Les nombres rationnels
Exercice 01:
1) Choisir, parmi la liste des nombres: 3;5;6;7
le nombre manquant pour que:
\(\frac{22}{\ldots}\) soit un nombre décimal.
2) Choisir, parmi la liste des nombres: 4;25;50;9
le nombre manquant pour que:
\(\frac{129}{\ldots}\) soit un nombre rationnel mais \(n^{\prime}\) est pas décimal.
Exercice 02:
1) Choisir, parmi les nombres suivants: \(0.625,40,0,6251, \frac{5}{8}, \frac{10}{16}\)
ceux qui conviennent pour compléter l’égalité \(: 8 \times \ldots=5\)
2) Choisir, parmi les nombres suivants: \(0,388,0,38888, \frac{18}{7}, \frac{7}{18}\)
ceux qui conviennent pour compléter l’égalité : … \(\times 18=7\)
Signe d’un nombre rationnel
Exercice 03:
1) Déterminer le signe:
\(a=\frac{7}{5} ; \mathrm{b}=\frac{-8}{11} ; \mathrm{c}=\frac{9}{-13} ; \mathrm{d}=\frac{-15}{-24}\)
2) \(x\) est un entier relatif positif et \(y\) est un entier relatif négatif non nul.
Déterminer le signe de chaque quotient:
\(\frac{x}{-21} ; \frac{y}{9}: \frac{x}{57} ; \frac{y}{-78} ; \frac{x y}{89}: \frac{x+4}{y-4}\)
Exercice 04:
Ecrire chacun des nombres rationnels suivants avec un dénominateur positif:
\(\frac{18}{-8} \cdot \frac{-15}{-7} \cdot \frac{-10}{-33}, \frac{-15}{-7}\)
Réduction d’un nombre rationnel
Exercice 05:
1) Simplifier chacun des nombres rationnels suivants par 6 ;
\(\frac{6}{12} ; \frac{24}{18} ; \frac{-36}{60} ; \frac{42}{30} ; \frac{-48}{-54}\)
2) Pour chacun des nombres rationnels suivants,
indique si elle peut se simplifier par: 2,3,4,5 ou \(9 .\)
\(\frac{52}{14} ; \frac{24}{18} ; \frac{30}{-75} ; \frac{135}{45}: \frac{-48}{24} ; \frac{720}{540}\)
Exercice 06:
Simplifier le plus possible les nombres suivants :
\(\frac{72}{24} ; \frac{13}{69} ; \frac{12}{30} ; \frac{15}{45} ; \frac{228}{204} ; \frac{720}{3240}\)
Exercice 07:
Donner la forme irréductible de chacun des nombres rationnels suivants:
\(\frac{6.91}{1.82} ; \frac{98}{-168} ; \frac{98}{-90} ; \frac{1260}{756}: \frac{-506}{78}\)
Exercice 08:
1) Ecrire chacun des nombres rationnels suivants
sous forme d’un rationnel de dénominateur 60:
\(\frac{1}{5}: \frac{-2}{3} ; \frac{14}{-30}: \frac{2.9}{1.5}: \frac{-12}{45}\)
2) Ecrire chacun des nombres rationnels suivants
sous forme d’ an rationnel de dénominateur 60 :
\(\frac{5}{6} ; \frac{7}{10} \div \frac{-8}{15}: \frac{-9}{2} ; \frac{5}{12}\)
Exercice 09 :
Dans chaque cas réduire au même dénominateur
\(\frac{5}{36} \text { et } \frac{6}{90}\) ;
\(\frac{5}{24} \text { et } \frac{7}{40}\);
\(\frac{-49}{20} \text { et } \frac{11}{12}\) ;
\(\frac{-5}{44} \text { et } \frac{-4}{55}\);
\(\frac{3}{10} \text { et } \frac{11}{18} \text { et } \frac{2}{15}\)
Exercice 10:
Calculer de la manière la plus simple :
a=\(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\)
b=\(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}\)
c=\(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}\)
d=\(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}\)
Exercice 11:
Réduire chaque expression:
E =\(3 x-\frac{1}{3}+\frac{5}{6} x+1\)F =\(-2+\frac{1}{2} x+\frac{7}{2} x+\frac{1}{3}\) G =\(-\frac{1}{2}+\frac{1}{5} x-\frac{4}{3}-\frac{3}{10} x\)
H =\(x+\frac{3}{7}-\frac{1}{21} x+\frac{5}{14}\)
Exercice 12:
Calculer \(x\) dans les cas suivants
(donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible ou d’un nombre entier) :
\(x+\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}\)
\(x-\frac{7}{6}=\frac{1}{2}\)\(x+\frac{5}{8}=\frac{9}{4}\)
\(x-\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\)\(\frac{5}{8}+x=-\frac{11}{6}\)
\(\frac{12}{18}-x=\frac{1}{9}\)
Soustraction des nombres rationnels
Exercice 13:
Un jardinier plante des tomates et des pommes de terre dans son jardin.
Dans son jardin, les tomates représentent \(\frac{7}{12}\) de la surface
et les pommes de terre occupent \(\frac{5}{18}\) de la surface.
Quelle fraction du jardin est occupée par les tomates et les pommes terre?
Calculatrice
Exercice 14:
Connaissant le résultat suivant: 542-213,7=328,3
et sans utiliser la calculatrice ni faire pratiquement aucun calcul compléter :
328,7+213,7=……
542-328,3=……
1542-213,7=……
742-213,7=……
Expliquer les réponses.
Éventuellement, vérifier avec la calculatrice
Opération sur les nombres rationnels
Exercice 15:
Ahmed dispose d’argent de poche.
II dépense les \(\frac{2}{3}\) pour acheter des livres et le \(\frac{1}{4}\) pour l’achat d’un jeu vidéo.
Quelle fraction de cette somme représente l’ensemble des dépenses
Quelle fraction de cette somme représente ce qui lui reste?
Exercice 16:
Dans une classe de 15 Garçons et 10 filles,
les \(\frac{3}{4}\) des garçons et les \(\frac{3}{5}\) des filles ont obtenus la moyenne au contrôle de mathématiques.
Quelle est fraction de la classe qui n’a pas obtenus la moyenne ?
Problèmes 01
Exercice 17:
Fatima a mangé \(\frac{1}{6}\), Amina a mangé \(\frac{5}{18}\) et Khadija a mangé \(\frac{2}{9}\) du même gâteau .
a. Quelle est la part du gâteau mangé par Amina et Fatima?
b. Quelle part du gâteau reste-t-il ?
Exercice 18:
Calculer:
a. \(\frac{3}{8}+\frac{7}{12}\)
b. \(\frac{5}{12}-\frac{11}{18}\)
C. \(\frac{9}{8}-\frac{5}{18}+\frac{7}{12}\)
d. \(-\frac{13}{12}+\frac{7}{8}-\frac{17}{18}\)
Exercice 19:
Calculer astucieusement les sommes suivantes :
A=\(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\)
B=\(-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{4}{5}+\frac{5}{6}-\frac{2}{6}-\frac{9}{12}-\frac{2}{12}-\frac{4}{20}\)
C=\(-\frac{4}{12}+\frac{3}{15}+\frac{4}{25}+\frac{5}{10}-\frac{14}{35}-\frac{8}{24}-\frac{11}{22}-\frac{13}{78}\)
Exercice 20:
a et b sont deux nombres rationnels tels que:
\(\frac{ a }{48}-\frac{ b }{30}=\frac{1}{6} .\)Calculer: \(a -\frac{8 b }{5}\)
Exercice 21:
Recopier et compléter :\(\frac{3}{8}+\cdots=-\frac{5}{8}\)
\(\frac{-11}{13}+\cdots=\frac{9}{13}\)
\(-\frac{4}{7}-\cdots=\frac{3}{7}\)\(\frac{5}{6}-\cdots=-\frac{2}{3}\)
\(-\frac{4}{9}+\cdots=-\frac{4}{3}\)
Exercice 22:
Calculer \(x\) sachant que :\(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{x}=\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\)
Exercice 23:
\(a, b\) et \(x\) sont des nombres rationnels.
Simplifier:
A =\((\frac{1}{6} a +3)+(-\frac{5}{6} a -\frac{1}{3})\)
B =\((-3 a +\frac{1}{4})-(\frac{ a }{4}-1)+(- a +\frac{1}{3})\)
C =\(\frac{x}{3}-[\frac{5 x}{6}-(x+2)]\)D =\((\frac{x}{2}-\frac{x}{3})-[(3+\frac{3 x}{2})-(\frac{x}{3}-1)+\frac{7 x}{2}]\)
Problèmes 02
Exercice 24:
\(x\) et \(y\) sont deux nombres rationnels
tels que:\(x+y ≠0\) et \(xy≠ 0\) et \(x+2 y≠0\) .
Simplifier \(E\) et \(F\):
E =\(\frac{x}{x+ y }+\frac{x+ y }{ y }+\frac{x}{ y }-\frac{ y }{x}+\frac{ y }{x+ y }-\frac{x+ y }{ y }\)
F =\(\frac{x+ y }{x+2 y }+\frac{x+2 y }{x+ y }+\frac{x+ y }{ y }-\frac{ y }{x+ y }+\frac{ y }{x+2 y }-\frac{x+2 y }{ y }\)
Exercice 25:
1) a et b sont deux nombres rationnels.
Vérifier que: (a+b)+(a-b)=2a et (a+b)-(a-b)=2b
2) a et b sont deux nombres rationnels
tels que : a+b=\(-\frac{5}{6}\) a-b=\(\frac{7}{4}\)
Déterminer a et b
Exercice 26:
Déterminer le nombre rationnel (x) dans chacun des cas suivants:
(\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{x}=\frac{11}{30})
(\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}-\frac{1}{x}=\frac{29}{60})
Exercice 27:
Ecrire les nombre suivants sous forme de fractions:
A=(\frac{1}{x}-\frac{1}{5 x}-\frac{16}{20 x}+\frac{1}{20 x})
B=(\frac{2}{x}-\frac{1}{2 x}+\frac{5}{4 x})
Exercice 28:
Soit n un entier positif non nul.
Montrer que:
(\frac{1}{n}+\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n}+\frac{1}{6 n}=\frac{2}{n})
Ecrire le nombre (\frac{2}{11}) sous forme de somme de quatre fractions du type (\frac{1}{n}) où (n) et un entier naturel.
Exercice 29:
Soit (x) un nombre entier naturel non nul.
Montrer que:
(\frac{2}{(x+1)(x+2)}-\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)=\frac{1}{(x+1)(x+2)})
(\frac{1}{x}+\frac{1}{12 x}=\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 x}+\frac{1}{4 x})
Olympiade
Exercice 30:
Placer les parenthèses nécessaires pour que les égalités soient vraies:
\(\frac{2}{9}-\frac{7}{9}-\frac{1}{9}-\frac{4}{9}=-\frac{2}{9}\)
\(\frac{2}{9}-\frac{7}{9}-\frac{1}{9}-\frac{4}{9}=-\frac{8}{9}\)
\(\frac{2}{9}-\frac{7}{9}-\frac{1}{9}-\frac{4}{9}=0\)
Exercice 31:
Soit \(x\) un entier positif non nul.
Montrer que: \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}\)
En déduire le résultat de S :
S=\(\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\cdots+\frac{1}{998 \times 999}+\frac{1}{999 \times 1000}\)
Exercice 32:
\(a, b\) et c sont des nombres rationnels distincts deux à deux.
Simplifier l’écriture de E:
E=\(\frac{a}{(b-a)(c-a)}+\frac{b}{(c-b)(a-b)}+\frac{c}{(a-c)(b-c)}\)
Exercice 33:
a et b sont deux nombres rationnels tels que:
a=\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots \cdots+\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}\)
b=\(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{5}{4}+\cdots \cdots+\frac{2018}{2017}+\frac{2019}{2018}\)
Montrer que: b-a=2017.
Exercice 34:
Yassine a cueilli une quantité de myrtilles.
II a mange \(\frac{1}{3}\) des myrtilles et il a donné \(\frac{1}{4}\) des myrtilles a Laila et \(\frac{1}{4}\) des myrtilles à Amine.
Quelle est la fraction qui représente la quantité qui reste à Yassine?