Les Puissances 3ème collège Exercices

Entraînement

Exercice 1
Déterminer le signe de chacun des nombres suivants :
$(-4,0304{)}^4;-(-\frac{5}{9}{)}^4;{314}^{34};(-2016,2017{)}^8;{27}^{-9}$.

Exercice 2
Effectuer les calculs suivants:
A=$\frac{6^2\times 4^2}{{10}^2}$
B=$3^3-6\times 4+8$
C=$2^2+3\times 6+6^2-(4^2-6^2)$
D=$(4^2+6{)}^{-1}\times 3\times (3^2+1)$

Exercice 3
Effectuer les calculs suivants:
A=$(-6{)}^2+2\times 5+9:(-3)$
B=$-6^2+2\times (5+9):(-3)$
C=$-6^2+(2\times 5+9):(-3)$
D=$-(6^2+2)\times 5+[9:(-3)]$
E=$-(6^2+2)\times (5+9):(-3)]$

Exercice 4
Effectuer les calculs suivants:
F=$2-3\times 4^2-(5-7{)}^3$
G=$(2^3+4{)}^{-1}\times 2\times (3^2-1)$
H=$3^2-6\times 2-7^0$
I=$2^3+3\times 4+4^2-(2^2+5^2)$

Exercice 5
Simplifier :
J=$6^2\times (-6{)}^5\times \frac{(-6{)}^4}{(-6{)}^2}\times (6^{-2}{)}^{-2}$
K =$(\frac{5}{3}{)}^{-2}\times (\frac{-5}{3}{)}^{-3}\times (\frac{25}{9}{)}^{-1}$
L=$2^5\times 8^{15}\times 1,25\times {10}^{-15}\times {10}^{170}$

Exercice 6
a est un nombre réel négatif non nul.
Déterminer le signe de chacun des réels suivants:
$a^5,a^3,a^{-4},a^{-7},-a^3\text{ et }(-a{)}^9\text{. }$

Exercice 7
a est un nombre réel non nul.
Ecrire sous forme d’une seule puissance:
A=$\frac{a^6\times a^{-6}}{a^{-7}}$
B=$\frac{a^{-13}}{a^{-4}\times a^{-7}}$
C=$\frac{a^4\times (a^{-4}{)}^4}{a^{-13}\times a^{16}}$
D=$\frac{a^{-8}\times a^{-12}}{(a^{-2}{)}^3\times (a\times a^{-3}{)}^{-1}}$

Exercice 8
a et b sont deux nombres réels non nuls.
Simplifier:
Q=$(3a{)}^2\times (\frac{1}{3}{)}^3\times (\frac{a}{3}{)}^{-2}$
R=$(\frac{3}{a}{)}^3\times (ab{)}^{-3}\times (\frac{1}{a^{-1}}{)}^{-2}$
S=$(3a{)}^3\times (\frac{1}{a}{)}^2\times (\frac{a}{3}{)}^4$
T=$(3a{)}^{-2}\times [(\frac{a}{3}{)}^{-2}{]}^3\times [(2a{)}^2{]}^{-1}$

Exercice 9
$a$ et $b$ sont deux nombres réels non nuls.
Simplifier:
U=$[a^3\times (a^{-2}{)}^{-1}{]}^{-2}\times (a^{-3}\times a^4{)}^2$
V=$\frac{(a^{-1}\times b{)}^{-2}\times a^2\times b^{-4}}{(a^3\times b^2{)}^{-2}\times (b^{-3}{)}^{-4}}$
W=$\frac{(ab{)}^4}{a^{-2}{b}^{-1}}:\frac{(a^4{b}^{-3}{)}^{-1}}{a^2{b}^{-3}}$
X=$\frac{(2a^{-2}{b}^{-3}{)}^{-2}}{(3a^{3}b{)}^2}$

Exercice 10
Calculer:
A=$(-\frac{1}{3}{)}^4+(\frac{1}{3}{)}^{-2}$
B=$[1-(\frac{1}{3}+2^{-1}){]}^{-2}$
C=$(\frac{1}{3}{)}^{-3}+[(\frac{1}{2}{)}^{-2}+(\frac{1}{3}{)}^{-2}{]}^{-1}$
D=$3^2-(\frac{-2}{3}{)}^{-2}+(-1{)}^{2019}\times (\frac{5}{3}{)}^{-3}$

Exercice 11
Simplifier :
E=$[\frac{3^6\times (24{)}^{-2}}{{18}^3\times (2^{-3})}{]}^{-4}$
F=$[\frac{((5^7{)}^2\times 3^{-4}{)}^{-1}}{3^{-5}\times (5^2\times 3^{-1}{)}^{-1}}{]}^{-2}$
G=$[\frac{4^{-3}\times {15}^{-4}\times (3^{-2}{)}^{-1}}{(3^{-2}{)}^3\times {12}^4\times 5^{-4}}{]}^4$

Exercice 12
$0,007=7\times {10}^{\dots }$
$20,16=2016\times {10}^{\dots }$
$0,0002017=\dots \times {10}^{-4}$
$195,7=\dots \times {10}^{-2}$

Approfondissement

Série 1

Exercice 1 :
a un nombre réel:
Ecrire chaque produit sous la forme $a^n$ où $n$ est un entier relatif
$M=16\times 2^{-3};N=81\times 3^6$
$O=({10}^{-3}{)}^{-4}\times 10000\times {10}^5\times 0,001$
$P=135\times 15\times 45$

Exercice 2:
Montrer que : ${64}^{20}={32}^{24}.$
$n$ est un nombre entier naturel impair.
Calculer $E=2^3(-1{)}^{n+1}-(-3{)}^2(-1{)}^n$

Exercice 3:
Déterminer l’entier relatif $n$ dans chacun des cas suivants :
1) $9^{2n}=3^4$
2) $2^{n+1}=\frac{1}{8}$
3) $(\frac{1}{125}{)}^n=5^{-2n}\times 125$

Exercice 4 :
a est un nombre réel négatif non nul.
Déterminer le signe de chacun des réels suivants :
$a^5,a^8,a^{-4},a^{-7},-a^3\text{ et }(-a{)}^9$

Exercice 5:
Recopier et compléter chaque égalité :
$(3^{-6})\cdots =3^{18}$
$a^{18}\times a^{-3}=a^{-3}$
$(\dots a{)}^3=-27a^{\cdots }$
$4^{-x}\times 4^{-2}=1;\frac{a^{-8}}{a^{-m}}=a^2$
$(\dots {)}^2=169a^4$
$\frac{2^{-4}\times 2^{-\cdots }}{2^5}=2^{-7}$
$(7^7{)}^{-3}\times 7^{\cdots }=7^{-14}$

Exercice 6:
a et b sont deux nombres réels non nuls.
On donne:
$E=\frac{(a^2{b}^{-1}{)}^{-2}\times (a^{-3}{b}^2{)}^{-3}\times a^4}{(a\times (b^2{)}^{-2}{)}^{-1}\times (a^{2}b{)}^3}$
1) Simplifier E.
2) Calculer E lorsque : $a={10}^3$ et $b=0,0001$

Exercice 7:
a est un nombre réel non nul.
Ecrire sous forme d’une seule puissance:
$A=\frac{a^6\times a^{-8}}{a^{-7}}$
$B=\frac{a^{-13}}{a^{-4}\times a^{-7}}$
$C=\frac{a^4\times (a^{-4}{)}^4}{a^{-13}\times a^{16}}$
$D=\frac{a^{-8}\times a^{-12}}{(a^{-2}{)}^3\times (a\times a^{-3}{)}^{-1}}$

Exercice 8 :
a et b sont deux nombres réels non nuls.
Simplifier:
Q=$(3a{)}^2\times (\frac{1}{3}{)}^3\times (\frac{a}{3}{)}^{-2}$
R=$(\frac{3}{a}{)}^3\times (a(b{)}^{-3}\times (\frac{1}{a^{-1}}{)}^{-2}$
S=$(3a{)}^3\times (\frac{1}{a}{)}^2\times (\frac{a}{3}{)}^4$
T=$(3a{)}^{-2}\times [(\frac{a}{3}{)}^{-2}{]}^3\times [(2a{)}^2{]}^{-1}$

Exercice 9:
a et b sont deux nombres réels non nuls. Simplifier:
$u=[a^3\times (a^{-2}{)}^{-1}{]}^{-2}\times (a^{-3}\times a^4{)}^2;v=\frac{(a^{-1}\times b{)}^{-2}\times a^2\times b^{-4}}{(a^3\times b^2{)}^{-2}\times (b^{-3}{)}^{-4}}$
$w=\frac{(ab{)}^4}{a^{-2}{b}^{-1}}:\frac{(a^4{b}^{-3}{)}^{-1}}{a^2{b}^{-3}};$ $x=\frac{(2a^{-2}{b}^{-3}{)}^{-2}}{(3a^{3}b{)}^2}$

Exercice 10:
Sachant que:
$a^3=13824$ et $a^5=7962624$
1) Déterminer $a^2$ et $a^6$ sans calculer $a$.
2) En déduire a .

Exercice 11:
Calculer:
a=$(\frac{9}{4}{)}^{2018}\times (\frac{16}{36}{)}^{2018}$
b=$[(\frac{5}{3}{)}^2+(\frac{3}{7}{)}^{-2}{]}^{-1}$
Montrer que :
$[\frac{(3\sqrt{5}{)}^2}{135}{]}^{-2}=9$

Série 2

Exercice 12:
Calculer :
a=$(2^{-2}+\frac{3}{4}{)}^{100}$
b=$2^{-2}\times (2,5{)}^5\times 5^{-3}\times 4^5$
c=$\frac{7^{-n+1}\times 7^n}{7^{3n}}\times (343{)}^n$

Exercice 13:
On donne: $E=\frac{(a^3{b}^{-3}{)}^4}{[(a^{-2}{)}^{-5}{b}^3{]}^{-2}}$
a – Montrer que : $E=\frac{a^{32}}{b^6}$.
b. Calculer E lorsque :
$a=3\times {10}^{-2}$ et $b=27\times {10}^3$
c. Donner l’écriture scientifique de $E$.

Exercice 14:
1) Calculer:
$a=\frac{1-(\frac{3}{4}{)}^{-2}}{(\frac{\sqrt{7}}{3}{)}^2}$
2) b et c sont deux nombres réels tels que :
$b=38,2\times {10}^4$ et $a=0,003\times {10}^8$
Donner l’écriture scientifique de $b+c$.

Exercice 15:
1) Calculer $x=(\frac{3}{5}{)}^{-3}\times (\frac{2}{5}{)}^2\times \frac{2^{-7}}{5^{-2}}$
2) On pose : $\alpha =\frac{4\times {300}^2\times ({10}^{-4}{)}^{-2}}{(0,01{)}^{-3}}$
$a-$ Montrer que $\alpha =36\times {10}^6$
b. Déterminer l’écriture scientifique de $\alpha$.
3) Montrer $28\times 6^n-6^{n+1}$ est un multiple de 11 . (ou n est un entier naturel)

Exercice 16:
Déterminer l’entier naturel $n$ tel que :
$7(3^n+3^{n+1}+3^{n+2})={21}^n\times 13$
${15}^{3n+5}=3^{2n+6}\times 5^{4n+4}$

Exercice 17:
$a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs non nuls
$m$ et $n$. un entier naturel non nul. Simplifier $E$ et $F$ :
E=$(\frac{b}{a}{)}^{-n}\times b^{n+1}\times a^{-n}$
F=$\frac{b^{n+1}+ba}{b^n+a}$

Exercice 18:
$a$ et $b$ sont deux nombres réels non nuls.
$m$ et $n$ sont deux entiers relatifs.
Simplifier R et S :
R=$\frac{a^n\times b^{m+n}+a^{m+n}\times b^n}{a\times b^{m+1}+a^{m+1}b}$
S=$\frac{4a^n+4}{2a^n+2+4a^n}$

Exercice 19:
Soit a et b deux nombres réels non nuls.
On considère le nombre :
A=$\frac{a^{-2}b(a^2{b}^{-1}{)}^4{a}^{-3}{b}^2}{a{b}^{-2}(a^{-3}{b}^2{)}^3{a}^2{b}^3}$
1) Simplifier le nombre $A$.
2) Calculer A pour: $a={10}^{-3}$ et $b=-{10}^{-4}$.

Exercice 20:
Donner l’écriture scientifique de chacun des nombres suivants:
$X=5\times {10}^{-2}+3\times {10}^{-3}$
$Y=\frac{132214\times {10}^{-3}-2140000\times {10}^{-7}}{3\times {10}^{10}}$
Montrer que : $2^{16}-1=(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)$

Exercice 21:
Déterminer l’entier $n$ sachant que :
$\frac{{16}^{n-4}\times 2^{6n+1}}{{128}^{n-3}}=4096$
Déterminer un entier naturel a tel que :
$2a^2\times a^3=6250$

Exercice 22:
ABCD est un carré Calculer l’aire coloriée en fonction de a.

Devoir

Exercice 01:
1) Simplifier :
A=$(\frac{2}{5}{)}^{-2}\times (-\frac{4}{25}{)}^{-3}\times (-\frac{5}{2}{)}^{-3}$
B=$(a^{-4}{b}^{-1}{c}^2{)}^{-3}\times [(a^{-2}{)}^3\times b^{-1}{]}^{-1}$
2) Donner l’écriture scientifique de C:
C=$\frac{12\times {10}^{-46}-0,003\times {10}^{-43}}{0,3\times {10}^{-12}}$

Exercice 02:
Effectuer les calculs suivants:
a=$\frac{4}{3}-\frac{1}{12}\times 4^3-6\times (\frac{5}{3}{)}^2$
b=$\frac{15\times {10}^6(2\times {10}^{-3}{)}^2}{24\times {10}^3}$
c=$\frac{a^3\times b^{-1}\times a^2}{(a^2{)}^2\times (b^{-1}{)}^{-2}}$

Exercice 03:
1) Calculer $x=(\frac{3}{5}{)}^{-3}\times (\frac{2}{5}{)}^2\times \frac{2^{-7}}{5^{-2}}$
2) On pose: $\alpha =\frac{4\times {300}^2\times ({10}^{-4}{)}^{-2}}{(0,01{)}^{-3}}$
a- Montrer que $\alpha =36\times {10}^6$
b- Déterminer l’écriture scientifique de $\alpha$.
3) Montrer $28\times 6^n-6^{n+1}$ est un multiple de 11 .
(ou $n$ est un entier naturel)
Exercice 04:
On donne : E =$\frac{(a^3{b}^{-3}{)}^4}{[(a^{-2}{)}^{-5}{b}^3{]}^{-2}}$
a- Montrer que : E =$\frac{a^{32}}{b^6}$.
b- Calculer $E$ lorsque : $a=3\times {10}^{-2}etb=27\times {10}^3$
c- Donner l’écriture scientifique de $E$.

Exercice 05:
Calculer : a =$(\frac{9}{4}{)}^{2018}\times (\frac{16}{36}{)}^{2018}$
b=$(\sqrt{17}{)}^8\times (\sqrt{17}{)}^5$
c=$\frac{2^{-5}\times 8^{-3}}{a^{-16}\times 2^2}$

Exercice 06:
$a$ et $b$ sont deux nombres réels non nuls.
Simplifier E:
E=$\frac{(a^{3}b{)}^{-3}\times (a{b}^3{)}^3\times (a^{-2}{b}^2{)}^3}{(a{b}^{-1}{)}^{-2}\times (a^{-1}{b}^2{)}^3\times b^{-4}}$

Exercice 07:
1) Calculer: $a=[(\frac{5}{3}{)}^2+(\frac{3}{7}{)}^{-2}{]}^{-1}$
2) Montrer que: $[\frac{(3\sqrt{5}{)}^2}{135}{]}^{-2}=9$

Exercice 08:
1) Calculer :
$a=(2^{-2}+\frac{3}{4}{)}^{100}$
$b=2^{-2}\times (2,5{)}^5\times 5^{-3}\times 4^5$
$c=\frac{7^{-n+1}\times 7^n}{7^{3n}}\times (343{)}^n$.

Exercice 09:
1) Calculer :
a=$\frac{1-(\frac{3}{4}{)}^{-2}}{(\frac{\sqrt{7}}{3}{)}^2}$
2) b et c sont deux nombres réels tels que :
b =$38,2\times {10}^4\text{ et }c=0,003\times {10}^8$
Donner l’écriture scientifique de b+c.

Exercice 10:
1) Calculer: $a=\frac{3^2\times 2^{-5}\times 6^{-1}}{2^{-6}\times 6^2\times 3}$.
2) Simplifier
E=$\frac{(b^2{)}^{-1}\times a^7}{a^4{b}^{-6}{a}^{-1}{b}^5}$

Olympiade

Exercice 1:
Montrer qu’il n’existe pas d’entier naturel $x$
tel que: $6\times 4^x-7\times 6^x+6\times 9^x=0$

Exercice 2:
Ranger les nombres dans l’ordre croissant : $2^{100};3^{75};5^{50}$
Quel est le chiffre des unités de $3^{100}$ ?

Exercice 3:
Sachant que:
$x^2+y^2=10$ et $x^{3}y+x^2{y}^2+x{y}^3=39$.
Calculer $x+y$

Exercice 4:
Montrer que : ${5555555}^2={4444444}^2+{3333333}^2$
Montrer que : ${499999}^2+999999=25\times {10}^{10}$

Exercice 5:
1) Démontrer que pour tout entier $n:2^n=2^{n+1}-2^n$.
2) En déduire une valeur de $S$ :
$S=2^0+2^1+2^2+\dots +2^{49}+2^{50}$

Exercice 6:
comparer $x$, y et $z$. Si : $x^3=a^4$ et $y^4=a^3$ et $z^6=a^7$

Exercice 7:
Déterminer l’entier relatif $x$ tel que : $\frac{15}{a^{x-2}}+a^{x-2}=16$

Exercice 8:
a et b sont deux nombres réels tels que :
$a^{4036}+b^{4036}=(a^2+b^2)(ab{)}^{2017}$
1) Montrer que : $(\frac{a}{b}{)}^{2018}+(\frac{b}{a}{)}^{2018}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$.
2) En déduire que : $[(\frac{a}{b}{)}^{2018}-\frac{a}{b}][1-(\frac{b}{a}{)}^{2019}]=0$.