Fonction Logarithme Népérien Exercices 2 Bac SM Série 3

Exercice 1:

Partie A

Soit $u$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par:
$u(x)=x^2-2+lnx$

1. Étudier:
les variations de $u$ sur ]0;+∞[
et préciser ses limites en 0 et en +∞.

2. a. Montrer que:
l’équation $u(x)=0$ admet une solution unique sur ]0;+∞[ 
On note $a$ cette solution.
b. À l’aide de la calculatrice, 
déterminer un encadrement d’amplitude ${10}^{-2}$ de $\alpha$.

3. Déterminer:
 le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$.

4. Montrer l’égalité : $\ln \alpha =2-{\alpha }^2$.

Partie B

On considère la fonction $f$:
définie et dérivable sur ]0;+∞[ par:
$f(x)=x^2+(2-lnx{)}^2$
On note $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$ sur ]0;+∞[.

1. Exprimer:
pour tout $x$ de ]0;+∞[, f'(x) en fonction de $u(x)$.

2. En déduire:
les variations de $f$ sur $]0;+\infty [$.

Partie C

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé
$(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ on note
*$r$ la courbe représentative de la fonction $ln$
(logarithme népérien)
*$A$ le point de coordonnées $(0;2)$
*$M$ le point de $\mathrm{\Gamma }$ d’abscisse $x,x$ appartenant à
]0;+∞[

1. Montrer que:
 la distance $AM$ est donnée par $AM=\sqrt{f(x)}$

2. Soit $g$ la fonction définie sur ]0;+∞[ par:
$g(x)=\sqrt{f(x)}$
a. Montrer que:
 les fonctions $f$ et $g$ ont les mêmes
variations sur $]0;+\infty [$
b. Montrer que:
la distance $AM$ est minimale en un point de $\mathrm{\Gamma },$ noté $P,$ 
dont on précisera les coordonnées.
c. Montrer que:
 $AP=\alpha \sqrt{1+{\alpha }^2}$
3. La droite $(AP)$ est-elle perpendiculaire à la tangente
à $\mathrm{\Gamma }$ en $P$ ?

Exercice 2:

Soit $f$ la fonction définie sur [0;1] par:
$f(0)=0,f(1)=0$
$f(x)=(lnx)\times \ln (1-x),x\in ]0;1[$
On note $C$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal (unité graphique :10cm).
On admet que:
$\underset{x➝0}{lim}f(x)=0$ et $\underset{x➝1}{lim}f(x)=0,$ 
ainsi que le résultat suivant : 
pour $\alpha >0,\underset{x➝0}{lim}{x}^{\alpha }lnx=0$

Étude de la fonction $f$

1. a. Déterminer:
la limite quand $x$ tend vers 0 de
l’expression $\frac{\ln (1-x)}{x}$
b. En déduire la limite quand $x$ tend vers 0 de
l’expression $\frac{f(x)}{x};$ que peut-on en déduire pour la
courbe C?

2. Montrer que:
pour tout $x\in ]-\frac{1}{2};\frac{1}{2}[$,
$f(\frac{1}{2}-x)=f(\frac{1}{2}+x).$ Que peut-on en conclure
pour C?

3. Soit $\phi$ la fonction définie sur $]0;1[$ par
$\phi (x)=(1-x)\ln (1-x)-xlnx$
a. Déterminer:
${\phi }^{\prime }(x)$, puis montrer l’égalité
${\phi }^{\prime \prime }(x)=\frac{2x-1}{x(1-x)};$ 
en déduire les variations de ${\phi }^{\prime }$ sur $]0;1[.$
b. Montrer que:
${\phi }^{\prime }$ s’annule en deux valeurs
$a_1$ et $a_2$ sur $]0;1[$ 
(on ne cherchera pas à calculer ces valeurs).
Donner le signe de ${\phi }^{\prime }$ sur $]0;1[.$
c. Déterminer:
la limite quand $x$ tend vers 0 de $\phi (x)$
et la limite quand $x$ tend vers1 de $\phi (x)$. 
Calculer: $\phi (\frac{1}{2}).$ En déduire:
le signe de $\phi (x)$ sur $]0;[1$

4. a. Montrer que:
$f^{\prime }(x)$ a même signe que $\phi (x)$ sur ]0;1[b. Donner:
le tableau de variations de $f$.
c. Montrer que:
pour tout $x$ de $]0;1[$ les inégalités suivantes sont vraies:
$0<(lnx)\times \ln (1-x)\le (\ln 2{)}^2$
d. Tracer $C$.

Exercice 3:

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par:
$f(x)=x-\frac{lnx}{x^2}$On note (C) sa courbe représentative
dans un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
(unité graphique $2\forall cm$ ).
1.Soit $u$ la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par:
 $u(x)=x^3-1+2lnx$
a. Étudier:
le sens de variation de la fonction $u$ sur
l’intervalle $]0;+\infty [$.
b. Calculer $u$ (1 ) et en déduire le signe de $u(x)$
pour $x$ appartenant à l’intervalle ]0;+∞[

2. Étude de la fonction $f$
a. Déterminer:
 les limites de $f$ en 0 et en +∞.
b. Déterminer:
la fonction dérivée de $f$
et construire le tableau de variation de la fonction $f$

3. Éléments graphiques et tracés.
Démontrer que:
la droite $(\Delta )$ d’équation $y=x$ est
asymptote oblique à la courbe (C).
b. Déterminer:
la position de (C) par rapport à $(\Delta )$.
c. Tracer:
la courbe (C) et la droite $(\Delta )$.

Exercice 4:

Le plan est rapporté à un repère orthonormal 
$(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
On considère la fonction $f$, 
définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par:
 $f(x)=-3-lnx+2(lnx{)}^2$
On note (C) sa courbe représentative.

1. a. Résoudre:
dans ]0;+∞[ l’ équation $f(x)=0.$ 
(On pourra poser $lnx=X$ ).b. Résoudre:
dans $]0;+\infty [$ l’inéquation $f(x)>0$.

2. a. Déterminer:
les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
b. Calculer $f^{\prime }(x)$.
c. Étudier:
le sens de variation de $f$ et dresser son
tableau de variations.

3. Déterminer:
une équation de la tangente (T) à la
courbe (C) au point d’abscisse $e^{\frac{5}{4}}$.

4. On se propose d’étudier la position de la courbe (C)
par rapport à la droite (T). 
Pour cela, on considère la fonction $\phi ,$ 
définie sur ]0;+∞[ par:
$\phi (x)=f(x)-(4e^{-\frac{5}{4}}x-\frac{41}{8})$
a. Montrer que:
 ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{4lnx-1}{x}-4e^{-\frac{5}{4}}$
puis calculer$\phi »(x)$
b. Étudier:
 le sens de variation de ${\phi }^{\prime }$ sur ]0;+∞[.
En déduire que, pour tout $x$ appartenant à ]0;+∞[, 
on a ${\phi }^{\prime }(x)\le 0$
c. Calculer:
 $\phi (e^{\frac{5}{4}}).$ 
déterminer:
le signe de $\phi (x)$ Pour tout $x$ appartenant à ]0;+∞[  En déduire: la position de la courbe (C)
par rapport à la droite (T).

5. Tracer:
 la courbe (C) et la droite (T). 
(Unité graphique: 2cm.)

Exercice 5:

On désigne par $a$ un réel de l’intervalle $]0;\pi [$
et on considère la famille de fonctions numériques $f_a$
définies par:
 $f_a(x)=\ln (x^2-2x\cos a+1))$
On appelle $C_a$ la représentation graphique de fa
dans un plan muni d’un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

1. Montrez que:
l’ensemble de définition de $f_{\forall a}$ est $\forall R$.

2. Déterminez:
les limites de $f_a$ en $+\infty$ et $-\infty$.

3. Montrez que:
la droite d’équation $x=\cos a$ est axe de symétrie de $C_a$.

4. $a$ et $a$ ‘ étant deux réels distincts, 
montrez que $C_a$ et $C_{a^{\prime }}$ sont sécantes 
en un unique point que l’on précisera.

5. Calculez:
$f_a^{\prime }(x)$ et déduisez-en son sens de variation.

6. Donnez:
l’allure des courbes $C_a$.