Exercice 1:
En utilisant la technique de changement de variable,
Calculer les intégrales suivantes :
\(A=\int_{2}^{3} \frac{dx}{x+\sqrt{x-1}}\) (poser: \(t=\sqrt{x-1})\)
\(B=\int_{0}^{1} x\sqrt[3]{x+1} dx\) (poser: \(t=\sqrt[3]{x+1})\)
\(C=\int_{0}^{π} \sqrt{1+\sin x} dx \) (poser: \(.t=\frac{x}{2}-\frac{π}{4})\)
\(D=\int_{0}^{3} \frac{dx}{4 x^{2}+9}\) (poser: \(t=\frac{2 x}{3})\)
\(E=\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1-x^{2}} dx \) (poser: \(x=\cos t)\)
\(F=\int_{0}^{-\ln (\sqrt{3})} \frac{dx}{e^{x}(1+e^{2 x})} \) (poser: \(x=-\ln t)\)
Exercice 2:
En utilisant la technique de changement de variable,
calculer les intégrales suivantes:
\(I_{1}=\int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx\)
(poser: \(t=\sqrt{x}\) )
\(I_{2}=\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{1+\cos x}{1-\cos x} dx \) (poser: \(t=\tan \frac{x}{2})\)
\(I_{3}=\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}} dx\) (poser: \(x=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2})\)
\(I_{4}=\int_{5}^{10} \frac{1+\sqrt{x-1}}{x-2} dx \) (poser: \(t=\sqrt{x-1})\)
\(I_{5}=\int_{1}^{2} \sqrt{x^{2}-1} dx\) (poser: \(x=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\) )
\(I_{6}=\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{2 x}{\cos ^{2}(x^{2})} dx \) (poser \(x=t^{2})\)
\(I_{7}=\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}\) (poser: \(x=\frac{t^{2}-1}{2 t}\) et \(t>0\)
\(I_{8}=\int_{4}^{9} \frac{d t}{\sqrt{t}(t-4 \sqrt{t}+5)} \) (poser: \(x=\sqrt{t}-2)\)
Exercice 3:
1) Déterminer deux réels \(α\) et \(β\) tels que pour tout
\(t \neq-1: \frac{t}{(t+1)^{2}}=\frac{α}{t+1}+\frac{β}{(t+1)^{2}}\)
2) En utilisant une intégration par changement de
variable et en posant \(x=t^{4}\), calculer l’intégrale :
\(I=\int_{1}^{16} \frac{dx}{\sqrt{x}(\sqrt[4]{x}+1)^{2}}\)
Exercice 4:
1) Vérifier que ∀t∈IR-{-1}:
\(\frac{t^{2}}{t+1}=t-1+\frac{1}{t+1}\)
2) Calculer intégrale:
\(I=\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{t^{2}}{1+t} d t\)
3)En posant \(t=\sqrt{e^{x}}\)
calculer :\(J=\int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{x}}{1+e^{-\frac{x}{2}}} dx\)
Exercice 5:
En posant \(t=2 x+1,\) calculer l’intégrale :
\(I=\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{dx}{4 x^{2}+4 x+5}\)
Exercice 6:
Montrer que:
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{2}-x+1}=\frac{2 π}{3 \sqrt{3}}\)
Exercice 7:
Pour tout x∈]-1;0[, on pose:
\(F(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{x} \frac{d t}{t \sqrt{1+t}}\)
1) Calculer \(F(x)\) en fonction de \(x\).
2) Calculer:
\(\lim _{x➝0^{+}} F(x)\) et \(\lim _{x➝-1^{+}} F(x)\).
Exercice 8:
En utilisant l’intégration par changement de variable,
Calculer les intégrales suivantes :
\(I=\int_{0}^{\mathrm{h} 3} \sqrt{e^{x}-1} dx\)
\(J=\int_{-3}^{0} \frac{x+2}{\sqrt{x+4}} dx\)
\(K=\int_{0}^{\frac{x}{4}} \tan ^{4} x dx\)
\(L=\int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \ln (1+e^{x}) dx\)
Exercice 9:
Pour tout x∈IR+ on pose :\(f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1+t^{3}}} dt\)1)
Calculer la dérivée sur IR de la fonction :φ: x➝\(\ln(x+\sqrt{x^{2}+1}\)2)
En utilisant une intégration par changement de variable,
calculer \(f(x)\)
Exercice 10:
Pour tout a∈IR* et n∈IN* on pose :
\(I_{n}(a)=\int_{1}^{a} \frac{\sqrt{1+x^{2 n}}}{x} dx\)1) Vérifier que pour tout t∈IR-{-1;1}:
\(\frac{t^{2}}{t^{2}-1}=1+\frac{1}{2}(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1})\)2)
En utilisant une intégration par changement de variable
en posant \(t=\sqrt{1+x^{2 n}},\)
calculer:
\(I_{n}(a)\) en fonction de n et \(a\)