Définition d’une application
Exercice 1:
Soit une droite \((D)\) du plan, muni d’un repère \((O, I)\).
Soit \(f\) l’application de \(\mathbb{R}\) vers \((D)\)
qui a tout réel \(x\) associe le point \(M\) d’abscisse \(x\).
Construire les points \(K\), M et G
images par \(f\) respectivement des nombres 2,3 et -1
Exercice 2:
Soit \(f\) la fonction de variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\)Montrer que :
\(f\) est une application de \(]-2,2[\) vers \(\mathbb{R}\).
Exercice 3:
On considère les fonctions \(f, g, h\) et \(k\) définies par:
\(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\)
\(n \mapsto \frac{n}{2}\)
\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)
\(x \mapsto \frac{x+2}{x-2}\)
\(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)
\(x \mapsto \sqrt{x^{2}-3}\)
\(k: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)\((x, y) \mapsto (x y, \frac{x}{y})\)
Montrer que:
aucune des fonctions \(f, g, h\) et \(k\) n’est pas une application
Limage d’une partie par une application.
Exercice 4:
On considère I’application \(f\)
de \(E=\{0,1,2,3,4\}\) vers \(\mathbb{R}\) telle que
\(f(x)=(-1)^{x}\)Déterminer \(f(A)\) où \(A=\{0,3,4\}\)
Limage réciproque d’une partie par une application.
Exercice 5:
On considère l’application
\(f\{0,1,2,3,4\} \rightarrow \mathbb{R}\)
\(x \mapsto {(-1)}^{x}\)Déterminer \(f^{-1} (\{-1,1\})\).
Exercice 6:
Soit \(f\) l’application définie
de \(\mathbb{R}^{*}\) vers \(\mathbb{R}\) par:
\(f(x)=\frac{x+1}{x}\)1) Déterminer \(f([1,2])\) et \(f(] 0,+\infty[)\)2)
Déterminer:
\(f ^{-1}([\frac{10}{9},\frac{4}{3}])\) et \(f ^{-1}(]-\infty,1 [)\).
La composée de deux applications.
Exercice 7:
On considère les applications fet \(g\) telles que:
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\)
\(x \mapsto(x-1)^{2}\)\(g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\)
\(x \mapsto \sqrt{x}\)
Déterminer l’application gof.
Application injective.
Exercice 8:
On considère l’application
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)\(x \mapsto 2x+3\)
Montrer que:
\(f\) est une application injective.
Exercice 9:
Montrer que:
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)
\(x \mapsto x^{4}\)
n’est pas une application injective.
Exercice 10:
On considère l’application:
\(f: \mathbb{R}-\{3\} \rightarrow \mathbb{R}\)\(x \mapsto \frac{x-1}{x-3}\)
Montrer que:
\(f\) est une application injective.
Exercice 11:
On considère l’application
\(f:[2,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}\)\(x \mapsto \sqrt{x^{2}-4}\)
Montrer que:
\(f\) est une application injective.
Exercice 12:
On considère l’application:
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)\(x \mapsto x^{2}+4x\)
1) a) Résoudre dans \(\mathbb{R},\) l’équation :
\(f(x)=5\).b)
\(f\) est-elle une application injective ?
2) Soit \(g\) l’application définie par:
\(g:[-1,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}\)\(x \mapsto x^{2}+2x\)
Montrer que:
\(g\) est une application injective.
Exercice 13:
On considère I’application
\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)\((x, y) \mapsto(x-y, x^{2}-y^{2})\)
1) Calculer: \(f((0,0))\) et \(f((1,1))\).
2) \(f\) est-elle une application injective ?
Application surjective.
Exercice 14:
On considère l’application
\(f: Q \rightarrow Q\)\(x \mapsto 3x-1\)
Montrer que:
\(f\) est une application surjective.
Exercice 15:
On considère l’application
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)\(x \mapsto x^{2}-2x\)
1) Résoudre dans \(\mathbb{R},\) l’équation:
\(f(x)=-3\) \(f\) est-elle surjective?
2) Montrer que:
\(f\) est une surjection de \(\mathbb{R}\) vers \([-1,+\infty[\).
Application bijective
Exercice 16:
On considère l’application
f: Q-\{1\} \rightarrow Q-\{1\}\(x \mapsto \frac{x-2}{x-1}\)
Montrer que:
l’application \(f\) est une bijection.
Bijection réciproque d’une bijection
Exercice 17:
On considère la fonction
\(f \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R}^{*}\)
\(x \mapsto \frac{1}{x}\)
1) Montrer que: \(f\) est une bijection.
2) Déterminer la bijection réciproque \(f^{-1}\) de \(f\).
Exercice 18:
Soit \(E\) un ensemble non vide
et \(P(E)\) l’ensemble des parties de \(E\).
On considère l’application:
\(f: P(E) \rightarrow P(E)\)\(x \mapsto \bar{x}=C_{E}^{x}\)
1) Montrer que:
\(f\) est une application injective.
2) Montrer que:
\(f\) est une application surjective.
3) En déduire que: \(f\) est bijective.
La composée de deux applications
Exercice 19:
On considère les applications \(u, v\) et \(f\) telles que:
\(u:[0,+\infty[ \rightarrow [0,+\infty[\)
\(x \mapsto \sqrt{x}\)
\(v:[0,+\infty[\rightarrow [-\frac{1}{2},2[\)
\(x \mapsto\frac{2 x-1}{x+2}\)
\(f:[0,+\infty[\rightarrow[-\frac{1}{2},2 [\)
\(x \mapsto \frac{2 \sqrt{x}-1}{2+\sqrt{x}}\)
1) Vérifier que: \(f=\) vou.
2)
a) Justifier que: l’application \(u\) est bijective.
b) Justifier que: I’application \(v\) est bijective.
c) En déduire que: l’application \(f\) est une bijection.
La partie entière d’un nombre réel.
Exercice 20:
Résoudre dans \(\mathbb{R},\) l’équation:
\(E\left(2018+\frac{1}{x-1}\right)=2019\
Exercice 21:
Par disjonction des cas;
montrer que l’équation:
\(E(2 x-1)=|x-2|\)n’admet pas de solution dans \(\mathbb{R}\).
Exercice 22:
Soit \(k\) un entier relatif.
Montrer que: \((\forall x \in \mathbb{R}), E(x+k)=k+E(x).\)