Exercice 1:
Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) de terme général \(u n\) définie par :
\(u_{n}=\frac{1 \times 3 \times \ldots \times(2 n+1)}{3 \times 6 \times \ldots \times(3 n+3)}\)
est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 2:
1. Montrer que:
pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\)
\(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)
2. Soit \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}^{*}\) la suite réelle définie pour tout \(n>0\) par:
\(u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\)
A l’aide de la question (1 .)
Montrer que:
\(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}{ }^{*}\)
est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 3:
Soit \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) la suite à valeurs réelles définie par:
la donnée de \(u_{0}, u_{1}\) et la relation de récurrence \(\forall n \in \mathbb{N}\)
\(2 u_{n+2}-5 u_{n+1}+2 u_{n}=0\)
Soient \(\left(v_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) et \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) les suites à valeurs réelles
définies, pour tout \(n \in \mathbb{N},\) par :
\(v_{n}=3 u_{n}-\frac{3}{2} u_{n+1}\)
\(w_{n}=-\frac{3}{4} u_{n}+\frac{3}{2} u_{n+1}\)
1. Montrer que:
\(\left(v_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\).
En déduire une expression de \(v_{n}\) en fonction de \(n,\) de \(u_{0}\) et de \(u_{1}\).
2. Montrer que:
\(\left(w_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique deraison \(2 .\)
En déduire une expression de \(w_{n}\) en fonction
de \(n,\) de \(u_{0}\) et de \(u_{1}\).
3. Calculer:
\(v_{n}+w_{n}\) de deux façons différentes et en
déduire \(u_{n}\) en fonction de \(n,\) de \(u_{0}\) et de \(u_{1}\).
4. Selon les valeurs de \(u_{0}\) et de \(u_{1}\) déterminer si la suite
\(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) converge et le cas échéant déterminer sa limite.
Exercice 4:
Soit \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) la suite définie par:
la donnée de \(u_{0}\) et de \(u_{1}\)et la relation de récurrence:
\(2 u_{n+2}-u_{n+1}-u_{n}=0\)
On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}\):
\(v_{n}=u_{n+1}-u_{n}\) et \(w_{n}=2 u_{n+1}+u_{n}\).
1. Montrer que:
\(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique
de raison \(-\frac{3}{2}\)
On exprimera \(v_{n}\) en fonction de \(n, u_{0}\) et \(u_{1}\).
2. Montrer que:
\(\left(w_{n}\right)_{\in \mathrm{N}}\) est une suite constante.
On exprimera \(w_{n}\) en fonction \(u_{0}\) et \(u_{1}\).
3. En calculant \(-2 v_{n}+w_{n}\) de deux façons différentes, exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(n, u_{0}\) et \(u_{1}\).
4. On pose pour tout \(n \in \mathbb{N} S_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}\)
Calculer :
\(S_{n}\) en fonction de \(n, u_{0}\) et \(u_{1} .\)
Pour quelles valeurs de \(u_{0}\) et \(u_{1}\) la suite \(\left(S_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\)
admet-elle une limite finie
et dans ce cas exprimer cette limite en fonction de\(u_{0}\).
Exercice 5:
On considère la suite de nombres réels définie par son premier terme \(u_{0}=\frac{11}{4}\)
et par la relation de récurrence:
\(u_{n+1}=\frac{5}{2}+\sqrt{u_{n}-\frac{7}{4}}\).
Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) est bien définie,convergente et déterminer sa limite.
Exercice 6:
1. Calculer:
si cette limite existe.
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{n}-n+1}{2 \sqrt{n}+n+2}\)
2. Etudier la suite:
\(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) de nombres réels définie
par la donnée de :
\( 0<u_{0}<1\) et \(u_{n}=u_{n-1}-\left(u_{n}-1\right)^{2}\)
Exercice 7:
Calculer, si elle existe, la limite, lorsque \(n\) tend vers l’infini, de l’expression \(\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}\).
Exercice 8:
Soit \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}^{*}\) définie par:
\(u_{n}=\frac{n-\sqrt{n^{2}+n}}{1+\sqrt{n^{2}+1}}\)
Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}{ }^{*}\)
converge et déterminer sa limite.
Exercice 9:
On considère les suites:
\(\left(u_{n}\right)_{\geq 1}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \geq 1}\)
de nombres réels définies pour tout \(n \geq 1\) par:
\(u_{n}=1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\cdots+\frac{1}{n^{3}} \text { et } v_{n}=u_{n}+\frac{1}{n^{2}}\)
Montrer que
ces deux suites sont convergentes et ont la même limite
(que l’on ne cherchera pas à calculer).
Exercice 10:
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{\geq 0}\) de nombres réels dont le terme général est défini par récurrence en posant:
\(u_{0}=2 \text { et } u_{n+1}=\sqrt{2 u_{n}-1}\).
1. Montrer que:
pour tout \(n \in \mathbb{N}, 1 \leq u_{n}\).
2. Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{\geq 0}\) est décroissante.
3. En déduire que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{\geq 0}\) est convergente
et déterminer sa limite.