Exercice 1:
Déterminer \(D\) l’ensemble de définition de la fonction numérique \(f\)
d’une variable réelle \(x\) dans chacun des cas suivants.
1)\(f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+7}}\)
2) \(f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}}\)
3) \(f(x)=\frac{2 x-1}{\sqrt{x-4}}\)
4) \(f(x)=\frac{x^{2}-3 x}{\sqrt{x-3}-1}\)
Exercice 2:
Etudier la parité de la fonction \(f\) d’une variable réelle \(x\)
dans chacun des cas suivants.
1) \(f(x)=|x+1|+|x-1|\)
2) \(f(x)=|x+1|-|x-1|\)
Exercice 3:
Soit \(f\) la fonction numérique à variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\frac{3 x^{2}+1}{x^{2}+1}\)
1)
a- Déterminer:
l’ensemble de définition de la fonction \(f\).
b- Montrer que pour tout réel \(x: f(x)=3-\frac{2}{x^{2}+1}\)
2)
a- Montrer que:
la fonction \(f\) est majorée par le nombre 3 .
b- Montrer que:
la fonction \(f\) est minorée par le nombre 1 .
c- Que peut -on en déduire?
Exercice 4:
Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\frac{x}{x^{2}+x+1}\)
1) Vérifier que:
pour tout réel x
\( x^{2}+x+1=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\)
et en déduire \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que:
\(f\) admet une valeur maximale absolue atteint en 1 .
3) Montrer que:
\(f\) admet une valeur minimale absolue atteint en -1 .
Exercice 5:
Soit \(f\) la fonction numérique d’une variable réelle x
définie par:
\(f(x)=\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{x}\)
1) Déterminer l’ensemble de définition de \(f\). fonction \(f\) sur \([2,+∞[\).
2) Soit \(g\) la restriction de la fonction \(f\) sur l’intervalle [2,+∞[
a- Montrer que \(g\) est majorée par 2 .
b- Montrer que \(g\) est minorée par 1 .
c- Que peut-on en déduire?
Exercice 6:
On considère les deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur [-5; 6]
et connues par les courbes représentatives \((Cf)\) et \((Cg)\)
ci-dessous:
comparer les fonctions \(f\) et \(g\)
Exercice 7:
Soit \(h\) une fonction numérique d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(h(x)=\sqrt{x^{2}+4}+1\)
1) Déterminer:
\(D\) l’ensemble de définition de \(h\).
2) Montrer que:
la fonction \(h\) est paire.
3)
a- Montrer que:
\(h\) est strictement croissante sur \([0,+∞[\).
b- En déduire:
le sens de variation de \(h\) sur ]-∞,0] et dresser le tableau de variations de \(h\).
Exercice 8:
Soit \(h\) la fonction numérique d’une variable réelle \(x\)
définie par:
\(h(x)=\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\)
1) Déterminer:
\(D\) l’ensemble de définition de \(h\).
2) Montrer que:
pour tout x de D:
\(h(x)=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\)
3) Montrer que:
la fonction \(h\) est strictement décroissante
sur les deux intervalles \([-4,0[\) et \(]0,+∞[\)
4) Montrer que:
pour tout x de D : \(0<h(x)≤ \frac{1}{2}\)
5) Calculer \(h(-4)\)
et en déduire que \(\frac{1}{2}\) est une valeur maximale de la fonction \(h\) sur \(D\).
Exercice 9:
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=cos ^{2} x+cos x+1\)
1) Montrer que:
\(f\) est minorée par \(\frac{3}{4}\).
2)
a- Calculer \(f(\frac{2 \pi}{3})\).
b- Déduire que:
\(\frac{3}{4}\) est une valeur minimale de \(f\) sur IR.
Exercice 10:
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=1+2 \cos (\frac{3 \pi x}{2})\)
1) Montrer que:
\(f\) est majorée par \(\frac{7}{2}\).
2)
a-Résoudre, dans IR l’équation:
\(f(x)=\frac{7}{2}\).
b- Est-ce que \(\frac{7}{2}\) est une valeur maximale de \(f\) sur IR?
justifier votre réponse.
Exercice 11:
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{2 \sin ^{2} x}{1+\sin ^{4} x}\)
1) Montrer que:
\(f\) est majorée par 1 .
2)
a- Résoudre, dans IR l’équation \(f(x)=1\).
b- Déduire que 1 est une valeur maximale de \(f\) sur IR.