Fonction Logarithme Népérien Exercices Résolus PDF 2 Bac SM

Dérivation et encadrement:

Exercice 1

Le plan $P$ est muni d’un repère orthonormé $(O; i, j)$
(unité graphique $3 cm$ ).
1. On considère la fonction définie sur $[0, + \infty [$ par:
$f (0) = 1$
$f (x) = \frac{\ln (x + 1)}{x} si x > 0$

Montrer que $f$ est continue en $0 .$
2.
a. Etudier le sens de variation de la fonction $g$
définie sur $[0, + \infty [.$ par:
$g (x) = \ln (1 + x) - (x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3})$ .
Calculer $g (0)$
et en déduire que sur $R^{+}$ :
$\ln (1 + x) \leq (x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3})$
b. Par une étude analogue, montrer que:
si $x \geq 0,$ alors $\ln (1 + x) \geq x - \frac{x^{2}}{2}$
c. Établir que:
pour tout $x$ strictement positif on a:
$- \frac{1}{2} \leq \frac{\ln (1 + x) - x}{x^{2}} \leq - \frac{1}{2} + \frac{x}{3}$
En déduire que $f$ est dérivable en zéro
et que $f^{'} (0) = - \frac{1}{2}$
3.
a. Soit $h$ la fonction définie sur $[0, + \infty [$ par:
$h (x) = \frac{x}{x + 1} - \ln (1 + x)$ . .
Étudier son sens de variation
et en déduire le signe de $h$ sur $[0, + \infty [$ .
b. Montrer que
sur $[0, + \infty [, f^{'} (x) = \frac{h (x)}{x^{2}} . .$ . .
c. Dresser le tableau de variation de $f$
en précisant la limite de $f$

Exercice 1

On considère la fonction $f$
définie sur l’intervalle $[0; + \infty [$ par:
$f (x) = x \ln (1 + \frac{1}{x^{2}}) si x > 0 et f (0) = 0$
On note $(C)$ la courbe représentative de $f$
dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$
(unité graphique : $5 cm$ ).
Le but du problème est d’étudier
certaines propriétés de la fonction $f$ .

Partie A: Etude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction $g$
définie sur l’intervalle $] 0; + \infty [.$ par:
$g (x) = \ln (1 + \frac{1}{x^{2}}) - \frac{2}{x^{2} + 1}$

1. Calculer:
la dérivée $g$ ‘ de $g$ .
Montrer que pour tout $x$ de ] 0 ;+∞[/
$g$ ‘( $x$ ) $= \frac{2 (x^{2} - 1)}{x (x^{2} + 1)^{2}}$ .

2. Etudier:
le signe de $g^{'} (x)$ selon les valeurs de $x$ .
Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$ .
Déterminer la limite de $g$ en 0.

3. Dresser:
le tableau des variations de $g$ .

4. En déduire que:
il existe un unique nombre réel $α > 0$ tel que $g (α) = 0$ .
Vérifier que $0, 5 < α < 0, 6$ .
Déduire des questions précédentes le signe de $g (x)$ sur l’intervalle $] 0; + \infty [$
On ne demande pas de construire la courbe représentative de la fonction $g$ .

Partie B: Etude de la fonction $f$
1.
a. Calculer
la limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ de $x f (x)$
(on pourra poser $X = \frac{1}{x^{2}}$ ).
b. En déduire que
$f (x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+ \infty .$
Montrer que pour tout $x$ de $] 0; + \infty [,$
on a $f^{'} (x) = g (x) .$
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $] 0; + \infty [$

2. Etude de $f$ en 0
a. Montrer que $x \ln (1 + \frac{1}{x^{2}})$ tend vers 0
quand $x$ tend vers 0 par valeurs supérieures.
Que peut-on en conclure ?
b. Etudier la dérivabilité de f en 0.
c. Préciser la tangente à la courbe de f au point O.

3. Donner:
l’équation de la tangente au point d’abscisse 1.

4. Donner:
l’allure de (C).

Résolution équations / inéquations :

1. Résoudre l’équation:
$: \ln (x^{2} - 3 x - 2) = \ln (2 x - 6)$ .

2. Résoudre dans IRxIR le système:
${\begin{matrix} \ln x - \ln y = 1 \\ x + y = 2 e \end{matrix} .$ .

3. Résoudre l’inéquation :
ln(1+x ) -ln(1+x ) > ln2x -ln(1+ x ).

4. Résoudre :
1 + ln(x + 3) = ln(x² + 2x – 3).

5. Résoudre :
ln(x² – 4e²) < 1 + ln(3x).

Vrai-Faux:

A) Soit $f$ la fonction définie par:
$f (x = \frac{x}{2} \frac{1}{\ln (\sqrt{x})} .$
D son ensemble de définition
$C$ sa courbe représentative.
Vrai-Faux:

a. On a D=]0,+∞[\)
b. La courbe C admet une droite asymptote en +∞.
c. Pour tout x∈D on a: $f (x) < \frac{x}{2}$
d. Pour tout x∈D on a:
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{x (\ln)^{2}}$

QCM:

Soient $f$ et $g$ les fonctions dérivables sur $] 0; + \in f t y [$
respectivement définies par:
$f (x) = - 2 \ln (x) + 2 + x^{2}$
$. g (x) = \frac{x^{2} - 2 \ln (}{x})$
choisir la bonne réponse:

1. La dérivée de $f$ est définie par: $f^{'} (x) =$
A. $\frac{2 x^{2} -}{x}$
B. $\frac{2 x^{2} +}{x}$
C. $\frac{- 2 x^{2}}{x}$
D. aucune des 3 réponses précédentes.

2. L’équation réduite de la tangente
à la courbe représentative de la fonction $f$
au point d’abscisse 2 est:
A. $y = f^{'} (x) (x - 2) + f (2)$
B. $y = f^{'} (x) (x - 2) - f (2)$
C. $y = f^{'} (2) (x - 2) + f (2)$
D. $y = f (2) (x - 2) + f^{'} (2)$ .

3. La dérivée de $g$ est définie par:
$g^{'} (x) =$
A. $- 2 x \frac{2}{x}$
B. $\frac{f ()}{x^{2}}$
C. – $\frac{f ()}{x^{2}}$
D. aucune des 3 réponses précédentes.

4. Le minimum de $f$ est égal à :
A. 1
B. 3
C. 0
D. aucune des 3 réponses précédentes.

5. $f (\sqrt{e}) =$
A. $e$
B. $e + 1$
C. $e - 1$ .
D. aucune des 3 réponses précédentes.

6. $lim_{x ➝ 0} f (x) =$
A. 0
B. 2
C. -∞
D. +∞.

7. $lim_{x ➝ + \infty} g (x) =$
A. -∞
B. +∞
C. n’existe pas
D. aucune des 3 réponses précédentes.

8. L’asymptote oblique à la courbe $C_{g}$
représentative de $g$ a pour équation réduite:
A. y =x-2
B. y =-x
C. y =x+2
D. y =x.

9. Le nombre de solutions à l’équation $g (x) = 0$ est égal à :
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

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