Généralité Sur Les Fonctions Exercices 1 Bac SM Série 1

Exercice 1:

Déterminer $D$ l’ensemble de définition de la fonction numérique $f$
d’une variable réelle $x$ dans chacun des cas suivants.
1) $f (x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x + 7}}$
2) $f (x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$
3) $f (x) = \frac{2 x - 1}{\sqrt{x - 4}}$
4) $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{\sqrt{x - 3} - 1}$

Exercice 2:

Etudier la parité de la fonction $f$ d’une variable réelle $x$
dans chacun des cas suivants.
1) $f (x) = | x + 1 | + | x - 1 |$
2) $f (x) = | x + 1 | - | x - 1 |$

Exercice 3:

Soit $f$ la fonction numérique à variable réelle $x$ définie par:
$f (x) = \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$
1)
a- Déterminer:
l’ensemble de définition de la fonction $f$ .
b- Montrer que pour tout réel $x : f (x) = 3 - \frac{2}{x^{2} + 1}$
2)
a- Montrer que:
la fonction $f$ est majorée par le nombre 3 .
b- Montrer que:
la fonction $f$ est minorée par le nombre 1 .
c- Que peut -on en déduire?

Exercice 4:

Soit $f$ la fonction d’une variable réelle $x$ définie par:
$f (x) = \frac{x}{x^{2} + x + 1}$
1) Vérifier que:
pour tout réel x
$x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}$
et en déduire $D_{f}$ l’ensemble de définition de $f$ .
2) Montrer que:
$f$ admet une valeur maximale absolue atteint en 1 .
3) Montrer que:
$f$ admet une valeur minimale absolue atteint en -1 .

Exercice 5:

Soit $f$ la fonction numérique d’une variable réelle x
définie par:
$f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} - 4}}{x}$
1) Déterminer l’ensemble de définition de $f$ . fonction $f$ sur $[2, + \infty [$ .
2) Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur l’intervalle [2,+∞[
a- Montrer que $g$ est majorée par 2 .
b- Montrer que $g$ est minorée par 1 .
c- Que peut-on en déduire?

Exercice 6:

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur [-5; 6]
et connues par les courbes représentatives $(C f)$ et $(C g)$
ci-dessous:

comparer les fonctions $f$ et $g$

Exercice 7:

Soit $h$ une fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie par:
$h (x) = \sqrt{x^{2} + 4} + 1$
1) Déterminer:
$D$ l’ensemble de définition de $h$ .
2) Montrer que:
la fonction $h$ est paire.
3)
a- Montrer que:
$h$ est strictement croissante sur $[0, + \infty [$ .
b- En déduire:
le sens de variation de $h$ sur ]-∞,0] et dresser le tableau de variations de $h$ .

Exercice 8:

Soit $h$ la fonction numérique d’une variable réelle $x$
définie par:
$h (x) = \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$
1) Déterminer:
$D$ l’ensemble de définition de $h$ .
2) Montrer que:
pour tout x de D:
$h (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$
3) Montrer que:
la fonction $h$ est strictement décroissante
sur les deux intervalles $[- 4, 0 [$ et $] 0, + \infty [$
4) Montrer que:
pour tout x de D : $0 < h (x) \leq \frac{1}{2}$
5) Calculer $h (- 4)$
et en déduire que $\frac{1}{2}$ est une valeur maximale de la fonction $h$ sur $D$ .

Exercice 9:

On considère la fonction numérique $f$ définie sur IR par:
$f (x) = c o s^{2} x + c o s x + 1$
1) Montrer que:
$f$ est minorée par $\frac{3}{4}$ .
2)
a- Calculer $f (\frac{2 π}{3})$ .
b- Déduire que:
$\frac{3}{4}$ est une valeur minimale de $f$ sur IR.

Exercice 10:

On considère la fonction numérique $f$ définie sur IR par:
$f (x) = 1 + 2 \cos (\frac{3 π x}{2})$
1) Montrer que:
$f$ est majorée par $\frac{7}{2}$ .
2)
a-Résoudre, dans IR l’équation:
$f (x) = \frac{7}{2}$ .
b- Est-ce que $\frac{7}{2}$ est une valeur maximale de $f$ sur IR?
justifier votre réponse.

Exercice 11:

On considère la fonction numérique $f$ définie sur IR par:
$f (x) = \frac{2 \sin^{2} x}{1 + \sin^{4} x}$
1) Montrer que:
$f$ est majorée par 1 .
2)
a- Résoudre, dans IR l’équation $f (x) = 1$ .
b- Déduire que 1 est une valeur maximale de $f$ sur IR.