Suites Numériques 2 bac SM exercices série 2

Exercice 1:

Montrer que:
la suite ${(u_{n})}_{\in N}$ de terme général $u n$ définie par :
$u_{n} = \frac{1 \times 3 \times \dots \times (2 n + 1)}{3 \times 6 \times \dots \times (3 n + 3)}$
est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 2:

1. Montrer que:
pour tout $k \in N^{*}$
$\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

2. Soit ${(u_{n})}_{\in N}^{*}$ la suite réelle définie pour tout $n > 0$ par:
$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1)}$
A l’aide de la question (1 .)
Montrer que:
${(u_{n})}_{\in N}^{*}$
est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 3:

Soit ${(u_{n})}_{\in N}$ la suite à valeurs réelles définie par:
la donnée de $u_{0}, u_{1}$ et la relation de récurrence $\forall n \in N$
$2 u_{n + 2} - 5 u_{n + 1} + 2 u_{n} = 0$
Soient ${(v_{n})}_{\in N}$ et ${(w_{n})}_{n \in N}$ les suites à valeurs réelles
définies, pour tout $n \in N,$ par :
$v_{n} = 3 u_{n} - \frac{3}{2} u_{n + 1}$
$w_{n} = - \frac{3}{4} u_{n} + \frac{3}{2} u_{n + 1}$

1. Montrer que:
${(v_{n})}_{\in N}$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .
En déduire une expression de $v_{n}$ en fonction de $n,$ de $u_{0}$ et de $u_{1}$ .

2. Montrer que:
${(w_{n})}_{\in N}$ est une suite géométrique deraison $2 .$
En déduire une expression de $w_{n}$ en fonction
de $n,$ de $u_{0}$ et de $u_{1}$ .

3. Calculer:
$v_{n} + w_{n}$ de deux façons différentes et en
déduire $u_{n}$ en fonction de $n,$ de $u_{0}$ et de $u_{1}$ .

4. Selon les valeurs de $u_{0}$ et de $u_{1}$ déterminer si la suite
${(u_{n})}_{\in N}$ converge et le cas échéant déterminer sa limite.

Exercice 4:

Soit ${(u_{n})}_{\in N}$ la suite définie par:
la donnée de $u_{0}$ et de $u_{1}$ et la relation de récurrence:
$2 u_{n + 2} - u_{n + 1} - u_{n} = 0$
On pose pour tout $n \in N$ :
$v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ et $w_{n} = 2 u_{n + 1} + u_{n}$ .

1. Montrer que:
${(v_{n})}_{n \in N}$ est une suite géométrique
de raison $- \frac{3}{2}$
On exprimera $v_{n}$ en fonction de $n, u_{0}$ et $u_{1}$ .

2. Montrer que:
${(w_{n})}_{\in N}$ est une suite constante.
On exprimera $w_{n}$ en fonction $u_{0}$ et $u_{1}$ .

3. En calculant $- 2 v_{n} + w_{n}$ de deux façons différentes, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n, u_{0}$ et $u_{1}$ .

4. On pose pour tout $n \in N S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k}$
Calculer :
$S_{n}$ en fonction de $n, u_{0}$ et $u_{1} .$
Pour quelles valeurs de $u_{0}$ et $u_{1}$ la suite ${(S_{n})}_{\in N}$
admet-elle une limite finie
et dans ce cas exprimer cette limite en fonction de $u_{0}$ .

Exercice 5:

On considère la suite de nombres réels définie par son premier terme $u_{0} = \frac{11}{4}$
et par la relation de récurrence:
$u_{n + 1} = \frac{5}{2} + \sqrt{u_{n} - \frac{7}{4}}$ .

Montrer que:
la suite ${(u_{n})}_{\in N}$ est bien définie,convergente et déterminer sa limite.

Exercice 6:

1. Calculer:
si cette limite existe.
$lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{n} - n + 1}{2 \sqrt{n} + n + 2}$

2. Etudier la suite:
${(u_{n})}_{\in N}$ de nombres réels définie
par la donnée de :
$0 < u_{0} < 1$ et $u_{n} = u_{n - 1} - {(u_{n} - 1)}^{2}$

Exercice 7:

Calculer, si elle existe, la limite, lorsque $n$ tend vers l’infini, de l’expression $\sqrt{n^{2} + n + 1} - \sqrt{n^{2} - n + 1}$ .

Exercice 8:

Soit ${(u_{n})}_{\in N}^{*}$ définie par:
$u_{n} = \frac{n - \sqrt{n^{2} + n}}{1 + \sqrt{n^{2} + 1}}$
Montrer que:
la suite ${(u_{n})}_{\in N}^{*}$
converge et déterminer sa limite.

Exercice 9:

On considère les suites:
${(u_{n})}_{\geq 1}$ et ${(v_{n})}_{n \geq 1}$
de nombres réels définies pour tout $n \geq 1$ par:
$u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + \dots + \frac{1}{n^{3}} et v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n^{2}}$

Montrer que
ces deux suites sont convergentes et ont la même limite
(que l’on ne cherchera pas à calculer).

Exercice 10:

On considère la suite ${(u_{n})}_{\geq 0}$ de nombres réels dont le terme général est défini par récurrence en posant:
$u_{0} = 2 et u_{n + 1} = \sqrt{2 u_{n} - 1}$ .

1. Montrer que:
pour tout $n \in N, 1 \leq u_{n}$ .

2. Montrer que:
la suite ${(u_{n})}_{\geq 0}$ est décroissante.

3. En déduire que:
la suite ${(u_{n})}_{\geq 0}$ est convergente
et déterminer sa limite.