Examen national Mathématiques 2 BAC Sciences Physiques 2015 Normale

Exercice 1: (3 Pts)

On considère, dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct
$(O,i,j,k)$ le plan $(P)$ d’équation:
$x+y+z+4=0$
et la sphère $(S)$ de centre $\Omega (1,-1,-1)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
1. a) Calculer la distance $d(\Omega ,(P))$
et en déduire que le plan $(P)$ est tangent à la sphère $(S).$
b) Vérifier que:
le point $H(0,-2,-2)$ est le point de contact du plan $(P)$ et la sphère $(S).$
2. On considère les deux points $A(2,1,1)$ et $B(1,0,1)$.
a) Vérifier que:
$\overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$
et en déduire que:
$x-y-z=0$ est une équation cartésienne du plan (OAB).
b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par $\Omega$
et orthogonale au plan (OAB).
c) Déterminer les coordonnées de chacun des deux points d’intersection
de la droite (Δ) et la sphère $(S).$

Exercice 2: (3 Pts)

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes $ℂ$ l’équation:
$z^2+10z+26=0$
2. On considère, dans le plan complexe rapporté
à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$,
les points A, B, C et Ω d’affixes respectives a, b, c et ω tels que :
a=-2+2 i, b=-5+i, c=-5-i et ω=-3
a) Montrer que : $\frac{b-\omega }{a-\omega }=i$.
b) En déduire la nature du triangle $\Omega AB$.
3. Soit le point D image du point C
par la translation $T$ de vecteur u d’affixe $6+4i$
a) Montrer que l’affixe d du point $D$ est $1+3i$.
b) Montrer que : $\frac{b-d}{a-d}=2$
et en déduire que le point A est le milieu du segment $[BD].$

Exercice 3: (3 Pts)

Une urne contient huit boules: 3 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules blanches
(les boules sont indiscernables au toucher).
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne.
1. On considère l’événement A suivant : » tirer une boule blanche au moins ».
et l’événement B suivant : » tirer deux boules de même couleur ».
Montrer que:
p(A)=$\frac{13}{28}$ et p(B)=$\frac{1}{4}$.
2. Soit $X$ la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules blanches tirées.
a) Montrer que p(X=2)=$\frac{1}{28}$.
b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$
et calculer l’espérance mathématique

Exercice 4: (11 Pts)

I- Soit $g$ la fonction numérique définie sur IR par:
$g(x)=e^x-2x.$
1. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour tout $x$ de IR
puis en déduire que $g$ est décroissante sur ]-∞,ln2]
et croissante sur [ln 2,+∞[.
2. Vérifier que g(ln 2)=2(1-ln2)
puis éterminer le signe de g(ln 2).
3. En déduire que $g(x)>0$ pour tout $x$ de IR.
II- On considère la fonction numérique f définie sur IR par:
$f(x)=\frac{x}{e^x-2x}$
et soit $(C)$ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé
$(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité:1cm ).
1. a) Montrer que:
$\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)=0$ et $\underset{x➝-\infty }{lim}f(x)=-\frac{1}{2}$.
(remarquer que $e^x-2x=x(\frac{e^x}{x}-2)$ pour tout $x$ de IR*
b) Interpréter géométriquement chacun des deux derniers résultats.

2. a) Montrer que:
$f^{\prime }(x)=\frac{(1-x)e^x}{(e^x-2x{)}^2}$ pour tout x de IR.
b) Etudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur IR
puis dresser le tableau de variations de la fonction sur IR.
c) Montrer que:
y=x est une équation de la droite $(T)$ tangente à la courbe
(C) au point O origine du repère.
3. Tracer, dans le même repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$,
la droite (T) et la courbe (C).
(on prendra $\frac{1}{e-2}\approx 1,4$ et on admettra que la courbe (C)
a deux points d’inflexion l’abscisse de l’un appartient à l’intervalle ]0,1[
et l’abscisse de l’autre est supérieur à $\frac{3}{2}$ )
4. a) Montrer que:
$x{e}^{-x}\le \frac{x}{e^x-2x}\le \frac{1}{e-2}$ pour tout $x$ de l’intervalle [0,+∞[.
b) En utilisant une intégration par parties, montrer que :
${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx=1-\frac{2}{e}$.
c) Soit, en cm², A(E)\) I’aire du domaine plan délimité par la courbe (C),
l’axe des abscisses et les deux droites d’équations x=0 et x=1
Montrer que: $1-\frac{2}{e}\le A(E)\le \frac{1}{e-2}$ :

III- Soit h la fonction numérique
définie sur l’intervalle ]-∞,0] par: h(x)=f(x) .
1. Montrer que:
la fonction h admet une fonction réciproque $h^{-1}$
définie sur un intervalle J que l’on précisera.
2. Tracer, dans le même repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, la courbe $(C_{h^{-1}})$
représentative de la fonction $h^{-1}.$

IV-Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par:
$u_0=-2$
$u_{n+1}=h(u_n)$ pour tout } n de IN
1. Montrer par récurrence que $u_n\le 0$ pour tout $n$ de IN.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
(remarquer, graphiquement, que :$h(x)\ge x$ pour tout $x$ de l’intervalle ]-∞, 0]).
3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.