Calcul Intégrale Sommes de Riemann 2 bac science math

Sommes de Riemann

Exercice 1:

Calculer $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n$ dans chacun des cas suivants :
1) $u_n=\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^2\cdot \sqrt[3]{n^3+k^3}}$
2) $u_n=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{n+k}{n^2+k^2}$
3) $u_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k^3}{\sqrt{{(n^2+k^2)}^3}}$
4) $u_n=\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{k}{\sqrt{n+k}}$

Exercice 2:

Calculer $lim{u}_n$ dans chacun des cas suivants:
1) $u_n=\frac{1}{n}{[\prod _{k=1}^n(n+k)]}^{\frac{1}{n}}$
2) $u_n={\left[\prod _{k=1}^n{(1+\frac{k}{n})}^k\right]}^{\frac{1}{n^2}}$

Exercice 3:

On considère la fonction numérique $f$ définie sur IR par:
$f(x)=\{\begin{array}{l}{\int }_x^{x+1}(1+\ln t)dt\text{ si }x>0\\ f(0)=0\\ \frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}\text{ si }x<0\end{array}$
1) Montrer que pour tout x∊IR+* :
$f(x)=(1+x)ln(1+x)-x\ln x$
2) a) Montrer que $f$ est continue en 0 .
b) Montrer que: $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)=+\infty$
et calculer $\underset{x➝-\infty }{lim}f(x)$
3) a) Etudier la dérivabilité de $f$ en 0 puis donner
une interprétation géométrique au résultat
b) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout x∊\IR*+:
c) Dresser le tableau de variations de $f$.
4) On considère la suite numérique $(u_n{)}_{n\ge 1}$ définie par:
pour tout n∊IN* par:
$u_n=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{n}{(k-2n{)}^2}{e}^{\left(\frac{n}{k-2n}\right)}$
Calculer la limite de la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$

Intégration et ordre

Exercice 4:

On considère l’intégrale :
$I={\int }_0^1\frac{e^x}{1+x}dx$
1) a) Montrer que ∀ t∊IR*+:
$1-t\le e^{-t}\le 1$
b) En déduire que pour tout x∊[0,1] :
$1-x\le e^{-x}\le 1-x+\frac{x^2}{2}$
2) a) Vérifier que pour tout x∊[0;1] :
$\frac{x^4}{1+x}=x^3-x^2+x-1+\frac{1}{1+x}$
b) En déduire que: $\frac{1}{2}\le I\le \frac{5}{24}+\frac{\ln 2}{5}$

Exercice 5:

Calculer:
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\int }_x^{2x}\frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}}$
$\underset{x\to +\infty }{lim}{\int }_x^{2x}\frac{dt}{1+\sqrt{t}}$

Exercice 6:

Soit a∊IR*+
et $f$ une fonction continue sur le segment [0;a]
On définit la suite ${\left(u_n\right)}_{n21}$ par:
$u_n={\int }_0^a\frac{f(x)}{1+nx}dx$
Calculer $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n$

Exercice 7:

On considère la fonction $F$ définie sur IR par:
$F(x)={\int }_x^{2x}\frac{dt}{\sqrt{1+t^2+t^4}}$
1) Montrer que la fonction $F$ est paire,
2) a) Montrer que pour tout $x∊IR+\ast ,$ il existe c∊[x;2x] tel que :
$F(x)=\frac{x}{\sqrt{1+c^2+c^4}}$
b) En déduire que ∀x∊IR+*:
$0\le F(x)\le \frac{1}{x}$
puis en déduire $\underset{x➝+\infty }{lim}F(x)$
3) Calculer F'(x) pour tout x∊IR.