Exercice 1:
Partie A
Soit \(u\) la fonction définie sur \(]0;+∞[\) par:
\(u(x)=x^{2}-2+ln x\)
1. Étudier:
les variations de \(u\) sur ]0;+∞[
et préciser ses limites en 0 et en +∞.
2. a. Montrer que:
l’équation \(u(x)=0\) admet une solution unique sur ]0;+∞[
On note \(a\) cette solution.
b. À l’aide de la calculatrice,
déterminer un encadrement d’amplitude \(10^{-2}\) de \(α\).
3. Déterminer:
le signe de \(u(x)\) suivant les valeurs de \(x\).
4. Montrer l’égalité : \(\ln α=2-α^{2}\).
Partie B
On considère la fonction \(f\):
définie et dérivable sur ]0;+∞[ par:
\(f(x)=x^{2}+(2-ln x)^{2}\)
On note \(f’\) la fonction dérivée de \(f\) sur ]0;+∞[.
1. Exprimer:
pour tout \(x\) de ]0;+∞[, f'(x) en fonction de \(u(x)\).
2. En déduire:
les variations de \(f\) sur \(]0;+∞[\).
Partie C
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé
\((O;\vec{i}, \vec{j})\) on note
*\(r\) la courbe représentative de la fonction \(ln\)
(logarithme népérien)
*\(A\) le point de coordonnées \((0;2)\)
*\(M\) le point de \(\Gamma\) d’abscisse \(x, x\) appartenant à
]0;+∞[
1. Montrer que:
la distance \(AM\) est donnée par \(AM=\sqrt{f(x)}\)
2. Soit \(g\) la fonction définie sur ]0;+∞[ par:
\(g(x)=\sqrt{f(x)}\)
a. Montrer que:
les fonctions \(f\) et \(g\) ont les mêmes
variations sur \(]0;+∞[\)
b. Montrer que:
la distance \(AM\) est minimale en un point de \(\Gamma,\) noté \(P,\)
dont on précisera les coordonnées.
c. Montrer que:
\(AP=α \sqrt{1+α^{2}}\)
3. La droite \((AP)\) est-elle perpendiculaire à la tangente
à \(\Gamma\) en \(P\) ?
Exercice 2:
Soit \(f\) la fonction définie sur [0;1] par:
\(f(0)=0, f(1)=0\)
\(f(x)=(lnx)×\ln (1-x), x ∈] 0;1[\)
On note \(C\) sa courbe représentative dans un repère
orthonormal (unité graphique :10cm).
On admet que:
\(\lim_{x➝0} f(x)=0\) et \(\lim_{x➝1} f(x)=0,\)
ainsi que le résultat suivant :
pour \(α>0, \lim_{x➝0} x^{α} ln x=0\)
Étude de la fonction \(f\)
1. a. Déterminer:
la limite quand \(x\) tend vers 0 de
l’expression \(\frac{\ln (1-x)}{x}\)
b. En déduire la limite quand \(x\) tend vers 0 de
l’expression \(\frac{f(x)}{x} ;\) que peut-on en déduire pour la
courbe C?
2. Montrer que:
pour tout \(x ∈]-\frac{1}{2};\frac{1}{2}[\),
\(f(\frac{1}{2}-x)=f(\frac{1}{2}+x) .\) Que peut-on en conclure
pour C?
3. Soit \(φ\) la fonction définie sur \(]0;1[\) par
\(φ(x)=(1-x) \ln (1-x)-x ln x\)
a. Déterminer:
\(φ'(x)\), puis montrer l’égalité
\(φ^{\prime \prime}(x)=\frac{2 x-1}{x(1-x)};\)
en déduire les variations de \(φ’\) sur \(]0;1[.\)
b. Montrer que:
\(φ’\) s’annule en deux valeurs
\(a_{1}\) et \(a_{2}\) sur \(]0;1[\)
(on ne cherchera pas à calculer ces valeurs).
Donner le signe de \(φ’\) sur \(]0;1[.\)
c. Déterminer:
la limite quand \(x\) tend vers 0 de \(φ(x)\)
et la limite quand \(x\) tend vers1 de \(φ(x)\).
Calculer: \(φ(\frac{1}{2}) .\) En déduire:
le signe de \(φ(x)\) sur \(]0; [1\)
4. a. Montrer que:
\(f'(x)\) a même signe que \(φ(x)\) sur ]0;1[b. Donner:
le tableau de variations de \(f\).
c. Montrer que:
pour tout \(x\) de \(]0;1[\) les inégalités suivantes sont vraies:
\(0<(lnx)×\ln (1-x)≤ (\ln 2)^{2}\)
d. Tracer \(C\).
Exercice 3:
Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par:
\(f(x)=x-\frac{ln x}{x^{2}}\)On note (C) sa courbe représentative
dans un repère orthonormal \((O;\vec{i}, \vec{j})\)
(unité graphique \(2 ∀{~cm}\) ).
1.Soit \(u\) la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par:
\(u(x)=x^{3}-1+2 ln x\)
a. Étudier:
le sens de variation de la fonction \(u\) sur
l’intervalle \(]0;+∞[\).
b. Calculer \(u\) (1 ) et en déduire le signe de \(u(x)\)
pour \(x\) appartenant à l’intervalle ]0;+∞[
2. Étude de la fonction \(f\)
a. Déterminer:
les limites de \(f\) en 0 et en +∞.
b. Déterminer:
la fonction dérivée de \(f\)
et construire le tableau de variation de la fonction \(f\)
3. Éléments graphiques et tracés.
Démontrer que:
la droite \((Δ)\) d’équation \(y=x\) est
asymptote oblique à la courbe (C).
b. Déterminer:
la position de (C) par rapport à \((Δ)\).
c. Tracer:
la courbe (C) et la droite \((Δ)\).
Exercice 4:
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
\((O;\vec{i}, \vec{j})\).
On considère la fonction \(f\),
définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par:
\(f(x)=-3-ln x+2(ln x)^{2}\)
On note (C) sa courbe représentative.
1. a. Résoudre:
dans ]0;+∞[ l’ équation \(f(x)=0.\)
(On pourra poser \(ln x=X\) ).b. Résoudre:
dans \(]0;+∞[\) l’inéquation \(f(x)>0\).
2. a. Déterminer:
les limites de \(f\) en 0 et en \(+∞\).
b. Calculer \(f'(x)\).
c. Étudier:
le sens de variation de \(f\) et dresser son
tableau de variations.
3. Déterminer:
une équation de la tangente (T) à la
courbe (C) au point d’abscisse \(e^{\frac{5}{4}}\).
4. On se propose d’étudier la position de la courbe (C)
par rapport à la droite (T).
Pour cela, on considère la fonction \(φ,\)
définie sur ]0;+∞[ par:
\(φ(x)=f(x)-(4 e^{-\frac{5}{4}} x-\frac{41}{8})\)
a. Montrer que:
\(φ'(x)=\frac{4 ln x-1}{x}-4 e^{-\frac{5}{4}}\)
puis calculer\(φ »(x)\)
b. Étudier:
le sens de variation de \(φ’\) sur ]0;+∞[.
En déduire que, pour tout \(x\) appartenant à ]0;+∞[,
on a \(φ'(x)≤ 0\)
c. Calculer:
\(φ(e^{\frac{5}{4}}) .\)
déterminer:
le signe de \(φ(x)\) Pour tout \(x\) appartenant à ]0;+∞[ En déduire: la position de la courbe (C)
par rapport à la droite (T).
5. Tracer:
la courbe (C) et la droite (T).
(Unité graphique: 2cm.)
Exercice 5:
On désigne par \(a\) un réel de l’intervalle \(]0; π[\)
et on considère la famille de fonctions numériques \(f_{a}\)
définies par:
\(f_{a}(x)=\ln (x^{2}-2 x \cos a+1))\)
On appelle \(C_{a}\) la représentation graphique de fa
dans un plan muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{i}, \vec{j})\)
1. Montrez que:
l’ensemble de définition de \(f_{∀{a}}\) est \(∀{R}\).
2. Déterminez:
les limites de \(f_{a}\) en \(+∞\) et \(-∞\).
3. Montrez que:
la droite d’équation \(x=\cos a\) est axe de symétrie de \(C_{a}\).
4. \(a\) et \(a\) ‘ étant deux réels distincts,
montrez que \(C_{a}\) et \(C_{a’}\) sont sécantes
en un unique point que l’on précisera.
5. Calculez:
\(f_{a}'(x)\) et déduisez-en son sens de variation.
6. Donnez:
l’allure des courbes \(C_{a}\).