Résolution équations / inéquations :
Exercice 1:
1. Soit \(f(x)=\frac{\cos (π x^{2}-\frac{π}{3})+\frac{1}{2}}{x-1} \) calculer \(\lim _{x ➝ 1} f(x)\)
2. \(f(x)=\ln (\frac{e x+3}{x+5}) \)
calculer \(\lim _{x ➝+∞} f(x)\)
3. \(f(x)=\ln (\frac{x^{2}+3}{e^{x}}) \)
calculer \(\lim _{x ➝+∞} f(x)\)
4. \(\lim _{x ➝+∞} \frac{2 \ln x+1}{2 x}\)
5. \(\lim _{x ➝+∞} x \ln (1+\frac{1}{x})\)
Exercice 2:
1. Résoudre dans IR l’équation:
\(\ln (x^{2}-3 x-2)=\ln (2 x-6)\)
2. Résoudre l’inéquation:
\(e^{2 \ln (\frac{1}{x})+1}>2 e\)
3. Résoudre dans IR le système:
\(\{\begin{array}{c}\ln x-\ln y=1 \\ x+y=2 e\end{array}.\).
4. Résoudre l’inéquation:
\(\ln (1+x)-\ln (1-x)>\ln 2 x-\ln (1+x)\)
5. Résoudre:
\(1+\ln (x+3)=\ln (x^{2}+2 x-3)\)
6. Résoudre:
\(\ln (x^{2}-4 \mathrm{e}^{2})<1+\ln (3 x)\).
Dérivation et encadrement
Exercice 3:
Le plan \(\mathrm{P}\) est muni d’un repère orthonormé
\((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
1. On considère la fonction définie sur \([0,+∞[\) par:
\(f(x)=\frac{\ln (x+1)}{x} \text { si } x>0\)\(f(0)=1\)
Montrer que \(f\) est continue en 0.
2. a. Etudier:
le sens de variation de la fonction \(g\)définie sur \([\mathrm{O},+∞[\mathrm{par:}\)
\(g(x)=\ln (1+x)-(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3})\)
b.Calculer \(g(0)\)
et en déduire que sur \(\mathbb{R}^{+}:\)
\(\ln (1+x) \leq(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3})\)\(x \geq 0,\) alors \(\ln (1+x) \geq x-\frac{x^{2}}{2}\)
c. Établir que:
pour tout \(x\) strictement positif on a\(-\frac{1}{2} \leq \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}} \leq-\frac{1}{2}+\frac{x}{3}\)
En déduire que:
\(f\) est dérivable en zéro et que\(f'(0)=-\frac{1}{2}\)
3. a. Soit \(h\) la fonction définie sur \([0,+∞[\) par:
\(h(x)=\frac{x}{x+1}-\ln (1+x)\)
Étudier son sens de variation
et en déduire le signe de \(h\) sur \([0,+∞[\)
b. Montrer que:
sur \([0,+∞[, f'(x)=\frac{h(x)}{x^{2}}\).
c. Dresser:
le tableau de variation de \(f\) en précisant la limite de \(f\) en \(+∞\)
Exercice 4:
Partie A:
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle
] \(0 ;+∞[\operatorname{par:}
f(x)=\frac{1-\ln x}{x}.\)
On note \(\mathrm{C}\) la courbe représentative de \(f\)
dans un repèreorthogonal \((O ; \vec{i}, \vec{j})\).
1. Déterminer:
la limite de \(f\) en \(0 .\)
Interpréter graphiquement le résultat.
2. En remarquant que:
pour tout nombre réel \(x\)
appartenant à l’intervalle \(] 0 ;+∞[, f(x)\) est égal à
\(\frac{1}{x}-\frac{\ln x}{x},\)
déterminer la limite de la fonction \(f\) en +∞.
Interpréter graphiquement le résultat.
3. a. On note \(f’\) la fonction dérivée de la fonction \(f\)
sur l’intervalle \(] 0 ;+∞[\)
Montrer que:
pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l’intervalle \(]0 ;+∞[,
f'(x)=\frac{-2+\ln x}{x^{2}}.\)
b. Étudier:
le signe de \(-2+\ln x\) sur l’intervalle \(] 0 ;+∞[\).
En déduire le signe de \(f’\) sur l’intervalle \(] 0 ;+∞[\)
c. Dresser:
le tableau de variations de la fonction \(f\).
4. On note:
\(I\) le point d’intersection de \(\mathrm{C}\)
et de l’axe \((O ; \vec{i})\).
Déterminer les coordonnées du point \(I\).
5. On note T la tangente à la courbe \(\mathrm{C}\) au point \(A\)
d’abscisse 1 .
Déterminer une équation de la droite \(\mathrm{T}\).
6. Sur la feuille de papier millimétré,
tracer, dans le repère \((O ; \vec{i}, \vec{j})\) la courbe \(C\)
et la droite \(T\).
On prendra \(1 \mathrm{~cm}\)
pour unité graphique sur l’axe \((O ; \vec{i})\) et \(5 \mathrm{~cm}\)
pour unité graphique sur l’axe \((O ; \vec{j})\)
Partie B:
1. a. On considère la fonction \(g\)
définie sur l’intervalle]0 ;+∞[ par:
\(g(x)=(\ln x)^{2}.\)
On note \(g’\) la fonction dérivée de la fonction \(g\)
sur l’intervalle \(] 0 ;+∞[\).
Calculer \(g'(x)\)
b. En déduire:
une primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{\ln x}{x}\)
sur l’intervalle \(] 0 ;+∞[\)
Exercice 5:
Partie A
On considère la fonction \(g\) définie sur \(] 0 ;+∞[\) par:
\(g(x)=-2 x^{2}-1+\ln x\)
1. Calculer:
\(g\) ‘ \((x\) ) pour tout \(x\) de \(] 0 ;+∞[\).
Étudier son signe sur \(] 0 ;+∞[\)
2. Dresser:
le tableau de variations de \(g\) sur \(] 0 ;+∞[\).
(On ne demande pas les limites de \(g\) aux bornes de son
ensemble de définition).
3. En déduire que:
pour tout \(x\) de \(] 0 ;+∞[, g(x)<0\).
Partie B
Soit \(f\) la fonction définie sur \(] 0 ;+∞[\) par:
\(f(x)=-x+1-\frac{1}{2} \frac{\ln x}{x}\)
On désigne par \(\mathrm{C}\) sa courbe représentative
dans le plan muni d’un repère orthogonal \((O ; \vec{i}, \vec{j})\) d’unités graphiques \(2 \mathrm{~cm}\) sur l’axe des abscisses
et \(1 \mathrm{~cm}\) sur l’axe des ordonnées.
1.a. Calculer:
la limite de \(f\) en \(0.\)
Interpréter graphiquement ce résultat.
b. Calculer:
la limite de \(f\) en \(+∞\).
c. Démontrer que:
la droite \(_{\Delta}\) d’équation \(y=-x+1\)
estasymptote à la courbe \(\mathrm{C}\).
d. Étudier:
la position relative de \(\mathrm{C}\) et \(\Delta\) sur \(] 0 ;+∞[\)
2. a. Calculer;
\(f\) ‘ \((x)\) pour tout \(x>0\).
b. Vérifier que:
pour tout \(x\) de \(] 0 ;+∞[\), \(f'(x)=\frac{g(x)}{2 x^{2}}\)
c. Déduire:
de la partie A. le tableau de variations de \(f\)
sur \(] 0 ;+∞[\)
d. Calculer \(f(1)\).
En déduire le signe de \(f\) sur \(] 0 ;+∞[\).
3. Dans le plan muni du repère \((O ; \vec{i}, \vec{j}),\)
tracer la droite \(\Delta\) et la courbe \(C\).
Partie C
1. Vérifier que la fonction \(F\) définie sur \(] 0 ;+∞[\) par:
\(F(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+x-\frac{1}{4}(\ln x)^{2}\)
est une primitive de \(f\) sur ] 0 ;+∞[.