Examen national Mathématiques 2 BAC Sciences Physiques 2020 Rattrapage

Exercice 1: (2 Pts)

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par :
$u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{3 u_{n} - 8}{2 u_{n} - 5}$ pour tout $n$ de $I N$
1) Montrer que pour tout $n$ de $I N, u_{n} < 2$
2) On pose pour tout $n$ de $I N, v_{n} = \frac{u_{n} - 3}{u_{n} - 2}$
a) Montrer que:
$(v_{n})$ est une suite arithmétique de raison 2
b) Ecrire $v_{n}$ en fonction de $n$
et en déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n$ de $I N$ .
c) Calculer la limite de la suite $(u_{n})$

Exercice 2: (5 Pts)

1) Résoudre dans l’ensemble $ℂ$ des nombres complexes l’équation :
$z^{2} - \sqrt{2 z} + 1 = 0$
2) On pose $a = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$
a) Ecrire $a$ sous forme trigonométrique
et en déduire que $a^{2020}$ est un nombre réel
b) Soit le nombre complexe $b = \cos \frac{π}{8} + i \sin \frac{π}{8} .$
Prouver que $b^{2} = a$

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ ,
on considère les points $A, B$ et $C$ d’affixes respectives $a, b$ et $c$
tel que $c = 1 .$
La rotation $R$ de centre $O$ et d’angle $\frac{π}{8}$
transforme le point $M$ d’affixe $z$ au point $M^{'}$ d’affixe $z^{'}$ .
a) Vérifier que $z^{'} = b z$
b) Déterminer l’image de $C$ par la rotation $R$
et montrer que $A$ est l’image de $B$ par $R$ .
4) a) Montrer que:
$| a - b | = | b - c |$ et en déduire la nature du triangle $A B C$
b) Déterminer une mesure de l’angle $(\vec{B A}, \vec{B C})$
5) Soit $T$ la translation de vecteur $\vec{u}$
et $D$ l’image de $A$ par $T$
a) Vérifier que l’affixe de $D$ est $b^{2} + 1$
b) Montrer que:
$\frac{b^{2} + 1}{b} = b + \bar{b}$
et en déduire que les points $O, B$ et $D$ sont alignés

Exercice 3: (4 Pts)

On considère la fonction numérique $u$ définie sur $I R$ par:
$u (x) = e^{x} - 2 x + 2 - 3 e^{- x}$
1) a) Montrer que pour tout $x$ de IR:
$u^{'} (x) = \frac{(e^{x} - 1)^{2} + 2}{e^{x}}$
b) poser le tableau de variation de la fonction $u$
(sans calcul de limite);
c) En déduire le signe de la fonction $u$ sur IR
(remarquer que $u (0) = 0$ )
2) Soit la fonction $V$ définie sur IR par:
$V (x) = e^{2 x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} - 3$
a) Vérifier que pour tout $x$ de IR:
$(x) = e^{x} u (x)$
b) En déduire le signe de la fonction $V$ sur IR
3) a) Montrer que la fonction $W$ définie par:
$W (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} + (4 - 2 x) e^{x} - 3 x$
est une primitive de la fonction $V$ sur IR
b) Calculer l’intégrale $\int_{0}^{2} v (x) d x$
c) Montrer que $\frac{9}{2}$ est le minimum absolu de la fonction $W$ sur IR.

Exercice 4: (9 Pts)

I –
Soit $g$ la fonction numérique définie sur ]0,+∞[ par :
$g (x) = e^{1 - x} + \frac{1}{x} - 2$
1) Monter que: g'(x)<0, pour tout x∈]0,+∞[
2) Déduire le tableau de signe de $g (x)$ sur l’intervalle ]0,+∞[
(remarquer que $g (1) = 0$ )

II-
On considère la fonction numérique $f$ définie sur ]0,+∞[ par :
$f (x) = (1 - x) e^{1 - x} - x^{2} + 5 x - 3 - 2 \ln x$
et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \bar{j})$
( unité: $2 c m$ )
1) Montrer que:
$lim_{x ➝ 0} f (x) = + \infty$
puis interpréter le résultat géométriquement
2) a) Montrer que:
$lim_{x ➝ + \infty} f (x) = - \infty$
b) Montrer que:
$lim_{x ➝ + \infty} \frac{f (x)}{x} = - \infty$
puis interpréter le résultat géométriquement
3) a) Montrer que pour tout $x$ de ]0,+∞[:
f'(x)=(x-2) g(x).
b) Montrer que:
la fonction $f$ est décroissante sur ]0,1] et sur [2,+∞[
et croissante sur [1,2]
c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur ]0,+∞[,
(on admet f(2)⋍1,25)
4) Sachant que f(3)⋍0,5 et f(4)⋍-1,9
montrer que l’équation $f (x) = 0$
admet une solution unique dans l’intervalle ]3,4[.
5) Construire $(C)$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$

III –
On pose $h (x) = f (x) - x$ pour tout $x$ de l’intervalle [1,2]
1) a) A partir du tableau de variations de la fonction $h$ ci-contre

montrer que:
$f (x) \leq x$ pour tout $x$ de l’intervalle [1,2]
b) Montrer que:
1 est l’unique solution de l’équation $f (x) = x$ sur l’intervalle [1,2]
2) Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par :
$u_{0} = 2$
$u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour tout $n$ de IN
a) Montrer par récurrence que:
$1 \leq u_{n} \leq 2$ pour tout $n$ de IN
b) Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante.
c) En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente
et calculer $lim_{n ➝ + \infty} u_{n}$