Additionner et Soustraire des Fractions Rationnelles 2ème collège

Les nombres rationnels

Exercice 01:
1) Choisir, parmi la liste des nombres: 3;5;6;7
le nombre manquant pour que:
$\frac{22}{\dots }$ soit un nombre décimal.
2) Choisir, parmi la liste des nombres: 4;25;50;9
le nombre manquant pour que:
$\frac{129}{\dots }$ soit un nombre rationnel mais $n^{\prime }$ est pas décimal.

Exercice 02:
1) Choisir, parmi les nombres suivants: $0.625,40,0,6251,\frac{5}{8},\frac{10}{16}$
ceux qui conviennent pour compléter l’égalité $:8\times \dots =5$
2) Choisir, parmi les nombres suivants: $0,388,0,38888,\frac{18}{7},\frac{7}{18}$
ceux qui conviennent pour compléter l’égalité : … $\times 18=7$

Signe d’un nombre rationnel

Exercice 03:
1) Déterminer le signe:
$a=\frac{7}{5};\mathrm{b}=\frac{-8}{11};\mathrm{c}=\frac{9}{-13};\mathrm{d}=\frac{-15}{-24}$
2) $x$ est un entier relatif positif et $y$ est un entier relatif négatif non nul.
Déterminer le signe de chaque quotient:
$\frac{x}{-21};\frac{y}{9}:\frac{x}{57};\frac{y}{-78};\frac{xy}{89}:\frac{x+4}{y-4}$

Exercice 04:
Ecrire chacun des nombres rationnels suivants avec un dénominateur positif:
$\frac{18}{-8}\cdot \frac{-15}{-7}\cdot \frac{-10}{-33},\frac{-15}{-7}$

Réduction d’un nombre rationnel

Exercice 05:
1) Simplifier chacun des nombres rationnels suivants par 6 ;
$\frac{6}{12};\frac{24}{18};\frac{-36}{60};\frac{42}{30};\frac{-48}{-54}$
2) Pour chacun des nombres rationnels suivants,
indique si elle peut se simplifier par: 2,3,4,5 ou $9.$
$\frac{52}{14};\frac{24}{18};\frac{30}{-75};\frac{135}{45}:\frac{-48}{24};\frac{720}{540}$

Exercice 06:
Simplifier le plus possible les nombres suivants :
$\frac{72}{24};\frac{13}{69};\frac{12}{30};\frac{15}{45};\frac{228}{204};\frac{720}{3240}$

Exercice 07:
Donner la forme irréductible de chacun des nombres rationnels suivants:
$\frac{6.91}{1.82};\frac{98}{-168};\frac{98}{-90};\frac{1260}{756}:\frac{-506}{78}$

Exercice 08:
1) Ecrire chacun des nombres rationnels suivants
sous forme d’un rationnel de dénominateur 60:
$\frac{1}{5}:\frac{-2}{3};\frac{14}{-30}:\frac{2.9}{1.5}:\frac{-12}{45}$
2) Ecrire chacun des nombres rationnels suivants
sous forme d’ an rationnel de dénominateur 60 :
$\frac{5}{6};\frac{7}{10}÷\frac{-8}{15}:\frac{-9}{2};\frac{5}{12}$

Exercice 09 :
Dans chaque cas réduire au même dénominateur
$\frac{5}{36}\text{ et }\frac{6}{90}$ ;
$\frac{5}{24}\text{ et }\frac{7}{40}$;
$\frac{-49}{20}\text{ et }\frac{11}{12}$ ;
$\frac{-5}{44}\text{ et }\frac{-4}{55}$;
$\frac{3}{10}\text{ et }\frac{11}{18}\text{ et }\frac{2}{15}$

Exercice 10:
Calculer de la manière la plus simple :
a=$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$
b=$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}$
c=$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$
d=$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}$

Exercice 11:
Réduire chaque expression:
E =$3x-\frac{1}{3}+\frac{5}{6}x+1$F =$-2+\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}x+\frac{1}{3}$ G =$-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}x-\frac{4}{3}-\frac{3}{10}x$
H =$x+\frac{3}{7}-\frac{1}{21}x+\frac{5}{14}$

Exercice 12:
Calculer $x$ dans les cas suivants
(donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible ou d’un nombre entier) :
$x+\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$
$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{2}$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{4}$
$x-\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$$\frac{5}{8}+x=-\frac{11}{6}$
$\frac{12}{18}-x=\frac{1}{9}$

Soustraction des nombres rationnels

Exercice 13:
Un jardinier plante des tomates et des pommes de terre dans son jardin.
Dans son jardin, les tomates représentent $\frac{7}{12}$ de la surface
et les pommes de terre occupent $\frac{5}{18}$ de la surface.
Quelle fraction du jardin est occupée par les tomates et les pommes terre?

Calculatrice

Exercice 14:
Connaissant le résultat suivant: 542-213,7=328,3
et sans utiliser la calculatrice ni faire pratiquement aucun calcul compléter :
328,7+213,7=……
542-328,3=……
1542-213,7=……
742-213,7=……
Expliquer les réponses.
Éventuellement, vérifier avec la calculatrice

Opération sur les nombres rationnels

Exercice 15:
Ahmed dispose d’argent de poche.
II dépense les $\frac{2}{3}$ pour acheter des livres et le $\frac{1}{4}$ pour l’achat d’un jeu vidéo.
Quelle fraction de cette somme représente l’ensemble des dépenses
Quelle fraction de cette somme représente ce qui lui reste?

Exercice 16:
Dans une classe de 15 Garçons et 10 filles,
les $\frac{3}{4}$ des garçons et les $\frac{3}{5}$ des filles ont obtenus la moyenne au contrôle de mathématiques.
Quelle est fraction de la classe qui n’a pas obtenus la moyenne ?

Problèmes 01

Exercice 17:
Fatima a mangé $\frac{1}{6}$, Amina a mangé $\frac{5}{18}$ et Khadija a mangé $\frac{2}{9}$ du même gâteau .
a. Quelle est la part du gâteau mangé par Amina et Fatima?
b. Quelle part du gâteau reste-t-il ?

Exercice 18:
Calculer:
a. $\frac{3}{8}+\frac{7}{12}$
b. $\frac{5}{12}-\frac{11}{18}$
C. $\frac{9}{8}-\frac{5}{18}+\frac{7}{12}$
d. $-\frac{13}{12}+\frac{7}{8}-\frac{17}{18}$

Exercice 19:
Calculer astucieusement les sommes suivantes :
A=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$ 
B=$-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{4}{5}+\frac{5}{6}-\frac{2}{6}-\frac{9}{12}-\frac{2}{12}-\frac{4}{20}$
C=$-\frac{4}{12}+\frac{3}{15}+\frac{4}{25}+\frac{5}{10}-\frac{14}{35}-\frac{8}{24}-\frac{11}{22}-\frac{13}{78}$

Exercice 20:
a et b sont deux nombres rationnels tels que:
$\frac{a}{48}-\frac{b}{30}=\frac{1}{6}.$Calculer: $a-\frac{8b}{5}$

Exercice 21:
Recopier et compléter :$\frac{3}{8}+\cdots =-\frac{5}{8}$
$\frac{-11}{13}+\cdots =\frac{9}{13}$
$-\frac{4}{7}-\cdots =\frac{3}{7}$$\frac{5}{6}-\cdots =-\frac{2}{3}$
$-\frac{4}{9}+\cdots =-\frac{4}{3}$

Exercice 22:
Calculer $x$ sachant que :$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{x}=\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$

Exercice 23:
$a,b$ et $x$ sont des nombres rationnels.
Simplifier:
A =$(\frac{1}{6}a+3)+(-\frac{5}{6}a-\frac{1}{3})$
B =$(-3a+\frac{1}{4})-(\frac{a}{4}-1)+(-a+\frac{1}{3})$
C =$\frac{x}{3}-[\frac{5x}{6}-(x+2)]$D =$(\frac{x}{2}-\frac{x}{3})-[(3+\frac{3x}{2})-(\frac{x}{3}-1)+\frac{7x}{2}]$

Problèmes 02

Exercice 24:
$x$ et $y$ sont deux nombres rationnels
tels que:$x+y\ne 0$ et  $xy\ne 0$ et  $x+2y\ne 0$ .
Simplifier $E$ et $F$:
E =$\frac{x}{x+y}+\frac{x+y}{y}+\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac{y}{x+y}-\frac{x+y}{y}$ 
F =$\frac{x+y}{x+2y}+\frac{x+2y}{x+y}+\frac{x+y}{y}-\frac{y}{x+y}+\frac{y}{x+2y}-\frac{x+2y}{y}$

Exercice 25:
1) a et b sont deux nombres rationnels. 
Vérifier que: (a+b)+(a-b)=2a et  (a+b)-(a-b)=2b
2) a et b sont deux nombres rationnels
tels que : a+b=$-\frac{5}{6}$ a-b=$\frac{7}{4}$
Déterminer a et b

Exercice 26:
Déterminer le nombre rationnel (x) dans chacun des cas suivants:
(\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{x}=\frac{11}{30})
(\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}-\frac{1}{x}=\frac{29}{60})

Exercice 27:
Ecrire les nombre suivants sous forme de fractions:
A=(\frac{1}{x}-\frac{1}{5 x}-\frac{16}{20 x}+\frac{1}{20 x})
B=(\frac{2}{x}-\frac{1}{2 x}+\frac{5}{4 x})

Exercice 28:
Soit n un entier positif non nul.
Montrer que:
(\frac{1}{n}+\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n}+\frac{1}{6 n}=\frac{2}{n})
Ecrire le nombre (\frac{2}{11}) sous forme de somme de quatre fractions du type (\frac{1}{n}) où (n) et un entier naturel.

Exercice 29:
Soit (x) un nombre entier naturel non nul.
Montrer que:
(\frac{2}{(x+1)(x+2)}-\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)=\frac{1}{(x+1)(x+2)})
(\frac{1}{x}+\frac{1}{12 x}=\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 x}+\frac{1}{4 x})

Olympiade

Exercice 30:
Placer les parenthèses nécessaires pour que les égalités soient vraies:
$\frac{2}{9}-\frac{7}{9}-\frac{1}{9}-\frac{4}{9}=-\frac{2}{9}$
$\frac{2}{9}-\frac{7}{9}-\frac{1}{9}-\frac{4}{9}=-\frac{8}{9}$
$\frac{2}{9}-\frac{7}{9}-\frac{1}{9}-\frac{4}{9}=0$

Exercice 31:
Soit $x$ un entier positif non nul.
Montrer que: $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}$
En déduire le résultat de S :
S=$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{998\times 999}+\frac{1}{999\times 1000}$

Exercice 32:
$a,b$ et c sont des nombres rationnels distincts deux à deux.
Simplifier l’écriture de E:
E=$\frac{a}{(b-a)(c-a)}+\frac{b}{(c-b)(a-b)}+\frac{c}{(a-c)(b-c)}$

Exercice 33:
a et b sont deux nombres rationnels tels que:
a=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots \cdots +\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}$
b=$\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{5}{4}+\cdots \cdots +\frac{2018}{2017}+\frac{2019}{2018}$
Montrer que: b-a=2017.

Exercice 34:
Yassine a cueilli une quantité de myrtilles.
II a mange $\frac{1}{3}$ des myrtilles et il a donné $\frac{1}{4}$ des myrtilles a Laila et $\frac{1}{4}$ des myrtilles à Amine.
Quelle est la fraction qui représente la quantité qui reste à Yassine?