Examen national Mathématiques 2 BAC Sciences Physiques 2016 Rattrapage

Exercice 1:

$(u_n)$ est une suite numériqudéfinie par :
$u_0=2$
$u_{n+1}=\frac{1}{16}{u}_n+\frac{15}{16}$ pour tout entier naturel $n$
1) a) Montrer par récurrence que:
$u_n>1$ pour tout entier naturel $n$
b) Vérifier que:
$u_{n+1}-u_n=-\frac{15}{16}(u_n-1)$ pour tout entier naturel $n$
puis montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
2)Soit $(v_n)$ la suite numérique telle que:
$v_n=u_n-1$ pour tout entier naturel $n$
a) Montrer que:
$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{16}$
puis écrire $v_n$ en fonction de $n$
b) Montrer que:
$u_n=1+(\frac{1}{16}{)}^n$ pour tout entier naturel $n$,
puis déterminer la limite de la suite $(u_n)$

Exercice 2:

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$,
on considère les points $A(1,3,4)$ et $B(0,1,2)$
1) a) Montrer que:
$\overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$
b) Montrer que:
$2x-2y+z=0$ est une équation cartésienne du plan $(OAB)$
2)Soit $(S)$ la sphère d’équation:
$x^2+y^2+z^2-6x+6y-6z+2=0$
Montrer que:
$(S)$ a pour centre le point $\Omega (3,-3,3)$ et pour rayon 5
3) a) Montrer que:
le plan $(OAB)$ est tangent à la sphère $(S)$
b) Déterminer les coordonnées du point de contact $H$ du plan $(OAB)$ et de la sphère $(S)$

Exercice 3:

1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes $ℂ$ l’équation:
$z^2-8z+41=0$
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$,
on considère les points A, B, C et Ω d’affixes respectives a,b,c et ω
telles que $a=4+5i$, $b=3+4i,c=6+7i$ et $\Omega =4+7i$
a) Calculer $\frac{c-b}{a-b}$
puis en déduire que les points A,B et C sont alignés
b)Soit $z$ l’affixe d’un point $M$ du plan
et $z^{\prime }$ l’affixe du point $M^{\prime }$, image de $M$
par la rotation $R$ de centre Ω et d’angle $-\frac{\pi }{2}$
Montrer que $z^{\prime }=-iz-3+11i$
c) Déterminer l’image du point C par la rotation $R$
puis donner une forme trigonométrique du nombre complexe $\frac{a-\omega }{c-\omega }$

Exercice 4:

Une urne contient 10 boules portant les nombres $1;2;2;3;3;3;4;4;4;4$
( Les boules sont indiscernables au toucher)
On considère l’expérience suivante :
on tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l’urne
1) Soit $A$ l’évènement : » Obtenir deux boules portant deux nombres pairs ».
Montrer que $p(A)=\frac{1}{3}$
2) On répète l’expérience précédente trois fois de suite,
en remettant dans l’urne les deux boules tirées après chaque expérience.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où l’évènement $A$ est réalisé.
Montrer que $p(X=1)=\frac{4}{9}$
puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$

Exercice 5:

1-Soit $g$ la fonction numérique définie sur ] 0,+∞[ par :
$g(x)=\frac{2}{x}-1+2\ln x$
On considère cl-contre le tableau de varlations de la fonction $g$ sur ]0,+∞[

1) Calculer $g(1)$2) En dèduire à partir du tableau que $g(x)>0$ pour tout $x$ appartenant à ]0,+∞[

II-$f$ est une la fonction numerique definie sur ] 0,+∞[ par:
$f(x)=3-3x+2(x+1)\ln x$
Soit $(C)$ la courbe representative de $f$ dans un repère orthonorme $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
( unite: $2cm$ )
1) Montrer que: $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x➝0}{x>0}}{lim}f(x)=-\infty$
et interpretter géometriquement ce résultat
2)a- Montrer que lim $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)=+\infty$
( pour le calcul de la limite on pourra utiliser l’écriture suivante
$f(x)=x[\frac{3}{x}-3+2(1+\frac{1}{x})\ln x]$ )
b-Montrer que:
la courbe ( $C$ ) admet, au voisinage de $+\infty$, une branche parabolique dont la direction est celle de l’axe des ordonnées.

3) a-Montrer que:
$f^{\prime }(x)=g(x)$ pour tout $x$ appartenant a ]0,+∞[
b- En déduire que:
$f$ est strictement croissante sur ] 0,+∞[ et dresser le tableau de variations de $f$ sur ]0,+∞[
4)a- Montrer que $I(1,0)$ est un point d’inflexion de la courbe $(C)$
b-Montrer que $y=x-1$ est une équation cartesienne de la tangente $(T)$
a la courbe $(C)$ au point $I$
c-Construire, dans le mème repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, la droite $(T)$ et la courbe $(C)$
5) a-Montrer que:
${\int }_1^2(1+\frac{x}{2})dx=\frac{7}{4}$
b. A raide d’une intégration par parties, montrer que:
${\int }_1^2(x+1)\ln xdx=4\ln 2-\frac{7}{4}$
c- Calculer, en $c{m}^2$, l’aire du domaine plan limité par la courbe $(C)$,
l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=1$ et $x=2$
6) Resoudre graphiquement Vinéquation :
$x\in ]0,+\infty [;(x+1)\ln x\ge \frac{3}{2}(x-1).$