Exercice 1: (2.5 pts)
On considère la suite numérique
1) Vérifier que:
puis montrer par récurrence que
2)Soit
a) Montrer que:
puis en déduire que:
b) Montrer que:
puis écrire
c) Déterminer la limite de la suite
Exercice 2: (3 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct
on considère les points
et la sphère
1)a) Montrer que:
b)En déduire que:
2)a) Montrer que:
la sphère
b) Montrer que
et en déduire que le plan
3)a)Déterminer une représentation paramétrique de la droite
passant par le point
b) Montrer que:
le point
Exercice 3: (3 pts)
1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
on considère les points
telles que
a) Soit
Vérifier que
b) Déterminer un argument du nombre complexe
c) Vérifier que
puis en déduire que:
d) On considère la rotation
Déterminer l’image du point
Exercice 4: (3 pts)
Une urne contient 10 boules:
quatre boules rouges et six boules vertes.
( Les boules sont indiscernables au toucher)
On tire au hasard, simultanément, deux boules de l’urne.
1) Soit
Montrer que
2) Soit
dans l’urne après le tirage des deux boules.
a) Montrer que:
l’ensemble des valeurs prises par
b) Montrer que
puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
Exercice 5: (8.5 pts)
On considère la fonction numérique
Soit
dans un repère orthonormé
I-1) a)Montrer que
b)Montrer que:
la droite
au voisinage de
2)a) Montrer que
b)Montrer que:
3)a)Montrer que
b) Donner le tableau de variations de la fonction
( Remarquer que
c) Montrer qu’il existe un reel unique
tel que
4)a)Montrer que:
la courbe
et en dessous de la droite
b) Montrer que:
la courbe
c) Construire la droite
(on prendra
5) a) Montrer que:
b) Calculer, en
la droite
Il-1)a) Rèsoudre Péquation diffèrentielle
b) Déterminer la solution
vérifiant
2)Soit
a) Montrer que: la fonction
et que
b) Vérifier que
puis déterminer