Les Applications Exercices 1 Bac SM Exercices Série 3

Exercice 1:

$f$ l’application définie par:
f:IR ➝IR
x➝x²-2 x+3
1) Résoudre: dans IR l’équation $f (x) = 3$ .
$f$ est elle injective ? Justifier votre réponse.

2) Résoudre: dans IR l’équation $f (x) = 0$ .
$f$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.

Exercice 2:

$f$ l’application définie par:
f:IR ➝IR
$x ➝ x - 4 \sqrt{x} + 5$ .

1) Résoudre: dans IR l’équation $f (x) = 2 .$
f est-elle injective?

2) Montrer que : $\forall x \in [0, + \infty [), f (x) \geq 1.$
$f$ est t- elle surjective?

Exercice 3:

$f$ l’application définie par:
f: IR-{1}➝ IR-{2} $x ➝ \frac{2 x - 1}{x - 1}$

1) Montrer que: la fonction $f$ est injective.

2) Montrer que: $f$ est surjective et en déduire qu’elle est bijective.

Exercice 4:

$f$ l’application définie de IR-{-1} vers IR) par:
$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{(x + 1)^{2}}$

1) Montrer que: ∀x ∈IR-{-1}, f(-2-x)=f(x). $f$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.

2) Montrer que : ∀x ∈IR-{-1}, f(x)<1. $f$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.

Exercice 5:

l’application $f$ définie de [0,+∞[ vers IR par:
$f (x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} .$

1) Montrer que: l’application $f$ est injective?

2) Montrer que: ∀x ∈[0,+∞[,-1≤ f(x)<1.
$f$ est- elle surjective ? Justifier votre réponse.

3) Soit $g$ l’application définie de $I R^{+}$ vers [-1,1[ par:
$g (x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} .$
Montrer que $g$ est une bijection de $I R^{+}$ vers [-1,1[
et déterminer sa bijection réciproque $g^{- 1}$ .

Exercice 6:

$f$ l’application définie de IR* vers IR par:
∀x ∈IR*, $f (x) = x + \frac{1}{x}$

1) Montrer que: ∀x ∈ IR*, $f (\frac{1}{x}) = f (x)$ .
$f$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.

2) $f$ est-elle surjective ? justifier votre réponse.

Exercice 7:

I’application $f$ définie de $] 0, + \infty [$ vers IR par:
pour tout $x$ de ] 0,+∞[, $f (x) = x - \frac{1}{x} .$

1) Montrer que: l’application $f$ est bijective.

2) Déterminer: $f^{- 1}$ la bijection réciproque de la bijection $f$ .

Exercice 8:

$f$ l’application définie de IR vers IR par:
$f (x) = \frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 1}$

1) l’application $f$ est-elle injective ? justifier votre réponse.

2) Montrer que: ∀x ∈IR,-2≤ f(x)<1;
l’application $f$ est -elle surjective.

3) Soit $g$ l’application de [0,+∞[ vers [-2,1[ définie par:
g(x)=f(x).
Montrer que $g$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.

Exercice 9:

l’application $f$ définie de [1,+∞[ vers $I R$ par:
$f (x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{x}$

1) Montrer que: l’application $f$ est injective.

2) Montrer que: ∀x ∈[1,+∞[,-1≤ f(x)<0 $f$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.

Exercice 10:

$f$ l’application définie de [2,+∞[ vers IR par:
$f (x) = x - \sqrt{x - 1}$ .

1) Montrer que: l’application $f$ est injective.

2) Montrer que: $(\forall x \in [2, + \infty [); f (x) \geq 1$ . $f$ est – elle surjective?

3) Montrer que: $f$ est bijective de [2,+∞[ vers [1,+∞[,
et définir sa bijection réciproque $f^{- 1}$

Exercice 11:

$f$ l’application de [2,+∞[ vers [2,+∞[ définie par: $f (x) = \frac{x}{\sqrt{x - 1}}$

Montrer que:
$f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $f^{- 1}$

Exercice 12:

$f$ I’application de IN vers IN définie par:
$f (n) = n^{2} + n$ .

1) Montrer que: l’application $f$ est injective.

2) $f$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.

Exercice 13:

I’application $f$ définie de Z×Z vers Z par:
$f ((m, n)) = m + n - m n .$

1) L’application $f$ est-elle injective ? justifier votre réponse.

2) a- Soit y∈Z calculer f(0, y).
b- En déduire que l’application $f$ est surjective.

Exercice 14:

$f$ l’application définie de IN* vers IN par:
$f (n) = n^{2} - n$ .

1) Montrer que: l’application $f$ est injective.

2) Vérifier que: $f (n)$ est pair pour tout n de IN*
et en déduire que $f$ n’est pas une application surjective.

Exercice 15:

l’application $f$ définie de IN×IN vers IN par:
$f ((m, n)) = m + n$ .

1) $f$ est-elle injective ? justifier votre réponse.

2) Soit y ∈IN. Calculer f(y, 0) et en déduire que $f$ est surjective.

Exercice 16:

$f$ l’application définie par:
$f : I R ² ➝ I R$ (x, y)➝2x+y1)

1) $f$ est-elle injective ? justifier votre réponse.

2) Pour tout z de $I R$ calculer f(z,-z)
et en déduire que $f$ est surjective.

Exercice 17:

l’application $f$ définie de IR vers IR² par:
$f (x) = (\frac{1}{2} x, \frac{1}{2} x - 1)$

1) Montrer que: l’application $f$ est injective.

2) $f$ est t elle surjective ? justifier notre réponse.