Ce devoir 2 (modèle 1) du semestre 2 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 2 modèle 1 semestre 2 corrigé Tronc Commun
Devoir 2 · Modèle 1 · Semestre 2 · Tronc Commun
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Exercice 1
\(f(x) = \dfrac{x^2 + 2x – 3}{x^2 – 2x + 3}\) définie sur \(\mathbb{R}\), \((C)\) sa courbe.
1) Étudier les branches infinies de \((C)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2 – 2x + 3 = (x – 1)^2 + 2 > 0\) : \(D_f = \mathbb{R}\), pas d’asymptote verticale.
🔢 Étape 2 : En \(\pm\infty\) : \(f(x) \sim \dfrac{x^2}{x^2} = 1\), donc \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = 1\).
✅ \((C)\) admet la droite \(y = 1\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
2) Étudier la position de \((C)\) par rapport à la droite \((D) : y = 1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x) – 1 = \dfrac{x^2 + 2x – 3 – x^2 + 2x – 3}{x^2 – 2x + 3} = \dfrac{4x – 6}{x^2 – 2x + 3} = \dfrac{2(2x – 3)}{x^2 – 2x + 3}\).
🔢 Étape 2 : Le dénominateur est \(> 0\) : le signe est celui de \(2x – 3\).
✅ \((C)\) est au-dessus de \((D)\) pour \(x > \frac{3}{2}\), au-dessous pour \(x < \frac{3}{2}\), et la coupe au point \(\left(\frac{3}{2}, 1\right)\).
3) a) Montrer que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) = \dfrac{4(-x^2 + 3x)}{(x^2 – 2x + 3)^2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x) = \dfrac{(2x + 2)(x^2 – 2x + 3) – (x^2 + 2x – 3)(2x – 2)}{(x^2 – 2x + 3)^2}\).
🔢 Étape 2 : \((2x + 2)(x^2 – 2x + 3) = 2x^3 – 2x^2 + 2x + 6\) et \((x^2 + 2x – 3)(2x – 2) = 2x^3 + 2x^2 – 10x + 6\).
🔢 Étape 3 : Différence : \(-4x^2 + 12x = 4(-x^2 + 3x)\).
✅ \(f'(x) = \dfrac{4(-x^2 + 3x)}{(x^2 – 2x + 3)^2}\).
3) b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Le signe de \(f’\) est celui de \(-x^2 + 3x = x(3 – x)\) : négatif pour \(x < 0\), positif sur \(]0 ; 3[\), négatif pour \(x > 3\).
🔢 Étape 2 : \(f(0) = -1\) et \(f(3) = \dfrac{9 + 6 – 3}{9 – 6 + 3} = \dfrac{12}{6} = 2\). Limites : \(1\) en \(\pm\infty\).
✅ \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) (de \(1\) à \(-1\)), croissante sur \([0 ; 3]\) (de \(-1\) à \(2\)), décroissante sur \([3 ; +\infty[\) (de \(2\) à \(1\)).
4) Tracer \((C)\).
Correction détaillée
🔢 Points : \((-3, 0)\), \((1, 0)\) (racines de \(x^2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1)\)), \((0, -1)\), \((3, 2)\), \(\left(\frac{3}{2}, 1\right)\) ; asymptote \(y = 1\).
\(C\) et son asymptote horizontale \(y = 1\)
✅ Voir la figure ci-dessus.
Exercice 2
\(f(x) = \dfrac{x^3 – 4x}{x^2 – 1}\), \((C)\) sa courbe.
1) Déterminer \(D\) et montrer que \(f\) est impaire.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2 – 1 = 0 \iff x = \pm 1\) : \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1 ; 1\}\), symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x) = \dfrac{-x^3 + 4x}{x^2 – 1} = -f(x)\).
✅ \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1 ; 1\}\) et \(f\) est impaire.
2) Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\), \(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)\), \(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(f(x) \sim x \to +\infty\).
🔢 Étape 2 : En \(1\) : numérateur \(\to 1 – 4 = -3\). \(x \to 1^+\) : \(x^2 – 1 \to 0^+\), donc \(\dfrac{-3}{0^+} = -\infty\). \(x \to 1^-\) : \(\dfrac{-3}{0^-} = +\infty\).
✅ \(+\infty\) ; \(-\infty\) ; \(+\infty\).
3) a) Vérifier que \(f(x) = x – \dfrac{3x}{x^2 – 1}\).
Correction détaillée
🔢 \(x – \dfrac{3x}{x^2 – 1} = \dfrac{x(x^2 – 1) – 3x}{x^2 – 1} = \dfrac{x^3 – 4x}{x^2 – 1}\).
✅ Égalité vérifiée.
3) b) En déduire l’asymptote oblique en \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x) – x = -\dfrac{3x}{x^2 – 1} \to 0\) quand \(x \to +\infty\).
✅ La droite \((\Delta) : y = x\) est asymptote oblique à \((C)\) en \(+\infty\) (et en \(-\infty\)).
3) c) Étudier la position relative de \((C)\) et \((\Delta)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x) – x = \dfrac{-3x}{x^2 – 1}\). Tableau de signes : \(x < -1\) : \(+\) ; \(-1 < x < 0\) : \(-\) ; \(0 < x < 1\) : \(+\) ; \(x > 1\) : \(-\).
✅ \((C)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-\infty ; -1[ \cup ]0 ; 1[\) et au-dessous sur \(]-1 ; 0[ \cup ]1 ; +\infty[\) ; elles se coupent en \(O\).
4) a) Montrer que \(f'(x) = 1 + \dfrac{3(x^2 + 1)}{(x^2 – 1)^2}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x) = 1 – 3 \times \dfrac{(x^2 – 1) – x \cdot 2x}{(x^2 – 1)^2} = 1 – 3 \times \dfrac{-x^2 – 1}{(x^2 – 1)^2} = 1 + \dfrac{3(x^2 + 1)}{(x^2 – 1)^2}\).
✅ Formule démontrée.
4) b) Variations de \(f\) et tableau.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in D\) (somme de \(1\) et d’un quotient positif).
🔢 Étape 2 : Limites : \(f \to -\infty\) en \(-\infty\) ; \(f \to +\infty\) en \(-1^-\) ; \(f \to -\infty\) en \(-1^+\) ; \(f \to +\infty\) en \(1^-\) ; \(f \to -\infty\) en \(1^+\) ; \(f \to +\infty\) en \(+\infty\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur chacun des intervalles \(]-\infty ; -1[\), \(]-1 ; 1[\), \(]1 ; +\infty[\).
5) a) Prouver que \(f »(x) = \dfrac{-6x(x^2 + 3)}{(x^2 – 1)^3}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x) = 1 + 3(x^2 + 1)(x^2 – 1)^{-2}\).
🔢 Étape 2 : \(f »(x) = 3\left[2x(x^2 – 1)^{-2} – 4x(x^2 + 1)(x^2 – 1)^{-3}\right] = \dfrac{3\left[2x(x^2 – 1) – 4x(x^2 + 1)\right]}{(x^2 – 1)^3}\).
🔢 Étape 3 : \(2x^3 – 2x – 4x^3 – 4x = -2x^3 – 6x = -2x(x^2 + 3)\), d’où \(f »(x) = \dfrac{-6x(x^2 + 3)}{(x^2 – 1)^3}\).
✅ Formule démontrée.
5) b) Étudier la concavité de \((C)\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2 + 3 > 0\). Signe de \(\dfrac{-6x}{(x^2 – 1)^3}\) : \(x < -1\) : \(+\) ; \(-1 < x < 0\) : \(-\) ; \(0 < x < 1\) : \(+\) ; \(x > 1\) : \(-\).
✅ \((C)\) est convexe sur \(]-\infty ; -1[\) et \(]0 ; 1[\), concave sur \(]-1 ; 0[\) et \(]1 ; +\infty[\) ; \(O(0, 0)\) est point d’inflexion.
6) Tracer \((C)\).
Correction détaillée
🔢 Éléments : asymptotes \(x = \pm 1\) et \(y = x\) ; zéros \(x = 0, \pm 2\) ; centre de symétrie \(O\) (fonction impaire).
\(C\) (bleu), asymptote oblique \(y = x\) (rouge), asymptotes verticales \(x = \pm 1\)
✅ Voir la figure ci-dessus.
7) Soit \(m\) un réel. Déterminer graphiquement suivant \(m\) le nombre de solutions de \(x^2(x – m) = 4x – m\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2(x – m) = 4x – m \iff x^3 – 4x = m(x^2 – 1)\). Les valeurs \(x = \pm 1\) ne sont pas solutions (elles donnent \(1 – m = 4 – m\) ou \(-1 – m = -4 – m\), faux). Pour \(x \neq \pm 1\), l’équation équivaut à \(f(x) = m\).
🔢 Étape 2 : Comme \(f\) est continue et strictement croissante sur chacun des trois intervalles, avec pour limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes, elle réalise une bijection de chacun d’eux sur \(\mathbb{R}\).
✅ Pour tout réel \(m\), l’équation admet exactement \(3\) solutions (une dans chacun des intervalles \(]-\infty ; -1[\), \(]-1 ; 1[\), \(]1 ; +\infty[\)): la droite \(y = m\) coupe \((C)\) en trois points.