Les Applications Exercices 1 Bac SM Série 2

Exercice 1:

On considère la relation $f$ définie par :
$f$:IR ➝IR
$x➝f(x)=\frac{x}{2x-1}$
1) $f$ est-elle une application?
sinon, quelle est la condition pour qu’elle soit application?

2) Déterminer,
dans ce cas: les antécédents des nombres suivants: -1 ; 3 et 0.

Exercice 2:

On considère les applications $f$ et $g$ définies par :
$f$: ]0;π[➝IR 
$x➝f(x)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}$
$g$: ]0;π[➝IR 
$x➝g(x)=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}$

Montrer que $f=g$.

Exercice 3:

On considère l’application $f$ définie par :
$f$: IR ➝ IR
$x➝f(x)=2x-|x|+3$

Déterminer $f_{]-\infty ;0]}$
la restriction de l’application $f$ à l’intervalle $]-\infty ;0]$.

Exercice 4:

On considère l’application $f$ définie par:
$f$: IR-➝IR
$x➝f(x)=-x^3+x-2$

Déterminer l’application $h$:
le prolongement de $f$ à IR.

Exercice 5:

On considère l’application $f$ définie par:
$f:IR-\{-1\}➝IR$
$x➝f(x)=\frac{3x-1}{x+1}$

Déterminer:
$f(]-\infty ;-1[)$.

Exercice 6:

On considère l’application $f$ définie par:
 $f:IR➝IR$
$x➝f(x)=x^2+2x$

Déterminer:
$f(]-1;0[)$ et $f([-1;0[\cup [1;2])$.

Exercice 7:

On considère l’application $f$ définie par :
$f:I{R}^{+}➝I{R}^{+}$
$x➝f(x)=x+\sqrt{x}$

Montrer que:
$f$ est une application injective de $f:I{R}^{+}➝I{R}^{+}$.

Exercice 8:

On considère l’application $f$ définie par:
 $f:I{R}^{+}➝]-\infty ;3]$$f(x)=3-x^2$

Montrer que:
$f$ est une application surjective de $I{R}^{+}$ à $]-\infty ;3]$.

Exercice 9:

On considère l’application $f$ définie par:
 $f$: ]-∞ ; 0[➝IR 
$x➝f(x)=x-\frac{1}{x}$
 
Montrer que:
$f$ est une application bijective de ]-∞ ; 0[ à IR 
et déterminer son application réciproque $f^{-1}$.

Exercice 10:

On considère les applications $f$ et $g$ définies par:
$x➝f(x)=x^2+2$ 
$x➝g(x)=x+\sqrt{x}$ 
Déterminer: $gof$ et $gog$.

Exercice 11:

On considère l’application $f$ définie par:
$f:I{R}^{+}➝IR$ $x➝f(x)=x-\sqrt{x}$

1) Montrer que:
$f$ n’est pas injective.

2) a) Résoudre:
dans $I{R}^{+}$ l’équation: $f(x)=-1$
b) Que peut-on conclure?

3) Soit $g$ la restriction de $f$ à $[\frac{1}{4};+\infty ]$

a)Montrer que:
$g$ est bijectivede $[\frac{1}{4};+\infty ]$ à un intervalle $J$ qu’il faut déterminer. 
b) déterminer:
son application réciproque $g^{-1}$.

Exercice 12:

On pose $I=]0;+\infty [$
on considère l’application $f$ définie par :
$f:I\times I➝I\times I$
$(x;y)➝f(x;y)=(xy;\frac{x}{y})$.

1) Montrer que:
$f$ est injective et surjective.

2) En déduire que:
$f$ est une bijection 
déterminer sa bijection réciproque $f^{-1}$.

Exercice 13:

On considère les applications $f$ définie de IR dans IR par:
 $(\forall x\in IR);f(3x)=2f(x)$.

1) Montrer que:
$(\forall n\in IN);f(x)=2^{n}f(\frac{x}{3^n})$.

2) Calculer:
$f(2007)$ sachant que $f(223)=2006$.

Exercice 14:

Déterminer toutes les applications $f$ définies de IR dans IR par :
$(\forall (x;y)\in I{R}^2);f(xy)=f(x)\times f(y)-x$.