Suites Numériques 2 bac SM exercices série 3

Exercice 1:

On considère la suite:
${(u_{n})}_{\geq 1}$ de nombres réels
définie pour tout $n \geq 1$ par:
$u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} E (\sqrt{n})$

Montrer que:
la suite \((u_{n})’elle est convergente et préciser sa limite.

Exercice 2:

On considère la suite ${(u_{n})}_{\in N}^{*}$ de nombres réels définie par:
$u_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n}$

1. Montrer que:
la suite ${(u_{n})}_{\in N}^{*}$ est croissante.

2. Montrer que:
la suite ${(u_{n})}_{\in N}^{*}$ est convergente et que sa limite $l$ vérifie $\frac{1}{2} \leq 1 \leq 1$ .

Exercice 3:

On considère la suite
$(u_{n})_{\in N}^{*}$ de nombres réels définie par:
$u_{n} = {(\frac{(- 1)^{n}}{n} + \frac{\sin (n^{2})}{2})}^{n}$

1. Montrer que:
il existe un entier naturel $n_{0}$ , tel que:
pour tout $n \geq n_{0}$ on ait:
$| \frac{(- 1)^{n}}{n} + \frac{\sin (n^{2})}{2} | < \frac{3}{4}$ .

2. Montrer que:
la suite converge et déterminer sa limite.

Exercice 4:

on pose:
$u_{n} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}$

1. Montrer que:
${(u_{n})}_{\geq 1}$ est une suite divergente.

2. Pour tout $n \in N^{*},$ on pose :
$v_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} u_{n}$
a) Montrer que:
Pour tout $n \in N *$ :
$\frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \leq \frac{1}{\sqrt{n}$
b) En déduire que:
pour tout $n \in N^{*} :$
$2 \sqrt{n + 1} - 2 \leq u_{n} \leq 2 \sqrt{n} - 1$
c) Montrer que:
${(v_{n})}_{\geq 1}$ est convergente et précisez salimite.

Exercice 5:

Soient ${(u_{n})}_{\in N}^{*}$ et ${(v_{n})}_{n \in N}^{*}$ les suites définies par:
$u_{n} = \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{(- 1)^{k}}{k^{2}}$

$v_{n} = \sum_{k = 1}^{2 n + 1} \frac{(- 1)^{k}}{k^{2}}$

1. Montrer que:
${(u_{n})}_{\in N^{*}}$ et ${(v_{n})}_{n \in N}^{*}$ sont strictement monotones.

2. Montrer que:
ces deux suites convergent vers la même limite.

Exercice 6:

1. Soit $(H_{p})$ la proposition suivante:
$\forall n \in N, \forall p \in N^{*}$ :
$\frac{1}{(n + 1)^{2}} + \dots + \frac{1}{(n + p)^{2}} < \frac{1}{n} - \frac{1}{n + p}$

Montrer $(H_{p})$ par récurrence sur $p$ .

2. Soit ${(u_{n})}_{\geq 1}$ la suite définie par:
$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}}$
Montrer que:
la suite ${(u_{n})}_{\geq 1}$ est convergente et on ne cherchera pas à déterminer la limite de cette suite.

Exercice 7:

On considère la suite:
${(u_{n})}_{n \geq 1}$ définie par:
$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + \sqrt{k}} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{n + \sqrt{n - 1}} + \frac{1}{n + \sqrt{n}}$

1. Montrer que:
pour tout entier $k \in N^{*},$
on a $\frac{1}{n + \sqrt{n}} \leq \frac{1}{n + \sqrt{k}} \leq \frac{1}{n + 1}$

2. En déduire que:
pour tout $n$ de $N^{*}$ : $\frac{n}{n + \sqrt{n}} \leq u_{n} \leq \frac{n}{n + 1}$

3. Montrer que:
la suite $(u_{n})$ est convergente et préciseras limite

Exercice 8:

On considère la suite:
$(u_{n})$ définie par:
$u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2 n + 3$
Pour tout entier naturel $n$ .

1. Etudier la monotonie de la suite $(u_{n})$

2. a. Démontrer que:
pour tout entier naturel $n, u_{n} > n^{2}$ .b. Quelle est la limite de la suite $(u_{n}) ?$

3. Conjecturer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ ,
puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

Exercice 9:

Soit $(u_{n})$ la suite de terme général:
$u_{n} = 1 + \frac{1}{n (- 2)^{n}}$ définie pour $n > 0$ .

1. Calculer:
les cinq premiers termes de la suite $(u_{n})$ .

2. On admet les deux résultats suivants:
* pour tout $n$ pair non nul, $(- 2)^{n} \geq 1$ ,
* pour tout $n$ impair, $(- 2)^{n} \leq - 1$

a. Montrer que:
pour tout $n > 0,$ on a $: - 1 \leq \frac{1}{(- 2)^{n}} \leq 1$
b. En déduire que:
pour tout $n > 0,$ on a l’encadrement $1 - \frac{1}{n} \leq u_{n} \leq 1 + \frac{1}{n}$
c. Montrer que:
la suite $(u_{n})$ converge et déterminer sa limite.

Exercice 10:

On définit une suite $(u_{n})$ par:
$u_{0} = 1.$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 2 n - 1$

1. Calculer: $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ .
La suite $(u_{n})$ est-elle croissante ou décroissante?

2. On pose $v_{n} = u_{n} - 4 n + 10 .$
Calculer $v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3}$ .

3. Montrer que:
la suite $(v_{n})$ est géométrique, en précisera raison.

4. En déduire:
l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ .

5. En déduire:
l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

6. Quelle est la limite de $(u_{n}) ?$