Exercice 1:
On considère la suite:
\(\left(u_{n}\right)_{\geq 1}\) de nombres réels
définie pour tout \(\mathrm{n} \geq 1\) par:
\(u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}} E(\sqrt{n})\)
Montrer que:
la suite \((u_{n})’elle est convergente et préciser sa limite.
Exercice 2:
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}{ }^{*}\) de nombres réels définie par:
\(u_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\)
1. Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}{ }^{*}\) est croissante.
2. Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}{ }^{*}\) est convergente et que sa limite \(l\) vérifie \(\frac{1}{2} \leq 1 \leq 1\).
Exercice 3:
On considère la suite
\((u_{n})_{\in \mathbb{N}}{ }^{*}\) de nombres réels définie par:
\(u_{n}=\left(\frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{\sin \left(n^{2}\right)}{2}\right)^{n}\)
1. Montrer que:
il existe un entier naturel \(n_{0}\), tel que:
pour tout \(n \geq n_{0}\) on ait:
\(\left|\frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{\sin \left(n^{2}\right)}{2}\right|<\frac{3}{4}\).
2. Montrer que:
la suite converge et déterminer sa limite.
Exercice 4:
on pose:
\(u_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\)
1. Montrer que:
\(\left(u_{n}\right)_{\geq 1}\) est une suite divergente.
2. Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*},\) on pose :
\(v_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}} u_{n}\)
a) Montrer que:
Pour tout \(n \in \mathbb{N} *\) :
\(\frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \leq \frac{1}{\sqrt{n}\)
b) En déduire que:
pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}:\)
\(2 \sqrt{n+1}-2 \leq u_{n} \leq 2 \sqrt{n}-1\)
c) Montrer que:
\(\left(v_{n}\right)_{\geq 1}\) est convergente et précisez salimite.
Exercice 5:
Soient \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}{ }^{*}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}{ }^{*}\) les suites définies par:
\(u_{n}=\sum_{k=1}^{2 n} \frac{(-1)^{k}}{k^{2}}\)
\(v_{n}=\sum_{k=1}^{2 n+1} \frac{(-1)^{k}}{k^{2}}\)
1. Montrer que:
\(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}{ }^{*}\) sont strictement monotones.
2. Montrer que:
ces deux suites convergent vers la même limite.
Exercice 6:
1. Soit \(\left(H_{p}\right)\) la proposition suivante:
\(\forall n \in \mathbb{N}, \forall p \in \mathbb{N}^{*}\):
\( \frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots+\frac{1}{(n+p)^{2}} \\<\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}\)
Montrer \(\left(H_{p}\right)\) par récurrence sur \(p\).
2. Soit \(\left(u_{n}\right)_{\geq 1}\) la suite définie par:
\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}=1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\)
Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{\geq 1}\) est convergente et on ne cherchera pas à déterminer la limite de cette suite.
Exercice 7:
On considère la suite:
\(\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}\) définie par:
\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+\sqrt{k}}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{n+\sqrt{n-1}}+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\)
1. Montrer que:
pour tout entier \(k \in \mathbb{N}^{*},\)
on a\(\frac{1}{n+\sqrt{n}} \leq \frac{1}{n+\sqrt{k}} \leq \frac{1}{n+1}\)
2. En déduire que:
pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) :\(\frac{n}{n+\sqrt{n}} \leq u_{n} \leq \frac{n}{n+1}\)
3. Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente et préciseras limite
Exercice 8:
On considère la suite:
\(\left(u_{n}\right)\) définie par:
\(u_{0}=1\) et \(u_{n+1}=u_{n}+2 n+3\)
Pour tout entier naturel \(n\).
1. Etudier la monotonie de la suite \(\left(u_{n}\right)\)
2. a. Démontrer que:
pour tout entier naturel \(n, u_{n}>n^{2}\).b. Quelle est la limite de la suite \(\left(u_{n}\right) ?\)
3. Conjecturer une expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\),
puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.
Exercice 9:
Soit \(\left(u_{n}\right)\) la suite de terme général:
\(u_{n}=1+\frac{1}{n(-2)^{n}}\)définie pour \(n>0\).
1. Calculer:
les cinq premiers termes de la suite \(\left(u_{n}\right)\).
2. On admet les deux résultats suivants:
* pour tout \(n\) pair non nul, \((-2)^{n} \geq 1\),
* pour tout \(n\) impair, \((-2)^{n} \leq-1\)
a. Montrer que:
pour tout \(n>0,\) on a \(:-1 \leq \frac{1}{(-2)^{n}} \leq 1\)
b. En déduire que:
pour tout \(n>0,\) on a l’encadrement\(1-\frac{1}{n} \leq u_{n} \leq 1+\frac{1}{n}\)
c. Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)\) converge et déterminer sa limite.
Exercice 10:
On définit une suite \(\left(u_{n}\right)\) par:
\(u_{0}=1.\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{2} u_{n}+2 n-1\)
1. Calculer: \(u_{1}, u_{2}, u_{3}\).
La suite \(\left(u_{n}\right)\) est-elle croissante ou décroissante?
2. On pose \(v_{n}=u_{n}-4 n+10 .\)
Calculer \(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3}\).
3. Montrer que:
la suite \(\left(v_{n}\right)\) est géométrique, en précisera raison.
4. En déduire:
l’expression de \(v_{n}\) en fonction de \(n\).
5. En déduire:
l’expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
6. Quelle est la limite de \(\left(u_{n}\right) ?\)