Ensemble de Définition d’une Fonction
Exercice 1:
Vérifier que:
la fonction \(f\) est bien définie sur l’intervalle \(I\)
dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=\frac{2}{x-1} ; I=]1;+∞[\)
2) \(f(x)=\sqrt{3-x} ; I=]+∞; 3]\)
3) \(f(x)=\sqrt{x^{2}+1} ; I=IR\)
4) \(f(x)=\sqrt{3-x^{2}} ; I=[-\sqrt{3};\sqrt{3}]\)
5) \(f(x)=\sqrt{(1+\cos x)(1-\sin x)} ; I=IR\)
6) \(f(x)=\sqrt{\sin x} ; I=[0; π]\).
Exercice 2:
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\)
dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}\)
2) \(f(x)=3 x^{2}-x+5\)
3) \(f(x)=\frac{2 x-3}{2 x^{2}-x-1}\)
4) \(f(x)=\frac{2-x}{x^{2}+x+1}\)
5) \(f(x)=\frac{1}{(4 x^{2}-9)(x^{2}-1)} ;\)
6) \(f(x)=\frac{1}{x^{3}-x}\)
Exercice 3:
Déterminer l’ensemble de définition
de la fonction \(f\) dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=\frac{3}{2|x|-3}\)
2) \(f(x)=\frac{x-1}{1-2|x|}\)
3) \(f(x)=\frac{2-x}{3|x|+5}\)
4) \(f(x)=\frac{2 x}{4 x^{2}-7|x|+3}\)
5) \(f(x)=\frac{-5 x-7}{x^{2}+|x|}\)
6) \(f(x)=\frac{1}{x^{2}-|x+2|}\)
Exercice 4:
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\)
dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=\sqrt{5+x}-\sqrt{2-x}\);
2) \(f(x)=\sqrt{2|x|-1}\)
3) \(f(x)=\sqrt{1+|x|}\)
4) \(f(x)=\sqrt{2 x^{2}+x-1}\)
5) \(f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\)
6) \(f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\)
7) \(f(x)=\frac{6 x-4}{\sqrt{7-2 x}}\)
8) \(f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-4}{x^{2}-2}}\)
Exercice 5:
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\)
dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=2 \cos x-\sin x\)
2) \(f(x)=3 x+\tan x\)
3) \(f(x)=\frac{\sin x}{2 \cos x-1}\)
4) \(f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{3}-\tan x}\)
5) \(f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2 \sin x+\sqrt{3}} ;\)
6) \(f(x)=\sqrt{2 \cos x-\sqrt{3}}\)
7) \(f(x)=\frac{3 \sin x}{1-2 \cos ^{2} x} ;\)
8) \(f(x)=\frac{1}{\cos x}-\frac{3}{\sin (3 x)}\)
Exercice 6:
Soit la fonction \(f\) :
\(x➝\frac{|x|-1}{x^{2}-1}-\frac{x^{2}-|x|}{x^{2}-2|x|+1}\)
1) Déterminer:
l’ensemble de définition de \(f\).
2) Simplifier:
l’expression de \(f(x)\) pour tout \(x ∈ D_{f}\).
Exercice 7:
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\) :
\(\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}+5 x+4} ; x≤ -2 \\ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}} ; x>-2\end{array}.\)
Parité d’une Fonction Numérique:
Exercice 8:
Parité d’une Fonction Numérique:
Étudier la parité de la fonction \(f\) dans chacun des cas suivants :
1) \(f(x)=|x-2|-|x+2|\)
2) \(f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}\)
3) \(f(x)=\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-9}} \)
4) \(f(x)=x^{2}-2|x|+3\)
5) \(f(x)=x|x|+1\)
6) \(f(x)=x^{3}+4 x\)
7) \(f(x)=x^{2}+7 x-4\)
8) \(f(x)=x-\frac{9}{x}\)
Exercice 9:
Étudier la parité de la fonction \(f\) dans chacun des
cas suivants :
1) \(f(x)=\cos^{2} x-\sin x\)
2) \(f(x)=\sin (3 x)\)
3) \(f(x)=x-\tan ^{3} x\)
4) \(f(x)=\frac{\cos x}{1+x^{2}}\)
5) \(f(x)=\frac{2 \cos x+1}{|\sin x|}\)
6) \(f(x)=\frac{\sin ^{2} x}{2-\cos x}\)
7) \(f(x)=|\sin x-x|\)
8) \(f(x)=x^{3} \tan (3 x)\)
Variation d’une Fonction Numérique
Exercice 10:
oit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle [-6;6]
et dont la représentation graphique est la suivante:
1) Déterminer l’expression \(f(x)\) en fonction de \(x\)
pour tout \(x ∈[-6 ; 6]\).
2) Calculer:
\(f(\sqrt{3})\) et \(f(\frac{22}{7})\).
3) Déterminer:
le signe de f(x) sur[-6 ; 6].
4) Dresser:
le tableau de variation de la fonction \(f\).
Exercice 11:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR
et dont la représentation graphique est la suivante:
1) Résoudre graphiquement l’équation: \(f(x)=x\).
2) Résoudre graphiquement les inéquations suivantes:
a) \(f(x) ≥ x\)
b) \(f(x)<x\)
3) Déterminer:
l’expression de \(f(x)\) sachant que \(f\)
est un polynôme du second degré.
4) Dresser:
le tableau de variation de \(f\) sur IR.
Exercice 12:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=|x+1|-2|x|+|x-1|-1\)
\(C_{f}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Montrer que la fonction \(f\) est paire.
2) Étudier les variations de la fonction \(f\).
3) Tracer la courbe \(C_{f}\).
4) Résoudre graphiquement l’inéquation suivante:
\(|x+1|+|x-1|>2|x|+\frac{2 x+4}{5}\)
Exercice 13:
Étudier le signe de la fonction \(f\) dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=x^{2}-5 x+6\)
2) \(f(x)=-15 x^{2}+x+2\)
3) \(f(x)=\frac{2 x-3}{4 x+7}\)
4) \(f(x)=\frac{\sin x-1}{1-\cos x}\)
5) \(f(x)=\frac{|x-1|}{2 x^{2}+x-1}\)
6) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x}-1}\)
7) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}+x}\)
8) \(f(x)=\frac{1-x}{2 \sin x-3}\)
9) \(f(x)=\sin x(2 \cos x-1) ;\)
10) \(f(x)=\frac{\tan x}{1-\sin x}\)
Exercice 14:
Soit \(f\) et \(g\) les fonctions définies par:
\(f(x)=\frac{2 x+1}{x+1}\) et \(g(x)=\frac{x-1}{2 x-1}\)
1) Déterminer les ensembles de définition de \(f\) et \(g\).
2) Comparer les fonctions \(f\) et \(g\).
3) Comparer les nombres suivants:
\(a=\frac{0,9999}{0,9998}\)
\(b=\frac{1,0002}{1,0001}\)
Exercice 15:
Comparer les fonctions \(f\) et \(g\) dans chacun des cas
suivants:
1) \(f(x)=\frac{2}{x^{2}+3}\)
\(g(x)=\frac{2}{x+3}\).
2) \(f(x)=\frac{x}{x+1}\)
\(g(x)=x^{2}\).
3) \(f(x)=x^{2}-3 x+5\)
\(g(x)=-x^{2}+2 x+2\).
4) \(f(x)=\frac{3 x^{2}-x+3}{x-1}\)
\(g(x)=3 x-2\).
5) \(f(x)=\frac{x}{2}\)
\(g(x)=\frac{-1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}\)
Exercice 16:
Soit \(c_{f}\) et \(c_{g}\) les courbes représentatives:
de deux fonctions \(f\) et \(g\)
dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\).
1) a) Comparer:
les fonctions \(f\) et \(g\) sur \([-4;4]\).
b) En déduire:
les solutions dans \([-4;4]\) de l’inéquation: \(f(x)>g(x)\).
2) Déterminer:
le signe de chacune des fonctions \(f\) et \(g\)
3) Dresser:
le tableau de variations de chacune des fonctions \(f\) et \(g\).
Exercice 17:
Soit \(f\) la fonction numérique définie par:
\(f(x)=\frac{x^{2}-6 x+5}{-x^{2}+x+6}\)
\(C_{f}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Étudier la position relative
de la courbe \(C_{f}\) par rapport à l’axe des abscisses.
Fonction Minorée – Majorée – Bornée
Exercice 18:
1) Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=2 x^{2}-4 x-1\)
Montrer que la fonction \(f\) est minorée par -3.
2) Soit \(g\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(g(x)=\frac{1}{x^{2}-2 x+2}\)
a) Déterminer:
\(D_{g}\) l’ensemble de définition de \(g\).
b) Montrer que:
\(∀ x∈D_{g}) 0<g(x)≤ 1\)
Exercice 19:
1) Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}\)
Montrer que:
la fonction \(f\) est bornée par: \frac{1}{2}\) et \(-\frac{1}{2}\)
2) Soit \(g\) la fonction numérique définie sur IR+ par:
\(g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
Montrer que:
la fonction \(g\) est bornée par 0 et 1 .
Exercice 20:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=-x^{2}+x+\frac{7}{4}\)
1) Montrer que la fonction \(f\) est majorée par 2 .
2) Montrer par l’absurde que \(f\) n’est pas minorée.
Exercice 21:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{2}{|x-2|-1}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que : ∀x ∈ IR- : 0<f(x)≤ 2
Exercice 22:
Soit \(f\) la fonction numérique définie par:
\(f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Étudier le signe de la fonction \(f\).
3) Montrer que:
la fonction \(f\) est majorée par \(\frac{\sqrt{2}}{4}\).
Exercice 23:
Soit \(f\) et \(g\) les fonctions numériques définies sur IR
par:
\(f(x)=\frac{x \cos x}{x^{2}+1}\) et \(g(x)=\frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
Montrer que:
\(f\) et \(g\) sont bornées sur IR.
Exercice 24:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{2 x^{4}-x^{2}}{x^{4}+1}\)
1) Montrer que pour tout x∈IR:
\(|f(x)|≤ \frac{2 x^{4}}{x^{4}+1}+\frac{x^{2}}{x^{4}+1}\)
2) En déduire que \(f\) est bornée sur IR.
Exercice 25:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{4 x+3}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
1) Vérifier que:
\((∀x ∈ IR)(4 x+3)^{2}≤ 25(x^{2}+1)\)
2) En déduire que ∀x ∈ IR: |f(x)|≤ 5\)
Extremum d’une Fonction Numérique
Exercice 26:
1) Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=-x^{2}+4 x+5\)
Montrer que:
9 est la valeur maximale absolue de \(f\).
2) Soit \(g\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(g(x)=x^{2}-2 x+3\)
Montrer que:
2 est la valeur minimale absolue de \(g\).
Exercice 27:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}\)
1) Montrer que:
l est la valeur minimale absolue de \(f\).
2) Montrer que:
\(\frac{7}{3}\) est la valeur maximale absolue de \(f\).
Exercice 28:
Soit la fonction f :
\(x➝\frac{\cos x}{1+\sqrt{x^{2}+1}}\)
Montrer que:
\(f\) admet un maximum absolu sur IR.
Exercice 29:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=-x^{3}+3x\)
1) Montrer que:
\(f(1)\) est la valeur maximale de la
fonction \(f\) sur l’intervalle IR+.
2) a) Vérifier que:
la fonction \(f\) est impaire.
b) En déduire:
la valeur minimale de la fonction \(f\)
sur l’intervalle IR-.
Exercice 30:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR* par:
\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)
1) Montrer que ∀x ∈ IR+*: f(x) ≥ 2
2) La fonction \(f\) est-elle bornée sur IR* ? Justifier
3) La fonction \(f\) admet-elle un minimum sur IR* ?
un maximum sur IR* ?
Monotonie d’une Fonction Numérique
Exercice 31:
Soit la fonction \(f\) définie sur IR par:
\((f(x)=x^{3}-6 x\)
1) Vérifier que la fonction \(f\) est impaire.
2) Montrer qu:
pour tous réels \(x\) et \(y\) tels que x≠ y:
\(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=x^{2}+x y+y^{2}-6\)
3) Étudier les variations de la fonction \(f\) sur chacun
des intervalles [0;\(\sqrt{2}\)] et [\(\sqrt{2}\);+∞[
4) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur IR.
5) En déduire les extremum de la fonction \(f\).
Exercice 32:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par :
\(f(x)=\frac{x^{2}+3}{|x|+1}\)
1) Étudier la parité de la fonction \(f\).
2) Montrer que la fonction \(f\) admet un minimum
absolu au point \(x_{0}=1\)
3) a) Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur
chacun des intervalles [0;1] et [1;+∞[
b) Donner le tableau de variations de la fonction \(f\).
Exercice 33:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR- par:
\(f(x)=\frac{x}{x^{3}+2}\)
1) Montrer que pour tous réels positifs \(a\) et \(b\) :
\(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{2-a b(a+b)}{(a^{3}+2)(b^{3}+2)}\)
2) a) Étudier les variations de la fonction \(f\) sur
chacun des intervalles [0;1] et [1;+∞[
b) En déduire que ∀x∈[2;3]:
\(\frac{3}{29}≤ f(x)≤ \frac{1}{5}\)
Exercice 34:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{x|x|}{x^{2}+1}\)
1) Étudier la parité de la fonction \(f\).
2) Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur IR+.
3) En déduire la monotonie de \(f\) sur IR-.
Exercice 35:
Soit \(f\) la fonction définie par:
\(f(x)=\frac{|x|}{\sqrt{9-x^{2}}}\)
1) a) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
b) Étudier la parité de la fonction \(f\).
2) Soit \(a\) et \(b\) deux éléments de \(D_{f}\).
a) Calculer \((f(a))^{2}-(f(b))^{2}\)
b) En déduire la monotonie de \(f\) sur chacun des
intervalles [0;3[ et ]-3;0]
Exercice 36:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
f(x)=\frac{|x|}{x^{2}+|x|+1}
1) a) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
b) Étudier la parité de la fonction \(f\).
2) Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur IR+.
3) En déduire la monotonie de \(f\) sur IR- puis dresser
le tableau de variations de \(f\).
Exercice 37:
Soit \(f\) la fonction numérique définie par:
f(x)=x+\frac{3}{x}
1) Déterminer l’ensemble de définition de \(f\) puis
vérifier que la fonction \(f\) est impaire.
2) a) Soit \(a\) et \(b\) deux éléments distincts de \(D_{f}\).
Montrer que: \(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{a b-3}{a b}\).
b) En déduire la monotonie de \(f\) sur chacun des
intervalles \(] 0 ; \sqrt{3}]\) et \([\sqrt{3} ;+∞[\).
3) Dresser le tableau de variations de \(f \operatorname{sur} D_{f}\).
4) Déterminer les extrema de la fonction \(f\).
Exercice 38:
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par:
f(x)=|x+1|-|x-1|
1) Étudier la parité de la fonction \(f\).
2) Donner une expression simplifiée de \(f(x)\) puis étudier les variations de la fonction \(f\).
3) Tracer \(\mathcal{E}_{f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\).
Exercice 39:
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par:
f(x)=|x+2|+|x-2|+1
1) Étudier la parité de la fonction \(f\).
2) Donner une expression simplifiée de \(f(x)\) puis
étudier les variations de la fonction \(f\).
3) Tracer \(\mathcal{E}_{f}\) la courbe représentative de \(f\) dans un
repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\).
Exercice 40:
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur l’intervalle
\([-5 ; 6]\) par le tableau de variations suivant:
1) Déterminer les extremum de la fonction \(f\).2) Déterminer le signe de \(f\) sur l’intervalle \([-5 ; 6]\).
Exercice 41:
Soit \(f\) la fonction définie par:
\(f(x)=\sqrt{3-2x}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) a) Soit \(a\) et \(b\) deux éléments distincts de \(D_{f}\).
Montrer que :
\(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{-2}{\sqrt{3-2 a}+\sqrt{3-2 b}}\)
b) En déduire la monotonie de \(f\) sur \(D_{f}\).
3) Étudier les variations de la fonction \(g\) définie par:
\(g(x)=\sqrt{3-2|x|}\)
Exercice 42:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=x+\sqrt{x^{2}+x+1}\)
1) Montrer que : (∀x∈IR) \( f(x)>-\frac{1}{2}\)
2) Montrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur IR
Fonction Trinôme – Fonction Homographique
Exercice 43:
Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) puis
tracer sa courbe représentative dans chacun des cas
suivants :
1) \(f(x)=5-x^{2}\)
2) \(f(x)=x^{2}-2 x+3\)
3) \(f(x)=-x^{2}+x+2 ;\)
4) \(f(x)=2(x-3)^{2}\)
5) \(f(x)=x^{2}+2 x\)
6) \(f(x)=-2 x^{2}+3 x-5\)
Exercice 44:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=x^{2}-3 x+2\)
1) Dresser le tableau de variations de \(f\).
2) Soit \(\mathscr{E}_{f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\)
dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\).
a) Déterminer les points d’intersection de la courbe \(\Theta_{f}\) avec les axes du repère.
b) Tracer la courbe \(\mathscr{E}_{f}\)
c) Déterminer graphiquement \(f([0 ; 4])\).
3) On considère la fonction \(g\) définie sur IR par:
\(g(x)=\mid x^{2}-3 x+2\)
a) Tracer la courbe \(\mathscr{e}_{g}\) dans le repère \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\).
b) Dresser le tableau de variations de \(g\).
c) Déterminer selon les valeurs du paramètre \(m\) le nombre de solutions de l’équation:
\(|x^{2}-3 x+2|=m\)
Exercice 45:
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par
f(x)=x(4-|x|)
1) Étudier la parité de la fonction \(f\).
2) Étudier la monotonie de \(f\) puis dresser son tableau
de variations sur IR.
3) Tracer \(C_{f}\) la courbe représentative de \(f\) dans
un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
4) En déduire les extremum de la fonction \(f\).
Exercice 46:
Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) puis
tracer sa courbe représentative dans chacun des cas suivants
1) \(f(x)=4-\frac{2}{x}\)
2) \(f(x)=\frac{x+1}{2 x-3}\)
3) \(f(x)=\frac{2 x-1}{x+1}\)
4) \(f(x)=3+\frac{1}{x+1}\)
5) \(f(x)=\frac{x}{x-1}\)
6) \(f(x)=\frac{1-2 x}{2-x}\)
Exercice 47:
Soit \(f\) la fonction numérique définie par:
f(x)=\frac{2 x-3}{x-2}
1) Dresser le tableau de variations de \(f\).
2) Soit \(C_{f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\)
dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\).
a) Déterminer les points d’intersection de la courbe \(C_{f}\)
avec les axes du repère.
b) Tracer la courbe \(C_{f}\)
c) Déterminer graphiquement f(]2;3]:
3) On considère la fonction \(g\) définie sur IR par:
\(g(x)=\frac{2|x|-3}{|x|-2}\)
a) Étudier la parité de la fonction \(g\).
b) Vérifier que pour tout \(x∈IR^{+}-{2}\): g(x)=f(x)\)
puis dresser le tableau de variations de \(g\).
c) Tracer la courbe \(C_{g}\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
d) Déterminer selon les valeurs du paramètre \(m\)
le nombre de solutions de l’équation:
(2-m)|x|-3+2 m=0
Exercice 48:
Soit \(f\) et \(g\) les fonctions numériques définies par:
\(f(x)=\frac{2 x}{x+1} \quad\) et \(g(x)=x^{2}\)
\(C_{f}\) et \(C_{g}\) les courbes représentatives de \(f\) et \(g\) dans
un repère orthonormé \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\).
1) a) Résoudre dans IR l’équation : f(x)=g(x).
b) Interpréter le résultat graphiquement.
2) Tracer les courbes \(C_{f}\) et \(C_{g}\).
3) En déduire une comparaison des fonctions \(f\) et \(g\).
Composé de deux Fonction Numérique
Exercice 49:
Pour chacun des cas suivants, calculer \(f o g\) et \(g o f\) après avoir déterminé leurs ensembles de définition.
1) \(f(x)=2 x-3\) et \(g(x)=x+5\).
2) \(f(x)=x^{2}\) et \(g(x)=x-1\).
3) \(f(x)=x^{2}\) et \(g(x)=\frac{x+1}{x}\).
4) \(f(x)=\frac{x-1}{x+1}\) et \(g(x)=\frac{x+2}{x-3}\).
5) \(f(x)=\sqrt{x}\) et \(g(x)=x^{2}-4\).
6) \(f(x)=x^{3} \quad\) et \(g(x)=\frac{1}{x-1}\).
Exercice 50:
Pour chacun des cas suivants, écrire la fonction \(f\) sous
forme de composée de deux fonctions usuelles:
1) \(f(x)=(2 x-3)^{2}\)
2) \(f(x)=\frac{2}{3 x-5}\)
3) \(f(x)=2 \sqrt{x}+3\)
4) \(f(x)=\sqrt{5-3 x}\)
5) \(f(x)=\sin (2 x+\frac{π}{3})\)
6) \(f(x)=\sqrt{\cos x-\frac{1}{2}}\)
7) \(f(x)=\frac{\sin x}{1-\sin x}\)
8) \(f(x)=-\frac{1}{\cos x}\)
Exercice 51:
Pour chacun des cas suivants, écrire la fonction \(f\)
sous forme de composée de deux fonctions usuelles:
1) \(f(x)=x+\sqrt{x}\)
2) \(f(x)=\frac{1}{2+\sqrt{x}}\)
3) \(f(x)=(x+1)^{3}\)
4) \(f(x)=\frac{1}{(x-1)^{2}}\)
5) \(f(x)=\sqrt{2-x^{2}}\)
6) \(f(x)=\sqrt{5 x-3}\)
7) \(f(x)=x^{6}-2 x^{3}+1\)
8) \(f(x)=\frac{-1}{(1-2 x)^{2}}+3\)
Exercice 52:
Soit \(f\) et \(g\) les fonctions numériques définies par:
\(f(x)=x^{2}+2\) et \(g(x)=\frac{2 x+3}{x-1}\)
1) a) Étudier les variations de la fonction \(g\).
b) Étudier le signe de g(x) sur \(D_{g}\).
2) Étudier les variations de la fonction \(f\).
3) On considère la fonction numérique \(h\) définie par:
\(h(x)=fog(x)\)
a) Déterminer \(D_{h}\) l’ensemble de définition de \(h\).
b) Calculer \(h(x)\) pour tout \(x∈D_{h}\)
c) En utilisant les variations de la composée de deux
fonctions, étudier les variations de la fonction \(h\)
sur les intervalles suivantes:
\(]1 ;+∞[\) et \(]-\frac{3}{2};1[\) et \(]-∞;-\frac{3}{2}[\)
Exercice 53:
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=-x^{2}+x+6\)
1) Donner le tableau de variations de \(f\).
2) Résoudre dans IR l’inéquation : \(f(x) ≥ \frac{1}{2}\).
3) Étudier la monotonie de la fonction \(f o f\).
4) Calculer \(f o f(x)\) pour tout x∈IR
Exercice 54:
Soit \(f\) et \(g\) les fonctions numériques définies par:
\(f(x)=\frac{x}{x+2}\)
\(g(x)=\sqrt{x+1}\)
1) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(h=gof\)
2) Dresser le tableau de variations de \(f\) et \(g\).
3) Étudier les variations de la fonction \(h\) sur chacun
des intervalles ]-∞;-2[ et [-1;+∞[.
4) Calculer \(h(x)\) pour tout \(x∈D_{h}\).
Exercice 55:
Soit \(f\) et \(g\) les fonctions numériques définies par:
\(f(x)=x^{2}-x\)
\(g(x)=\sqrt{x}\)
1) Étudier les variations des fonctions \(f\) et \(g\).
2) Étudier les variations de la fonction \(h=fog\) sur chacun des intervalles \([0;\frac{1}{4}]\)
\([\frac{1}{4} ;+∞[\). .
3) Montrer que:
\(h\) admet un minimum absolu au point d’abscisse \(\frac{1}{4}\)
4) On considère la fonction numérique \(k\) définie par
k(x)=gof(x)
a) Déterminer \(D_{k}\) l’ensemble de définition de \(k\).
b) Étudier les variations de la fonction \(k\).
c) Calculer \(k(x)\) pour tout \(x∈D_{k}\).
Exercice 56:
On considère la fonction numérique \(f\) définie par:
\(f(x)=\frac{6 x^{2}+8 x+11}{(x-1)^{2}}\)
1) Montrer que pour tout \(x ∈ D_{f}: f(x)=2+(g(x))\)
où \(g\) est une fonction à déterminer.
2) Étudier les variations de la fonction \(f\) sur chacun
des intervalles: \(]-\frac{3}{2} ; 1[\) et \(]+∞ ;-\frac{3}{2}[\) et \(] 1 ;+∞[\)
Exercice 57:
1) Observer bien le graphe en-dessous et donner une
méthode de construction du point \(M(x ; g \circ f(x))\)
en utilisant les graphes \(C_{f}\) et \(C_{g}\) et la droite \((Δ)\)
d’équation cartésienne \(y=x\).
2) En utilisant cette technique, tracer la courbe de
la fonction \(h: x➝(x+1)^{3}\).
Exercice 58:
Soit \(f\) et \(g\) les fonctions numériques définies par:
\(f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+2 x-1\) et \(g(x)=\frac{2 x-1}{x+1}\)
1) Étudier les variations des fonctions \(f\) et \(g\).
2) Montrer que la fonction \(f\) est majorée par 1
3) Déterminer l’image de l’intervalle \([-1 ; 0]\) par \(f\).
4) On considère la fonction numérique \(h\) définie par:
\(h(x)=\frac{2 x^{2}-8 x+6}{x^{2}-4 x}\)
a) Déterminer \(D_{h}\) l’ensemble de définition de \(h\).
b) Vérifier que :
\((∀x ∈ D_{h}) h(x)=g o f(x)\)
c) Étudier les variations de la fonction \(h\) sur chacun
des intervalles suivants:
]-∞ ; 0[;] 0 ; 2] ;[2 ; 4[;] 4 ;+∞[
Exercice 59:
Soit \(f\) la fonction numérique définie par:
\(\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{-x}{1-\sqrt{x+1}} ; x≠ 0 \\ f(0)=2\end{array}.\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que : \((∀x ∈ D_{f}) f(x)=1+\sqrt{x+1}\).
3) Tracer la courbe \(C_{f}\) dans un repère orthonormé.
4) Montrer que : \(f([-1 ; [)0=[1 ; 2[\).
5) Soit \(a\) un réel tel que \(a ≥-1\)
et \(g\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(g(x)=x^{2}+a\).
a) Déterminer \(D_{fog }\)
puis calculer fog(x) pour tout \(x ∈ D_{f o g}\)
b) Déterminer la valeur du réel \(x\) pour laquelle :
\((∀x ∈ D_{f o g}) f o g(x)=1+|x|\)
Fonction Périodique
Exercice 60:
1) Montrer que \(T\) est une période de la fonction \(f\)
dans chacun des cas suivants:
a) \(f(x)=\cos (3 x)\) et \(T=\frac{2 π}{3}\).
b) \(f(x)=\sin (2 x)+\cos (\frac{x}{3})\) et \(T=6 π\).
c) \(f(x)=\cos ^{2} x+\sin ^{2}(x+\frac{π}{9})\) et \(T=π\)
d) \(f(x)=\tan (x+\frac{π}{4})-\sin ^{2}(x)\) et \(T=π\)
e) \(f(x)=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}\) et \(T=π\).
2) Déterminer une période de la fonction \(f\) dans
chacun des cas suivants:
\(f(x)=\cos (3 x)+\sin x ; f(x)=3 \cos x+1\)
\(\begin{array}{l}
f(x)=\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{3} ; f(x)=2 \tan x \cdot \sin (\frac{x}{2}) \\
f(x)=\cos ^{2} x+\sin (2 x) ; f(x)=\frac{\tan x}{1-\tan x}
\end{array}\)
Exercice 61:
Soit \(f\) une fonction définie sur IR telle que :
– \(f\) est périodique de période 1 ;
– Pour tout \(x ∈[0 ; 1[: f(x)=2 x\)
1) Représenter graphiquement la restriction de la
fonction \(f\) sur l’intervalle \([-5;5]\)
2) Calculer: \(f(245,75)\) et \(f(2018,12)\).
3) Calculer \(f(x)\) en fonction de \(x\) pour tout
\(x ∈[2018;2019 [
Exercice 62:
Soit \(f\) une fonction définie sur IR telle que :
\(f\) est périodique de période 2
– Pour tout \(x ∈[0 ; 2[: f(x)=\sin x\)
1) Représenter graphiquement la restriction de la
fonction \(f\) sur l’intervalle \([-5 ; 5]\).
2) Calculer: \(f(4,5) ; f(2245,75) ; f(2 π)\).
3) Calculer \(f(x)\) en fonction de \(x\) pour tout
x ∈[2018;2020[
Exercice 63:
La figure en-dessous est la représentation graphique
de la restriction d’une fonction \(f\) sur \([-2 ; 2]\)
1) Montrer que pour tout \(x ∈[-2 ; 2]\) :
f(x)=|x+1|+|x-1|
2) On suppose que la fonction \(f\) est périodique de
période 4 et on considère l’intervalle :
\(I_{k}=[4 k ; 4(k+1)[ où } k ∈Z\)
Donner l’expression de \(f(x)\) en fonction de \(x\) et \(k\)
pour tout \(x ∈ I_{k}\)
puis construire la représentation graphique de la restriction
de \(f \) sur [-6 ; 10]\).
Exercice 64:
Soit \(f\) une fonction définie sur IR telle que :
– \(f\) est périodique de période 2
– Pour tout \(x ∈[0 ; 1]: f(x)=x\);
– Pour tout \(x ∈] 1 ; 2]: f(x)=2-x\)
Représenter graphiquement la restriction de \(f\) sur
l’intervalle \([-5 ; 7]\)
Exercice 65:
On considère la fonction numérique \(f\)
définie de IR dans IR-{0 ;1\} telle que :
(∀x ∈IR) f(x+1)=\(\frac{1}{1-f(x)}\)
Montrer que \(f\) est périodique.
Fonction Partie Entière
Exercice 66:
Résoudre dans IR les équations et les inéquations suivantes:
1) \(E(x)=0\)
2) \(E(x)=2\)
3) \(E(x)=-3\)
4) \(3 E(x)-1=0\)
5) \(E(x)<2\)
6) \(E(x) ≥-1\)
7) \(-1≤ E(x)<3\)
8) \(2 E(x)+3<0\)
Exercice 67:
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par:
f(x)=2 x-E(x)
1) Calculer \(f(\frac{2019}{2})\) et \(f(-\frac{\sqrt{5}}{3})\)
2) Résoudre dans IR ce qui suit
f(x)=x ; f(x)≤ 2 x+1
Exercice 68:
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par:
f(x)=(x-E(x))(E(x)-x+2)
1) Calculer \(f(\frac{2019}{2})\) et \(f(-\frac{\sqrt{5}}{3})\)
2) Résoudre dans IR ce qui suit :
f(x)=x ; f(x)≤ 2 x+1
Exercice 69:
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur IR
par: \(f(x)=(x-E(x))(E(x)-x+2)\)
1) Montrer que \(f\) est périodique de période 1.
2) Représenter la restriction de la fonction \(f\)
sur chacun des intervalles [0;1[ et [-4;4]
3) Résoudre dans [-4;4] les équations suivantes:
a) \(f(x)=0\)
b) \(f(x)=1\)
c) \(f(x)=8\)
d) \(2f(x)=3\)
Exercice 70:
Soit \(d\) la fonction définie sur IR par: \(d(x)=x-E(x)\)
1) Calculer les images des réels suivants par d :
-5 ; \sqrt{2} ; 8 ; \frac{3}{2} ; 5,2
2) Déterminer trois réels positifs et trois réels négatifs vérifiant l’égalité :
d(x)=0,3
3) Vérifier que ∀x ∈IR: 0≤ d(x)<1
4) Montrer que la fonction \(d\) est périodique puis
représenter sa restriction sur l’intervalle \([-6 ; 6]\)
Exercice 71:
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur IR* par:
∀x ∈IR * : \(f(x)+3 f(\frac{1}{x})=E(x)\)
Calculer: \(f(\frac{1}{2})\) et \(f(-\sqrt{2})\) et \(f(2020)\)