Les Applications 1 Bac SM Exercices Série 1

Définition d’une application

Exercice 1:

Soit une droite $(D)$ du plan, muni d’un repère $(O,I)$.
Soit $f$ l’application de $\mathbb{R}$ vers $(D)$ 
qui a tout réel $x$ associe le point $M$ d’abscisse $x$.
Construire  les points $K$, M et G
images par $f$ respectivement des nombres 2,3 et -1

Exercice 2:

Soit $f$ la fonction de variable réelle $x$ définie par:
$f(x)=\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$Montrer que :
$f$ est une application de $]-2,2[$ vers $\mathbb{R}$.

Exercice 3:

On considère les fonctions $f,g,h$ et $k$ définies par:
$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$
$n\mapsto \frac{n}{2}$

$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
$x\mapsto \frac{x+2}{x-2}$

$h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
$x\mapsto \sqrt{x^2-3}$

$k:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$$(x,y)\mapsto (xy,\frac{x}{y})$

Montrer que:
aucune des fonctions $f,g,h$ et $k$  n’est pas une application

Limage d’une partie par une application.

Exercice 4:

On considère I’application $f$
de $E=\{0,1,2,3,4\}$ vers $\mathbb{R}$ telle que
 $f(x)=(-1{)}^x$Déterminer $f(A)$ où $A=\{0,3,4\}$

Limage réciproque d’une partie par une application.

Exercice 5:

On considère l’application 
$f\{0,1,2,3,4\}\to \mathbb{R}$
$x\mapsto {(-1)}^x$Déterminer $f^{-1}(\{-1,1\})$.

Exercice 6:

Soit $f$ l’application définie
de ${\mathbb{R}}^{\ast }$ vers $\mathbb{R}$ par:
 $f(x)=\frac{x+1}{x}$1) Déterminer $f([1,2])$ et $f(]0,+\mathrm{\infty }[)$2)

Déterminer:
$f^{-1}([\frac{10}{9},\frac{4}{3}])$ et $f^{-1}(]-\mathrm{\infty },1[)$.

La composée de deux applications.

Exercice 7:

On considère les applications fet $g$ telles que:
$f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}$
$x\mapsto (x-1{)}^2$$g:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$
$x\mapsto \sqrt{x}$

Déterminer l’application gof.

Application injective.

Exercice 8:

On considère l’application
$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$x\mapsto 2x+3$

Montrer que:
$f$ est une application injective.

Exercice 9:

Montrer que:
 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
$x\mapsto x^4$
n’est pas une application injective.

Exercice 10:

On considère l’application: 
$f:\mathbb{R}-\{3\}\to \mathbb{R}$$x\mapsto \frac{x-1}{x-3}$

Montrer que:
$f$ est une application injective.

Exercice 11:

On considère l’application
$f:[2,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$$x\mapsto \sqrt{x^2-4}$

Montrer que:
$f$ est une application injective.

Exercice 12:

On considère l’application:
 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$x\mapsto x^2+4x$
1) a) Résoudre dans $\mathbb{R},$ l’équation :
$f(x)=5$.b)
$f$ est-elle une application injective ?

2) Soit $g$ l’application définie par: 
$g:[-1,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$$x\mapsto x^2+2x$

Montrer que:
$g$ est une application injective.

Exercice 13:

On considère I’application
 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$$(x,y)\mapsto (x-y,x^2-y^2)$
1) Calculer: $f((0,0))$ et $f((1,1))$.
2) $f$ est-elle une application injective ?

Application surjective.

Exercice 14:

On considère l’application
 $f:Q\to Q$$x\mapsto 3x-1$

Montrer que:
$f$ est une application surjective.

Exercice 15:

On considère l’application
 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$x\mapsto x^2-2x$

1) Résoudre dans $\mathbb{R},$ l’équation:
$f(x)=-3$  $f$ est-elle surjective?

2) Montrer que:
$f$ est une surjection de $\mathbb{R}$ vers $[-1,+\mathrm{\infty }[$.

Application bijective

Exercice 16:

On considère l’application
f: Q-\{1\} \rightarrow Q-\{1\}$x\mapsto \frac{x-2}{x-1}$ 

Montrer que:
l’application $f$ est une bijection.

Bijection réciproque d’une bijection 

Exercice 17:

On considère la fonction 
$f{\mathbb{R}}^{\ast }\to {\mathbb{R}}^{\ast }$
$x\mapsto \frac{1}{x}$

1) Montrer que: $f$ est une bijection.

2) Déterminer la bijection réciproque $f^{-1}$ de $f$.

Exercice 18:

Soit $E$ un ensemble non vide 
et $P(E)$ l’ensemble des parties de $E$.
On considère l’application:
$f:P(E)\to P(E)$$x\mapsto \overline{x}=C_E^x$

1) Montrer que:
$f$ est une application injective.

2) Montrer que:
$f$ est une application surjective.

3) En déduire que: $f$ est bijective.

La composée de deux applications

Exercice 19:

On considère les applications $u,v$ et $f$ telles que:
$u:[0,+\mathrm{\infty }[\to [0,+\mathrm{\infty }[$
$x\mapsto \sqrt{x}$ 

$v:[0,+\mathrm{\infty }[\to [-\frac{1}{2},2[$
$x\mapsto \frac{2x-1}{x+2}$

$f:[0,+\mathrm{\infty }[\to [-\frac{1}{2},2[$
$x\mapsto \frac{2\sqrt{x}-1}{2+\sqrt{x}}$

1) Vérifier que: $f=$ vou.

2)
a) Justifier que: l’application $u$ est bijective.
b) Justifier que: I’application $v$ est bijective.
c) En déduire que: l’application $f$ est une bijection.

La partie entière d’un nombre réel.

Exercice 20:

Résoudre dans $\mathbb{R},$ l’équation:
 \(E\left(2018+\frac{1}{x-1}\right)=2019\

Exercice 21:

Par disjonction des cas;
montrer que l’équation:
 $E(2x-1)=|x-2|$n’admet pas de solution dans $\mathbb{R}$.

Exercice 22:

Soit $k$ un entier relatif.
Montrer que: $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}),E(x+k)=k+E(x).$