Ce devoir 1 (modèle 8) du semestre 1 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 1 modèle 8 semestre 1 corrigé Tronc Commun
Devoir 1 · Modèle 8 · Semestre 1 · Tronc Commun
📌 Corrigé détaillé · Évaluation N°1 – 1er semestre – 16/10/2017⏱️ Clique sur + pour voir la correction🟢 facile · 🟠 moyen · 🔴 difficile
Exercice 1 (10 points)
1) Valeur de vérité : \(P : \left(\dfrac{25}{9} = \dfrac{5}{3} \text{ ou } « 3 \text{ divise } 213 »\right)\) ; \(Q : \left(-\dfrac{5}{2} < -\dfrac{1}{2} \text{ et } |-4| = -4\right)\) ; \(R : (\exists n \in \mathbb{Z},\ n^2 – 1 = 0)\) ; \(S : \left(\forall n \in \mathbb{N},\ \dfrac{n + 3}{5} \in \mathbb{N}\right)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(P\) : \(\dfrac{5}{3} = \dfrac{15}{9} \neq \dfrac{25}{9}\) (faux), mais \(213 = 3 \times 71\) (vrai). Avec « ou » : \(P\) vraie.
🔢 Étape 2 : \(Q\) : \(-\dfrac{5}{2} < -\dfrac{1}{2}\) vrai, mais \(|-4| = 4 \neq -4\) faux. Avec « et » : \(Q\) fausse.
🔢 Étape 3 : \(R\) : \(n = 1\) (ou \(n = -1\)) convient : vraie.
🔢 Étape 4 : \(S\) : pour \(n = 0\), \(\dfrac{3}{5} \notin \mathbb{N}\) : fausse.
✅ \(P\) vraie ; \(Q\) fausse ; \(R\) vraie ; \(S\) fausse.
2) a) Soit \(T : (\forall x \in \mathbb{R},\ 3x^2 – 4x + 2 \leq 0)\). Donner la négation de \(T\).
Correction détaillée
🔢 On change \(\forall\) en \(\exists\) et \(\leq\) en \(>\).
✅ \(\neg T : \exists x \in \mathbb{R},\ 3x^2 – 4x + 2 > 0\).
2) b) Valeur de vérité de \(T\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x = 0\) : \(3 \cdot 0 – 0 + 2 = 2 > 0\). Donc \(\neg T\) est vraie. (En fait \(\Delta = 16 – 24 < 0\) : le trinôme est toujours \(> 0\).)
✅ \(T\) est fausse.
3) a) \(f(x) = \sqrt{x^2 + 3} – 2\) ; résoudre \(f(x) = 0\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{x^2 + 3} = 2 \iff x^2 + 3 = 4 \iff x^2 = 1\).
✅ \(S = \{-1 ; 1\}\).
3) b) Donner la négation de \(P : \forall(a, b) \in \mathbb{R}^2,\ f(a) = f(b) \Rightarrow a = b\).
Correction détaillée
🔢 \(\neg(A \Rightarrow B) = A \text{ et } \neg B\).
✅ \(\neg P : \exists(a, b) \in \mathbb{R}^2,\ (f(a) = f(b) \text{ et } a \neq b)\).
3) c) Déduire que \(P\) est fausse.
Correction détaillée
🔢 Avec \(a = 1\) et \(b = -1\) : \(f(1) = f(-1) = 0\) (question a) et \(a \neq b\). Donc \(\neg P\) est vraie.
✅ \(P\) est fausse.
4) Par contraposée : \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2\), \((x \neq y \text{ et } xy \neq 1) \Rightarrow \dfrac{x}{x^2 + x + 1} \neq \dfrac{y}{y^2 + y + 1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Contraposée : si \(\dfrac{x}{x^2 + x + 1} = \dfrac{y}{y^2 + y + 1}\), alors \(x = y\) ou \(xy = 1\). (Dénominateurs \(> 0\).)
🔢 Étape 2 : \(x(y^2 + y + 1) = y(x^2 + x + 1) \iff xy^2 + x = x^2 y + y \iff xy(y – x) + (x – y) = 0 \iff (y – x)(xy – 1) = 0\).
✅ \(x = y\) ou \(xy = 1\) : l’implication est démontrée.
5) Par équivalences : \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*\), \(\dfrac{x + \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} \leq \sqrt{x} + 3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt{x} + 1 > 0\) : l’inégalité équivaut à \(x + \sqrt{x} + 3 \leq (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 1) = x + 4\sqrt{x} + 3\).
🔢 Étape 2 : \(\iff \sqrt{x} \leq 4\sqrt{x} \iff 0 \leq 3\sqrt{x}\), vrai.
✅ L’inégalité est vraie pour tout \(x > 0\).
6) Par récurrence : \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(1 + 7 + 7^2 + \cdots + 7^n = \dfrac{7^{n+1} – 1}{6}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation (\(n = 0\)) : \(1 = \dfrac{7 – 1}{6}\) ✓.
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(\dfrac{7^{n+1} – 1}{6} + 7^{n+1} = \dfrac{7^{n+1} – 1 + 6 \cdot 7^{n+1}}{6} = \dfrac{7^{n+2} – 1}{6}\).
✅ La formule est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Exercice 2 (4 points)
\(f(x) = \dfrac{x^2 – 4x + 6}{x^2 – 4x + 8}\).
1) Montrer que \(x^2 – 4x + 8 > 0\) et déduire \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2 – 4x + 8 = (x – 2)^2 + 4 \geq 4 > 0\).
✅ \(D_f = \mathbb{R}\).
2) Montrer que \(f(2) = \dfrac{1}{2}\) est une valeur minimale de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(2) = \dfrac{4 – 8 + 6}{4 – 8 + 8} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
🔢 Étape 2 : \(f(x) – \dfrac{1}{2} = \dfrac{2x^2 – 8x + 12 – x^2 + 4x – 8}{2(x^2 – 4x + 8)} = \dfrac{(x – 2)^2}{2(x^2 – 4x + 8)} \geq 0\).
✅ \(f(x) \geq \dfrac{1}{2}\) avec égalité en \(x = 2\).
3) a) Montrer que \(f(x) \leq 1\).
Correction détaillée
🔢 \(1 – f(x) = \dfrac{2}{x^2 – 4x + 8} > 0\).
✅ \(f(x) < 1\) pour tout \(x\).
3) b) Est-ce que \(1\) est une valeur maximale de \(f\) ?
Correction détaillée
🔢 \(f(x) < 1\) strictement : l’équation \(f(x) = 1\) n’a pas de solution.
✅ Non : \(1\) n’est pas atteinte.
Exercice 3 (5 points)
\(f(x) = -2x^3 + \dfrac{3}{2}x – \dfrac{1}{2}\) définie sur \(\mathbb{R}\) ; la courbe (donnée dans le sujet) coupe l’axe des abscisses en \(x = -1\), est tangente à l’axe en \(x = \frac{1}{2}\) et a un minimum local \(-1\) en \(x = -\frac{1}{2}\).
1) Donner le tableau de variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Lecture graphique : la courbe descend jusqu’au point \(\left(-\frac{1}{2}, -1\right)\), remonte jusqu’à \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\), puis redescend.
✅ \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; -\frac{1}{2}]\), croissante sur \([-\frac{1}{2} ; \frac{1}{2}]\), décroissante sur \([\frac{1}{2} ; +\infty[\). Minimum local \(-1\), maximum local \(0\).
2) Déterminer graphiquement le signe de \(f(x)\).
Correction détaillée
📘 Vérification : \(f(x) = -\dfrac{1}{2}(x + 1)(2x – 1)^2\).
🔢 On lit où la courbe est au-dessus ou au-dessous de l’axe des abscisses. Elle coupe l’axe en \(-1\) et le touche en \(\frac{1}{2}\).
✅ \(f(x) > 0\) sur \(]-\infty ; -1[\) ; \(f(x) = 0\) en \(-1\) et \(\frac{1}{2}\) ; \(f(x) < 0\) sur \(]-1 ; \frac{1}{2}[ \cup ]\frac{1}{2} ; +\infty[\).
3) Résoudre graphiquement \(-2x^3 + \dfrac{3}{2}x – \dfrac{1}{2} = 0\).
Correction détaillée
🔢 Les solutions sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.
✅ \(S = \left\{-1 ; \dfrac{1}{2}\right\}\).
4) Montrer graphiquement que \(\forall x \in \left]-\infty ; \dfrac{1}{2}\right]\), \(f(x) \geq -1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \(\left]-\infty ; -\frac{1}{2}\right]\), \(f\) est décroissante, donc \(f(x) \geq f\left(-\frac{1}{2}\right) = -1\).
🔢 Étape 2 : Sur \(\left[-\frac{1}{2} ; \frac{1}{2}\right]\), \(f\) est croissante, donc \(f(x) \geq f\left(-\frac{1}{2}\right) = -1\).
✅ \(f(x) \geq -1\) sur \(]-\infty ; \frac{1}{2}]\) : la courbe reste au-dessus de la droite \(y = -1\).
5) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de \(-2x^3 + \dfrac{3}{2}x – 1 = 0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(-2x^3 + \frac{3}{2}x – 1 = 0 \iff f(x) = \frac{1}{2}\) (car \(f(x) = -2x^3 + \frac{3}{2}x – \frac{1}{2}\)).
🔢 Étape 2 : La droite horizontale \(y = \frac{1}{2}\) coupe la courbe en un seul point : \(f\) ne dépasse \(0\) que sur \(]-\infty ; -1[\), où elle est décroissante de \(+\infty\) à \(0\).
✅ L’équation admet une seule solution (située dans \(]-\infty ; -1[\)).
6) Résoudre graphiquement \(f(x) \leq -\dfrac{1}{2}x – \dfrac{1}{2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : La droite \(y = -\frac{1}{2}x – \frac{1}{2}\) passe par \((-1, 0)\), \((0, -\frac{1}{2})\), \((1, -1)\), qui sont aussi sur la courbe.
🔢 Étape 2 : On lit les intervalles où la courbe est sous la droite. Algébriquement : \(f(x) + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} = -2x^3 + 2x = -2x(x – 1)(x + 1)\), et on veut qu’il soit \(\leq 0\), c’est-à-dire \(x(x – 1)(x + 1) \geq 0\).
\(C_f\) (bleu) et la droite \(y = -\frac{1}{2}x – \frac{1}{2}\) (rouge)
✅ \(S = [-1 ; 0] \cup [1 ; +\infty[\).