Exercice 1:
Partie A: Étude d’une fonction auxiliaire \(g\)
On considère la fonction \(g\)
définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par:
\(g(x)=\ln x-2 x^{2}-1\).
1. Soit \(g’\) la fonction dérivée de la fonction \(g\).
Calculer:
\(g'(x)\). Étudier: le signe de \(g'(x)\) sur ]0 ;+∞[
Dresser:
le tableau de variations de la fonction \(g\)
dans lequel on précisera la valeur exacte de l’extremum
(aucune limite n’est demandée).
2. Déduire: du 1.
que la fonction \(g\) est négative surl’intervalle ]0 ;+∞[.
Partie B: Étude d’une fonction
On considère la fonction \(f\)
définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par:
\(f(x)=1-2 x-\frac{\ln x}{x}.\)
On appelle \(C\) la courbe représentative de la fonction \(f\)
dans un repère orthonormal \((O;\vec{i},\vec{j})\)
d’unité graphique \(2 \mathrm{~cm}\)
1. a. Déterminer:
la limite de la fonction \(f\) en \(+∞\).
b. Déterminer:
la limite de la fonction \(f\) en 0.
2. Soit \(D\) la droite d’équation \(y=1-2x\).
a.Démontrer que:
la droite \(\mathrm{D}\) est asymptote à la courbe C.
b. Étudier:
la position de la courbe C par rapport à la droite \(D\).
3. a. Soit \(f\) ‘ la fonction dérivée de la fonction \(f\).
Démontrer que:
pour tout \(x\) de l’intervalle \(] 0 ;+∞[\),
\(f'(x)=\frac{g(x)}{x^{2}}\)
b. En utilisant la partie A
déduire:
le signe de \(f'(x)\) sur I’intervalle ]0 ;+∞[
et dresser le tableau de variations de la fonction \(f\)
4. Tracer:
la droite \(D\) et la courbe \(C\) dans le repère \((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
Exercice 2:
Partie A:
Démonstration de cours
Prérequis : définition d’une suite tendant vers \(+∞\).
« Une suite tend vers +∞ si, pour tout réel
\(A,\) tous les termes de la suite sont, a partir
d’un certain rang, supérieurs \(\dot{a} A\) »
Démontrer le théorème suivant : Une suite croissante
non majorée tend vers \(+∞\).
Partie B:
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle [0 ;+∞[par:
\(f(x)=\ln (x+1)+\frac{1}{2} x^{2}\).
La courbe (C) représentative de la fonction \(f\) dans un
repère orthogonal est donnée ci-dessous. Cette courbe
sera complétée et remise avec la copie à la fin de
l’épreuve.
1. Étudier:
le sens de variation de la fonction \(f\) sur
l’intervalle \([0 ;+∞[\).
2. Déterminer:
une équation de la tangente (T) à la
courbe (C) au point d’abscisse 0 .
3. Tracer:
la droite (T) sur le graphique.
Dans la suite de l’exercice, on admet que, sur
l’intervalle \(] 0 ;+∞[,\) la courbe \((\mathrm{C})\) est située au
dessus de la droite (T).
Partie C
On considère la suite \((u_{n})\) définie sur \(\mathrm{IN}\) par:
\(u_{0}=1\)
pour tout entier naturel \(n, u_{n+1}=f(u_{n})\).
1. Construire:
sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite \((u_{n})\)
n laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné).
2. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer
concernant le sens de variation de la suite \((u_{n})\) et son
comportement lorsque \(n\) tend vers \(+∞\) ?
3. a. Montrer:
à l’aide d’un raisonnement par récurrence que,
pour tout entier naturel \(n, u_{n} \geq 1\).
b. Montrer que:
la suite \((u_{n})\) est croissante.
c. Montrer que:
la suite \((u_{n})\) n’est pas majorée.
d. En déduire:
la limite de la suite \((u_{n})\) .
Exercice 3:
Dans cet exercice, on demande aux candidats d’établir,
en suivant la démarche proposée, deux résultats de
cours.
On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable
sur \(] 0;+∞[,\) positive sur \([1;+∞[,\) et vérifie :
\(* \ln 1=0\)
* pour tous réels strictement positifs \(x\) et \(y\):
\(\ln (x y)=\ln x+\ln y\)
* pour tout réel strictement positif x:
\([\ln (x)]^{\prime}=\frac{1}{x}\)
\(* \ln (2) \approx 0,69\) à \(10^{-2}\) près.
1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(] 0 ;+∞[\) par:
\(f(x)=\sqrt{x}-\ln x\).
a. Étudier:
les variations de \(f\) et en déduire que \(f\) admet
un minimum sur \(] 0 ;+∞[\).
b. En déduire:
le signe de \(f\) puis que, pour tout \(x>1\),
\(0<\frac{\ln (x)}{x}<\frac{\sqrt{x}}{x}\)
c. En déduire que:
\(\lim _{x ➝ \infty} \frac{\ln x}{x}=0\).
2. Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On considère la fonction \(f_{n}\) définie sur \(] 0 ;+∞[\) par :
\(f_{n}(x)=\frac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}\)
En utilisant la question 1, déterminer:
si elle existe, la limite en \(+∞\) de la fonction \(f_{n}\).
Exercice 4:
On considère la fonction \(f\)
définie sur l’intervalle]-1 ;+∞[ par:
\(f(x)=x-\frac{\ln (1+x)}{1+x}\)
La courbe C représentative de f est donnée sur la
figure ci-dessous que l’on complétera.
Partie A :
Étude de certaines propriétés de la courbe C
1. On note!
\(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\).
Calculer:
\(f^{\prime}(x)\) pour tout \(x\) de l’intervalle \(]-1 ;+∞[\)
2. Pour tout \(x\) de l’intervalle \(]-1;+∞[,\) on pose
\(N(x)=(1+x)^{2}-1+\ln (1+x)\)
Vérifier que:
l’on définit ainsi une fonction strictement
croissante sur \(]-1 ;+∞[\)
Calculer: \(N\)( 0 ) .
En déduire: les variations de \(f\).
3. Soit D la droite d’équation \(y=x\).
Calculer:
les Coordonnées du point d’intersection
de la courbe \(\mathrm{C}\) et de la droite \(D\).
Partie B:
Étude d’une suite récurrente définie à partir
de la fonction \(f\)
1. Démontrer que:
si \(x \in[0 ; 4],\) alors \(f(x) \in[0; 4]\)
2. On considère la suite \((u_{n})\) définie par:
\(u_{0}=4\)
\(u_{n+1}=f(u_{n})\) pour tout \(n\) de IN.
a. Sur le graphique, en utilisant la courbe \(C\) et la droite D,
placer les points de C d’abscisses \(u_{0}, u_{1}, u_{2}\) et \(u_{3}\).
b. Démontrer que:
pour tout \(n\) de IN on a: u_{n} \in[0;4]\).
c. Étudier:
la monotonie de la suite \((u_{n})\).
d. Démontrer que:
la suite \((u_{n})\) est convergente.
On désigne par \(l\) sa limite.
e. Utiliser la partie A:
pour donner la valeur de \(l\).
Exercice 5:
On considère la fonction \(f\)
définie sur l’intervalle ]-1 ;+∞[ par:
\(f(x)=x-\frac{\ln (1+x)}{1+x}\)
La courbe C représentative de f est donnée sur la
figure ci-dessous que l’on complétera.
Partie A:
Étude de certaines propriétés de la courbe C
1. On note!
\(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\).
Calculer:
\(f^{\prime}(x)\) pour tout \(x\) de l’intervalle \(]-1 ;+∞[\)
2. Pour tout \(x\) de l’intervalle \(]-1;+∞[,\) on pose
\(N(x)=(1+x)^{2}-1+\ln (1+x)\)
Vérifier que:
l’on définit ainsi une fonction strictement
croissante sur \(]-1 ;+∞[\)
Calculer: \(N\)( 0 ) .
En déduire:
les variations de \(f\).
3. Soit D la droite d’équation \(y=x\).
Calculer :
les Coordonnées du point d’intersection
de la courbe \(\mathrm{C}\) et de la droite \(D\).
Partie B :
1. Calculer:
une équation de la tangente \(D\) à la courbe \(C\)
au point d’abscisse \(x=1\).
2. On considère la fonction g:
\(x➝f(x)-2 x-\frac{1}{2}\)
définie sur l’intervalle \(]0;+∞[\).
a. Calculer:
\(g^{\prime}(x),\) puis \(g^{\prime \prime}(x)\)
où \(g^{\prime}\) et \(g^{\prime \prime}\) désignent
respectivement les fonctions dérivées première et
seconde de \(g .\)
Étudier:
le sens de variations de \(g\) « .
En déduire le signe de \(g^{\prime}(x)\) sur \(]0;+∞[.\)
b. Étudier:
le sens de variations de g.
En déduire:
la position de la courbe C par rapport à la tangente D.
3. Construire:
la courbe C et la tangente D (unité graphique : 2 cm).