Sommes de Riemann
Exercice 1:
Calculer \(\lim _{n \rightarrow+∞} u_{n}\) dans chacun des cas suivants :
1) \(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{2} \cdot \sqrt[3]{n^{3}+k^{3}}}\)
2) \(u_{n}=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{n+k}{n^{2}+k^{2}}\)
3) \(u_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{\sqrt{\left(n^{2}+k^{2}\right)^{3}}}\)
4) \(u_{n}=\frac{1}{n \sqrt{n}} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{\sqrt{n+k}}\)
Exercice 2:
Calculer \(\lim u_{n}\) dans chacun des cas suivants:
1) \(u_{n}=\frac{1}{n}\left[\prod_{k=1}^{n}(n+k)\right]^{\frac{1}{n}}\)
2) \(u_{n}=\left[\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n}\right)^{k}\right]^{\frac{1}{n^{2}}}\)
Exercice 3:
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=\left\{\begin{array}{l} \int_{x}^{x+1}(1+\ln t) d t \text { si } x>0 \\ f(0)=0 \\ \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} \quad \text { si } x<0 \end{array}\right.\)
1) Montrer que pour tout x∊IR+* :
\(f(x)=(1+x) ln(1+x)-x \ln x\)
2) a) Montrer que \(f\) est continue en 0 .
b) Montrer que: \(\lim _{x➝+∞} f(x)=+∞\)
et calculer \(\lim _{x➝-∞} f(x)\)
3) a) Etudier la dérivabilité de \(f\) en 0 puis donner
une interprétation géométrique au résultat
b) Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour tout x∊\IR*+:
c) Dresser le tableau de variations de \(f\).
4) On considère la suite numérique \((u_{n})_{n≥1}\) définie par:
pour tout n∊IN* par:
\(u_{n}=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{(k-2 n)^{2}} e^{\left(\frac{n}{k-2 n}\right)}\)
Calculer la limite de la suite \((u_{n})_{n≥1}\)
Intégration et ordre
Exercice 4:
On considère l’intégrale :
\(I=\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1+x} dx\)
1) a) Montrer que ∀ t∊IR*+:
\(1-t \leq e^{-t} \leq 1\)
b) En déduire que pour tout x∊[0,1] :
\(1-x \leq e^{-x} \leq 1-x+\frac{x^{2}}{2}\)
2) a) Vérifier que pour tout x∊[0;1] :
\(\frac{x^{4}}{1+x}=x^{3}-x^{2}+x-1+\frac{1}{1+x}\)
b) En déduire que: \(\frac{1}{2} \leq I \leq \frac{5}{24}+\frac{\ln 2}{5}\)
Exercice 5:
Calculer:
\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{t^{2} \sqrt{1+t^{2}}}\)
\(\lim _{x \rightarrow+∞} \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{1+\sqrt{t}}\)
Exercice 6:
Soit a∊IR*+
et \(f\) une fonction continue sur le segment [0;a]
On définit la suite \(\left(u_{n}\right)_{n 21}\) par:
\(u_{n}=\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1+n x} dx\)
Calculer \(\lim _{n \rightarrow+∞} u_{n}\)
Exercice 7:
On considère la fonction \(F\) définie sur IR par:
\(F(x)=\int_{x}^{2 x} \frac{d t}{\sqrt{1+t^{2}+t^{4}}}\)
1) Montrer que la fonction \(F\) est paire,
2) a) Montrer que pour tout \(x∊IR+*,\) il existe c∊[x;2x] tel que :
\( F(x)=\frac{x}{\sqrt{1+c^{2}+c^{4}}}\)
b) En déduire que ∀x∊IR+*:
\( 0 \leq F(x) \leq \frac{1}{x}\)
puis en déduire \(\lim _{x➝+∞} F(x)\)
3) Calculer F'(x) pour tout x∊IR.