Calcul Intégrale intégration par partie 2 bac science math

Exercice 1:

En utilisant la formule d’intégration par parties,
calculer les intégrales suivantes:
$A={\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{x}{\sqrt{1+2x}}dx$
$B={\int }_1^{e}x\ln xdx$
$C={\int }_0^1(x+3)e^{-x}dx$
$D={\int }_0^{\frac{1}{3}}(4x-1)e^{3x}dx$
$E={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}x{\cos }^2(2x)dx$
$F={\int }_0^{\sqrt{3}}{x}^3\sqrt{x^2+1}dx$
$G={\int }_{-1}^4\frac{x+2}{\sqrt{x+5}}dx$
$H={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin x\cos xdx$

Exercice 2:

En utilisant la formule d’intégration par parties,
calculer les intégrales suivantes :
$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(2x^2-x)cosxdx$
$J={\int }_0^{\pi }(3x+4){\cos }^{2}xdx$
$K={\int }_1^2{x}^2\sin (\ln x)dx$
$L={\int }_1^e{\ln }^{2}xdx$

Exercice 3:

En utilisant la formule d’intégration par parties,
calculer les intégrales suivantes:
$I_1={\int }_0^{\frac{x}{3}}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx$
$I_2={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{x\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$
$I_3={\int }_0^{\frac{x}{2}}{e}^x\sin xdx$
$I_4={\int }_0^1\mathrm{Arctan}xdx$
$I_5={\int }_1^4{e}^{\sqrt{x}}dx$
$I_6={\int }_1^e\frac{x\ln x}{(1+x^2{)}^2}dx$

Exercice 4:

Soit $(u_n{)}_{n\in IN}$ la suite définie par:
$u_n={\int }_{\frac{1}{2}}^1{x}^n\ln (x)dx$
1) En utilisant une intégration par parties,
calculer pour tout r∈Q-{-1} et pour tout $a\in I{R}_{+}^{\ast }$
l’ intégrale :
$I_r(a)={\int }_1^a{x}^r\ln (x)dx$
2) Étudier la limite de la suite $(u_n{)}_{n\in IN\ast }$

Exercice 5:

On considère la fonction numérique définie sur IR par:
$f(x)=\frac{x{e}^x}{e^x+1}$
1) Montrer que pour tout x∈IR:
$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1{)}^2}$
2) en utilisant la formule d’intégration parties, calculer l’intégrale:
$I={\int }_1^2\frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1{)}^2}\ln (x)dx$

Exercice 6:

1)- En utilisant deux fois la formule d’intégration par parties,
montrer que :
${\int }_0^{\frac{\pi }{8}}{e}^{-2t}\cos (2t)dt=\frac{1}{4}$
2)- On considère les intégrales $E$ et $F$ telles que :
$E={\int }_0^{\frac{\pi }{8}}{e}^{-2t}{\cos }^2(t)dt$
$F={\int }_0^{\frac{\pi }{8}}{e}^{-2t}{\sin }^2(t)dt$
Calculer $E+F$ et $E-F$
puis en déduire les valeurs des intégrales $E$ et $F$

Exercice 7:

On pose pour tout n∈IN:
$I_n={\int }_0^1{x}^n\sqrt{1-x}dx$
1) Calculer $I_0$.
2) a) En utilisant une intégration par parties,
montrer que:
∀ n∈IN, $(2n+5)I_{n+1}=(2n+2)I_n$
b) En déduire les valeurs de $I_1$ et $I_2$.

Exercice 8:

1) Vérifier que ∀ t∈$I{R}_{+}^{\ast }$:
$\frac{1}{(t+1{)}^2}=1-\frac{t}{t+1}-\frac{t}{(t+1{)}^2}$
2) Calculer l’intégrale :
$I={\int }_0^1\frac{dx}{(e^x+1{)}^2}$
3) En utilisant une intégration par parties, calculer
l’intégrale suivante:
$J={\int }_0^1\frac{x{e}^x}{(e^x+1{)}^3}dx$

Exercice 9:

En utilisant une intégration par parties,
déterminer le réel $a$ tel que :
${\int }_0^1(x+a)e^{x}dx=e$

Exercice 10:

En utilisant la formule d’intégration par parties,
calculer les intégrales suivantes:
$I={\int }_0^{\ln a}(1+e^x)\ln (x+e^x)dx$ (où $a\in ]1;+\infty [)$
$J={\int }_{\ln \frac{\pi }{4}}^{\ln \frac{\pi }{2}}{e}^{2x}\sin (e^x)dx$
$K={\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx$
$L={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos x\cdot \ln (1+\cos x)dx$
$M={\int }_1^2\frac{1}{x^3}{e}^{\frac{1}{x}}dx$
$N={\int }_0^{2x}\frac{\ln (1+x)}{\sqrt{1+x}}dx$
$P={\int }_0^{\pi }{e}^{-2x}{\sin }^{2}xdx$

Exercice 11:

On pose∀x∈] 0;1[:
$I(x)={\int }_x^{1}tArctan(\frac{1}{t})dt$
1) En utilisant la formule d’intégration par parties,
exprimer $I(x)$ en fonction de $x$.
2) Calculer $\underset{x➝0^{+}}{lim}I(x)$.