Exercice 1:
On considère la relation \(f\) définie par :
\(f\):IR ➝IR
\(x ➝ f(x)=\frac{x}{2 x-1}\)
1) \(f\) est-elle une application?
sinon, quelle est la condition pour qu’elle soit application?
2) Déterminer,
dans ce cas: les antécédents des nombres suivants: -1 ; 3 et 0.
Exercice 2:
On considère les applications \(f\) et \(g\) définies par :
\(f\): ]0;π[➝IR
\(x ➝ f(x)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}\)
\(g\): ]0;π[➝IR
\( x ➝ g(x)=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}\)
Montrer que \(f=g\).
Exercice 3:
On considère l’application \(f\) définie par :
\(f\): IR ➝ IR
\(x➝ f(x)=2 x-|x|+3\)
Déterminer \(f_{]-∞;0]}\)
la restriction de l’application \(f\) à l’intervalle \(]-∞ ; 0]\).
Exercice 4:
On considère l’application \(f\) définie par:
\(f\): IR-➝IR
\(x➝ f(x)=-x^{3}+x-2\)
Déterminer l’application \(h\):
le prolongement de \(f\) à IR.
Exercice 5:
On considère l’application \(f\) définie par:
\(f: IR-\{-1\} ➝IR\)
\(x ➝ f(x)=\frac{3 x-1}{x+1}\)
Déterminer:
\(f(]-∞ ;-1[)\).
Exercice 6:
On considère l’application \(f\) définie par:
\(f:IR ➝IR\)
\(x ➝ f(x)=x^{2}+2 x\)
Déterminer:
\(f(]-1 ; 0[)\) et \(f([-1;0[∪[1;2])\).
Exercice 7:
On considère l’application \(f\) définie par :
\(f:IR^{+}➝IR^{+}\)
\(x➝ f(x)=x+\sqrt{x}\)
Montrer que:
\(f\) est une application injective de \(f:IR^{+} ➝ IR^{+}\).
Exercice 8:
On considère l’application \(f\) définie par:
\(f: IR^{+}➝ ]-∞ ; 3]\)\(f(x)=3-x^{2}\)
Montrer que:
\(f\) est une application surjective de \(IR^{+}\) à \(]-∞ ; 3]\).
Exercice 9:
On considère l’application \(f\) définie par:
\(f\): ]-∞ ; 0[➝IR
\(x ➝ f(x)=x-\frac{1}{x}\)
Montrer que:
\(f\) est une application bijective de ]-∞ ; 0[ à IR
et déterminer son application réciproque \(f^{-1}\).
Exercice 10:
On considère les applications \(f\) et \(g\) définies par:
\(x ➝ f(x)=x^{2}+2\)
\(x ➝ g(x)=x+\sqrt{x}\)
Déterminer: \(gof\) et \(gog\).
Exercice 11:
On considère l’application \(f\) définie par:
\(f:IR^{+} ➝IR\) \(x ➝ f(x)=x-\sqrt{x}\)
1) Montrer que:
\(f\) n’est pas injective.
2) a) Résoudre:
dans \(IR^{+}\) l’équation: \(f(x)=-1\)
b) Que peut-on conclure?
3) Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([\frac{1}{4} ;+∞]\)
a)Montrer que:
\(g\) est bijectivede \([\frac{1}{4} ;+∞]\) à un intervalle \(J\) qu’il faut déterminer.
b) déterminer:
son application réciproque \(g^{-1}\).
Exercice 12:
On pose \(I=]0;+∞[\)
on considère l’application \(f\) définie par :
\(f: I×I➝ I×I \)
\((x ; y) ➝ f(x ; y)=(x y ; \frac{x}{y})\).
1) Montrer que:
\(f\) est injective et surjective.
2) En déduire que:
\(f\) est une bijection
déterminer sa bijection réciproque \(f^{-1}\).
Exercice 13:
On considère les applications \(f\) définie de IR dans IR par:
\((∀x∈IR) ; f(3 x)=2 f(x)\).
1) Montrer que:
\((∀n ∈IN) ; f(x)=2^{n} f(\frac{x}{3^{n}})\).
2) Calculer:
\(f(2007)\) sachant que \(f(223)=2006\).
Exercice 14:
Déterminer toutes les applications \(f\) définies de IR dans IR par :
\((∀(x ; y) ∈IR^{2}) ; f(x y)=f(x)×f(y)-x\).