Fonction Logarithme Népérien Exercices 2 Bac SM Série 1

Résolution équations / inéquations :

Exercice 1:

1. Soit $f(x)=\frac{\cos (\pi x^2-\frac{\pi }{3})+\frac{1}{2}}{x-1}$ calculer $\underset{x➝1}{lim}f(x)$

2. $f(x)=\ln (\frac{ex+3}{x+5})$
calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$

3. $f(x)=\ln (\frac{x^2+3}{e^x})$
calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$

4. $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{2\ln x+1}{2x}$

5. $\underset{x➝+\infty }{lim}x\ln (1+\frac{1}{x})$

Exercice 2:

1. Résoudre dans IR l’équation:
$\ln (x^2-3x-2)=\ln (2x-6)$

2. Résoudre l’inéquation:
$e^{2\ln (\frac{1}{x})+1}>2e$

3. Résoudre dans IR le système:
$\{\begin{array}{c}\ln x-\ln y=1\\ x+y=2e\end{array}.$.

4. Résoudre l’inéquation:
$\ln (1+x)-\ln (1-x)>\ln 2x-\ln (1+x)$

5. Résoudre:
$1+\ln (x+3)=\ln (x^2+2x-3)$

6. Résoudre:
$\ln (x^2-4{\mathrm{e}}^2)<1+\ln (3x)$.

Dérivation et encadrement

Exercice 3:

Le plan $\mathrm{P}$ est muni d’un repère orthonormé 
$(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

1. On considère la fonction définie sur $[0,+\infty [$ par:
$f(x)=\frac{\ln (x+1)}{x}\text{ si }x>0$$f(0)=1$
Montrer que $f$ est continue en 0.

2. a. Etudier:
le sens de variation de la fonction $g$définie sur $[\mathrm{O},+\infty [\mathrm{par}:$
$g(x)=\ln (1+x)-(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3})$
b.Calculer $g(0)$ 
et en déduire que sur ${\mathbb{R}}^{+}:$
$\ln (1+x)\le (x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3})$$x\ge 0,$ alors $\ln (1+x)\ge x-\frac{x^2}{2}$
c. Établir que:
pour tout $x$ strictement positif on a$-\frac{1}{2}\le \frac{\ln (1+x)-x}{x^2}\le -\frac{1}{2}+\frac{x}{3}$
En déduire que:
$f$ est dérivable en zéro et que$f^{\prime }(0)=-\frac{1}{2}$

3. a. Soit $h$ la fonction définie sur $[0,+\infty [$ par:
$h(x)=\frac{x}{x+1}-\ln (1+x)$
Étudier son sens de variation 
et en déduire le signe de $h$ sur $[0,+\infty [$
b. Montrer que:
 sur $[0,+\infty [,f^{\prime }(x)=\frac{h(x)}{x^2}$.
c. Dresser:
 le tableau de variation de $f$ en précisant la limite de $f$ en $+\infty$

Exercice 4:

Partie A:
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle
] $0;+\infty [\mathrm{par}:f(x)=\frac{1-\ln x}{x}.$
On note $\mathrm{C}$ la courbe représentative de $f$
dans un repèreorthogonal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

1. Déterminer:
la limite de $f$ en $0.$
Interpréter graphiquement le résultat.

2. En remarquant que:
pour tout nombre réel $x$
appartenant à l’intervalle $]0;+\infty [,f(x)$ est égal à
$\frac{1}{x}-\frac{\ln x}{x},$
déterminer la limite de la fonction $f$ en +∞.
Interpréter graphiquement le résultat.

3. a. On note $f^{\prime }$ la fonction dérivée de la fonction $f$
sur l’intervalle $]0;+\infty [$
Montrer que:
pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty [,f^{\prime }(x)=\frac{-2+\ln x}{x^2}.$
b. Étudier:
le signe de $-2+\ln x$ sur l’intervalle $]0;+\infty [$.
En déduire le signe de $f^{\prime }$ sur l’intervalle $]0;+\infty [$
c. Dresser:
le tableau de variations de la fonction $f$.

4. On note:
$I$ le point d’intersection de $\mathrm{C}$
et de l’axe $(O;\overrightarrow{i})$.
Déterminer les coordonnées du point $I$.

5. On note T la tangente à la courbe $\mathrm{C}$ au point $A$
d’abscisse 1 .
Déterminer une équation de la droite $\mathrm{T}$.

6. Sur la feuille de papier millimétré,
tracer, dans le repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ la courbe $C$
et la droite $T$.
On prendra $1\mathrm{cm}$
pour unité graphique sur l’axe $(O;\overrightarrow{i})$ et $5\mathrm{cm}$
pour unité graphique sur l’axe $(O;\overrightarrow{j})$

Partie B:
1. a. On considère la fonction $g$ 
définie sur l’intervalle]0 ;+∞[ par:
$g(x)=(\ln x{)}^2.$ 
On note $g^{\prime }$ la fonction dérivée de la fonction $g$ 
sur l’intervalle $]0;+\infty [$.
Calculer $g^{\prime }(x)$
b. En déduire:
une primitive de la fonction $x\mapsto \frac{\ln x}{x}$
sur l’intervalle $]0;+\infty [$

Exercice 5:

Partie A
On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par:
$g(x)=-2x^2-1+\ln x$

1. Calculer:
$g$ ‘ $(x$ ) pour tout $x$ de $]0;+\infty [$. 
Étudier son signe sur $]0;+\infty [$

2. Dresser:
le tableau de variations de $g$ sur $]0;+\infty [$.
(On ne demande pas les limites de $g$ aux bornes de son
ensemble de définition).
3. En déduire que:
pour tout $x$ de $]0;+\infty [,g(x)<0$.

Partie B
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par:
$f(x)=-x+1-\frac{1}{2}\frac{\ln x}{x}$
On désigne par $\mathrm{C}$ sa courbe représentative
dans le plan muni d’un repère orthogonal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ d’unités graphiques $2\mathrm{cm}$ sur l’axe des abscisses
et $1\mathrm{cm}$ sur l’axe des ordonnées.

1.a. Calculer:
la limite de $f$ en $0.$ 
Interpréter graphiquement ce résultat.
b. Calculer:
la limite de $f$ en $+\infty$.
c. Démontrer que:
la droite ${}_{\mathrm{\Delta }}$ d’équation $y=-x+1$
estasymptote à la courbe $\mathrm{C}$.
d. Étudier:
la position relative de $\mathrm{C}$ et $\mathrm{\Delta }$ sur $]0;+\infty [$

2. a. Calculer;
$f$ ‘ $(x)$ pour tout $x>0$.
b. Vérifier que:
pour tout $x$ de $]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{2x^2}$
c. Déduire:
de la partie A. le tableau de variations de $f$
sur $]0;+\infty [$
d. Calculer $f(1)$. 
En déduire le signe de $f$ sur $]0;+\infty [$.

3. Dans le plan muni du repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}),$
tracer la droite $\mathrm{\Delta }$ et la courbe $C$.

Partie C
1. Vérifier que la fonction $F$  définie sur $]0;+\infty [$ par:
$F(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+x-\frac{1}{4}(\ln x{)}^2$ 
est une primitive de $f$ sur ] 0 ;+∞[.