Suites Numériques Exercices 2 bac SM série 4

Exercice 1:

Soit $(a_{n})$ et $(b_{n})$ les suites définies pour tout $n$ entier naturel par :
$a_{0} = 2, b_{0} = 3$ $a_{n + 1} = \frac{1}{5} (3 a_{n} + 2 b_{n})$
$b_{n + 1} = \frac{1}{5} (2 a_{n} + 3 b_{n})$

1. Soit $(u_{n})$ la suite de terme général:
$u_{n} = a_{n} + b_{n}$ .
Montrer que:
$(u_{n})$ est constante et calculer $u_{n}$ .

2. Soit $(v_{n})$ la suite de terme général:
$v_{n} = a_{n} - b_{n}$ .
Montrer que:
$(v_{n})$ est une suite géométrique.
En déduire:
l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Exprimer:
$a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $u_{n}$ et $v_{n}$
puis en fonction de $n .$
Calculer:
$lim_{n ➝ + \infty} a_{n}$ et $lim_{n n ➝ + \infty} b_{n}$

Exercice 2:

On définit la suite $u_{n}$ par:
son premier terme $u_{0}$ et la relation de récurrence:
$u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 6}{u_{n} + 2}$

1). Montrer que:
il existe deux valeurs $a = 2$ et $b = - 3$ de $u_{0}$
tels que la suite $u_{n}$ soit constante

2. Soit $f (x) = \frac{x + 6}{x + 2};$
après avoir étudiée $f$ sur $I R^{* +}$
tracer sa courbe représentative
ainsi que la droite $y = x$ sur l’intervalle $[0; 5]$
et représenter les premiers termes de $u_{n}$
(on prendra $u_{0} = 0$ ).
Conjecturer le comportement de $u_{n}$
(sens de variation, limite).

3). Montrer que:
si $u_{0}$ est différent de $a$ et $b$ , il en est de même de $u_{n}$
(faire une démonstration par récurrence)

4. Calculer:
$\frac{u_{n + 1} - a}{u_{n + 1} - b}$ en fonction de $\frac{u_{n} - a}{u_{n} - b}$ .
En déduire:
la nature de la suite $v_{n} = \frac{u_{n} - a}{u_{n} - b} .$
Donner l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ puis celle de $u_{n} .$
Calculer
la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ .

Exercice 3:

On considère la suite $u_{n}$ définie par :
$u_{0} = \frac{1}{8}$ u_{n+1}=u_{n}(2-u_{n})\)

1). a. Calculer:
$u_{1}$ et $u_{2}$ .
b. Tracer:
dans un repère orthonormé la courbe représentative $P$ de la fonction:
$f (x) = x (2 - x)$
ainsi que la droite $d : (y = x)$ .
c. Utiliser d et P pour construire sur l’axe des abscisses
les points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ d’abscisses respectives $u_{1}, u_{2}, u_{3}$

2. a. Montrer par récurrence que:
$0 < u_{n} < 1$ .
b. Montrer que:
$(u_{n})$ est croissante.

3. On considère la suite:
$v_{n} = 1 - u_{n}$ .a. Montrer que: $v_{n + 1} = v_{n}^{2}$
b. Montrer par récurrence que: $v_{n} = v_{0}^{2^{n}} .$
En déduire: l’expression de $v_{n}$ puis celle de $u_{n}$ .
c. Déterminer:
la limite de $v_{n}$ puis celle de $u_{n}$ .

Exercice 4:

On considère les deux suites:
$(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies, pour tout entier naturel $n,$ par :
$u_{0} = 3$ $u_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2}$
$v_{0} = 4$ $v_{n + 1} = \frac{u_{n + 1} + v_{n}}{2}$

1. Calculer:
$u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}$

2. Soit la suite $(w_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
$w_{n} = v_{n} - u_{n}$ a. Montrer que:
la suite $(w_{n})$ est une suite géométriquede raison $\frac{1}{4}$ b. Exprimer:
$w_{n}$ en fonction de $n$ et préciser la limite dela suite $(w_{n})$ .

3. Après avoir étudié le sens de variation des suites $(u_{n})$ et $(v_{n}),$
démontrer que ces deux suites sont adjacentes.Que peut-on en déduire ?

4. On considère à présent la suite $(t_{n})$
définie, pour tout entier naturel $n,$ par:
$t_{n} = \frac{u_{n} + 2 v_{n}}{3}$
a. Démontrer que:
la suite $(t_{n})$ est constante.
b. En déduire:
la limite des suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ .

Exercice 5:

On définit les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ par:
$a_{0} = 1, b_{0} = 7$ $a_{n + 1} = \frac{1}{3} (2 a_{n} + b_{n})$
$b_{n + 1} = \frac{1}{3} (a_{n} + 2 b_{n})$
Soit $(D)$ une droite munie d’un repère $(O; \vec{i}) .$
Pour tout $n$ de $I N$ on considère les points:
$A_{n}$ et $B_{n}$ d’abscisses respectives $a_{n}$ et $b_{n}$

1. Placez:
les points $A_{0}, B_{0}, A_{1}, B_{1}, A_{2}$ et $B_{2}$ .

2. Soit $(u_{n})$ la suite définie par:
$u_{n} = b_{n} - a_{n}$ .
Démontrez que:
$(u_{n})$ est une suite géométrique
dont on précisera la raison et le premier terme.
Exprimez:
$u_{n}$ en fonction de $n$

3. Comparez:
$a_{n}$ et $b_{n}$ .
Étudiez:
le sens de variation des suites $(a_{n})$ et $(b_{n}) .$
Interprétez géométriquement ces résultats.

4. Démontrez que:
les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont adjacentes.

5. Soit $(v_{n})$ la suite définie par:
$v_{n} = b_{n} - a_{n}$ pour tout entier $n .$
Démontrez que:
$(v_{n})$ est une suite constante.
En déduire que:
les segments $[A_{n} B_{n}]$ ont tous le même milieu I.

6. Justifiez:
que les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont convergentes
*calculez leur limite.
Interprétez géométriquement ce résultat.

Exercice 6:

On considère les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies sur $I N$ par:
$u_{0} = 3$ $u_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2}$ $v_{n} = \frac{7}{u_{n}}$

1). Calculer:
$v_{0}, u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}, u_{3}$ et $v_{3}$ .
Donner l’approximation de $u_{3}$ et $v_{3}$ lue sur la calculatrice.

2). Justifier par récurrence que:
pour tout $n$ de $N, u_{n} > 0$ et $v_{n} > 0$

3). a. Démontrer que:
quel que soit $n$ de $N$ , $(u_{n} + v_{n})^{2} - 28 = (u_{n} - v_{n})^{2}$ b. En déduire que:
$u_{n + 1} - v_{n + 1} = \frac{1}{4 u_{n + 1}} (u_{n} - v_{n})^{2}$ .c. Conclure que:
quel que soit $n$ on a $u_{n} - v_{n} \geq 0$ .

4. En s’aidant de la question 3). c.
prouver que:
la suite $(u_{n})$ est décroissante
et que la suite $(v_{n})$ est croissante.

5. a. Démontrer que:
quel que soit $n$ de $I N^{*}, u_{n} \geq \frac{21}{8}$ .b. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que: $u_{n + 1} - v_{n + 1} \leq \frac{1}{10} (u_{n} - v_{n})^{2}$ c. En déduire:
à l’aide d’un raisonnement par récurrence que:
$u_{n} - v_{n} \leq \frac{1}{10^{2^{n} - 1}}$ .d. Déterminer:
la limite de $u_{n} - v_{n}$ lorsque $n$ tend vers +∞.

6. Conclure que:
les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes
et déterminer leur limite commune.

Exercice 7:

On considère les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ définies par:
$a_{0} = 3, b_{0} = 1$
et pour tout entier naturel $n$ on a:
$a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} + b_{n} + 3}{3}$
$b_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2 b_{n} + 3}{3}$
On pose:
$u_{n} = a_{n} - b_{n}$

1) a- Montrer que:
pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = 2 (\frac{1}{3})^{n}$
b- En déduire:
la limite de $(u_{n})$

2) On pose, pour n ∈ IN*:
$v_{n} = \frac{a_{n} + b_{n}}{n}$ a/ Montrer que:
pour tout n≥1on a:
$v_{n} \geq 2$
b/ Montrer que:
pour tout $n \geq 1$ on a : $v_{n + 1} = v_{n} + \frac{2 - v_{n}}{n + 1}$
c/ En déduire que:
$(v_{n})$ converge vers un réel $l > 0$
Exprimer alors
$a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $u_{n}$ et $v_{n}$ et $n$
puis déterminer les limites des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ .

Exercice 8:

On considère la suite:
$u_{0} = 1$ $u_{n + 1} = \frac{4 u_{n}}{u_{n} + 2}; n \in I N .$

1) Montrer par récurrence que:
pour tout n∈IN}on a : $1 \leq u_{n} < 2$

2) a)Montrer que:
$(u_{n})$ est une suite croissante.b) En déduire que:
la suite u est convergente et déterminer sa limite.

3) Soit la suite $v$ définie sur IN par:
$v_{n} = 1 - \frac{2}{u_{n}}$ .
a) Montrer que:
$(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$
b) Exprimer:
$v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$
c) En déduire:
la limite de la suite $(u_{n})$ .