Exercice 1: (2 Pts)
Soit \((u_{n})\) la suite numérique définie par :
\(u_{0}=1\) et \(u_{n+1}=\frac{3 u_{n}-8}{2 u_{n}-5}\) pour tout \(n\) de \(IN\)
1) Montrer que pour tout \(n\) de \(I N, u_{n}<2\)
2) On pose pour tout \(n\) de \(I N, v_{n}=\frac{u_{n}-3}{u_{n}-2}\)
a) Montrer que:
\((v_{n})\) est une suite arithmétique de raison 2
b) Ecrire \(v_{n}\) en fonction de \(n\)
et en déduire \(u_{n}\) en fonction de \(n\) pour tout \(n\) de \(IN\).
c) Calculer la limite de la suite \((u_{n})\)
Exercice 2: (5 Pts)
1) Résoudre dans l’ensemble \(ℂ\) des nombres complexes l’équation :
\(z^{2}-\sqrt{2 z}+1=0\)
2) On pose \(a=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
a) Ecrire \(a\) sous forme trigonométrique
et en déduire que \(a^{2020}\) est un nombre réel
b) Soit le nombre complexe \(b=\cos \frac{π}{8}+i \sin \frac{π}{8} .\)
Prouver que \(b^{2}=a\)
3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\),
on considère les points \(A, B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a, b\) et \(c\)
tel que \(c=1 .\)
La rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac{π}{8}\)
transforme le point \(M\) d’affixe \(z\) au point \(M’\) d’affixe \(z’\).
a) Vérifier que \(z’=b z\)
b) Déterminer l’image de \(C\) par la rotation \(R\)
et montrer que \(A\) est l’image de \(B\) par \(R\).
4) a) Montrer que:
\(|a-b|=|b-c|\) et en déduire la nature du triangle \(A B C\)
b) Déterminer une mesure de l’angle \((\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})\)
5) Soit \(T\) la translation de vecteur \(\vec{u}\)
et \(D\) l’image de \(A\) par \(T\)
a) Vérifier que l’affixe de \(D\) est \(b^{2}+1\)
b) Montrer que:
\(\frac{b^{2}+1}{b}=b+\bar{b}\)
et en déduire que les points \(O, B\) et \(D\) sont alignés
Exercice 3: (4 Pts)
On considère la fonction numérique \(u\) définie sur \(IR\) par:
\(u(x)=e^{x}-2 x+2-3 e^{-x}\)
1) a) Montrer que pour tout \(x\) de IR:
\(u'(x)=\frac{(e^{x}-1)^{2}+2}{e^{x}}\)
b) poser le tableau de variation de la fonction \(u\)
(sans calcul de limite);
c) En déduire le signe de la fonction \(u\) sur IR
(remarquer que \(u(0)=0\) )
2) Soit la fonction \(V\) définie sur IR par:
\(V(x)=e^{2 x}-2 x e^{x}+2 e^{x}-3\)
a) Vérifier que pour tout \(x\) de IR:
\((x)=e^{x} u(x)\)
b) En déduire le signe de la fonction \(V\) sur IR
3) a) Montrer que la fonction \(W\) définie par:
\(W(x)=\frac{1}{2} e^{2 x}+(4-2 x) e^{x}-3 x\)
est une primitive de la fonction \(V\) sur IR
b) Calculer l’intégrale \(\int_{0}^{2} v(x) dx\)
c) Montrer que \(\frac{9}{2}\) est le minimum absolu de la fonction \(W\) sur IR.
Exercice 4: (9 Pts)
I –
Soit \(g\) la fonction numérique définie sur ]0,+∞[ par :
\(g(x)=e^{1-x}+\frac{1}{x}-2\)
1) Monter que: g'(x)<0, pour tout x∈]0,+∞[
2) Déduire le tableau de signe de \(g(x)\) sur l’intervalle ]0,+∞[
(remarquer que \(g(1)=0\) )
II-
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur ]0,+∞[ par :
\(f(x)=(1-x) e^{1-x}-x^{2}+5 x-3-2 \ln x\)
et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \bar{j})\)
( unité: \(2 cm\) )
1) Montrer que:
\(\lim _{x➝ 0} f(x)=+∞\)
puis interpréter le résultat géométriquement
2) a) Montrer que:
\(\lim _{x➝+∞} f(x)=-∞\)
b) Montrer que:
\(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}=-∞\)
puis interpréter le résultat géométriquement
3) a) Montrer que pour tout \(x\) de ]0,+∞[:
f'(x)=(x-2) g(x).
b) Montrer que:
la fonction \(f\) est décroissante sur ]0,1] et sur [2,+∞[
et croissante sur [1,2]
c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur ]0,+∞[,
(on admet f(2)⋍1,25)
4) Sachant que f(3)⋍0,5 et f(4)⋍-1,9
montrer que l’équation \(f(x)=0\)
admet une solution unique dans l’intervalle ]3,4[.
5) Construire \((C)\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
III –
On pose \(h(x)=f(x)-x\) pour tout \(x\) de l’intervalle [1,2]
1) a) A partir du tableau de variations de la fonction \(h\) ci-contre
montrer que:
\(f(x) \leq x\) pour tout \(x\) de l’intervalle [1,2]
b) Montrer que:
1 est l’unique solution de l’équation \(f(x)=x\) sur l’intervalle [1,2]
2) Soit \((u_{n})\) la suite numérique définie par :
\(u_{0}=2\)
\(u_{n+1}=f(u_{n})\) pour tout \(n\) de IN
a) Montrer par récurrence que:
\(1 \leq u_{n} \leq 2\) pour tout \(n\) de IN
b) Montrer que la suite \((u_{n})\) est décroissante.
c) En déduire que la suite \((u_{n})\) est convergente
et calculer \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)