Exercice 1:
Soit \((u_{n})\) la suite définie par:
∀n ∈IN*: \(u_{n}=\sum_{p=0}^{n} \frac{1}{P!}\)
1) Calculer:
\({u}_{1} ; ∀{u}_{2}\) et \({u}_{3}\)
2) Montrer que:
la suite \((u_{n})\) est croissante
3) Soit v la suite définie par :
\(∀n∈IN^{*} {v}_{n}={u}_{n}+\frac{1}{n×n!}\)
Montrer que:
\((v_{n})\) est une suite décroissante.
4) Vérifier que:
\(\lim _{n➝+∞}(u_{n}-v_{n})=0\)
5) En déduire que:
\((u_{n})\) et \((v_{n})\) ont la même limite \(L\)
6-a) Montrer que:
∀p≥ 1 on a: \(p!≤ 2^{P}\)
b) En déduire que: \({L} ≥ 2\)
Exercice 2:
Soit \((u_{n})\) la suite définie sur IN par:
\(u_{0}=0\)
\(u_{n+1}=\sqrt{3u_{n}+4}; ∀n∈IN\)
1)a- Montrer que:
la suite U est majorée par 4
b) Montrer que:
\((u_{n})\) est strictement croissante
c) Déduire que:
\((u_{n})\) est convergente est calculer sa limite
2)a- Montrer que:
pour tout n de IN on a:
\(0≤ 4-u_{n+1}≤ \frac{1}{2}(4-U_{n})\)
b) Déduire que:
pour tout ∀ n de IN on a:
\(0≤ 4-u_{n}≤ 4(\frac{1}{2})^{n}\)
c) Retrouver: \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)
3) Pour tout n∈IN* on pose:
\(S_{n}=\sum_{k=1}^{n} u_{k}\)
a) Montrer que:
\(0≤ 4n-S_{n}≤ 4(1-(\frac{1}{2})^{n})\)
Déduire:
\(\lim _{n➝+∞} S_{n}\)
Exercice 3:
Soit u la suite définie sur IN par:
\(u_{0}=1\)\(u_{n+1}=\frac{4}{4-u_{n}} ; n∈IN\)
1)a- Montrer que:
\(∀n∈IN, u_{n}<2\)
b) Montrer que:
\((u_{n})\) est croissantec)
En déduire que:
\((u_{n})\) est convergente et calculer sa limite
2) Soit \(v\) la suite définie sur IN par:
\(v_{n}=\frac{1}{u_{n}-2}\)
a) Montrer que:
v est une suite arithmétique deraison \(-\frac{1}{2}\)
b) En déduire:
\(v_{n}\) à l’aide de n et calculer \(\lim _{n➝+∞} v_{n}\)
c) Exprimer:
\(u_{n}\) à l’aide de n et retrouver \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)
Exercice 4:
Soit la suite \((u_{n})\) définie sur IN par:
\(u_{0}=0\) \(u_{n+1}=\sqrt{4+3 u_{n}}\)
1) a)Montrer que:
pour tout \(n∈IN ; 0≤ u_{n}≤ 4\)
b) Montrer que:
\(u_{n+1}-u_{n}\)\(=\frac{-(u_{n})^{2}+3 u_{n}+4}{\sqrt{4+3 u_{n}}+u_{n}}\)
puis montrer que \((u_{n})\) est croissantec)
Montrer que pour tout n de IN:
\(|u_{n}-4|≤ \frac{4}{2^{n}}\)
d) Calculer:
la limite de \((u_{n})\)
Exercice 5:
On considère la suite réelle \((u_{n})\) définie sur IN par:
\(u_{0}=0\) \(u_{n+1}=\frac{3}{\sqrt{6-u_{n}^{2}}}\)
1) Calculer: \((u_{1})\) et \((u_{2})\).
2) a- Montrer que:
∀n ∈INon a: \(0≤ u_{n}<\sqrt{3}\)
b- Montrer que:
\((u_{n})\) est une suite croissante.
c- En déduire que:
\((u_{n})\) est convergente etcalculer sa limite.
3 ) Soit \((v_{n})\) la suite définie sur IN par :\(v_{n}=\frac{u_{n}^{2}}{3-u_{n}^{2}}\)
a- Montrer que:
\((v_{n})\) est une suite arithmétique de raison 1.
b- Exprimer :\(v_{n}\) en fonction de n.
En déduire: \(u_{n}\) en fonction de n.
c- Retrouver: alors la limite de \(u_{n}\).
Exercice 6:
Soit \(α\) un nombre réel appartenant à l’intervalle ] 0,1[.
On considère la suite \((u_{n})\) définie sur IN par:
\(u_{0}=2\)
\(u_{n+1}=\frac{(1+α)×u_{n}-α}{u_{n}}\)
1) a- Montrer que:
pour tout entier n on a \(u_{n} ≥ 1\)
b- Montrer que:
\((u_{n})\) est une suite décroissante.
c- En déduire que \((u_{n})\) est convergente et trouver salimite.
2) Soit \((v_{n})\) la suite définie sur IN par:\(v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}-α}\)
a- Montrer que:
\((v_{n})\) est une suite géométrique de raison\(α\)
b- Exprimer:
\(v_{n}\) en fonction de \(n\) et \(α\).
En déduire:l’expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\) et \(α\).
c- Retrouver alors:
la limite de la suite \(u_{n}\) quand \(n\) tends vers +∞.
Exercice 7:
On considère la suite réelle \((u_{n})\) définie sur IN par:
\(u_{0}=4\) \(u_{n+1}=\sqrt{12-u_{n}}\)
1) Vérifier que:
\(∀n∈IN: u_{n+1}-3=\frac{3-u_{n}}{\sqrt{12-u_{n}}+3}\)
2) Montrer que:
\(∀n ∈ ∀{N} ; \quad|u_{n+1}-3|≤ \frac{1}{3}|u_{n}-3|\)
3) Montrer que:
\(∀n ∈ ∀{N} ; \quad|u_{n+1}-3|≤ (\frac{1}{3})^{n}\)
4) Déterminer:
la limite de \(u_{n}\) quand \(n\) tends vers +∞.
Exercice 8:
On considère la suite réelle \((u_{n})\)
définie sur IN par: \(u_{0}=\cos(Ө) ( 0≤Ө≤ \frac{\pi}{2})\)
\(u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_{n}}{2}}\)
1) Montrer que:
\(u_{1}=\cos(\frac{Ө}{2})\)
2) Montrer que:
∀n∈IN on a: \(0≤ u_{n}≤ 1\)
et que\((u_{n})\) est une suite croissante.
3) Montrer que:
\((u_{n})\) est convergente vers un réel à préciser.
4)Montrer que:
∀n ∈IN on a :\(u_{n}=\cos (\frac{\theta}{2^{n}})\);
Retrouver alors la limite de \((u_{n})\)
Exercice 9:
Soit \((u_{n})\) la suite définie sur IR par:
\(u_{0}=2\) \(u_{n+1}=2+\frac{3}{u_{n}}\)
1) Montrer que:
\(∀n∈ IN, u_{n} ≥ 2\).
2) Déterminer:
le sens de variation de la fonction \(f\)
définie sur \(IR_{+}^{*}\) par:
\(f(x)=2+\frac{3}{x}\)
3)Soit la suite \((v_{n})\) définie sur IN par:
\(v_{n}=u_{2 n}\)
a- Montrer par récurrence que:
la suite \((v_{n})\) est majorée par 3.
b- Montrer par récurrence que:
la suite \((v_{n})\) est croissante.
4) a- Montrer que:
pour tout entier n on a:\(|u_{n+1}-3|≤ \frac{1}{2}|u_{n}-3|\)
b- Montrer par récurrence que:
∀n∈IN,\(|u_{n+1}-3|≤ (\frac{1}{2})^{n}\)
c- En déduire:
la limite de la suite \(u_{n}\) puis celle de \((v_{n})\)
Exercice 10:
Soit la suite réelle \((u_{n})\) définie sur IN par:
\({u}_{0}=4\)
\({u}_{n+1}=\frac{4{u}_{n}-3}{{u}_{n}} ; ∀n∈IN\)
1)a- Montrer que :
la suite u est minorée par 3
b) Montrer que:
la suite u est décroissante
c) En déduire que: la suite u est convergente
2)a- Montrer que:
\(∀n∈IN, u_{n+1}-3≤ \frac{1}{3}(u_{n}-3)\)
b) En déduire que:
\(∀n∈IN, u_{n}-3≤( \frac{1}{3})^{n}\)
c) Calculer:
la limite de la suite \((u_{n})\)