Olympiade Math – Débutant – Algèbre 02

Exercice 1:

x,y,z trois nombres réels strictement positifs montrer que:
$\frac{x y}{z} + \frac{y z}{y x} + \frac{z x}{y} \geq x + y + z$ .

Réponse:

* ona:
(x+z)² ≥ 0
⇾ x²+z² ≥ 2xz & y>0
⇾x²y+z²y ≥ 2xyz
⇾ x²y / xz + z²y / xz ≥ 2y
⇾ xy / z + zy / x ≥ 2y ①
de même pour
⇾ yz/x + xz/y ≥ 2z ②
⇾ zx/y + yx/z ≥ 2x ③

①+②+③

2xy/z + 2yz/x + 2zx/y ≥ 2x+2y+2z
Donc:

\frac{x y}{z} + \frac{y z}{y x} + \frac{z x}{y} \geq x + y + z

Exercice 2:

x,y,z trois nombres réels non nul
tel que: (x+y+z)² = x²+y²+z²
Montrer que:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ .

Réponse:

on a:
(x+y+z)²=x²+y²+z²
⇾ x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=x²+y²+z²
⇾ 2xy+2yz+2zx=0
⇾

\frac{1}{x y z} \times (x y + y z + z x) = 0

(car x,y,z ≠ 0)

Donc:

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0

Exercice 3:

x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que:
$(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9$ .

Réponse:

On a:
$(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})$ =
$1 + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + 1 + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 1$
⇾=3+ $\frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y}$ ①
d’autre part:
on a
(x-y)²≥ 0
⇾ x²+y²≥2xy
et x,y>0
⇾ $\frac{x^{2}}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$ ≥2
⇾ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ ≥2
① ⇾ 3+ $\frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y}$ ≥ 3+2+2+2=9

Donc:
$(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9$

Exercice 4:

x,y,z trois nombres réels strictement positifs
1- Montrer que:
$\frac{x + y}{z} + \frac{y + z}{x} + \frac{z + x}{y} \geq 6$ .

Réponse:

on a (x-y)²≥ 0
→ x²+y²≥2xy & x,y≥0
→ $\frac{x ²}{x y} + \frac{y ²}{x y} \geq 2$
→ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$ ①
d’autre part:
on pose
A= $\frac{x + y}{z} + \frac{y + z}{x} + \frac{z + x}{y}$
A= $\frac{x}{z} + \frac{y}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{y}$
A= $(\frac{x}{z} + \frac{z}{x}) + (\frac{y}{z} + \frac{z}{y}) + (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$
① → $\frac{x}{z} + \frac{z}{x} \geq 2$ et $\frac{y}{z} + \frac{z}{y} \geq 2$ et $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$
Donc:
$\frac{x + y}{z} + \frac{y + z}{x} + \frac{z + x}{y} \geq 6$

Exercice 5:

$x, y, z$ trois nombres réels strictement positifs et m∊IR
Tel que:
$x y z = 1$ et $\frac{2 m x}{x y + x + 1} + \frac{2 m y}{y z + y + 1} + \frac{2 m z}{z x + z + 1} = 1$

Montrer que:
m= $\frac{1}{2}$ .

Réponse:

on pose:
$A = \frac{2 m x}{x y + x + 1} + \frac{2 m y}{y z + y + 1} + \frac{2 m z}{z x + z + 1}$
On a: $x y z = 1$
d’ou:
$y z = 1$
On a: $y z + y + 1 = \frac{1 + x y + x}{x}$
d’ou:
$y z = \frac{1}{x}$
→ $\frac{2 m y}{y z + y + 1} = \frac{2 m y}{\frac{1}{x} + y + 1}$
→ $\frac{2 m y}{y z + y + 1} = \frac{2 m x y}{1 + x y + x}$ ①
d’autre part
$\frac{2 m z}{z x + z + 1} = \frac{2 m z}{z (x + 1 + \frac{1}{z})}$
$= \frac{2 m}{(x + 1 + \frac{1}{z}}$
$\frac{2 m z}{z x + z + 1} = \frac{2 m}{x + 1 + x y}$ ②
(car $x y = \frac{1}{z}$ )
Alors:
puis que A=1
Alors
$A = \frac{2 m x}{x y + x + 1} + \frac{2 m x y}{1 + x y + x} + \frac{2 m}{x + 1 + x y}$
$= \frac{2 m x + 2 m x y + 2 m}{x y + x + 1}$
$= 2 m \frac{x + x y + 1}{x y + x + 1}$
$= 2 m = 1$
Donc:
$m = \frac{1}{2}$

Exercice 1:

x,y,z trois nombres réels strictement positifs montrer que:xyz+yzyx+zxy≥x+y+z.

Exercice 2:

x,y,z trois nombres réels non nultel que: (x+y+z)² = x²+y²+z²Montrer que:1x+1y+1z=0.

Exercice 3:

x,y,z trois nombres réels strictement positifs.Montrer que:(x+y+z)(1x+1y+1z)≥9.

Exercice 4:

x,y,z trois nombres réels strictement positifs1- Montrer que:x+yz+y+zx+z+xy≥6.

Exercice 5:

x,y,z trois nombres réels strictement positifs et m∊IRTel que:xyz=1 et 2mxxy+x+1+2myyz+y+1+2mzzx+z+1=1

Montrer que:m= 12.

x,y,z trois nombres réels strictement positifs montrer que:
$\frac{x y}{z} + \frac{y z}{y x} + \frac{z x}{y} \geq x + y + z$ .

x,y,z trois nombres réels non nul
tel que: (x+y+z)² = x²+y²+z²
Montrer que:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ .

x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que:
$(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9$ .

x,y,z trois nombres réels strictement positifs
1- Montrer que:
$\frac{x + y}{z} + \frac{y + z}{x} + \frac{z + x}{y} \geq 6$ .

$x, y, z$ trois nombres réels strictement positifs et m∊IR
Tel que:
$x y z = 1$ et $\frac{2 m x}{x y + x + 1} + \frac{2 m y}{y z + y + 1} + \frac{2 m z}{z x + z + 1} = 1$

Montrer que:
m= $\frac{1}{2}$ .