Dérivation et encadrement:
Exercice 1
Le plan \(\mathrm{P}\) est muni d’un repère orthonormé \((O ; i, j)\)
(unité graphique \(3 \mathrm{~cm}\) ).
1. On considère la fonction définie sur \([0,+∞[\) par:
\(f(0)=1\)
\(f(x)=\frac{\ln (x+1)}{x} \operatorname{si} x>0\)
Montrer que \(f\) est continue en \(0 .\)
2.
a. Etudier le sens de variation de la fonction \(g\)
définie sur \([0,+∞[.\) par:
\(g(x)=\ln (1+x)-(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3})\).
Calculer \(g(0)\)
et en déduire que sur \(\mathbb{R}^{+}\):
\(\ln (1+x)≤ (x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3})\)
b. Par une étude analogue, montrer que:
si \(x ≥ 0,\) alors \(\ln (1+x) ≥ x-\frac{x^{2}}{2}\)
c. Établir que:
pour tout \(x\) strictement positif on a:
\(-\frac{1}{2}≤ \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}}≤ -\frac{1}{2}+\frac{x}{3}\)
En déduire que \(f\) est dérivable en zéro
et que \(f^{\prime}(0)=-\frac{1}{2}\)
3.
a. Soit \(h\) la fonction définie sur \([0,+∞[\) par:
\(h(x)=\frac{x}{x+1}-\ln (1+x)\). .
Étudier son sens de variation
et en déduire le signe de \(h\) sur \([0,+∞[\).
b. Montrer que
sur \([0,+∞[, f^{\prime}(x)=\frac{h(x)}{x^{2}}..\). .
c. Dresser le tableau de variation de \(f\)
en précisant la limite de \(f\)
Exercice 1
On considère la fonction \(f\)
définie sur l’intervalle \([0 ;+∞[\) par:
\(f(x)=x \ln (1+\frac{1}{x^{2}}) \text { si } x>0 \text { et } f(0)=0\)
On note \((\mathrm{C})\) la courbe représentative de \(f\)
dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
(unité graphique : \(5 \mathrm{~cm}\) ).
Le but du problème est d’étudier
certaines propriétés de la fonction \(f\).
Partie A: Etude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction \(g\)
définie sur l’intervalle \(] 0 ;+∞[.\) par:
\(g(x)=\ln (1+\frac{1}{x^{2}})-\frac{2}{x^{2}+1}\)
1. Calculer:
la dérivée \(g\) ‘ de \(g\).
Montrer que pour tout \(x\) de ] 0 ;+∞[/
\(g\) ‘( \(x\) ) \(=\frac{2(x^{2}-1)}{x(x^{2}+1)^{2}}\).
2. Etudier:
le signe de \(g^{\prime}(x)\) selon les valeurs de \(x\).
Déterminer la limite de \(g\) en \(+∞\).
Déterminer la limite de \(g\) en 0.
3. Dresser:
le tableau des variations de \(g\).
4. En déduire que:
il existe un unique nombre réel \(α>0\) tel que \(g(α)=0\).
Vérifier que \(0,5<α<0,6\).
Déduire des questions précédentes le signe de \(g(x)\) sur l’intervalle \(]0 ;+∞[\)
On ne demande pas de construire la courbe représentative de la fonction \(\mathrm{g}\).
Partie B: Etude de la fonction \(f\)
1.
a. Calculer
la limite quand \(x\) tend vers \(+∞\) de \(x f(x)\)
(on pourra poser \(X=\frac{1}{x^{2}}\) ).
b. En déduire que
\(f(x)\) tend vers 0 quand \(x\) tend vers \(+∞ .\)
Montrer que pour tout \(x\) de \(] 0 ;+∞[,\)
on a\(f^{\prime}(x)=g(x) .\)
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(] 0 ;+∞[\)
2. Etude de \(f\) en 0
a. Montrer que \(x \ln (1+\frac{1}{x^{2}})\) tend vers 0
quand \(x\) tend vers 0 par valeurs supérieures.
Que peut-on en conclure ?
b. Etudier la dérivabilité de f en 0.
c. Préciser la tangente à la courbe de f au point O.
3. Donner:
l’équation de la tangente au point d’abscisse 1.
4. Donner:
l’allure de (C).
Résolution équations / inéquations :
1. Résoudre l’équation:
\(: \ln (x^{2}-3 x-2)=\ln (2 x-6)\).
2. Résoudre dans IRxIR le système:
\(\{\begin{array}{c}\ln x-\ln y=1 \\ x+y=2 e\end{array}.\).
3. Résoudre l’inéquation :
ln(1+x ) -ln(1+x ) > ln2x -ln(1+ x ).
4. Résoudre :
1 + ln(x + 3) = ln(x² + 2x – 3).
5. Résoudre :
ln(x² – 4e²) < 1 + ln(3x).
Vrai-Faux:
A) Soit \(f\) la fonction définie par:
\(f(x=\frac{x}{2} \frac{1}{\ln (\sqrt{x})}.\)
D son ensemble de définition
\(\mathrm{C}\) sa courbe représentative.
Vrai-Faux:
a. On a D=]0,+∞[\)
b. La courbe C admet une droite asymptote en +∞.
c. Pour tout x∈D on a: \(f(x)<\frac{x}{2}\)
d. Pour tout x∈D on a:
\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{x(\ln )^{2}}\)
QCM:
Soient \(f\) et \(g\) les fonctions dérivables sur \(] 0 ;+∈fty[\)
respectivement définies par:
\(f(x)=-2 \ln (x)+2+x^{2}\)
\(.g(x)=\frac{x^{2}-2 \ln (}{x})\)
choisir la bonne réponse:
1. La dérivée de \(f\) est définie par: \(f^{\prime}(x)=\)
A. \(\frac{2 x^{2}-}{x} \quad\)
B. \(\frac{2 x^{2}+}{x} \quad\)
C. \(\frac{-2 x^{2}}{x}\)
D. aucune des 3 réponses précédentes.
2. L’équation réduite de la tangente
à la courbe représentative de la fonction \(f\)
au point d’abscisse 2 est:
A.\(y=f^{\prime}(x)(x-2)+f(2)\)
B.\(y=f^{\prime}(x)(x-2)-f(2)\)
C.\(y=f^{\prime}(2)(x-2)+f(2)\)
D.\(y=f(2)(x-2)+f^{\prime}(2)\).
3. La dérivée de \(g\) est définie par:
\(g^{\prime}(x)=\)
A. \(-2x\quad \frac{2}{x} \)
B. \(\frac{f(\quad)}{x^{2}} \quad\)
C. – \(\frac{f(\quad)}{x^{2}} \quad\)
D. aucune des 3 réponses précédentes.
4. Le minimum de \(f\) est égal à :
A. 1
B. 3
C. 0
D. aucune des 3 réponses précédentes.
5. \(f(\sqrt{e})=\)
A. \(e\)
B. \(e+1\)
C. \(e-1\).
D. aucune des 3 réponses précédentes.
6. \(\lim _{x ➝ 0} f(x)=\)
A. 0
B. 2
C. -∞
D. +∞.
7. \(\lim _{x ➝+∞} g(x)=\)
A. -∞
B. +∞
C. n’existe pas
D. aucune des 3 réponses précédentes.
8. L’asymptote oblique à la courbe \(C_{g}\)
représentative de \(g\) a pour équation réduite:
A. y =x-2
B. y =-x
C. y =x+2
D. y =x.
9. Le nombre de solutions à l’équation \(g(x)=0\) est égal à :
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3