Exercice 1: (2.5 pts)
On considère la suite numérique \((u_{n})\) définie par :
\(u_{0}=2\)
\(u_{n+1}=\frac{3+u_{n}}{5-u_{n}}\) pour tout entier naturel \(n\)
1) Vérifier que:
\(u_{n+1}-3=\frac{4(u_{n}-3)}{2+(3-u_{n})}\) pour tout entier naturel \(n\)
puis montrer par récurrence que \(u_{n}<3\) pour tout entier naturel \(n\)
2)Soit \((v_{n})\) la suite numérique définie par :
\(v_{n}=\frac{u_{n}-1}{3-u_{n}}\) pour tout entier naturel \(n\)
a) Montrer que:
\((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\)
puis en déduire que:
\(v_{n}=(\frac{1}{2})^{n}\) pour tout entier naturel \(n\)
b) Montrer que:
\(u_{n}=\frac{1+3 v_{n}}{1+v_{n}}\) pour tout entier naturel \(n\)
puis écrire \(u_{n}\) en fonction de \(n\)
c) Déterminer la limite de la suite \((u_{n})\)
Exercice 2: (3 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \(( O , \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\),
on considère les points \(A(2,1,3), B(3,1,1), C(2,2,1)\)
et la sphère \((S)\) d’équation :
\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+2 y-34=0\)
1)a) Montrer que:
\(\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=2 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}\)
b)En déduire que:
\(2 x+2 y+z-9=0\) est une équation cartésienne du plan \((A B C)\)
2)a) Montrer que:
la sphère \((S)\) a pour centre le point \(\Omega(1,-1,0)\) et pour rayon 6
b) Montrer que \(d(\Omega,(A B C))=3\)
et en déduire que le plan \((A B C)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\)
3)a)Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)
passant par le point \(\Omega\) et orthogonale au plan \((A B C)\)
b) Montrer que:
le point \(B\) est le centre du cercle \((\Gamma)\)
Exercice 3: (3 pts)
1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes \(C\) l’équation :
\(z^{2}-4 z+29=0\)
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}})\),
on considère les points \(\Omega, A\) et \(B\) d’affixes respectives \(\omega, a\) et \(b\)
telles que \(\omega=2+5 i, a=5+2 i\) et \(b=5+8 i\)
a) Soit \(u\) le nombre complexe tel que \(u=b-\omega\)
Vérifier que \(u=3+3 i\) puis montrer que \(\arg u \equiv \frac{\pi}{4}[2π]\)
b) Déterminer un argument du nombre complexe \(\vec{u}(\vec{u}\) étant le conjugué de \(u\) )
c) Vérifier que \(a-\omega=\vec{u}\)
puis en déduire que:
\(ΩA=ΩB\) et que \(\arg (\frac{b-\omega}{a-\omega}) \equiv \frac{\pi}{2}[2π]\)
d) On considère la rotation \(R\) de centre \(\Omega\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\)
Déterminer l’image du point \(A\) par la rotation \(R\)
Exercice 4: (3 pts)
Une urne contient 10 boules:
quatre boules rouges et six boules vertes.
( Les boules sont indiscernables au toucher)
On tire au hasard, simultanément, deux boules de l’urne.
1) Soit \(A\) l’évènement : « Les deux boules tirées sont rouges « .
Montrer que \(p(A)=\frac{2}{15}\)
2) Soit \(X\) la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules rouges restantes
dans l’urne après le tirage des deux boules.
a) Montrer que:
l’ensemble des valeurs prises par \(X\) est \(\{2,3,4\}\)
b) Montrer que \(p(X=3)=\frac{8}{15}\)
puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\)
Exercice 5: (8.5 pts)
On considère la fonction numérique \(f\) definie sur \(R\) par :
\(f(x)=2 x-2+e^{2 x}-4 e^{x}\)
Soit \((C_{f})\) la courbe représentative de la fonction \(f\)
dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) (unite: \(1 cm\) )
I-1) a)Montrer que \(\lim f(x)=-∞\)
b)Montrer que:
la droite \((D)\) d’équation \(y=2 x-2\) est asymptote à la courbe \((C_{f})\)
au voisinage de \(-∞\)
2)a) Montrer que \(\lim f(x)=+∞\)
b)Montrer que:
\(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}=+∞\) puis interpretter géométriquement ce résultat.
3)a)Montrer que \(f^{\prime}(x)=2(e^{x}-1)^{2}\) pour tout nombre réel \(x\)
b) Donner le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(R\)
( Remarquer que \(f^{\prime}(0)=0\) )
c) Montrer qu’il existe un reel unique \(α\) de l’intervalle ]1,ln 4[
tel que \(f(α)=0\)
4)a)Montrer que:
la courbe \((C_{f})\) est située au dessus de la droite \((D)\) sur l’ìntervalle ]ln4,+∞[\)
et en dessous de la droite \((D)\) sur Vintervalle ]-∞,ln 4 [
b) Montrer que:
la courbe \((C_{f})\) admet un point d’inflexion unique de coordonnées \((0,-5)\)
c) Construire la droite \((D)\) et la courbe \((C_{f})\) dans le mème repère \((O, \vec{i}, j)\)
(on prendra \(\ln 4 \approx 1,4\) et \(α \approx 1,3)\)
5) a) Montrer que:
\(\int_{0}^{\ln t}(e^{2 x}-4 e^{x}) d x=-\frac{9}{2}\)
b) Calculer, en \(cm ^{2}\), l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_{f})\),
la droite \((D)\), l’axe des ordonnées et la droite d’équation \(x=\ln 4\)
Il-1)a) Rèsoudre Péquation diffèrentielle \((E): y »-3 y’+2y=0\)
b) Déterminer la solution \(g\) de l’équation \((E)\)
vérifiant \(g(0)=-3\) et \(g^{\prime}(0)=-2\)
2)Soit \(h\) la fonction numérique définie sur lìntervalle ]ln 4,+∞[ par :
\(h(x)=\ln (e^{2 x}-4 e^{x})\)
a) Montrer que: la fonction \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\)
et que \(h^{-1}\) est definie sur \(R\)
b) Vérifier que \(h(\ln 5)=\ln 5\)
puis déterminer \((h^{-1})^{\prime}(\ln 5)\)