Ce devoir 1 (modèle 7) du semestre 1 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 1 modèle 7 semestre 1 corrigé Tronc Commun
Devoir 1 · Modèle 7 · Semestre 1 · Tronc Commun
📌 Corrigé détaillé · Évaluation N°1 – 1er semestre – 27/10/2016⏱️ Clique sur + pour voir la correction🟢 facile · 🟠 moyen · 🔴 difficile
Exercice 1 (8 points)
1) Valeur de vérité de \(P : (\sqrt{4} + \sqrt{1} = \sqrt{4 + 1} \text{ et } \pi \in \mathbb{Z})\) et \(Q : (\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{5} \text{ ou } \sqrt{(-2)^2} = 2)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(P\) : \(\sqrt{4} + \sqrt{1} = 3\) et \(\sqrt{5} \neq 3\) : la première partie est fausse, donc \(P\) (avec « et ») est fausse.
🔢 Étape 2 : \(Q\) : \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}15 > \sqrt{5} \approx 2{,}24\) : faux. Mais \(\sqrt{(-2)^2} = |-2| = 2\) est vrai, donc \(Q\) (avec « ou ») est vraie.
✅ \(P\) est fausse et \(Q\) est vraie.
2) a) Soit \(R : \forall x \in \mathbb{R},\ (x^2 = 25 \Rightarrow x = 5)\). Donner la négation de \(R\).
Correction détaillée
🔢 On nie l’implication : \(A \text{ et } \neg B\).
✅ \(\neg R : \exists x \in \mathbb{R},\ (x^2 = 25 \text{ et } x \neq 5)\).
2) b) Déduire que \(R\) est fausse.
Correction détaillée
🔢 Pour \(x = -5\) : \(x^2 = 25\) et \(x \neq 5\) : \(\neg R\) est vraie.
✅ \(R\) est fausse.
3) Par contraposée : \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2\), \((y \neq x \text{ et } x + y \neq 1) \Rightarrow \sqrt{x^2 – x + 1} \neq \sqrt{y^2 – y + 1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Contraposée : si \(\sqrt{x^2 – x + 1} = \sqrt{y^2 – y + 1}\), alors \(x = y\) ou \(x + y = 1\). (Les radicandes sont toujours \(> 0\).)
🔢 Étape 2 : En élevant au carré : \(x^2 – x = y^2 – y \iff (x – y)(x + y) – (x – y) = 0 \iff (x – y)(x + y – 1) = 0\).
✅ On obtient \(x = y\) ou \(x + y = 1\) : l’implication est démontrée.
4) Par équivalences successives : \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\dfrac{4x}{x^2 + 4} \leq 1\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2 + 4 > 0\), donc \(\dfrac{4x}{x^2 + 4} \leq 1 \iff 4x \leq x^2 + 4 \iff 0 \leq x^2 – 4x + 4 \iff 0 \leq (x – 2)^2\), vrai.
✅ L’inégalité est vraie pour tout réel \(x\).
5) Par récurrence : \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(5^0 + 5^1 + \cdots + 5^n = \dfrac{5^{n+1} – 1}{4}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation (\(n = 0\)) : \(1 = \dfrac{5 – 1}{4}\) ✓.
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(\dfrac{5^{n+1} – 1}{4} + 5^{n+1} = \dfrac{5^{n+1} – 1 + 4 \cdot 5^{n+1}}{4} = \dfrac{5^{n+2} – 1}{4}\).
✅ La formule est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Exercice 2 (4 points)
\(f(x) = \dfrac{3x^2 – 6x + 7}{x^2 – 2x + 3}\).
1) Montrer que \(x^2 – 2x + 3 > 0\) et déduire \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2 – 2x + 3 = (x – 1)^2 + 2 \geq 2 > 0\).
✅ \(D_f = \mathbb{R}\).
2) Montrer que \(f(1) = 2\) est une valeur minimale de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(1) = \dfrac{3 – 6 + 7}{1 – 2 + 3} = \dfrac{4}{2} = 2\).
🔢 Étape 2 : \(f(x) – 2 = \dfrac{3x^2 – 6x + 7 – 2x^2 + 4x – 6}{x^2 – 2x + 3} = \dfrac{(x – 1)^2}{x^2 – 2x + 3} \geq 0\).
✅ \(f(x) \geq 2 = f(1)\) : minimum \(2\) atteint en \(x = 1\).
3) a) Montrer que \(f\) est majorée par \(3\).
Correction détaillée
🔢 \(3 – f(x) = \dfrac{3x^2 – 6x + 9 – 3x^2 + 6x – 7}{x^2 – 2x + 3} = \dfrac{2}{x^2 – 2x + 3} > 0\).
✅ \(f(x) < 3\) : \(f\) est majorée par \(3\).
3) b) Est-ce que \(3\) est une valeur maximale de \(f\) ?
Correction détaillée
🔢 \(f(x) < 3\) strictement pour tout \(x\) : \(3\) n’est jamais atteint.
✅ Non : \(3\) est un majorant mais pas un maximum.
Exercice 3 (8 points)
\(f(x) = x^2 – 6x + 8\) et \(g(x) = \sqrt{x – 3}\).
1) a) Tableau de variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x) = (x – 3)^2 – 1\).
✅ \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; 3]\), croissante sur \([3 ; +\infty[\), minimum \(f(3) = -1\).
1) b) Nature de \(C_f\) et éléments caractéristiques.
Correction détaillée
🔢 \(f\) est un trinôme du second degré avec \(a = 1 > 0\).
✅ \(C_f\) est une parabole de sommet \(S(3, -1)\), d’axe de symétrie \(x = 3\), tournée vers le haut.
1) c) Intersection de \(C_f\) avec les axes.
Correction détaillée
🔢 Avec \((Oy)\) : \(f(0) = 8\). Avec \((Ox)\) : \(x^2 – 6x + 8 = (x – 2)(x – 4) = 0\).
✅ \((0, 8)\), \((2, 0)\) et \((4, 0)\).
2) Déterminer \(D_g\) et le tableau de variations de \(g\).
Correction détaillée
🔢 \(x – 3 \geq 0\). \(g\) est croissante sur \([3 ; +\infty[\), \(g(3) = 0\).
✅ \(D_g = [3 ; +\infty[\) ; \(g\) croissante.
3) Construire \(C_f\) et \(C_g\) dans le même repère.
Correction détaillée
🔢 \(C_f\) : parabole par \((2, 0)\), \((3, -1)\), \((4, 0)\), \((0, 8)\). \(C_g\) : demi-parabole partant de \((3, 0)\), passant par \((4, 1)\), \((7, 2)\).
\(C_f\) (bleu) et \(C_g\) (rouge)
✅ Voir la figure ci-dessus.
4) a) Montrer graphiquement que \(E : x^2 – 6x + 8 – \sqrt{x – 3} = 0\) admet une seule solution \(\alpha \in [3 ; +\infty[\) avec \(4 < \alpha < 5\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(E \iff f(x) = g(x)\). Sur \([3 ; 4]\), \(f(x) \leq 0\) et \(g(x) \geq 0\), avec \(f(3) = -1 < g(3) = 0\) : pas d’intersection (\(C_f\) reste sous \(C_g\)).
🔢 Étape 2 : \(f(4) = 0 < g(4) = 1\) et \(f(5) = 3 > g(5) = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) : les courbes se croisent entre \(4\) et \(5\). Au-delà de \(5\), \(f\) croît beaucoup plus vite que \(g\), il n’y a pas d’autre intersection.
✅ Une seule solution \(\alpha\), avec \(4 < \alpha < 5\) (en fait \(\alpha \approx 4{,}49\)).
4) b) Résoudre graphiquement \(x^2 – 6x + 8 – \sqrt{x – 3} \leq 0\).
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x \in D_g = [3 ; +\infty[\). L’inéquation équivaut à \(f(x) \leq g(x)\) : \(C_f\) est sous (ou sur) \(C_g\).
✅ \(S = [3 ; \alpha]\).