Généralité Sur Les Fonctions 1 Bac SM Exercices d'Application

Ensemble de Définition d’une Fonction

Exercice 1:

Vérifier que:
la fonction $f$ est bien définie sur l’intervalle $I$
dans chacun des cas suivants:
1) $f (x) = \frac{2}{x - 1}; I =] 1; + \infty [$
2) $f (x) = \sqrt{3 - x}; I =] + \infty; 3]$
3) $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}; I = I R$
4) $f (x) = \sqrt{3 - x^{2}}; I = [- \sqrt{3}; \sqrt{3}]$
5) $f (x) = \sqrt{(1 + \cos x) (1 - \sin x)}; I = I R$
6) $f (x) = \sqrt{\sin x}; I = [0; π]$ .

Exercice 2:

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$
dans chacun des cas suivants:
1) $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1}$
2) $f (x) = 3 x^{2} - x + 5$
3) $f (x) = \frac{2 x - 3}{2 x^{2} - x - 1}$
4) $f (x) = \frac{2 - x}{x^{2} + x + 1}$
5) $f (x) = \frac{1}{(4 x^{2} - 9) (x^{2} - 1)};$
6) $f (x) = \frac{1}{x^{3} - x}$

Exercice 3:

Déterminer l’ensemble de définition
de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants:
1) $f (x) = \frac{3}{2 | x | - 3}$
2) $f (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 | x |}$
3) $f (x) = \frac{2 - x}{3 | x | + 5}$
4) $f (x) = \frac{2 x}{4 x^{2} - 7 | x | + 3}$
5) $f (x) = \frac{- 5 x - 7}{x^{2} + | x |}$
6) $f (x) = \frac{1}{x^{2} - | x + 2 |}$

Exercice 4:

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$
dans chacun des cas suivants:
1) $f (x) = \sqrt{5 + x} - \sqrt{2 - x}$ ;
2) $f (x) = \sqrt{2 | x | - 1}$
3) $f (x) = \sqrt{1 + | x |}$
4) $f (x) = \sqrt{2 x^{2} + x - 1}$
5) $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 + x}}$
6) $f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$
7) $f (x) = \frac{6 x - 4}{\sqrt{7 - 2 x}}$
8) $f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2}}$

Exercice 5:

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$
dans chacun des cas suivants:
1) $f (x) = 2 \cos x - \sin x$
2) $f (x) = 3 x + \tan x$
3) $f (x) = \frac{\sin x}{2 \cos x - 1}$
4) $f (x) = \frac{\cos x}{\sqrt{3} - \tan x}$
5) $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin x + \sqrt{3}};$
6) $f (x) = \sqrt{2 \cos x - \sqrt{3}}$
7) $f (x) = \frac{3 \sin x}{1 - 2 \cos^{2} x};$
8) $f (x) = \frac{1}{\cos x} - \frac{3}{\sin (3 x)}$

Exercice 6:

Soit la fonction $f$ :
$x ➝ \frac{| x | - 1}{x^{2} - 1} - \frac{x^{2} - | x |}{x^{2} - 2 | x | + 1}$
1) Déterminer:
l’ensemble de définition de $f$ .
2) Simplifier:
l’expression de $f (x)$ pour tout $x \in D_{f}$ .

Exercice 7:

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$ :
${\begin{cases} f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + 5 x + 4}; x \leq - 2 \\ f (x) = \frac{x}{\sqrt{x + 1}}; x > - 2 \end{cases} .$

Parité d’une Fonction Numérique:

Exercice 8:

Parité d’une Fonction Numérique:
Étudier la parité de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :
1) $f (x) = | x - 2 | - | x + 2 |$
2) $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$
3) $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 9}}$
4) $f (x) = x^{2} - 2 | x | + 3$
5) $f (x) = x | x | + 1$
6) $f (x) = x^{3} + 4 x$
7) $f (x) = x^{2} + 7 x - 4$
8) $f (x) = x - \frac{9}{x}$

Exercice 9:

Étudier la parité de la fonction $f$ dans chacun des
cas suivants :
1) $f (x) = \cos^{2} x - \sin x$
2) $f (x) = \sin (3 x)$
3) $f (x) = x - \tan^{3} x$
4) $f (x) = \frac{\cos x}{1 + x^{2}}$
5) $f (x) = \frac{2 \cos x + 1}{| \sin x |}$
6) $f (x) = \frac{\sin^{2} x}{2 - \cos x}$
7) $f (x) = | \sin x - x |$
8) $f (x) = x^{3} \tan (3 x)$

Variation d’une Fonction Numérique

Exercice 10:

oit $f$ la fonction définie sur l’intervalle [-6;6]
et dont la représentation graphique est la suivante:

1) Déterminer l’expression $f (x)$ en fonction de $x$
pour tout $x \in [- 6; 6]$ .
2) Calculer:
$f (\sqrt{3})$ et $f (\frac{22}{7})$ .
3) Déterminer:
le signe de f(x) sur[-6 ; 6].
4) Dresser:
le tableau de variation de la fonction $f$ .

Exercice 11:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR
et dont la représentation graphique est la suivante:

1) Résoudre graphiquement l’équation: $f (x) = x$ .
2) Résoudre graphiquement les inéquations suivantes:
a) $f (x) \geq x$
b) $f (x) < x$
3) Déterminer:
l’expression de $f (x)$ sachant que $f$
est un polynôme du second degré.
4) Dresser:
le tableau de variation de $f$ sur IR.

Exercice 12:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = | x + 1 | - 2 | x | + | x - 1 | - 1$
$C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Montrer que la fonction $f$ est paire.
2) Étudier les variations de la fonction $f$ .
3) Tracer la courbe $C_{f}$ .
4) Résoudre graphiquement l’inéquation suivante:
$| x + 1 | + | x - 1 | > 2 | x | + \frac{2 x + 4}{5}$

Exercice 13:

Étudier le signe de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants:
1) $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$
2) $f (x) = - 15 x^{2} + x + 2$
3) $f (x) = \frac{2 x - 3}{4 x + 7}$
4) $f (x) = \frac{\sin x - 1}{1 - \cos x}$
5) $f (x) = \frac{| x - 1 |}{2 x^{2} + x - 1}$
6) $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} - 1}$
7) $f (x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{x^{2} + x}$
8) $f (x) = \frac{1 - x}{2 \sin x - 3}$
9) $f (x) = \sin x (2 \cos x - 1);$
10) $f (x) = \frac{\tan x}{1 - \sin x}$

Exercice 14:

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par:
$f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ et $g (x) = \frac{x - 1}{2 x - 1}$
1) Déterminer les ensembles de définition de $f$ et $g$ .
2) Comparer les fonctions $f$ et $g$ .
3) Comparer les nombres suivants:
$a = \frac{0, 9999}{0, 9998}$
$b = \frac{1, 0002}{1, 0001}$

Exercice 15:

Comparer les fonctions $f$ et $g$ dans chacun des cas
suivants:
1) $f (x) = \frac{2}{x^{2} + 3}$
$g (x) = \frac{2}{x + 3}$ .
2) $f (x) = \frac{x}{x + 1}$
$g (x) = x^{2}$ .
3) $f (x) = x^{2} - 3 x + 5$
$g (x) = - x^{2} + 2 x + 2$ .
4) $f (x) = \frac{3 x^{2} - x + 3}{x - 1}$
$g (x) = 3 x - 2$ .
5) $f (x) = \frac{x}{2}$
$g (x) = \frac{- 1 + \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

Exercice 16:

Soit $c_{f}$ et $c_{g}$ les courbes représentatives:
de deux fonctions $f$ et $g$
dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$ .
1) a) Comparer:
les fonctions $f$ et $g$ sur $[- 4; 4]$ .
b) En déduire:
les solutions dans $[- 4; 4]$ de l’inéquation: $f (x) > g (x)$ .
2) Déterminer:
le signe de chacune des fonctions $f$ et $g$
3) Dresser:
le tableau de variations de chacune des fonctions $f$ et $g$ .

Exercice 17:

Soit $f$ la fonction numérique définie par:
$f (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{- x^{2} + x + 6}$
$C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Étudier la position relative
de la courbe $C_{f}$ par rapport à l’axe des abscisses.

Fonction Minorée – Majorée – Bornée

Exercice 18:

1) Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 1$
Montrer que la fonction $f$ est minorée par -3.
2) Soit $g$ la fonction numérique définie sur IR par:
$g (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 2}$
a) Déterminer:
$D_{g}$ l’ensemble de définition de $g$ .
b) Montrer que:
$\forall x \in D_{g}) 0 < g (x) \leq 1$

Exercice 19:

1) Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$
Montrer que:
la fonction $f$ est bornée par: \frac{1}{2}\) et $- \frac{1}{2}$
2) Soit $g$ la fonction numérique définie sur IR+ par:
$g (x) = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$
Montrer que:
la fonction $g$ est bornée par 0 et 1 .

Exercice 20:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = - x^{2} + x + \frac{7}{4}$
1) Montrer que la fonction $f$ est majorée par 2 .
2) Montrer par l’absurde que $f$ n’est pas minorée.

Exercice 21:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = \frac{2}{| x - 2 | - 1}$
1) Déterminer $D_{f}$ l’ensemble de définition de $f$ .
2) Montrer que : ∀x ∈ IR- : 0<f(x)≤ 2

Exercice 22:

Soit $f$ la fonction numérique définie par:
$f (x) = \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{2}}{x - 1}$
1) Déterminer $D_{f}$ l’ensemble de définition de $f$ .
2) Étudier le signe de la fonction $f$ .
3) Montrer que:
la fonction $f$ est majorée par $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Exercice 23:

Soit $f$ et $g$ les fonctions numériques définies sur IR
par:
$f (x) = \frac{x \cos x}{x^{2} + 1}$ et $g (x) = \frac{| x |}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
Montrer que:
$f$ et $g$ sont bornées sur IR.

Exercice 24:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = \frac{2 x^{4} - x^{2}}{x^{4} + 1}$
1) Montrer que pour tout x∈IR:
$| f (x) | \leq \frac{2 x^{4}}{x^{4} + 1} + \frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$
2) En déduire que $f$ est bornée sur IR.

Exercice 25:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = \frac{4 x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
1) Vérifier que:
$(\forall x \in I R) (4 x + 3)^{2} \leq 25 (x^{2} + 1)$
2) En déduire que ∀x ∈ IR: |f(x)|≤ 5\)

Extremum d’une Fonction Numérique

Exercice 26:

1) Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = - x^{2} + 4 x + 5$
Montrer que:
9 est la valeur maximale absolue de $f$ .
2) Soit $g$ la fonction numérique définie sur IR par:
$g (x) = x^{2} - 2 x + 3$
Montrer que:
2 est la valeur minimale absolue de $g$ .

Exercice 27:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = \frac{2 x^{2} + 7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$
1) Montrer que:
l est la valeur minimale absolue de $f$ .
2) Montrer que:
$\frac{7}{3}$ est la valeur maximale absolue de $f$ .

Exercice 28:

Soit la fonction f :
$x ➝ \frac{\cos x}{1 + \sqrt{x^{2} + 1}}$
Montrer que:
$f$ admet un maximum absolu sur IR.

Exercice 29:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = - x^{3} + 3 x$
1) Montrer que:
$f (1)$ est la valeur maximale de la
fonction $f$ sur l’intervalle IR+.
2) a) Vérifier que:
la fonction $f$ est impaire.
b) En déduire:
la valeur minimale de la fonction $f$
sur l’intervalle IR-.

Exercice 30:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR* par:
$f (x) = x + \frac{1}{x}$
1) Montrer que ∀x ∈ IR+*: f(x) ≥ 2
2) La fonction $f$ est-elle bornée sur IR* ? Justifier
3) La fonction $f$ admet-elle un minimum sur IR* ?
un maximum sur IR* ?

Monotonie d’une Fonction Numérique

Exercice 31:

Soit la fonction $f$ définie sur IR par:
$(f (x) = x^{3} - 6 x$
1) Vérifier que la fonction $f$ est impaire.
2) Montrer qu:
pour tous réels $x$ et $y$ tels que x≠ y:
$\frac{f (x) - f (y)}{x - y} = x^{2} + x y + y^{2} - 6$
3) Étudier les variations de la fonction $f$ sur chacun
des intervalles [0; $\sqrt{2}$ ] et [ $\sqrt{2}$ ;+∞[
4) Dresser le tableau de variations de $f$ sur IR.
5) En déduire les extremum de la fonction $f$ .

Exercice 32:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par :
$f (x) = \frac{x^{2} + 3}{| x | + 1}$
1) Étudier la parité de la fonction $f$ .
2) Montrer que la fonction $f$ admet un minimum
absolu au point $x_{0} = 1$
3) a) Étudier la monotonie de la fonction $f$ sur
chacun des intervalles [0;1] et [1;+∞[
b) Donner le tableau de variations de la fonction $f$ .

Exercice 33:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR- par:
$f (x) = \frac{x}{x^{3} + 2}$
1) Montrer que pour tous réels positifs $a$ et $b$ :
$\frac{f (a) - f (b)}{a - b} = \frac{2 - a b (a + b)}{(a^{3} + 2) (b^{3} + 2)}$
2) a) Étudier les variations de la fonction $f$ sur
chacun des intervalles [0;1] et [1;+∞[
b) En déduire que ∀x∈[2;3]:
$\frac{3}{29} \leq f (x) \leq \frac{1}{5}$

Exercice 34:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = \frac{x | x |}{x^{2} + 1}$
1) Étudier la parité de la fonction $f$ .
2) Étudier la monotonie de la fonction $f$ sur IR+.
3) En déduire la monotonie de $f$ sur IR-.

Exercice 35:

Soit $f$ la fonction définie par:
$f (x) = \frac{| x |}{\sqrt{9 - x^{2}}}$
1) a) Déterminer $D_{f}$ l’ensemble de définition de $f$ .
b) Étudier la parité de la fonction $f$ .
2) Soit $a$ et $b$ deux éléments de $D_{f}$ .
a) Calculer $(f (a))^{2} - (f (b))^{2}$
b) En déduire la monotonie de $f$ sur chacun des
intervalles [0;3[ et ]-3;0]

Exercice 36:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
f(x)=\frac{|x|}{x^{2}+|x|+1}
1) a) Déterminer $D_{f}$ l’ensemble de définition de $f$ .
b) Étudier la parité de la fonction $f$ .
2) Étudier la monotonie de la fonction $f$ sur IR+.
3) En déduire la monotonie de $f$ sur IR- puis dresser
le tableau de variations de $f$ .

Exercice 37:

Soit $f$ la fonction numérique définie par:
f(x)=x+\frac{3}{x}
1) Déterminer l’ensemble de définition de $f$ puis
vérifier que la fonction $f$ est impaire.
2) a) Soit $a$ et $b$ deux éléments distincts de $D_{f}$ .
Montrer que: $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} = \frac{a b - 3}{a b}$ .
b) En déduire la monotonie de $f$ sur chacun des
intervalles $] 0; \sqrt{3}]$ et $[\sqrt{3}; + \infty [$ .
3) Dresser le tableau de variations de $f sur D_{f}$ .
4) Déterminer les extrema de la fonction $f$ .

Exercice 38:

On considère la fonction $f$ définie sur IR par:
f(x)=|x+1|-|x-1|
1) Étudier la parité de la fonction $f$ .
2) Donner une expression simplifiée de $f (x)$ puis étudier les variations de la fonction $f$ .
3) Tracer $E_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$ .

Exercice 39:

On considère la fonction $f$ définie sur IR par:
f(x)=|x+2|+|x-2|+1
1) Étudier la parité de la fonction $f$ .
2) Donner une expression simplifiée de $f (x)$ puis
étudier les variations de la fonction $f$ .
3) Tracer $E_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un
repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$ .

Exercice 40:

Soit $f$ une fonction numérique définie sur l’intervalle
$[- 5; 6]$ par le tableau de variations suivant:

1) Déterminer les extremum de la fonction $f$ .2) Déterminer le signe de $f$ sur l’intervalle $[- 5; 6]$ .

Exercice 41:

Soit $f$ la fonction définie par:
$f (x) = \sqrt{3 - 2 x}$
1) Déterminer $D_{f}$ l’ensemble de définition de $f$ .
2) a) Soit $a$ et $b$ deux éléments distincts de $D_{f}$ .
Montrer que :
$\frac{f (a) - f (b)}{a - b} = \frac{- 2}{\sqrt{3 - 2 a} + \sqrt{3 - 2 b}}$
b) En déduire la monotonie de $f$ sur $D_{f}$ .
3) Étudier les variations de la fonction $g$ définie par:
$g (x) = \sqrt{3 - 2 | x |}$

Exercice 42:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = x + \sqrt{x^{2} + x + 1}$
1) Montrer que : (∀x∈IR) $f (x) > - \frac{1}{2}$
2) Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur IR

Fonction Trinôme – Fonction Homographique

Exercice 43:

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ puis
tracer sa courbe représentative dans chacun des cas
suivants :
1) $f (x) = 5 - x^{2}$
2) $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$
3) $f (x) = - x^{2} + x + 2;$
4) $f (x) = 2 (x - 3)^{2}$
5) $f (x) = x^{2} + 2 x$
6) $f (x) = - 2 x^{2} + 3 x - 5$

Exercice 44:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = x^{2} - 3 x + 2$
1) Dresser le tableau de variations de $f$ .
2) Soit $E_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$
dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$ .
a) Déterminer les points d’intersection de la courbe $Θ_{f}$ avec les axes du repère.
b) Tracer la courbe $E_{f}$
c) Déterminer graphiquement $f ([0; 4])$ .
3) On considère la fonction $g$ définie sur IR par:
$g (x) =∣ x^{2} - 3 x + 2$
a) Tracer la courbe $e_{g}$ dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$ .
b) Dresser le tableau de variations de $g$ .
c) Déterminer selon les valeurs du paramètre $m$ le nombre de solutions de l’équation:
$| x^{2} - 3 x + 2 | = m$

Exercice 45:

On considère la fonction $f$ définie sur IR par
f(x)=x(4-|x|)
1) Étudier la parité de la fonction $f$ .
2) Étudier la monotonie de $f$ puis dresser son tableau
de variations sur IR.
3) Tracer $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans
un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$ .
4) En déduire les extremum de la fonction $f$ .

Exercice 46:

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ puis
tracer sa courbe représentative dans chacun des cas suivants
1) $f (x) = 4 - \frac{2}{x}$
2) $f (x) = \frac{x + 1}{2 x - 3}$
3) $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$
4) $f (x) = 3 + \frac{1}{x + 1}$
5) $f (x) = \frac{x}{x - 1}$
6) $f (x) = \frac{1 - 2 x}{2 - x}$

Exercice 47:

Soit $f$ la fonction numérique définie par:
f(x)=\frac{2 x-3}{x-2}
1) Dresser le tableau de variations de $f$ .
2) Soit $C_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$
dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$ .
a) Déterminer les points d’intersection de la courbe $C_{f}$
avec les axes du repère.
b) Tracer la courbe $C_{f}$
c) Déterminer graphiquement f(]2;3]:
3) On considère la fonction $g$ définie sur IR par:
$g (x) = \frac{2 | x | - 3}{| x | - 2}$
a) Étudier la parité de la fonction $g$ .
b) Vérifier que pour tout $x \in I R^{+} - 2$ : g(x)=f(x)\)
puis dresser le tableau de variations de $g$ .
c) Tracer la courbe $C_{g}$ dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$ .
d) Déterminer selon les valeurs du paramètre $m$
le nombre de solutions de l’équation:
(2-m)|x|-3+2 m=0

Exercice 48:

Soit $f$ et $g$ les fonctions numériques définies par:
$f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ et $g (x) = x^{2}$
$C_{f}$ et $C_{g}$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans
un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$ .
1) a) Résoudre dans IR l’équation : f(x)=g(x).
b) Interpréter le résultat graphiquement.
2) Tracer les courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ .
3) En déduire une comparaison des fonctions $f$ et $g$ .

Composé de deux Fonction Numérique

Exercice 49:

Pour chacun des cas suivants, calculer $f o g$ et $g o f$ après avoir déterminé leurs ensembles de définition.
1) $f (x) = 2 x - 3$ et $g (x) = x + 5$ .
2) $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .
3) $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ .
4) $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ et $g (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ .
5) $f (x) = \sqrt{x}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .
6) $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

Exercice 50:

Pour chacun des cas suivants, écrire la fonction $f$ sous
forme de composée de deux fonctions usuelles:
1) $f (x) = (2 x - 3)^{2}$
2) $f (x) = \frac{2}{3 x - 5}$
3) $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$
4) $f (x) = \sqrt{5 - 3 x}$
5) $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$
6) $f (x) = \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}}$
7) $f (x) = \frac{\sin x}{1 - \sin x}$
8) $f (x) = - \frac{1}{\cos x}$

Exercice 51:

Pour chacun des cas suivants, écrire la fonction $f$
sous forme de composée de deux fonctions usuelles:
1) $f (x) = x + \sqrt{x}$
2) $f (x) = \frac{1}{2 + \sqrt{x}}$
3) $f (x) = (x + 1)^{3}$
4) $f (x) = \frac{1}{(x - 1)^{2}}$
5) $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$
6) $f (x) = \sqrt{5 x - 3}$
7) $f (x) = x^{6} - 2 x^{3} + 1$
8) $f (x) = \frac{- 1}{(1 - 2 x)^{2}} + 3$

Exercice 52:

Soit $f$ et $g$ les fonctions numériques définies par:
$f (x) = x^{2} + 2$ et $g (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$
1) a) Étudier les variations de la fonction $g$ .
b) Étudier le signe de g(x) sur $D_{g}$ .
2) Étudier les variations de la fonction $f$ .
3) On considère la fonction numérique $h$ définie par:
$h (x) = f o g (x)$
a) Déterminer $D_{h}$ l’ensemble de définition de $h$ .
b) Calculer $h (x)$ pour tout $x \in D_{h}$
c) En utilisant les variations de la composée de deux
fonctions, étudier les variations de la fonction $h$
sur les intervalles suivantes:
$] 1; + \infty [$ et $] - \frac{3}{2}; 1 [$ et $] - \infty; - \frac{3}{2} [$

Exercice 53:

On considère la fonction $f$ définie sur IR par:
$f (x) = - x^{2} + x + 6$
1) Donner le tableau de variations de $f$ .
2) Résoudre dans IR l’inéquation : $f (x) \geq \frac{1}{2}$ .
3) Étudier la monotonie de la fonction $f o f$ .
4) Calculer $f o f (x)$ pour tout x∈IR

Exercice 54:

Soit $f$ et $g$ les fonctions numériques définies par:
$f (x) = \frac{x}{x + 2}$
$g (x) = \sqrt{x + 1}$
1) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $h = g o f$
2) Dresser le tableau de variations de $f$ et $g$ .
3) Étudier les variations de la fonction $h$ sur chacun
des intervalles ]-∞;-2[ et [-1;+∞[.
4) Calculer $h (x)$ pour tout $x \in D_{h}$ .

Exercice 55:

Soit $f$ et $g$ les fonctions numériques définies par:
$f (x) = x^{2} - x$
$g (x) = \sqrt{x}$
1) Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ .
2) Étudier les variations de la fonction $h = f o g$ sur chacun des intervalles $[0; \frac{1}{4}]$
$[\frac{1}{4}; + \infty [$ . .
3) Montrer que:
$h$ admet un minimum absolu au point d’abscisse $\frac{1}{4}$
4) On considère la fonction numérique $k$ définie par
k(x)=gof(x)
a) Déterminer $D_{k}$ l’ensemble de définition de $k$ .
b) Étudier les variations de la fonction $k$ .
c) Calculer $k (x)$ pour tout $x \in D_{k}$ .

Exercice 56:

On considère la fonction numérique $f$ définie par:
$f (x) = \frac{6 x^{2} + 8 x + 11}{(x - 1)^{2}}$
1) Montrer que pour tout $x \in D_{f} : f (x) = 2 + (g (x))$
où $g$ est une fonction à déterminer.
2) Étudier les variations de la fonction $f$ sur chacun
des intervalles: $] - \frac{3}{2}; 1 [$ et $] + \infty; - \frac{3}{2} [$ et $] 1; + \infty [$

Exercice 57:

1) Observer bien le graphe en-dessous et donner une
méthode de construction du point $M (x; g \circ f (x))$
en utilisant les graphes $C_{f}$ et $C_{g}$ et la droite $(Δ)$
d’équation cartésienne $y = x$ .
2) En utilisant cette technique, tracer la courbe de
la fonction $h : x ➝ (x + 1)^{3}$ .

Exercice 58:

Soit $f$ et $g$ les fonctions numériques définies par:
$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 1$ et $g (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$
1) Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ .
2) Montrer que la fonction $f$ est majorée par 1
3) Déterminer l’image de l’intervalle $[- 1; 0]$ par $f$ .
4) On considère la fonction numérique $h$ définie par:
$h (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6}{x^{2} - 4 x}$
a) Déterminer $D_{h}$ l’ensemble de définition de $h$ .
b) Vérifier que :
$(\forall x \in D_{h}) h (x) = g o f (x)$
c) Étudier les variations de la fonction $h$ sur chacun
des intervalles suivants:
]-∞ ; 0[;] 0 ; 2] ;[2 ; 4[;] 4 ;+∞[

Exercice 59:

Soit $f$ la fonction numérique définie par:
${\begin{cases} f (x) = \frac{- x}{1 - \sqrt{x + 1}}; x \neq 0 \\ f (0) = 2 \end{cases} .$
1) Déterminer $D_{f}$ l’ensemble de définition de $f$ .
2) Montrer que : $(\forall x \in D_{f}) f (x) = 1 + \sqrt{x + 1}$ .
3) Tracer la courbe $C_{f}$ dans un repère orthonormé.
4) Montrer que : $f ([- 1; [) 0 = [1; 2 [$ .
5) Soit $a$ un réel tel que $a \geq - 1$
et $g$ la fonction numérique définie sur IR par:
$g (x) = x^{2} + a$ .
a) Déterminer $D_{f o g}$
puis calculer fog(x) pour tout $x \in D_{f o g}$
b) Déterminer la valeur du réel $x$ pour laquelle :
$(\forall x \in D_{f o g}) f o g (x) = 1 + | x |$

Fonction Périodique

Exercice 60:

1) Montrer que $T$ est une période de la fonction $f$
dans chacun des cas suivants:
a) $f (x) = \cos (3 x)$ et $T = \frac{2 π}{3}$ .
b) $f (x) = \sin (2 x) + \cos (\frac{x}{3})$ et $T = 6 π$ .
c) $f (x) = \cos^{2} x + \sin^{2} (x + \frac{π}{9})$ et $T = π$
d) $f (x) = \tan (x + \frac{π}{4}) - \sin^{2} (x)$ et $T = π$
e) $f (x) = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x}$ et $T = π$ .
2) Déterminer une période de la fonction $f$ dans
chacun des cas suivants:
$f (x) = \cos (3 x) + \sin x; f (x) = 3 \cos x + 1$
$\begin{array}{l} f (x) = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{3}; f (x) = 2 \tan x \cdot \sin (\frac{x}{2}) \\ f (x) = \cos^{2} x + \sin (2 x); f (x) = \frac{\tan x}{1 - \tan x} \end{array}$

Exercice 61:

Soit $f$ une fonction définie sur IR telle que :
– $f$ est périodique de période 1 ;
– Pour tout $x \in [0; 1 [: f (x) = 2 x$
1) Représenter graphiquement la restriction de la
fonction $f$ sur l’intervalle $[- 5; 5]$
2) Calculer: $f (245, 75)$ et $f (2018, 12)$ .
3) Calculer $f (x)$ en fonction de $x$ pour tout
\(x ∈[2018;2019 [

Exercice 62:

Soit $f$ une fonction définie sur IR telle que :
$f$ est périodique de période 2
– Pour tout $x \in [0; 2 [: f (x) = \sin x$
1) Représenter graphiquement la restriction de la
fonction $f$ sur l’intervalle $[- 5; 5]$ .
2) Calculer: $f (4, 5); f (2245, 75); f (2 π)$ .
3) Calculer $f (x)$ en fonction de $x$ pour tout
x ∈[2018;2020[

Exercice 63:

La figure en-dessous est la représentation graphique
de la restriction d’une fonction $f$ sur $[- 2; 2]$
1) Montrer que pour tout $x \in [- 2; 2]$ :
f(x)=|x+1|+|x-1|
2) On suppose que la fonction $f$ est périodique de
période 4 et on considère l’intervalle :
$Extra close brace or missing open brace$
Donner l’expression de $f (x)$ en fonction de $x$ et $k$
pour tout $x \in I_{k}$
puis construire la représentation graphique de la restriction
de $f$ sur [-6 ; 10]\).

Exercice 64:

Soit $f$ une fonction définie sur IR telle que :
– $f$ est périodique de période 2
– Pour tout $x \in [0; 1] : f (x) = x$ ;
– Pour tout $x \in] 1; 2] : f (x) = 2 - x$
Représenter graphiquement la restriction de $f$ sur
l’intervalle $[- 5; 7]$

Exercice 65:

On considère la fonction numérique $f$
définie de IR dans IR-{0 ;1\} telle que :
(∀x ∈IR) f(x+1)= $\frac{1}{1 - f (x)}$
Montrer que $f$ est périodique.

Fonction Partie Entière

Exercice 66:

Résoudre dans IR les équations et les inéquations suivantes:
1) $E (x) = 0$
2) $E (x) = 2$
3) $E (x) = - 3$
4) $3 E (x) - 1 = 0$
5) $E (x) < 2$
6) $E (x) \geq - 1$
7) $- 1 \leq E (x) < 3$
8) $2 E (x) + 3 < 0$

Exercice 67:

On considère la fonction $f$ définie sur IR par:
f(x)=2 x-E(x)
1) Calculer $f (\frac{2019}{2})$ et $f (- \frac{\sqrt{5}}{3})$
2) Résoudre dans IR ce qui suit
f(x)=x ; f(x)≤ 2 x+1

Exercice 68:

On considère la fonction $f$ définie sur IR par:
f(x)=(x-E(x))(E(x)-x+2)
1) Calculer $f (\frac{2019}{2})$ et $f (- \frac{\sqrt{5}}{3})$
2) Résoudre dans IR ce qui suit :
f(x)=x ; f(x)≤ 2 x+1

Exercice 69:

On considère la fonction numérique $f$ définie sur IR
par: $f (x) = (x - E (x)) (E (x) - x + 2)$
1) Montrer que $f$ est périodique de période 1.
2) Représenter la restriction de la fonction $f$
sur chacun des intervalles [0;1[ et [-4;4]
3) Résoudre dans [-4;4] les équations suivantes:
a) $f (x) = 0$
b) $f (x) = 1$
c) $f (x) = 8$
d) $2 f (x) = 3$

Exercice 70:

Soit $d$ la fonction définie sur IR par: $d (x) = x - E (x)$
1) Calculer les images des réels suivants par d :
-5 ; \sqrt{2} ; 8 ; \frac{3}{2} ; 5,2
2) Déterminer trois réels positifs et trois réels négatifs vérifiant l’égalité :
d(x)=0,3
3) Vérifier que ∀x ∈IR: 0≤ d(x)<1
4) Montrer que la fonction $d$ est périodique puis
représenter sa restriction sur l’intervalle $[- 6; 6]$

Exercice 71:

Soit $f$ une fonction numérique définie sur IR* par:
∀x ∈IR * : $f (x) + 3 f (\frac{1}{x}) = E (x)$
Calculer: $f (\frac{1}{2})$ et $f (- \sqrt{2})$ et $f (2020)$