Fonction Logarithme Népérien Exercices 2 Bac SM Série 2

Exercice 1:

Partie A: Étude d’une fonction auxiliaire $g$

On considère la fonction $g$
définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par:
$g(x)=\ln x-2x^2-1$.

1. Soit $g^{\prime }$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
Calculer:
$g^{\prime }(x)$. Étudier: le signe de $g^{\prime }(x)$ sur ]0 ;+∞[ 
Dresser:
 le tableau de variations de la fonction $g$ 
dans lequel on précisera la valeur exacte de l’extremum 
(aucune limite n’est demandée).

2. Déduire: du 1.
que la fonction $g$ est négative surl’intervalle ]0 ;+∞[.

Partie B: Étude d’une fonction

On considère la fonction $f$ 
définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par:
 $f(x)=1-2x-\frac{\ln x}{x}.$
On appelle $C$ la courbe représentative de la fonction $f$
dans un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ 
d’unité graphique $2\mathrm{cm}$

1. a. Déterminer:
 la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
b. Déterminer:
la limite de la fonction $f$ en 0.

2. Soit $D$ la droite d’équation $y=1-2x$.
a.Démontrer que:
la droite $\mathrm{D}$ est asymptote à la courbe C.
b. Étudier:
la position de la courbe C par rapport à la droite $D$.

3. a. Soit $f$ ‘ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Démontrer que:
pour tout $x$ de l’intervalle $]0;+\infty [$,
$f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x^2}$
b. En utilisant la partie A 

déduire:
le signe de $f^{\prime }(x)$ sur I’intervalle ]0 ;+∞[
et dresser le tableau de variations de la fonction $f$
4. Tracer:
la droite $D$ et la courbe $C$ dans le repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

Exercice 2:

Partie A:

Démonstration de cours
Prérequis : définition d’une suite tendant vers $+\infty$.
« Une suite tend vers +∞ si, pour tout réel
$A,$ tous les termes de la suite sont, a partir
d’un certain rang, supérieurs $\dot{a}A$ »
Démontrer le théorème suivant : Une suite croissante
non majorée tend vers $+\infty$.

Partie B:

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0 ;+∞[par:
$f(x)=\ln (x+1)+\frac{1}{2}{x}^2$.
La courbe (C) représentative de la fonction $f$ dans un
repère orthogonal est donnée ci-dessous. Cette courbe
sera complétée et remise avec la copie à la fin de
l’épreuve.

1. Étudier:
le sens de variation de la fonction $f$ sur
l’intervalle $[0;+\infty [$.

2. Déterminer:
une équation de la tangente (T) à la
courbe (C) au point d’abscisse 0 .

3. Tracer:
la droite (T) sur le graphique.
Dans la suite de l’exercice, on admet que, sur
l’intervalle $]0;+\infty [,$ la courbe $(\mathrm{C})$ est située au
dessus de la droite (T).

Partie C

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathrm{IN}$ par:
$u_0=1$
pour tout entier naturel $n,u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Construire:
sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite $(u_n)$ 
n laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné).

2. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer
concernant le sens de variation de la suite $(u_n)$ et son
comportement lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

3. a. Montrer:
à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, 
pour tout entier naturel $n,u_n\ge 1$.
b. Montrer que:
 la suite $(u_n)$ est croissante.
c. Montrer que:
 la suite $(u_n)$ n’est pas majorée.
d. En déduire:
la limite de la suite $(u_n)$ .

Exercice 3:

Dans cet exercice, on demande aux candidats d’établir,
en suivant la démarche proposée, deux résultats de
cours.
On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable
sur $]0;+\infty [,$ positive sur $[1;+\infty [,$ et vérifie :
$\ast \ln 1=0$
* pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$:
$\ln (xy)=\ln x+\ln y$
* pour tout réel strictement positif x:
$[\ln (x){]}^{\prime }=\frac{1}{x}$
$\ast \ln (2)\approx 0,69$ à ${10}^{-2}$ près.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par:
$f(x)=\sqrt{x}-\ln x$.
a. Étudier:
les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet
un minimum sur $]0;+\infty [$.
b. En déduire:
le signe de $f$ puis que, pour tout $x>1$,
$0<\frac{\ln (x)}{x}<\frac{\sqrt{x}}{x}$
c. En déduire que:
$\underset{x➝\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln x}{x}=0$.

2. Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère la fonction $f_n$ définie sur $]0;+\infty [$ par :
$f_n(x)=\frac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}$
En utilisant la question 1, déterminer:
si elle existe, la limite en $+\infty$ de la fonction $f_n$.

Exercice 4:

On considère la fonction $f$
définie sur l’intervalle]-1 ;+∞[ par:
$f(x)=x-\frac{\ln (1+x)}{1+x}$
La courbe C représentative de f est donnée sur la
figure ci-dessous que l’on complétera.

Partie A :

Étude de certaines propriétés de la courbe C

1. On note!
$f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$. 
Calculer:
$f^{\prime }(x)$ pour tout $x$ de l’intervalle $]-1;+\infty [$

2. Pour tout $x$ de l’intervalle $]-1;+\infty [,$ on pose
$N(x)=(1+x{)}^2-1+\ln (1+x)$
Vérifier que:
 l’on définit ainsi une fonction strictement
croissante sur $]-1;+\infty [$
Calculer: $N$( 0 ) . 
En déduire: les variations de $f$.

3. Soit D la droite d’équation $y=x$. 
Calculer:
les  Coordonnées du point d’intersection
de la courbe $\mathrm{C}$ et de la droite $D$.

Partie B:

Étude d’une suite récurrente définie à partir
de la fonction $f$

1. Démontrer que:
 si $x\in [0;4],$ alors $f(x)\in [0;4]$

2. On considère la suite $(u_n)$ définie par:
$u_0=4$
$u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$ de IN.
a. Sur le graphique, en utilisant la courbe $C$ et la droite D, 
placer les points de C d’abscisses $u_0,u_1,u_2$ et $u_3$.
b. Démontrer que:
 pour tout $n$ de IN on a:  u_{n} \in[0;4]\).
c. Étudier:
la monotonie de la suite $(u_n)$.
d. Démontrer que:
la suite $(u_n)$ est convergente. 
On désigne par $l$ sa limite.
e. Utiliser la partie A:
pour donner la valeur de $l$.

Exercice 5:

On considère la fonction $f$
définie sur l’intervalle ]-1 ;+∞[ par:
$f(x)=x-\frac{\ln (1+x)}{1+x}$
La courbe C représentative de f est donnée sur la
figure ci-dessous que l’on complétera.

Partie A:

Étude de certaines propriétés de la courbe C

1. On note!
$f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$. 
Calculer:
$f^{\prime }(x)$ pour tout $x$ de l’intervalle $]-1;+\infty [$

2. Pour tout $x$ de l’intervalle $]-1;+\infty [,$ on pose
$N(x)=(1+x{)}^2-1+\ln (1+x)$
Vérifier que:
 l’on définit ainsi une fonction strictement
croissante sur $]-1;+\infty [$
Calculer: $N$( 0 ) . 
En déduire:
 les variations de $f$.

3. Soit D la droite d’équation $y=x$. 
Calculer :
les  Coordonnées du point d’intersection
de la courbe $\mathrm{C}$ et de la droite $D$.

Partie B :

1. Calculer:
une équation de la tangente $D$ à la courbe $C$
au point d’abscisse $x=1$.

2. On considère la fonction g:
 $x➝f(x)-2x-\frac{1}{2}$
définie sur l’intervalle $]0;+\infty [$.

a. Calculer:
$g^{\prime }(x),$ puis $g^{\prime \prime }(x)$ 
où $g^{\prime }$ et $g^{\prime \prime }$ désignent
respectivement les fonctions dérivées première et
seconde de $g.$ 
Étudier:
le sens de variations de $g$ « . 
En déduire le signe de $g^{\prime }(x)$ sur $]0;+\infty [.$
b. Étudier:
le sens de variations de g. 
En déduire:
 la position de la courbe C par rapport à la tangente D.

3. Construire:
la courbe C et la tangente D (unité graphique : 2 cm).