Sujet Concours mathématique sciences po Avec Correction Math 2019

durée de l’épreuve : 3h – coefficient 2
L’exercice Vrai-Faux est noté sur 11, le problème est noté sur 9
Les calculatrices sont autorisées.C

Vrai ou faux

Question 1:

Les prix réglementés du gaz évoluent mensuellement ils ont augmenté:
en mai 2018 de 0,4 %
en juin 2018 de 2,1%
en juillet 2018 de 7,45%

Affirmation:

l’augmentation cumulée sur ces trois mois est de 9,95 %.

Correction

C’est faux.
On pose:
$P_{i}$ : prix initial du gaz avril 2018
$P_{f}$ : prix final du gaz juillet 2018
Taux de croissance:
mai 2018 : $T_{1} = 0, 4 %$
juin 2018 : $T_{2} = 2, 1 %$
juillet 2018 : $T_{3} = 7, 45 %$
On a:
$P_{f} = T_{C} \times P_{i}$
$T_{C}$ :taux de croissance Global
avec $T_{C} = (1 + T_{1}) (1 + T_{2}) (1 + T_{3})$
D’où:
$P_{f} = (1 + T_{1}) (1 + T_{2}) (1 + T_{3}) \times P_{i}$
⇒ $P_{f} = (1, 004) (1, 021) (1, 0745) \times P_{i}$
⇒ $P_{f} = 1, 1014 \times P_{i}$
⇒ sur ces trois mois l’augmentation cumulée est de :
$10, 14 %$ ≠ $10, 149, 95$
Donc: l’ affirmation est fausse.

Question 2:

Affirmation:

toute suite qui tend vers +∞ est croissante.

Correction

C’est faux.
Contre exemple:
ON prend la suite (Un) définie sur IN par:
$U_{n} = - n$ : 0 ≤n≤10
$U_{n} = n$ : n≥10
On a d’une part :
$lim_{n ➝ + \infty} u (x) = lim_{n ➝ + \infty} n = + \infty$
d’autre part :
$U_{1} = - 1$ & $U_{2} = - 2$
$U_{1} > U_{2}$
⇒ la suite (Un ) tend vers + et n’est pas croissante .
Donc l’affirmation est fausse.

Question 3:

On considère la suite $(u_{n})$ définie sur IN par:
$u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel n $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2 n + 3$

Affirmation:

pour tout entier naturel n : $u_{n} = 3^{n} + n - 1$

Correction

C’est vrai.
Démonstration par récurrence:
Montrons que ∀n∊IN : $u_{n} = 3^{n} + n - 1$
Initialisation : Pour n=0 on a $u_{0} = 3$
Hérédité: Soit n∊IN on suppose que $u_{n} = 3^{n} + n - 1$
Montrons que: $u_{n + 1} = 3^{n + 1} + (n + 1) - 1 = 3^{n + 1} + n$
On a: $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2 n + 3$
⇒ $u_{n + 1} = 3 (3^{n} + n - 1) - 2 n + 3$
⇒ $u_{n + 1} = 3^{n + 1} + 3 n - 3 - 2 n + 3$
⇒ $u_{n + 1} = 3^{n + 1} + n$
Conclusion: ∀n∊IN : $u_{n} = 3^{n} + n - 1$

Donc l’affirmation est vraie.

Question 4:

Affirmation:

l’équation $\ln (4 x + 5) + \ln x + 1) = 1$ possède exactement deux solutions dans $R$ .

Correction

C’est faux.
Résoudre dans IR l’équation:
ln (4x+5)+ln(x+1)=1 ⓐ
Domaine de définition ID:
x∊ID ⇔ x+1>0 et 4x+5>0
⇔ x>-1 et x> $\frac{- 5}{4}$
⇔ ID=] -1 ,+∞ [ .
ⓐ ⇔ ln(4x+5)×(x+1)=1=ln(e)
⇔ ln(4x+5)×(x+1)=1=ln(e)
⇔(4x+5)×(x+1)=e
⇔ 4x²+9x+(5-e)=0
Δ= 81-4×4×(5-e)=1+16e>0
D’où:
l’équation admet 2 solutions distinctes:
x= $\frac{- 9 + \sqrt{1 + 16 e}}{8}$ ∈ ID
ou x= $\frac{- 9 - \sqrt{1 + 16 e}}{8}$ ∉ ID
⇒ l’équation ⓐ admet qu’une seule solution dans IR.

Donc l’affirmation est fausse.

Question 5:

Soit $f$ la fonction définie sur IR par:
$f (x) = x e^{x^{2}}$ Sur la figure ci-dessous,

on a représenté la courbe Cf représentative de la fonction $f$ ainsi que ses tangentes $d_{1}$ et $d_{2}$
aux points A et B d’abscisses respectives -1 et 1

Affirmation:

$d_{1}$ et $d_{2}$ sont parallèles.

Correction

C’est vrai.
On a : $f (x) = x \times e^{x ²}$
$(I D_{f}) = I R$
L’équation de $d_{1}$ et $d_{1}$ :
tangente de $C_{f}$ au point A(-1,f(-1))
$d_{1}$ : y=f ‘(-1)(x-(-1))+f(-1)=f ‘(-1)(x+1))+f(-1)
tangente de $C_{f}$ au point AB(1,f(1))
$d_{1}$ : y=f ‘(1)(x-1)+f(1)
Calcule de f ‘(x):
f = $f_{1} \times f_{2}$
avec: $f_{1} = x$ et $f_{2} = e^{x ²}$
$f_{1}$ est dérivable sur IR comme fonction polynôme .
$f_{2}$ est dérivable sur IR car la fonction x➝ $e^{x}$ est dérivable sur IR.
produit de deux fonctions dérivables sur IR est une fonction dérivable sur IR
⇒ $f$ est dérivables sur IR
∀ x∊IR : $f ‘ (x) = (x \times e^{x ²})$ ’
$f ‘ (x) = x^{'} \times e^{x ²} + x \times (e^{x ²})^{'}$
$f ‘ (x) = e^{x ²} + x \times (2 x \times e^{x ²})^{'}$
$f ‘ (x) = e^{x ²} + 2 x ² \times e^{x ²}$
$f ‘ (x) = (1 + 2 x ²) \times e^{x ²}$
Alors:
$d_{1}$ : y=3e(x+1))+f(-1)=3e+b
⇒ coefficients directeurs de $d_{1}$ : a=3e
$d_{1}$ : y=3e(x-1)+f(1)=3e+b’
⇒ coefficients directeurs de $d_{2}$ : b=3e
d’ où:
$d_{1}$ et $d_{2}$ sont parallèles car leurs coefficients directeurs sont égaux

Donc l’affirmation est vraie.

Question 6:

Un cycliste part de chez lui à 8h00 et doit parcourir une distance de 61 km
pour arriver à son point d’ au plus tard.
Son parcours est constitué:
d’une descente de 16 km qu’il parcourt à la vitesse de 80 km/h,
puis de 40 km de plat qu’il parcourt à la vitesse de 50 km/h,
et enfin d’une montée de 5 km qu’il parcourt à une vitesse de x km/h

Affirmation:

le cycliste sera à l’heure si et seulement si x≥10.

Correction

C’est vrai.
Soit $T$ le temps nécessaire pour réaliser ce parcours
On remarque que ce ce parcours comprend 3 étapes:
Temp $T_{1}$ pour l’étape 1:
distance $d_{1}$ = 16 km avec une vitesse de $v_{1}$ = 80 km/h
On a: $v_{1} = \frac{d_{1}}{T_{1}}$
⇒ $T_{1} = \frac{v_{1}}{d_{1}}$
⇒ $T_{1} = \frac{16}{80}$ = 0, 2 heure
⇒ $T_{1}$ = 12 minutes.Temp $T_{2}$ pour l’étape 2:
distance $d_{2}$ = 40 km avec une vitesse de $v_{2}$ = 50 km/h
On a: $v_{2} = \frac{d_{2}}{T_{2}}$
⇒ $T_{2} = \frac{v_{2}}{d_{2}}$
⇒ $T_{2} = \frac{40}{50}$ = 0, 8 heure
⇒ $T_{2}$ = 48 minutes.Temp $T_{3}$ pour l’étape 3:
distance $d_{3}$ = 5 km avec une vitesse de $v_{3}$ = x km/h
On a: $v_{3} = \frac{d_{3}}{T_{3}}$
⇒ $T_{3} = \frac{v_{3}}{d_{3}}$
⇒ $T_{3} = \frac{5}{x}$ heure
⇒ $T_{3} = \frac{5 \times 60}{x} = \frac{300}{x}$ minutes.
D’où:
le temps T nécessaire pour réaliser ce parcours est:
$T = T_{1} + T_{2} + T_{3}$
⇔ $T = 12 + 48 + \frac{300}{x} = 60 + \frac{300}{x}$
En fin:
Le cycliste part de chez lui à 8 heures
l’heure d’arrivée : 9h30
⇒ Temp nécessaire est : 9h30 – 8h = 1,5h = 90 minutes.Alors:
le cycliste sera à l’heure ssi: T ≤ 90 minutes.
⇒ $60 + \frac{300}{x}$ ≤ 90 minutes.
⇒ $\frac{300}{x}$ ≤ 30 minutes.
⇒ $x \geq 10$ .
Ainsi: le cycliste sera à l’heure ssi $x \geq 10$ .

Donc l’affirmation est vraie.

Question 7:

Soit $f$ une fonction à valeurs réelles, dérivable sur $R$ .
Pour tout x∊IR: $f ‘ (x) = 1 + f^{2} (x)$ et $f (1) = 0$ .

Affirmation:

$f$ est strictement positive sur $[- 1; 0]$

Correction

C’est faux.
On a: f est dérivable sur IR
et ∀ x∊IR: f ‘ (x) = 1 + f ²(x)
⇒ $f$ est strictement croissante sur IR (car f ²(x) > 0 )
Soit x∊ [-1;0] : -1≤x≤0<1
⇒ f (x) < f (1) = 0
d’ où : $f$ est strictement négative sur [-1;0].

Donc l’affirmation est fausse.

Question 8:

Une urne contient n boules numérotées, indiscernables au toucher.
une boule porte le numéro 10,
trois boules portent le numéro 5,
les boules restantes portent le numéro 0
Après avoir misé $Math input error$ un joueur tire au hasard l’une des boules
et remporte la somme affichée sur la boule.

Affirmation:

le jeu est équitable si et seulement si n=25

Correction

C’est vrai.
Soit X la variable aléatoire égale au Gain réalisé,
après avoir misé 1 € et tiré une boule au hasard .
Les boules sont numérotées 0 , 5 et 10
On a 3 cas :
cas n° 1 :
le joueur tire une boule N° 10: gain réalisé = 10 – 1 = 9 €.
« une boule N° 10 sur n boules »
p(X=4€) = $\frac{1}{n}$

cas n° 2 ::
le joueur tire une boule N° 5: gain réalisé = 5 – 1 = 4 €.
Trois boules N° 5 sur n boules
p(X=9€) = $\frac{3}{n}$

cas n° 3 :
le joueur tire une boule N° 0: gain réalisé = 0 – 1 = – 1 € ( perte ).
( n-1-3) boules N° 0 sur n boules
p(X=-1€) = $\frac{n - 4}{n}$

On calcule E (X )
E (X ) = (9× $\frac{1}{n}$ )×(4× $\frac{3}{n}$ )×((-1)× $\frac{n - 4}{n}$ )
⇔ E (X ) = $\frac{2 - n}{n}$
d’où
Le jeu est donc équitable ⇔ E (X ) = 0 ⇔ n=25.

Donc l’affirmation est vraie.

Question 9:

Une pièce de monnaie est mal équilibrée.
La probabilité de tomber sur FACE est deux fois plus grande que celle de tomber sur PILE.
On lance 15 fois successivement la pièce.

Affirmation:

la probabilité de tomber exactement 10 fois sur FACE est supérieure à 0,2.

Correction

C’est Vrai.
On pose les événements
F = » l’ événements d’ avoir côté Face «
Son probabilité est $P_{(F)}$
P = » l’ événements d’ avoir côté Pile «
Son probabilité est $P_{(P)}$
On désigne par X la variable aléatoire:
égale au nombre de fois où le côté Face apparaît sur 15 lancers successifs de la pièce .
Nous sommes en présence de 15 épreuves aléatoires identiques et
indépendantes .

La variable aléatoire discrète X représentant le nombre de réalisations de F
suit donc une loi binomiale de paramètres:
n = 15 et p = $p_{((F))}$
* Calcule de $P_{(F)}$ :
La probabilité de tomber sur FACE est deux fois plus grande que celle de tomber sur PILE.

⇒ $P_{(F)}$ =2× $P_{(P)}$ et $P_{(F)}$ + $P_{(P)}$ =1
⇒ 2× $P_{(P)}$ + $P_{(F)}$ =1
⇒ $P_{(P)}$ = $\frac{1}{3}$
d’ où : $p = (P_{F}$ = $\frac{2}{3}$

En fait, on répète n=15 fois un schéma de Bernoulli.
( la probabilité de tomber exactement k=10 fois sur FACE avec p= $\frac{2}{3}$ )
Ici, il s’agit de calculer: P (X = 10 ).
P (X = 10 )= $C_{k}^{n} \times p^{k} \times (1 - p)^{k}$
P (X = 10 )= $C_{5}^{10} \times (\frac{2}{3})^{5} \times (1 - \frac{2}{3})^{5}$
= 0, 2143.
Alors:
la probabilité de tomber exactement 10 fois sur FACE est égale à 0, 2143
supérieure à 0,2.

Donc l’affirmation est Vrai.

Question 10:

Dans un repère on considère quatre points :
$A (1; 1), B (4; 1), C (4; 2)$ et $D (1; 2)$
On définit les points M,N et P par:
$\vec{D M} = - 2 \vec{B D}$
$\vec{C N} = 5 \vec{C A}$
$\vec{B P} = 3 \vec{A B}$

Affirmation:

les points M, N et P sont alignés.

Correction

C’est Vrai.
A (1;1), B (4;1), C (4;2) et D (1;2)

Etape 1 :
Détermination les coordonnées des points M, N et P .
• Détermination des coordonnées du point M:
On pose M (x,y)
B (4;1) et D (1;2) ⇒ $\vec{D M}$ (x-1,y-2) et $\vec{B D}$ (-3,1)
$\vec{D M} = - 2 \vec{B D}$
⇒ x-1 = 6 et y-2 = -2
⇒x = 7 et y = 0
⇒ M ( 7 , 0 )

• Détermination des coordonnées du point N:
On pose N (x,y)
A (1;1) et C (4;2) ⇒ $\vec{C N}$ (x-4,y-2) et $\vec{C A}$ (-3,-1)
$\vec{C N} = 5 \vec{C A}$
⇒ x-4 = -15 et y-2 = -5
⇒x = -11 et y = -3
⇒ N ( -11 , -3 )

• Détermination des coordonnées du point P:
On pose P (x,y)
A (1;1) et B (4;1) ⇒ $\vec{B P}$ (x-4,y-1) et $\vec{A B}$ (3,0)
$\vec{C N} = 3 \vec{C A}$
⇒ x-4 = 9 et y-1 = 0
⇒x = 13 et y = 1
⇒ P ( -11 , 1)

Etape 2 :
Détermination s ‘il existe un réel α tel que:
$\vec{M N} = α \vec{M P}$ ⓐ
On a:
$\vec{M N}$ (-11-7,-3-0) ⇒ $\vec{M N}$ (-18,-3)
$\vec{M P}$ (13-7,1-0) ⇒ $\vec{M P}$ (6,1)
ⓐ ⇔ -18=6α et -3 = α
⇔ α = -3
d’où :
$\vec{M N} = - 3 \vec{M P}$

⇔ les points M, N et P sont bien alignés,
car les vecteurs $\vec{M N}$ et $\vec{M P}$ sont colinéaires.

Donc l’affirmation est vraie.

PROBLÈME

Soit $f$ la fonction définie sur $I =] 0; + \infty [$ par:
$f (x) = x \ln (x) + 1$ .
On note $C f$ sa courbe dans un repère du plan.

Partie A

1. Déterminer les limites de $f (x)$ en 0 et $+ \infty$ .
2. On admet que $f$ est dérivable sur $I$ .
Montrer que, pour tout $x \in I, f^{'} (x) = 1 + \ln (x)$ .
3. Etudier les variations de $f$ sur $I$ .
Montrer que $f$ admet un minimum dont on donnera la valeur exacte.
4. Déterminer une équation de la tangente $Δ$
à la courbe $C f$ au point d’abscisse 1.
5. On pose, pour tout $x \in I, g (x) = f (x) - x$ .
(a) Etudier les variations de $g$ sur I. On ne demande pas de calculer les limites.
(b) En déduire le signe de $g$ sur $I$ .
(c) En déduire les positions relatives de $C f$ et $Δ$ sur $I$ .

Partie B

1. Démontrer que l’équation

f (x) = 2

admet une unique solution

α

dans

I

. 2. Démontrer sans utiliser la calculatrice que

α \leq 2

. 3. On admet que

α^{2} - α \geq 1

. (a) Montrer que

α \geq \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

. (b) En déduire un encadrement de

α

à 0,2 près. 4. On souhaite obtenir un encadrement de

α

à 0,001 près. Proposer l’écriture d’un algorithme qui répond à cette question.

Partie C

1. Soit $n \in N^{⋆}$ .
Démontrer que l’équation $f (x) = n$
admet une unique solution notée $α_{n}$ dans $I$ .
2. Préciser la valeur de $α_{1}$ .
3. Démontrer que la suite $(α_{n})$ est croissante.
4. Démontrer que la suite $(α_{n}^{n})$ n’est pas majorée.
5. Conclure quant à la convergence de la suite $(α_{n})$ .

Partie D

On définit la suite $(u_{n})$ par son premier terme $u_{0}$ élément de $I$
et pour tout $n \in I N, u_{n + 1} = f (u_{n}) .$
1. Montrer que si $u_{0} = 1$ alors la suite $(u_{n})$ est constante.
2. Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante.
3. On suppose que $. u_{0} \in] 0; 1 [$ .
(a) Montrer que pour tout $n \in I N, 0 < u_{n} < 1$ .
(b) En déduire que la suite $(u_{n})$ converge vers un réel $l$ .
(c) On admet que la limite $l$ est solution de l’équation $f (x) = x$ .
Déterminer $l$ .