Examen national Mathématiques 2 BAC Sciences Physiques 2016 Normale

Exercice 1: (2.5 pts)

On considère la suite numérique (un) définie par :
u0=2
un+1=3+un5un pour tout entier naturel n
1) Vérifier que:
un+13=4(un3)2+(3un) pour tout entier naturel n
puis montrer par récurrence que un<3 pour tout entier naturel n
2)Soit (vn) la suite numérique définie par :
vn=un13un pour tout entier naturel n
a) Montrer que:
(vn) est une suite géométrique de raison 12
puis en déduire que:
vn=(12)n pour tout entier naturel n
b) Montrer que:
un=1+3vn1+vn pour tout entier naturel n
puis écrire un en fonction de n
c) Déterminer la limite de la suite (un)

Exercice 2: (3 pts)

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k),
on considère les points A(2,1,3),B(3,1,1),C(2,2,1)
et la sphère (S) d’équation :
x2+y2+z22x+2y34=0
1)a) Montrer que:
ABAC=2i+2j+k
b)En déduire que:
2x+2y+z9=0 est une équation cartésienne du plan (ABC)
2)a) Montrer que:
la sphère (S) a pour centre le point Ω(1,1,0) et pour rayon 6
b) Montrer que d(Ω,(ABC))=3
et en déduire que le plan (ABC) coupe la sphère (S) suivant un cercle (Γ)
3)a)Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ)
passant par le point Ω et orthogonale au plan (ABC)
b) Montrer que:
le point B est le centre du cercle (Γ)

Exercice 3: (3 pts)

1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes C l’équation :
z24z+29=0
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,e1,e2),
on considère les points Ω,A et B d’affixes respectives ω,a et b
telles que ω=2+5i,a=5+2i et b=5+8i
a) Soit u le nombre complexe tel que u=bω
Vérifier que u=3+3i puis montrer que arguπ4[2π]
b) Déterminer un argument du nombre complexe u(u étant le conjugué de u )
c) Vérifier que aω=u
puis en déduire que:
ΩA=ΩB et que arg(bωaω)π2[2π]
d) On considère la rotation R de centre Ω et d’angle π2
Déterminer l’image du point A par la rotation R

Exercice 4: (3 pts)

Une urne contient 10 boules:
quatre boules rouges et six boules vertes.
( Les boules sont indiscernables au toucher)
On tire au hasard, simultanément, deux boules de l’urne.
1) Soit A l’évènement : « Les deux boules tirées sont rouges « .
Montrer que p(A)=215
2) Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules rouges restantes
dans l’urne après le tirage des deux boules.
a) Montrer que:
l’ensemble des valeurs prises par X est {2,3,4}
b) Montrer que p(X=3)=815
puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X

Exercice 5: (8.5 pts)

On considère la fonction numérique f definie sur R par :
f(x)=2x2+e2x4ex
Soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f
dans un repère orthonormé (O,i,j) (unite: 1cm )
I-1) a)Montrer que limf(x)=
b)Montrer que:
la droite (D) d’équation y=2x2 est asymptote à la courbe (Cf)
au voisinage de
2)a) Montrer que limf(x)=+
b)Montrer que:
limx+f(x)x=+ puis interpretter géométriquement ce résultat.
3)a)Montrer que f(x)=2(ex1)2 pour tout nombre réel x
b) Donner le tableau de variations de la fonction f sur R
( Remarquer que f(0)=0 )
c) Montrer qu’il existe un reel unique α de l’intervalle ]1,ln 4[
tel que f(α)=0

4)a)Montrer que:
la courbe (Cf) est située au dessus de la droite (D) sur l’ìntervalle ]ln4,+∞[\)
et en dessous de la droite (D) sur Vintervalle ]-∞,ln 4 [
b) Montrer que:
la courbe (Cf) admet un point d’inflexion unique de coordonnées (0,5)
c) Construire la droite (D) et la courbe (Cf) dans le mème repère (O,i,j)
(on prendra ln41,4 et α1,3)
5) a) Montrer que:
0lnt(e2x4ex)dx=92
b) Calculer, en cm2, l’aire du domaine plan limité par la courbe (Cf),
la droite (D), l’axe des ordonnées et la droite d’équation x=ln4

Il-1)a) Rèsoudre Péquation diffèrentielle (E):y»3y+2y=0
b) Déterminer la solution g de l’équation (E)
vérifiant g(0)=3 et g(0)=2
2)Soit h la fonction numérique définie sur lìntervalle ]ln 4,+∞[ par :
h(x)=ln(e2x4ex)
a) Montrer que: la fonction h admet une fonction réciproque h1
et que h1 est definie sur R
b) Vérifier que h(ln5)=ln5
puis déterminer (h1)(ln5)