans \(BAM\) avec \(J\) milieu de \([AM]\) : \(BA^2+BM^2=2BJ^2+\dfrac{AM^2}{2}\), soit \(16+16=2BJ^2+\dfrac92\). Donc \(BJ^2=\dfrac{55}{4}\) et \(BJ=\dfrac{\sqrt{55}}{2}\).

✅ \(MI=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\,\text{cm}\) ; \(AK=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\,\text{cm}\) ; \(BJ=\dfrac{\sqrt{55}}{2}\,\text{cm}\).

4) \(ABC\) est un triangle et \(I\) est le milieu de \([BC]\) tel que \(IA=3\) et \(IB=IC=2\).

1) En utilisant le théorème de la médiane, calculer : \(AB^2+AC^2\).
2) En utilisant le théorème d’Al-Kashi, calculer : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
3) Sachant que \(\widehat{(\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB})}=\dfrac{\pi}{3}\), calculer :
   a) \(\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}\).
   b) \(\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IC}\).
   c) \(AB\) et \(AC\).

Correction détaillée

\(\overrightarrow{IC}=-\overrightarrow{IB}\) car \(I\) est le milieu de \([BC]\).

🔢 1) \(BC=IB+IC=4\). Théorème de la médiane : \(AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}=18+8=26\).

🔢 2) Al-Kashi : \(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}=\dfrac{26-16}{2}=5\).

🔢 3) a) \(\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}=IA\times IB\times\cos\dfrac{\pi}{3}=3\times2\times\dfrac12=3\). b) \(\overrightarrow{IC}=-\overrightarrow{IB}\), donc \(\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IC}=-3\). c) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IA}\) : \(AB^2=IB^2+IA^2-2\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}=4+9-6=7\), donc \(AB=\sqrt7\). De même \(AC^2=IC^2+IA^2-2\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IC}=4+9+6=19\), donc \(AC=\sqrt{19}\) (on retrouve \(AB^2+AC^2=26\)).

✅ 1) \(AB^2+AC^2=26\) ; 2) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\) ; 3) a) \(3\) ; b) \(-3\) ; c) \(AB=\sqrt7\) et \(AC=\sqrt{19}\).

5) Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\). On donne : \(\widehat{AIB}=60^\circ\) ; \(BI=CI=2\) et \(AI=3\). Calculer : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) ; \(AB^2+AC^2\) ; \(AB^2-AC^2\) ; \(AB\) et \(AC\).

Correction détaillée

Somme et différence de deux carrés : \((a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2\).

🔢 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\) et \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}\). Donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AI^2-IB^2=9-4=5\).

🔢 \(AB^2+AC^2=\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\right)^2+\left(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}\right)^2=2AI^2+2IB^2=18+8=26\).

🔢 \(AB^2-AC^2=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=2\overrightarrow{IB}\cdot2\overrightarrow{AI}=4\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{AI}\). Comme \(\widehat{AIB}=60^\circ\) : \(\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}=3\times2\times\cos60^\circ=3\), donc \(\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{AI}=-3\) et \(AB^2-AC^2=-12\).

🔢 Avec \(AB^2+AC^2=26\) et \(AB^2-AC^2=-12\) : \(AB^2=7\) et \(AC^2=19\), donc \(AB=\sqrt7\) et \(AC=\sqrt{19}\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\) ; \(AB^2+AC^2=26\) ; \(AB^2-AC^2=-12\) ; \(AB=\sqrt7\), \(AC=\sqrt{19}\).

Exercice 4.3

Produit scalaire dans un parallélogramme et dans un losange

1) \(ABCD\) est un parallélogramme : \(AB=4\), \(AC=7\), \(AD=5\) (la figure n’est pas tracée en vraies dimensions).

1) Montrer que \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=\dfrac12\left(BC^2+BA^2-AC^2\right)\). En déduire \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\).
2) Calculer \(BD\).

Correction détaillée

Dans un parallélogramme \(ABCD\) : \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\).

🔢 1) \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\), donc \(AC^2=BC^2+BA^2-2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}\), d’où \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=\dfrac12\left(BC^2+BA^2-AC^2\right)\). Comme \(BC=AD=5\) : \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=\dfrac12(25+16-49)=-4\). Ensuite \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=4\).

🔢 2) \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\) (parallélogramme), donc \(BD^2=BA^2+BC^2+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=16+25-8=33\) et \(BD=\sqrt{33}\).

✅ 1) \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=-4\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=4\) ; 2) \(BD=\sqrt{33}\).

2) \(ABCD\) est un losange de centre \(O\) tel que : \(AC=10\) et \(BD=6\).

1) Calculer \(BA^2\) en déduire \(AD^2\).
2) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\).
3) \(P\) est la projection orthogonale du point \(D\) sur \((AB)\) calculer \(AP\).

Correction détaillée

Diagonales d’un losange : perpendiculaires, de même milieu \(O\).

🔢 1) Les diagonales du losange sont perpendiculaires et se coupent en \(O\) : \(OA=5\), \(OB=3\), donc \(BA^2=OA^2+OB^2=25+9=34\). Les côtés d’un losange sont égaux : \(AD^2=34\).

🔢 2) \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\), donc \(BD^2=AD^2+AB^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\), soit \(36=68-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\). Donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=16\).

🔢 3) \(P\) est le projeté orthogonal de \(D\) sur \((AB)\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}\). Le produit est positif donc \(P\) est sur \([AB)\) et \(AB\times AP=16\), soit \(AP=\dfrac{16}{\sqrt{34}}=\dfrac{8\sqrt{34}}{17}\).

✅ 1) \(BA^2=AD^2=34\) ; 2) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=16\) ; 3) \(AP=\dfrac{16}{\sqrt{34}}=\dfrac{8\sqrt{34}}{17}\).

Exercice 4.4

Triangles isocèles avec un produit scalaire donné

1) Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\) tel que : \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac14\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16\) et \(I\) un point tel que : \(\overrightarrow{BI}=\dfrac34\overrightarrow{BA}\) et \(J\) le milieu de \([BC]\). Et soit la droite \((\Delta)\) qui passe par \(I\) et perpendiculaire à la droite \((AB)\) et soit \(E\) un point tel que : \(E\in(\Delta)\).
1) Montrer que \(AB=8\) et calculer \(BC\).
2) Calculer \(\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{BA}\).
3) Montrer que \(\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{AB}=48\).
4) Calculer \(AJ\).

Correction détaillée

Si \(E\in(\Delta)\) avec \((\Delta)\perp(AB)\) en \(I\) : \(\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{AB}\).

🔢 1) \(AB=AC\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^2\cos\widehat{BAC}=\dfrac{AB^2}{4}=16\) : \(AB^2=64\) et \(AB=8\). Al-Kashi : \(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=64+64-32=96\), donc \(BC=4\sqrt6\).

🔢 2) \(\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{BA}=\dfrac34BA^2=\dfrac34\times64=48\).

🔢 3) \(\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EI}+\overrightarrow{IB}\) avec \(\overrightarrow{EI}\perp\overrightarrow{AB}\) (car \(E\in(\Delta)\)). Donc \(\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{BA}=48\).

🔢 4) \(J\) est le milieu de \([BC]\) : \(AB^2+AC^2=2AJ^2+\dfrac{BC^2}{2}\), soit \(128=2AJ^2+48\). Donc \(AJ^2=40\) et \(AJ=2\sqrt{10}\).

✅ 1) \(AB=8\), \(BC=4\sqrt6\) ; 2) \(48\) ; 3) \(\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{AB}=48\) ; 4) \(AJ=2\sqrt{10}\).

2) Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(B\) tel que : \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=12\) et \(\cos\widehat{ABC}=\dfrac13\) et \(J\) un point tel que : \(\overrightarrow{BJ}=\dfrac54\overrightarrow{BA}\) et \(I\) le milieu du segment \([AC]\). Et soit la droite \((\Delta)\) qui passe par \(J\) et perpendiculaire à la droite \((AB)\) et soit \(E\) un point tel que : \(E\in(\Delta)\). Et soit \(M\in(\Delta)\).
1) Montrer que \(AB=6\) et calculer \(AC\).
2) Calculer \(\overrightarrow{BJ}\cdot\overrightarrow{BA}\).
3) Montrer que \(\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{AB}=45\).
4) Calculer \(BI\).

Correction détaillée

Projection orthogonale sur \((AB)\) : seuls comptent les points projetés.

🔢 1) \(BA=BC\), donc \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=BA^2\cos\widehat{ABC}=\dfrac{BA^2}{3}=12\) : \(BA^2=36\) et \(AB=6\). Al-Kashi : \(AC^2=BA^2+BC^2-2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=72-24=48\), donc \(AC=4\sqrt3\).

🔢 2) \(\overrightarrow{BJ}\cdot\overrightarrow{BA}=\dfrac54BA^2=\dfrac54\times36=45\).

🔢 3) \(M\in(\Delta)\) : \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JB}\) avec \(\overrightarrow{MJ}\perp\overrightarrow{AB}\). Donc \(\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{JB}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BJ}\cdot\overrightarrow{BA}=45\).

🔢 4) \(I\) est le milieu de \([AC]\) : \(BA^2+BC^2=2BI^2+\dfrac{AC^2}{2}\), soit \(72=2BI^2+24\). Donc \(BI^2=24\) et \(BI=2\sqrt6\).

✅ 1) \(AB=6\), \(AC=4\sqrt3\) ; 2) \(45\) ; 3) \(\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{AB}=45\) ; 4) \(BI=2\sqrt6\).

3) \(ABC\) est un triangle isocèle de sommet \(C\) tel que \(CB=2AB\). On pose \(AB=a\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2}{2}\).
2) \(H\) est la projection orthogonale de \(B\) sur \((AC)\) (\(H\in[AC]\)), calculer la distance \(AH\).
3) Soit le point \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CA}\), en utilisant le théorème de la médiane montrer que \(BE=a\sqrt6\).
4) Soit le point \(K\) tel que : \(\overrightarrow{BK}=-\dfrac18\overrightarrow{AC}\). Montrer que le triangle \(ACK\) est rectangle en \(A\).

Correction détaillée

Si \(H\in[AC]\) est le projeté de \(B\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AH\times AC\).

🔢 1) \(CA=CB=2a\). Al-Kashi : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)=\dfrac12\left(a^2+4a^2-4a^2\right)=\dfrac{a^2}{2}\).

🔢 2) \(H\) est le projeté de \(B\) sur \((AC)\), avec \(H\in[AC]\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AH\times AC\). Donc \(AH=\dfrac{a^2/2}{2a}=\dfrac a4\).

🔢 3) \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CA}\) signifie que \(A\) est le milieu de \([CE]\) et \(CE=4a\). Théorème de la médiane dans \(BCE\) : \(BC^2+BE^2=2BA^2+\dfrac{CE^2}{2}\), soit \(4a^2+BE^2=2a^2+8a^2\). Donc \(BE^2=6a^2\) et \(BE=a\sqrt6\).

🔢 4) \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AB}-\dfrac18\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{AK}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\dfrac18AC^2=\dfrac{a^2}{2}-\dfrac18\times4a^2=0\). Donc \((AK)\perp(AC)\) : \(ACK\) est rectangle en \(A\).

✅ 1) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2}{2}\) ; 2) \(AH=\dfrac a4\) ; 3) \(BE=a\sqrt6\) ; 4) \(\overrightarrow{AK}\cdot\overrightarrow{AC}=0\), \(ACK\) rectangle en \(A\).

4) \(ABC\) est un triangle isocèle de sommet \(B\) tel que \(AB=2AC=\sqrt2\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac14\), en déduire \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}\).
2) Soit \(I\) le milieu de \([BC]\) et le point \(F\) tel que \(\overrightarrow{BF}=4\overrightarrow{AC}\), montrer que \(\overrightarrow{IF}\cdot\overrightarrow{BC}=0\), en déduire que le triangle \(BFC\) est isocèle en \(F\).
3) \(H\) est la projection orthogonale de \(I\) sur \((BF)\). Calculer \(\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{BF}\), en déduire \(BH\) puis \(IH\).
4) Soit le point \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}\), calculer la distance \(BD\).

Correction détaillée

Les points équidistants de \(B\) et \(C\) sont sur la médiatrice de \([BC]\).

🔢 1) \(BA=BC=\sqrt2\) et \(AC=\dfrac{\sqrt2}{2}\). \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)=\dfrac12\left(2+\dfrac12-2\right)=\dfrac14\). Puis \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AC^2=-\dfrac14+\dfrac12=\dfrac14\).

🔢 2) \(\overrightarrow{IF}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BF}=-\dfrac12\overrightarrow{BC}+4\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{IF}\cdot\overrightarrow{BC}=-\dfrac12BC^2+4\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=-1+1=0\). Ainsi \((IF)\perp(BC)\) et \(I\) est le milieu de \([BC]\) : \((IF)\) est la médiatrice de \([BC]\), donc \(FB=FC\) : \(BFC\) est isocèle en \(F\).

🔢 3) \(\overrightarrow{BI}=\dfrac12\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BF}=4\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12\). \(H\) est le projeté de \(I\) sur \((BF)\) : \(\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{BF}=BH\times BF\). Comme \(BF=4AC=2\sqrt2\) : \(BH=\dfrac{1/2}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{8}\). Dans le triangle \(BHI\) rectangle en \(H\) : \(IH^2=BI^2-BH^2=\dfrac12-\dfrac{1}{32}=\dfrac{15}{32}\), donc \(IH=\dfrac{\sqrt{30}}{8}\).

🔢 4) \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}\), donc \(BD^2=BA^2+4AC^2+4\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=2+2-1=3\) et \(BD=\sqrt3\).

✅ 1) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac14\), \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac14\) ; 2) \(\overrightarrow{IF}\cdot\overrightarrow{BC}=0\), \(FB=FC\) ; 3) \(\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{BF}=\dfrac12\), \(BH=\dfrac{\sqrt2}{8}\), \(IH=\dfrac{\sqrt{30}}{8}\) ; 4) \(BD=\sqrt3\).

5) \(ABC\) est un triangle isocèle de sommet \(A\) tel que : \(\widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}=\dfrac{\pi}{6}\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt3\).
1) Calculer les distances \(AB\) et \(BC\).
2) Calculer \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\), en déduire \(\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\).

Correction détaillée

\(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet est aussi la médiane.

🔢 1) \(AB=AC\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^2\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}AB^2=2\sqrt3\) : \(AB^2=4\) et \(AB=2\). Al-Kashi : \(BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8-4\sqrt3=(\sqrt6-\sqrt2)^2\), donc \(BC=\sqrt6-\sqrt2\).

🔢 2) Les angles à la base valent \(\widehat B=\dfrac{\pi-\pi/6}{2}=\dfrac{5\pi}{12}\). Soit \(M\) le milieu de \([BC]\) : le triangle \(ABM\) est rectangle en \(M\), donc \(\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{(\sqrt6-\sqrt2)/2}{2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\). Puis \(\sin^2\dfrac{5\pi}{12}=1-\dfrac{8-4\sqrt3}{16}=\dfrac{2+\sqrt3}{4}=\dfrac{(\sqrt6+\sqrt2)^2}{16}\), donc \(\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) (positif).

✅ 1) \(AB=2\), \(BC=\sqrt6-\sqrt2\) ; 2) \(\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\), \(\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).

Exercice 4.5

Figures avec des angles remarquables

1) Soit \(ABC\) un triangle équilatéral tel que \(AB=4\). \(D\) est un point à l’extérieur du triangle \(ABC\) tels que \(AD=3\) et \(ABD\) est un triangle rectangle en \(A\).
1)
   a) Vérifier que \(\widehat{DAC}=\dfrac{5\pi}{6}\).
   b) Montrer que \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=8\) et que \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=-6\sqrt3\).
   c) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\).
2)
   a) Calculer \(CD^2\).
   b) Montrer que \(DB=5\).
3)
   a) Vérifier que \(DC^2=\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}\right)^2\).
   b) Déduire que \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}=8-6\sqrt3\).

Correction détaillée

Au carré d’une différence : \(\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)^2=u^2+v^2-2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\).

🔢 1) a) \(D\) et \(C\) sont de part et d’autre de \((AB)\) (\(D\) est à l’extérieur du triangle) : \(\widehat{DAC}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}\).

🔢 b) \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=4\times4\times\cos\dfrac{\pi}{3}=8\) et \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=4\times3\times\cos\dfrac{5\pi}{6}=12\times\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-6\sqrt3\).

🔢 c) \(ABD\) est rectangle en \(A\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\).

🔢 2) a) \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\), donc \(CD^2=AD^2+AC^2-2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=9+16+12\sqrt3=25+12\sqrt3\). b) Dans le triangle \(ABD\) rectangle en \(A\) : \(DB^2=AB^2+AD^2=16+9=25\), donc \(DB=5\).

🔢 3) a) \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}\), donc \(DC^2=\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}\right)^2\). b) \(DC^2=BC^2+BD^2-2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}\), soit \(25+12\sqrt3=16+25-2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}\). Donc \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}=\dfrac{16-12\sqrt3}{2}=8-6\sqrt3\).

✅ 1) a) \(\widehat{DAC}=\dfrac{5\pi}{6}\) ; b) \(8\) et \(-6\sqrt3\) ; c) \(0\) ; 2) a) \(CD^2=25+12\sqrt3\) ; b) \(DB=5\) ; 3) a) vérifié ; b) \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}=8-6\sqrt3\).

2) On considère la figure ci-contre où \(ACB\) est un triangle isocèle rectangle en \(A\) et \(ACD\) est un triangle équilatéral tels que \(AB=\sqrt2\).

1) Déterminer la valeur principale de l’angle \(\widehat{(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB})}\).
2) Calculer \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}\).
3) Montrer que \(BD=1+\sqrt3\), puis calculer \(BC\).

Correction détaillée

Chasles pour les angles orientés : \(\widehat{(\vec u,\vec w)}=\widehat{(\vec u,\vec v)}+\widehat{(\vec v,\vec w)}\).

🔢 1) \(AB=AC=\sqrt2\) et \(ACD\) équilatéral : \(AD=AC=CD=\sqrt2\). D’après la figure (sens direct = sens trigonométrique) : \(\widehat{(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC})}=\dfrac{\pi}{3}\) et \(\widehat{(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})}=\dfrac{\pi}{2}\). Par Chasles : \(\widehat{(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB})}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{6}\) (valeur principale).

🔢 2) \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=\sqrt2\times\sqrt2\times\cos\dfrac{\pi}{3}=1\) et \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=2\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\sqrt3\).

🔢 3) \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\), donc \(BD^2=AD^2+AB^2-2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=2+2+2\sqrt3=4+2\sqrt3=\left(1+\sqrt3\right)^2\) et \(BD=1+\sqrt3\). Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) : \(BC^2=AB^2+AC^2=4\), donc \(BC=2\).

✅ 1) \(\dfrac{5\pi}{6}\) ; 2) \(1\) et \(-\sqrt3\) ; 3) \(BD=1+\sqrt3\), \(BC=2\)

3) 4) Montrer que \(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}=1-\sqrt3\).
5) Vérifier que \(\widehat{(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})}=\dfrac{7\pi}{12}\), en déduire que \(\cos\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\).

Correction détaillée

Chasles pour les angles orientés : \(\widehat{(\vec u,\vec w)}=\widehat{(\vec u,\vec v)}+\widehat{(\vec v,\vec w)}\).

🔢 4) \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}+AC^2=-\sqrt3-0-1+2=1-\sqrt3\).

🔢 5) \(\widehat{(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})}=\widehat{(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})}+\widehat{(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD})}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{12}\) (\(ABC\) isocèle rectangle en \(A\) et \(ACD\) équilatéral). De plus \(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}=CB\times CD\times\cos\dfrac{7\pi}{12}=2\sqrt2\cos\dfrac{7\pi}{12}\), donc \(\cos\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\).

✅ 4) \(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}=1-\sqrt3\) ; 5) \(\widehat{(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})}=\dfrac{7\pi}{12}\) et \(\cos\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\).

Exercice 5.1

Relations métriques dans un triangle rectangle

1) Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et \(H\) est le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \((BC)\). Montrer que :
1) \(AB^2+AC^2=BC^2\).
2) \(AC\times AB=AH\times BC\).

Correction détaillée

Triangle rectangle : \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) ; aire \(=\dfrac12\times\text{base}\times\text{hauteur}\).

🔢 1) \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\), donc \(BC^2=BA^2+AC^2+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}\). Le triangle est rectangle en \(A\) : \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=0\). Donc \(BC^2=AB^2+AC^2\).

🔢 2) On calcule l’aire \(S\) du triangle \(ABC\) de deux façons. Avec la base \([AB]\) et la hauteur \([AC]\) (perpendiculaires) : \(S=\dfrac12AB\times AC\). Avec la base \([BC]\) et la hauteur \([AH]\) : \(S=\dfrac12BC\times AH\). Donc \(AB\times AC=BC\times AH\).

✅ 1) \(AB^2+AC^2=BC^2\) (Pythagore) ; 2) \(AC\times AB=AH\times BC\).

2) Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et \(H\) est le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \((BC)\) et \(AH=2\,\text{cm}\) et \(\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{3}\). Calculer \(AB\) et \(BH\) et \(BC\).

Correction détaillée

Relation métrique : \(AB^2=BH\times BC\) dans un triangle rectangle en \(A\) de hauteur \([AH]\).

🔢 Dans le triangle \(ABH\) rectangle en \(H\) : \(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{AH}{AB}\), donc \(AB=\dfrac{2}{\sqrt3/2}=\dfrac{4}{\sqrt3}=\dfrac{4\sqrt3}{3}\,\text{cm}\).

🔢 Toujours dans \(ABH\) : \(BH=AB\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\sqrt3}{3}\times\dfrac12=\dfrac{2\sqrt3}{3}\,\text{cm}\).

🔢 Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) : \(AB^2=BH\times BC\), donc \(BC=\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{16/3}{2\sqrt3/3}=\dfrac{8}{\sqrt3}=\dfrac{8\sqrt3}{3}\,\text{cm}\).

✅ \(AB=\dfrac{4\sqrt3}{3}\,\text{cm}\) ; \(BH=\dfrac{2\sqrt3}{3}\,\text{cm}\) ; \(BC=\dfrac{8\sqrt3}{3}\,\text{cm}\).

Exercice 6.1

Calculer l’aire d’un triangle

1) Soit \(EFGH\) un parallélogramme tel que \(EF=3\) et \(EH=5\) et \(\widehat{FEH}=\dfrac{3\pi}{4}\). Calculer la surface du triangle \(EFH\) et la surface du parallélogramme \(EFGH\).

Correction détaillée

\(S=\dfrac12\,b\,c\,\sin A\).

🔢 Aire du triangle \(EFH\) : \(S=\dfrac12\,EF\times EH\times\sin\widehat{FEH}=\dfrac12\times3\times5\times\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{15}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{15\sqrt2}{4}\).

🔢 La diagonale \([FH]\) partage le parallélogramme en deux triangles de même aire : \(S_{EFGH}=2S=\dfrac{15\sqrt2}{2}\).

✅ \(S_{EFH}=\dfrac{15\sqrt2}{4}\) ; \(S_{EFGH}=\dfrac{15\sqrt2}{2}\).

2) Soit \(ABC\) un triangle tel que : \(a=BC=6\) et \(\widehat A=30^\circ\) et \(\widehat B=73^\circ\). Calculer \(b\) et \(c\).

Correction détaillée

\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\).

🔢 \(\widehat C=180^\circ-30^\circ-73^\circ=77^\circ\).

🔢 Formule des sinus (conséquence de \(S=\dfrac12bc\sin A=\dfrac12ac\sin B=\dfrac12ab\sin C\)) : \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\).

🔢 \(b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{6\sin73^\circ}{0{,}5}=12\sin73^\circ\approx11{,}48\) et \(c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=12\sin77^\circ\approx11{,}69\).

✅ \(b\approx11{,}48\) et \(c\approx11{,}69\).

3) Soit \(ABCD\) un trapèze de bases \([AB]\) et \([CD]\) tel que : \(AB=21\) et \(CD=4\) et \(AD=6\). Soit \(I\) le milieu de \([AD]\) (voir figure : les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires à \((AD)\) ; \(\alpha=\widehat{BIC}\) et \(\beta=\widehat{IBC}\)).

1)
   a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DI}\) et \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{DC}\).
   b) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{ID}\).
   c) En déduire \(\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IC}\).
2)
   a) Montrer que \(IB=15\sqrt2\).
   b) Calculer \(IC\).
   c) Déterminer la valeur principale de l’angle \(\widehat{(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IC})}\).
   d) Soit \(S\) l’aire du triangle \(BIC\), montrer que \(S=\dfrac12CI\times BI\times\sin\alpha\) puis calculer \(S\).
3)
   a) Calculer la distance \(BC\).
   b) Montrer que \(\sin\beta=\dfrac{IC}{BC}\sin\alpha\). Puis calculer \(\sin\beta\).
4) En utilisant le théorème de la médiane, calculer \(AC\).

Correction détaillée

Aire \(=\dfrac12ab\sin C\) ; orthogonalité : produit scalaire nul ; médiane dans \(CAD\).

🔢 1) a) \(\overrightarrow{DI}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{AD}\) et \((AB)\perp(AD)\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DI}=0\). De même \(\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{DC}=0\) car \((DC)\perp(AD)\). b) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont colinéaires et de même sens : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}=21\times4=84\). \(\overrightarrow{IA}\) et \(\overrightarrow{ID}\) sont opposés (\(I\) milieu de \([AD]\), \(IA=ID=3\)) : \(\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{ID}=-9\). c) \(\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DC}\), donc \(\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}=-9+0+0+84=75\).

🔢 2) a) Triangle \(IAB\) rectangle en \(A\) : \(IB^2=IA^2+AB^2=9+441=450\), donc \(IB=15\sqrt2\). b) Triangle \(IDC\) rectangle en \(D\) : \(IC^2=ID^2+DC^2=9+16=25\), donc \(IC=5\).

🔢 c) \(\cos\widehat{BIC}=\dfrac{\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IC}}{IB\times IC}=\dfrac{75}{15\sqrt2\times5}=\dfrac{\sqrt2}{2}\), donc \(\alpha=\widehat{BIC}=\dfrac{\pi}{4}\). Sur la figure, pour aller de \((IB)\) vers \((IC)\) on tourne dans le sens des aiguilles d’une montre : la valeur principale de \(\widehat{(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IC})}\) est \(-\dfrac{\pi}{4}\).

🔢 d) Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur \((IB)\). Dans le triangle \(CHI\) rectangle en \(H\) : \(CH=CI\sin\alpha\). Donc \(S=\dfrac12BI\times CH=\dfrac12CI\times BI\times\sin\alpha\). Ici \(S=\dfrac12\times5\times15\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{75}{2}\).

🔢 3) a) \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}\), donc \(BC^2=IC^2+IB^2-2\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IC}=25+450-150=325\) et \(BC=5\sqrt{13}\).

🔢 b) L’aire de \(BIC\) s’écrit aussi \(S=\dfrac12BC\times BI\times\sin\beta\). Donc \(\dfrac12CI\times BI\times\sin\alpha=\dfrac12BC\times BI\times\sin\beta\), d’où \(\sin\beta=\dfrac{IC}{BC}\sin\alpha=\dfrac{5}{5\sqrt{13}}\times\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{26}}{26}\).

🔢 4) \(I\) est le milieu de \([AD]\) : dans le triangle \(CAD\), \(CA^2+CD^2=2CI^2+\dfrac{AD^2}{2}\), soit \(CA^2+16=50+18\). Donc \(CA^2=52\) et \(AC=2\sqrt{13}\).

✅ 1) \(0\) et \(0\) ; \(84\) et \(-9\) ; \(\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IC}=75\) ; 2) a) \(IB=15\sqrt2\) ; b) \(IC=5\) ; c) \(-\dfrac{\pi}{4}\) ; d) \(S=\dfrac{75}{2}\) ; 3) a) \(BC=5\sqrt{13}\) ; b) \(\sin\beta=\dfrac{\sqrt{26}}{26}\) ; 4) \(AC=2\sqrt{13}\).