Suites Numériques Exercices 2 bac SM série 5

Exercice 1:

Soit   $(u_{n})$ la suite définie par:
∀n ∈IN*: $u_{n} = \sum_{p = 0}^{n} \frac{1}{P!}$

1) Calculer:
$u_{1}; \forall u_{2}$ et $u_{3}$

2) Montrer que:
la suite   $(u_{n})$ est croissante

3) Soit v la suite définie par :
$\forall n \in I N^{*} v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n \times n!}$
Montrer que:
$(v_{n})$ est une suite décroissante.

4) Vérifier que:
$lim_{n ➝ + \infty} (u_{n} - v_{n}) = 0$

5) En déduire que:
$(u_{n})$ et   $(v_{n})$ ont la même limite $L$

6-a) Montrer que:
∀p≥ 1 on a: $p! \leq 2^{P}$
b) En déduire que: $L \geq 2$

Exercice 2:

Soit $(u_{n})$ la suite définie sur IN par:
$u_{0} = 0$
$u_{n + 1} = \sqrt{3 u_{n} + 4}; \forall n \in I N$

1)a- Montrer que:
la suite U est majorée par 4
b) Montrer que:
$(u_{n})$ est strictement croissante
c) Déduire que:
$(u_{n})$ est convergente est calculer sa limite

2)a- Montrer que:
pour tout n de IN on a:
$0 \leq 4 - u_{n + 1} \leq \frac{1}{2} (4 - U_{n})$
b) Déduire que:
pour tout ∀ n de IN on a:
$0 \leq 4 - u_{n} \leq 4 (\frac{1}{2})^{n}$
c) Retrouver: $lim_{n ➝ + \infty} u_{n}$
3) Pour tout n∈IN* on pose:
$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k}$
a) Montrer que:
$0 \leq 4 n - S_{n} \leq 4 (1 - (\frac{1}{2})^{n})$
Déduire:
$lim_{n ➝ + \infty} S_{n}$

Exercice 3:

Soit u la suite définie sur IN par:
$u_{0} = 1$ $u_{n + 1} = \frac{4}{4 - u_{n}}; n \in I N$

1)a- Montrer que:
$\forall n \in I N, u_{n} < 2$
b) Montrer que:
$(u_{n})$ est croissantec)
En déduire que:
$(u_{n})$ est convergente et calculer sa limite

2) Soit $v$ la suite définie sur IN par:
$v_{n} = \frac{1}{u_{n} - 2}$
a) Montrer que:
v est une suite arithmétique deraison $- \frac{1}{2}$
b) En déduire:
$v_{n}$ à l’aide de n et calculer $lim_{n ➝ + \infty} v_{n}$
c) Exprimer:
$u_{n}$ à l’aide de n et retrouver $lim_{n ➝ + \infty} u_{n}$

Exercice 4:

Soit la suite $(u_{n})$ définie sur IN par:
$u_{0} = 0$ $u_{n + 1} = \sqrt{4 + 3 u_{n}}$
1) a)Montrer que:
pour tout $n \in I N; 0 \leq u_{n} \leq 4$
b) Montrer que:
$u_{n + 1} - u_{n}$ $= \frac{- (u_{n})^{2} + 3 u_{n} + 4}{\sqrt{4 + 3 u_{n}} + u_{n}}$
puis montrer que $(u_{n})$ est croissantec)
Montrer que pour tout n de IN:
$| u_{n} - 4 | \leq \frac{4}{2^{n}}$
d) Calculer:
la limite de $(u_{n})$

Exercice 5:

On considère la suite réelle $(u_{n})$ définie sur IN par:
$u_{0} = 0$ $u_{n + 1} = \frac{3}{\sqrt{6 - u_{n}^{2}}}$

1) Calculer: $(u_{1})$ et $(u_{2})$ .

2) a- Montrer que:
∀n ∈INon a: $0 \leq u_{n} < \sqrt{3}$
b- Montrer que:
$(u_{n})$ est une suite croissante.
c- En déduire que:
$(u_{n})$ est convergente etcalculer sa limite.

3 ) Soit $(v_{n})$ la suite définie sur IN par : $v_{n} = \frac{u_{n}^{2}}{3 - u_{n}^{2}}$
a- Montrer que:
$(v_{n})$ est une suite arithmétique de raison 1.
b- Exprimer : $v_{n}$ en fonction de n.
En déduire: $u_{n}$ en fonction de n.
c- Retrouver: alors la limite de $u_{n}$ .

Exercice 6:

Soit $α$ un nombre réel appartenant à l’intervalle ] 0,1[.
On considère la suite $(u_{n})$ définie sur IN par:
$u_{0} = 2$
$u_{n + 1} = \frac{(1 + α) \times u_{n} - α}{u_{n}}$

1) a- Montrer que:
pour tout entier n on a $u_{n} \geq 1$
b- Montrer que:
$(u_{n})$ est une suite décroissante.
c- En déduire que $(u_{n})$ est convergente et trouver salimite.

2) Soit $(v_{n})$ la suite définie sur IN par: $v_{n} = \frac{u_{n} - 1}{u_{n} - α}$
a- Montrer que:
$(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $α$
b- Exprimer:
$v_{n}$ en fonction de $n$ et $α$ .
En déduire:l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et $α$ .
c- Retrouver alors:
la limite de la suite $u_{n}$ quand $n$ tends vers +∞.

Exercice 7:

On considère la suite réelle $(u_{n})$ définie sur IN par:
$u_{0} = 4$ $u_{n + 1} = \sqrt{12 - u_{n}}$

1) Vérifier que:
$\forall n \in I N : u_{n + 1} - 3 = \frac{3 - u_{n}}{\sqrt{12 - u_{n}} + 3}$

2) Montrer que:
$\forall n \in \forall N; | u_{n + 1} - 3 | \leq \frac{1}{3} | u_{n} - 3 |$

3) Montrer que:
$\forall n \in \forall N; | u_{n + 1} - 3 | \leq (\frac{1}{3})^{n}$

4) Déterminer:
la limite de $u_{n}$ quand $n$ tends vers +∞.

Exercice 8:

On considère la suite réelle $(u_{n})$
définie sur IN par: $u_{0} = \cos (Ө) (0 \leq Ө \leq \frac{π}{2})$
$u_{n + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{n}}{2}}$

1) Montrer que:
$u_{1} = \cos (\frac{Ө}{2})$

2) Montrer que:
∀n∈IN on a: $0 \leq u_{n} \leq 1$
et que $(u_{n})$ est une suite croissante.

3) Montrer que:
$(u_{n})$ est convergente vers un réel à préciser.

4)Montrer que:
∀n ∈IN on a : $u_{n} = \cos (\frac{θ}{2^{n}})$ ;
Retrouver alors la limite de $(u_{n})$

Exercice 9:

Soit $(u_{n})$ la suite définie sur IR par:
$u_{0} = 2$ $u_{n + 1} = 2 + \frac{3}{u_{n}}$

1) Montrer que:
$\forall n \in I N, u_{n} \geq 2$ .

2) Déterminer:
le sens de variation de la fonction $f$
définie sur $I R_{+}^{*}$ par:
$f (x) = 2 + \frac{3}{x}$

3)Soit la suite $(v_{n})$ définie sur IN par:
$v_{n} = u_{2 n}$
a- Montrer par récurrence que:
la suite $(v_{n})$ est majorée par 3.
b- Montrer par récurrence que:
la suite $(v_{n})$ est croissante.

4) a- Montrer que:
pour tout entier n on a: $| u_{n + 1} - 3 | \leq \frac{1}{2} | u_{n} - 3 |$
b- Montrer par récurrence que:
∀n∈IN, $| u_{n + 1} - 3 | \leq (\frac{1}{2})^{n}$
c- En déduire:
la limite de la suite $u_{n}$ puis celle de $(v_{n})$

Exercice 10:

Soit la suite réelle $(u_{n})$ définie sur IN par:
$u_{0} = 4$
$u_{n + 1} = \frac{4 u_{n} - 3}{u_{n}}; \forall n \in I N$

1)a- Montrer que :
la suite u est minorée par 3
b) Montrer que:
la suite u est décroissante
c) En déduire que: la suite u est convergente

2)a- Montrer que:
$\forall n \in I N, u_{n + 1} - 3 \leq \frac{1}{3} (u_{n} - 3)$
b) En déduire que:
$\forall n \in I N, u_{n} - 3 \leq (\frac{1}{3})^{n}$
c) Calculer:
la limite de la suite $(u_{n})$