Exercice 1: (3 Pts)
On considère, dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct
\((O, i, j, k)\) le plan \((P)\) d’équation:
\(x+y+z+4=0\)
et la sphère \((S)\) de centre \(Ω(1,-1,-1)\) et de rayon \(\sqrt{3}\).
1. a) Calculer la distance \(d(Ω,(P))\)
et en déduire que le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S) .\)
b) Vérifier que:
le point \(H(0,-2,-2)\) est le point de contact du plan \((P)\) et la sphère \((S) .\)
2. On considère les deux points \(A(2,1,1)\) et \(B(1,0,1)\).
a) Vérifier que:
\(\overrightarrow{O A} \wedge \overrightarrow{O B}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}\)
et en déduire que:
\(x-y-z=0\) est une équation cartésienne du plan (OAB).
b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par \(Ω\)
et orthogonale au plan (OAB).
c) Déterminer les coordonnées de chacun des deux points d’intersection
de la droite (Δ) et la sphère \((S).\)
Exercice 2: (3 Pts)
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes \(ℂ\) l’équation:
\(z^{2}+10 z+26=0\)
2. On considère, dans le plan complexe rapporté
à un repère orthonormé direct \((O,\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})\),
les points A, B, C et Ω d’affixes respectives a, b, c et ω tels que :
a=-2+2 i, b=-5+i, c=-5-i et ω=-3
a) Montrer que : \(\frac{b-ω}{a-ω}=i\).
b) En déduire la nature du triangle \(Ω A B\).
3. Soit le point D image du point C
par la translation \(T\) de vecteur u d’affixe \(6+4 i\)
a) Montrer que l’affixe d du point \(D\) est \(1+3 i\).
b) Montrer que : \(\frac{b-d}{a-d}=2\)
et en déduire que le point A est le milieu du segment \([BD] .\)
Exercice 3: (3 Pts)
Une urne contient huit boules: 3 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules blanches
(les boules sont indiscernables au toucher).
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne.
1. On considère l’événement A suivant : » tirer une boule blanche au moins ».
et l’événement B suivant : » tirer deux boules de même couleur ».
Montrer que:
p(A)=\(\frac{13}{28}\) et p(B)=\(\frac{1}{4}\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules blanches tirées.
a) Montrer que p(X=2)=\(\frac{1}{28}\).
b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\)
et calculer l’espérance mathématique
Exercice 4: (11 Pts)
I- Soit \(g\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(g(x)=e^{x}-2 x .\)
1. Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\) de IR
puis en déduire que \(g\) est décroissante sur ]-∞,ln2]
et croissante sur [ln 2,+∞[.
2. Vérifier que g(ln 2)=2(1-ln2)
puis éterminer le signe de g(ln 2).
3. En déduire que \(g(x)>0\) pour tout \(x\) de IR.
II- On considère la fonction numérique f définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{x}{e^{x}-2 x}\)
et soit \((C)\) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé
\((O, \vec{i}, \vec{j})\) (unité:1cm ).
1. a) Montrer que:
\(\lim _{x➝+∞} f(x)=0\) et \(\lim _{x➝-∞} f(x)=-\frac{1}{2}\).
(remarquer que \(e^{x}-2 x=x(\frac{e^{x}}{x}-2)\) pour tout \(x\) de IR*
b) Interpréter géométriquement chacun des deux derniers résultats.
2. a) Montrer que:
\(f'(x)=\frac{(1-x) e^{x}}{(e^{x}-2 x)^{2}}\) pour tout x de IR.
b) Etudier le signe de \(f'(x)\) sur IR
puis dresser le tableau de variations de la fonction sur IR.
c) Montrer que:
y=x est une équation de la droite \((T)\) tangente à la courbe
(C) au point O origine du repère.
3. Tracer, dans le même repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\),
la droite (T) et la courbe (C).
(on prendra \(\frac{1}{e-2} \approx 1,4\) et on admettra que la courbe (C)
a deux points d’inflexion l’abscisse de l’un appartient à l’intervalle ]0,1[
et l’abscisse de l’autre est supérieur à \(\frac{3}{2}\) )
4. a) Montrer que:
\(x e^{-x} \leq \frac{x}{e^{x}-2 x} \leq \frac{1}{e-2}\) pour tout \(x\) de l’intervalle [0,+∞[.
b) En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\(\int_{0}^{1} x e^{-x} d x=1-\frac{2}{e}\).
c) Soit, en cm², A(E)\) I’aire du domaine plan délimité par la courbe (C),
l’axe des abscisses et les deux droites d’équations x=0 et x=1
Montrer que: \(1-\frac{2}{e} \leq A(E) \leq \frac{1}{e-2}\) :
III- Soit h la fonction numérique
définie sur l’intervalle ]-∞,0] par: h(x)=f(x) .
1. Montrer que:
la fonction h admet une fonction réciproque \(h^{-1}\)
définie sur un intervalle J que l’on précisera.
2. Tracer, dans le même repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\), la courbe \((C_{h^{-1}})\)
représentative de la fonction \(h^{-1} .\)
IV-Soit \((u_{n})\) la suite numérique définie par:
\(u_{0}=-2\)
\(u_{n+1}=h(u_{n})\) pour tout } n de IN
1. Montrer par récurrence que \(u_{n} \leq 0\) pour tout \(n\) de IN.
2. Montrer que la suite \((u_{n})\) est croissante.
(remarquer, graphiquement, que :\(h(x) \geq x\) pour tout \(x\) de l’intervalle ]-∞, 0]).
3. En déduire que la suite \((u_{n})\) est convergente et déterminer sa limite.