Exercice 1:
Soit \((a_{n})\) et \((b_{n})\) les suites définies pour tout \(n\) entier naturel par :
\(a_{0}=2, b_{0}=3\)\(a_{n+1}=\frac{1}{5}(3 a_{n}+2 b_{n})\)
\(b_{n+1}=\frac{1}{5}(2 a_{n}+3 b_{n})\)
1. Soit \((u_{n})\) la suite de terme général:
\(u_{n}=a_{n}+b_{n}\).
Montrer que:
\((u_{n})\) est constante et calculer \(u_{n}\).
2. Soit \((v_{n})\) la suite de terme général:
\(v_{n}=a_{n}-b_{n}\).
Montrer que:
\((v_{n})\) est une suite géométrique.
En déduire:
l’expression de \(v_{n}\) en fonction de \(n\).
3. Exprimer:
\(a_{n}\) et \(b_{n}\) en fonction de \(u_{n}\) et \(v_{n}\)
puis en fonction de \(n .\)
Calculer:
\(\lim _{n➝+∞} a_{n}\) et \(\lim _{n n➝+∞} b_{n}\)
Exercice 2:
On définit la suite \(u_{n}\) par:
son premier terme \(u_{0}\) et la relation de récurrence:
\(u_{n+1}=\frac{u_{n}+6}{u_{n}+2}\)
1). Montrer que:
il existe deux valeurs \(a=2\) et \(b=-3\) de \(u_{0}\)
tels que la suite \(u_{n}\) soit constante
2. Soit \(f(x)=\frac{x+6}{x+2};\)
après avoir étudiée \(f\) sur \(IR^{*+}\)
tracer sa courbe représentative
ainsi que la droite \(y=x\) sur l’intervalle \([0;5]\)
et représenter les premiers termes de \(u_{n}\)
(on prendra \(u_{0}=0\) ).
Conjecturer le comportement de \(u_{n}\)
(sens de variation, limite).
3). Montrer que:
si \(u_{0}\) est différent de \(a\) et \(b\), il en est de même de \(u_{n}\)
(faire une démonstration par récurrence)
4. Calculer:
\(\frac{u_{n+1}-a}{u_{n+1}-b}\) en fonction de \(\frac{u_{n}-a}{u_{n}-b}\).
En déduire:
la nature de la suite \(v_{n}=\frac{u_{n}-a}{u_{n}-b} .\)
Donner l’expression de \(v_{n}\) en fonction de \(n\) puis celle de \(u_{n}.\)
Calculer
la limite de \(u_{n}\) quand \(n\) tend vers \(+∞\).
Exercice 3:
On considère la suite \(u_{n}\) définie par :
\(u_{0}=\frac{1}{8}\) u_{n+1}=u_{n}(2-u_{n})\)
1). a. Calculer:
\(u_{1}\) et \(u_{2}\).
b. Tracer:
dans un repère orthonormé la courbe représentative \(P\) de la fonction:
\( f(x)=x(2-x)\)
ainsi que la droite \(d:(y=x)\).
c. Utiliser d et P pour construire sur l’axe des abscisses
les points \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) d’abscisses respectives\(u_{1}, u_{2}, u_{3}\)
2. a. Montrer par récurrence que:
\(0<u_{n}<1\).
b. Montrer que:
\((u_{n})\) est croissante.
3. On considère la suite:
\(v_{n}=1-u_{n}\).a. Montrer que: \(v_{n+1}=v_{n}^{2}\)
b. Montrer par récurrence que: \(v_{n}=v_{0}^{2^{n}}.\)
En déduire: l’expression de \(v_{n}\) puis celle de \(u_{n}\).
c. Déterminer:
la limite de \(v_{n}\) puis celle de \(u_{n}\).
Exercice 4:
On considère les deux suites:
\((u_{n})\) et \((v_{n})\) définies, pour tout entier naturel \(n,\) par :
\(u_{0}=3\)\(u_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}\)
\(v_{0}=4\) \(v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+v_{n}}{2}\)
1. Calculer:
\(u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}\)
2. Soit la suite \((w_{n})\) définie pour tout entier naturel \(n\) par:
\(w_{n}=v_{n}-u_{n}\)a. Montrer que:
la suite \((w_{n})\) est une suite géométriquede raison \(\frac{1}{4}\)b. Exprimer:
\(w_{n}\) en fonction de \(n\) et préciser la limite dela suite \((w_{n})\).
3. Après avoir étudié le sens de variation des suites \((u_{n})\)et \((v_{n}),\)
démontrer que ces deux suites sont adjacentes.Que peut-on en déduire ?
4. On considère à présent la suite \((t_{n})\)
définie, pour tout entier naturel \(n,\) par:
\(t_{n}=\frac{u_{n}+2 v_{n}}{3}\)
a. Démontrer que:
la suite \((t_{n})\) est constante.
b. En déduire:
la limite des suites \((u_{n})\) et \((v_{n})\).
Exercice 5:
On définit les suites \((a_{n})\) et \((b_{n})\) par:
\(a_{0}=1, b_{0}=7\) \(a_{n+1}=\frac{1}{3}(2 a_{n}+b_{n})\)
\(b_{n+1}=\frac{1}{3}(a_{n}+2 b_{n})\)
Soit \((D)\) une droite munie d’un repère \((O ; \vec{i}) .\)
Pour tout \(n\) de \(IN\) on considère les points:
\(A_{n}\) et \(B_{n}\) d’abscisses respectives \(a_{n}\) et \(b_{n}\)
1. Placez:
les points \(A_{0}, B_{0}, A_{1}, B_{1}, A_{2}\) et \(B_{2}\).
2. Soit \((u_{n})\) la suite définie par:
\(u_{n}=b_{n}-a_{n}\).
Démontrez que:
\((u_{n})\) est une suite géométrique
dont on précisera la raison et le premier terme.
Exprimez:
\(u_{n}\) en fonction de \(n\)
3. Comparez:
\(a_{n}\) et \(b_{n}\).
Étudiez:
le sens de variation des suites \((a_{n})\) et \((b_{n}).\)
Interprétez géométriquement ces résultats.
4. Démontrez que:
les suites \((a_{n})\) et \((b_{n})\) sont adjacentes.
5. Soit \((v_{n})\) la suite définie par:
\(v_{n}=b_{n}-a_{n}\) pour tout entier \(n.\)
Démontrez que:
\((v_{n})\) est une suite constante.
En déduire que:
les segments \([A_{n} B_{n}]\) ont tous le même milieu I.
6. Justifiez:
que les suites \((a_{n})\) et \((b_{n})\) sont convergentes
*calculez leur limite.
Interprétez géométriquement ce résultat.
Exercice 6:
On considère les suites \((u_{n})\) et \((v_{n})\) définies sur \(IN\) par:
\(u_{0}=3\)\(u_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}\)\(v_{n}=\frac{7}{u_{n}}\)
1). Calculer:
\(v_{0}, u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}, u_{3}\) et \(v_{3}\).
Donner l’approximation de \(u_{3}\) et \(v_{3}\) lue sur la calculatrice.
2). Justifier par récurrence que:
pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}, u_{n}>0\)et \(v_{n}>0\)
3). a. Démontrer que:
quel que soit \(n\) de \(\mathbb{N}\),\((u_{n}+v_{n})^{2}-28=(u_{n}-v_{n})^{2}\)b. En déduire que:
\(u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{1}{4 u_{n+1}}(u_{n}-v_{n})^{2}\).c. Conclure que:
quel que soit \(n\) on a \(u_{n}-v_{n} ≥ 0\).
4. En s’aidant de la question 3). c.
prouver que:
la suite \((u_{n})\) est décroissante
et que la suite \((v_{n})\) est croissante.
5. a. Démontrer que:
quel que soit \(n\) de \(IN^{*}, u_{n} ≥ \frac{21}{8}\).b. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que:\(u_{n+1}-v_{n+1}≤ \frac{1}{10}(u_{n}-v_{n})^{2}\)c. En déduire:
à l’aide d’un raisonnement par récurrence que:
\(u_{n}-v_{n}≤ \frac{1}{10^{2^{n}-1}}\).d. Déterminer:
la limite de \(u_{n}-v_{n}\) lorsque \(n\) tend vers +∞.
6. Conclure que:
les suites \((u_{n})\) et \((v_{n})\) sont adjacentes
et déterminer leur limite commune.
Exercice 7:
On considère les suites \((a_{n})\) et \((b_{n})\) définies par:
\(a_{0}=3, b_{0}=1\)
et pour tout entier naturel \(n\) on a:
\(a_{n+1}=\frac{2 a_{n}+b_{n}+3}{3}\)
\(b_{n+1}=\frac{a_{n}+2 b_{n}+3}{3}\)
On pose:
\(u_{n}=a_{n}-b_{n}\)
1) a- Montrer que:
pour tout entier naturel \(n\),\(u_{n}=2(\frac{1}{3})^{n}\)
b- En déduire:
la limite de \((u_{n})\)
2) On pose, pour n ∈ IN*:
\(v_{n}=\frac{a_{n}+b_{n}}{n}\)a/ Montrer que:
pour tout n≥1on a:
\(v_{n} ≥ 2\)
b/ Montrer que:
pour tout \(n ≥ 1\) on a :\(v_{n+1}=v_{n}+\frac{2-v_{n}}{n+1}\)
c/ En déduire que:
\((v_{n})\) converge vers un réel \(l>0\)
Exprimer alors
\(a_{n}\) et \(b_{n}\) en fonction de \(u_{n}\) et \(v_{n}\) et \(n\)
puis déterminer les limites des suites \((a_{n})\) et \((b_{n})\).
Exercice 8:
On considère la suite:
\(u_{0}=1\) \(u_{n+1}=\frac{4 u_{n}}{u_{n}+2} ; n ∈IN.\)
1) Montrer par récurrence que:
pour tout n∈IN}on a :\(1≤ u_{n}<2\)
2) a)Montrer que:
\((u_{n})\) est une suite croissante.b) En déduire que:
la suite u est convergente et déterminer sa limite.
3) Soit la suite \(v\) définie sur IN par:
\(v_{n}=1-\frac{2}{u_{n}}\).
a) Montrer que:
\((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(q=\frac{1}{2}\)
b) Exprimer:
\(v_{n}\) puis \(u_{n}\) en fonction de \(n\)
c) En déduire:
la limite de la suite \((u_{n})\).