Calcul Intégrale intégration par changement de variable 2 bac science math

Exercice 1:

En utilisant la technique de changement de variable,
Calculer les intégrales suivantes :
$A={\int }_2^3\frac{dx}{x+\sqrt{x-1}}$ (poser: $t=\sqrt{x-1})$
$B={\int }_0^{1}x\sqrt[3]{x+1}dx$ (poser: $t=\sqrt[3]{x+1})$
$C={\int }_0^{\pi }\sqrt{1+\sin x}dx$ (poser: $.t=\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})$
$D={\int }_0^3\frac{dx}{4x^2+9}$ (poser: $t=\frac{2x}{3})$
$E={\int }_0^1{x}^2\sqrt{1-x^2}dx$ (poser: $x=\cos t)$
$F={\int }_0^{-\ln (\sqrt{3})}\frac{dx}{e^x(1+e^{2x})}$ (poser: $x=-\ln t)$

Exercice 2:

En utilisant la technique de changement de variable,
calculer les intégrales suivantes:
$I_1={\int }_1^3\frac{\sqrt{x}}{1+x}dx$
(poser: $t=\sqrt{x}$ )
$I_2={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos x}{1-\cos x}dx$ (poser: $t=\tan \frac{x}{2})$
$I_3={\int }_0^1\sqrt{1+x^2}dx$ (poser: $x=\frac{e^t-e^{-t}}{2})$
$I_4={\int }_5^{10}\frac{1+\sqrt{x-1}}{x-2}dx$ (poser: $t=\sqrt{x-1})$
$I_5={\int }_1^2\sqrt{x^2-1}dx$ (poser: $x=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ )
$I_6={\int }_0^{\sqrt{x}}\frac{2x}{{\cos }^2(x^2)}dx$ (poser $x=t^2)$
$I_7={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ (poser: $x=\frac{t^2-1}{2t}$ et $t>0$
$I_8={\int }_4^9\frac{dt}{\sqrt{t}(t-4\sqrt{t}+5)}$ (poser: $x=\sqrt{t}-2)$

Exercice 3:

1) Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout
$t\ne -1:\frac{t}{(t+1{)}^2}=\frac{\alpha }{t+1}+\frac{\beta }{(t+1{)}^2}$
2) En utilisant une intégration par changement de
variable et en posant $x=t^4$, calculer l’intégrale :
$I={\int }_1^{16}\frac{dx}{\sqrt{x}(\sqrt[4]{x}+1{)}^2}$

Exercice 4:

1) Vérifier que ∀t∈IR-{-1}:
$\frac{t^2}{t+1}=t-1+\frac{1}{t+1}$
2) Calculer intégrale:
$I={\int }_1^{\sqrt{2}}\frac{t^2}{1+t}dt$
3)En posant $t=\sqrt{e^x}$
calculer :$J={\int }_0^{\ln 2}\frac{e^x}{1+e^{-\frac{x}{2}}}dx$

Exercice 5:

En posant $t=2x+1,$ calculer l’intégrale :
$I={\int }_{\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{dx}{4x^2+4x+5}$

Exercice 6:

Montrer que:
${\int }_0^1\frac{dx}{x^2-x+1}=\frac{2\pi }{3\sqrt{3}}$

Exercice 7:

Pour tout x∈]-1;0[, on pose:
$F(x)={\int }_{\frac{1}{2}}^x\frac{dt}{t\sqrt{1+t}}$
1) Calculer $F(x)$ en fonction de $x$.
2) Calculer:
$\underset{x➝0^{+}}{lim}F(x)$ et $\underset{x➝-1^{+}}{lim}F(x)$.

Exercice 8:

En utilisant l’intégration par changement de variable,
Calculer les intégrales suivantes :
$I={\int }_0^{\mathrm{h}3}\sqrt{e^x-1}dx$
$J={\int }_{-3}^0\frac{x+2}{\sqrt{x+4}}dx$
$K={\int }_0^{\frac{x}{4}}{\tan }^{4}xdx$
$L={\int }_0^{\ln 2}\frac{e^x}{1+e^x}\ln (1+e^x)dx$

Exercice 9:

Pour tout x∈IR+ on pose :$f(x)={\int }_0^x\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1+t^3}}dt$1)
Calculer la dérivée sur IR de la fonction :φ: x➝$\ln (x+\sqrt{x^2+1}$2)
En utilisant une intégration par changement de variable,
calculer $f(x)$

Exercice 10:

Pour tout a∈IR* et n∈IN* on pose :
$I_n(a)={\int }_1^a\frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x}dx$1) Vérifier que pour tout t∈IR-{-1;1}:
$\frac{t^2}{t^2-1}=1+\frac{1}{2}(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1})$2)
En utilisant une intégration par changement de variable
en posant $t=\sqrt{1+x^{2n}},$
calculer:
$I_n(a)$ en fonction de n et $a$