Exercice 1:
Soit a ∈] 0,1[.
Pour tout entier naturel n≥2 on considère la fonction \(f_{n}\) définie sur IR par:
\(f_{n}(x)=2x^{n}-x^{n-1}-a\)
1) Montrer que:
l’équation \(f_{n}(x)=0\) admet une unique solution \(λ_{n}\) dans [0,1]
2) Vérifier que:
pour tout n ∈IN*-{1}: \(\frac{1}{2}≤ λ_{n}<1 \)
3) Etudier:
la monotonie de la suite \((λ_{n})_{n≥2}\)
En déduire qu’elle est convergente.
4) Montrer que:
\(\lim _{n➝+∞} λ_{n}=1\)
5) Déterminer:
\(\lim _{n➝+∞} λ_{n}^{n}\)
6) Vérifier que:
pour tout n ∈IN*-{1}: \(λ_{n}^{n} ≥ a\)
7)
a) Montrer que :
∀n∈IN*-{1}; ∀(x, y)∈(IR*+)² :
\(x≤ y ➝ y-x≤ \frac{y^{n}-x^{n}}{nx^{n-1}}\)
b) En déduire que:
∀n∈IN*-{1}:
\(0≤ \frac{λ_{n}-\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{a}}≤ \frac{λ_{n}^{n}-a}{n a}\)
Exercice 2:
Soient \(f\) et \(F\) les fonctions définies sur \([0,\frac{\pi}{2}]\) par:
f(x)=x sin (x) et F(x)=sin (x)-x cos (x)
On considère la suite numérique \((u_{n})_{n≥0}\) définie par:
\(u_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sin (\frac{k}{n})=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\frac{k}{n})\).
1) Montrer que:
∀n ∈IN*, ∀k∈[1, n-1]:
\(\frac{1}{n} f(\frac{k}{n})≤ F(\frac{k+1}{n})-F(\frac{k}{n})≤ \frac{1}{n} f(\frac{k+1}{n})\)
2) En déduire que:
la suite \((u_{n})_{n≥0}\) converge vers sin (1)-cos (1).
Exercice 3:
On considère la suite numérique \((u_{n})_{n ∈IN}\) définie par:
\(u_{0}\rangle 2\)
\(u_{n+1}=u_{n}^{2}-u_{n}\) pour tout n ∈IN
1)
a) ) Montrer que : \(∀n ∈IN ; u_{n}>2\)
b) Etudier la monotonie de la suite \((u_{n})_{n ∈IN}\)
c) Montrer que ∀n ∈IN :
\(u_{n+1} ≥ u_{n}(u_{0}-1)\)
d) En déduire que:
la suite \((u_{n})_{n∈IN}\) est divergente, on déterminera sa limite
2)
Soient \((a_{n})_{n ∈IN}\) et \((b_{n})_{n ∈IN}\)
les suites numériques définies pour tout n ∈IN:
\(a_{n}=(u_{n}-1)^{\frac{1}{2^{n}}}\)
\(b_{n}=(u_{n})^{\frac{1}{2^{n}}}\)
a) Vérifier que ∀n ∈IN:
\((u_{n}-1)^{2}<u_{n+1}-1<u_{n+1}<u_{n}^{2} )\)
b) En déduire que ∀n ∈IN:
\(a_{n}<a_{n+1}<b_{n+1}<b_{n}\)
3)
a) Vérifier que ∀ n ∈IN:
\((b_{n})^{2^{n}}-(a_{n})^{2^{n}}=1)\)
b) Montrer que ∀n ∈IN:
\(b_{n}-a_{n}≤ \frac{1}{2^{n}}\).
(Ind: Utilisez IAF sur la fonction \(x➝ x^{2^{n}}\) )
4) En déduire que:
les suites \((a_{n})_{n∈IN}\) et \((b_{n})_{n∈IN}\) sont convergentes.
Exercice 4:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \([\frac{\pi}{4},1]\) par:
f(x)=sin (2x)
1) Montrer que:
\(f\) est dérivable sur \([\frac{\pi}{4},1]\);
puis que ∀x∈\([\frac{\pi}{4},1]: |f »(x)|≤ 2|\cos (2)|<1\)
2) Montrer que:
l’équation f(x)=x admet une unique solution \([\frac{\pi}{4}, 1]\)
3) On considère la suite numérique \((u_{n})_{n ∈N}\)
définie par:
\(u_{0}∈[\frac{\pi}{4},1] \backslash\{α\}\)
\(u_{n+1}=f(u_{n})\) pour tout n ∈IN
a) Montrer que:
\(∀n ∈IN ; \frac{\pi}{4}≤ u_{n}≤ 1\)
b) Montrer que :
\(∀n ∈IN ;|u_{n}-α|≤ (2 |\cos (2))^{n}|u_{0}-α|.\)
En déduire \(\lim_{n➝+∞} u_{n}\)