Variation d’une Fonction Numérique
Exercice 1:
On considère la fonction numérique \(h\) d’une variable réelle \(x\)
définie par:
\(h(x)=x-2 \sqrt{x-1}\)
1) Déterminer \(D\) l’ensemble de définition de la fonction \(h\).
2) Montrer que \(h(2)\) est une valeur minimale de \(h\) sur \(D\).
3) On considère les deux fonctions numériques \(f\) et \(g\) telles que :
\(f(x)=x^{2}\) et \(g(x)=\sqrt{x-1}-1\)
a- Montrer que la fonction \(g\) est strictement croissante sur
I’intervalle \([1,+∞[\)
b- Vérifier que ∀x ∈[1,+∞[: h(x)=fog (x)
c- Etudier les variations de \(h\) sur [1,+∞[
et dresser son tableau de variations.
Monotonie d’une Fonction Numérique
Exercice 2:
1) On considère la fonction \(f\) d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=x^{2}-\frac{1}{x}\)
Vérifier que \(f\) est strictement croissante sur ]0,+∞[
2) Soit \(g\) la fonction d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(g(x)=\frac{1+2x}{x²}\).
Vérifier que \(g\) est strictement décroissante sur ]0,+∞[
Exercice 3:
On considère la fonction numérique \(f\)
d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\frac{x+2}{x-2}+\frac{x+4}{x+2}-\frac{1}{4} x\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Etudier les variations de \(f\) sur chacun des intervalles de \(D_{f}\).
Extremum d’une Fonction Numérique
Exercice 4:
Soit \(f\) la fonction définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{x²+4x+1}{x^{2}+1}\)
1) Montrer que \(f\) admet une valeur maximale absolue en \(1 .\)
2) Montrer aue \(f\) admet une valeur absolue en -1.
Exercice 5:
Soit \(f\) la fonction définie par:
\(f(x)=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}\)
1) a- Vérifier que : \(∀x ∈IR, x^{2}+3 x+3>0\).
b- En déduire \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) a- Montrer que: Min f(x)=1
b- Montrer que: Max f(x)=\(\frac{7}{3}\)
Exercice 6:
On considère la fonction \(f\) d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\frac{2 x}{x^{2}-x+1}\)
1) \(a\) – Vérifier que : \(∀x ∈IR, x^{2}-x+1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\)
b- En déduire \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que pour tout réel x:
\(-\frac{2}{3}≤ f(x)≤ 2\).
3) En déduire les extremums de \(f\).
Exercice 7:
On considère la fonction \(f\) d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=x-1-\sqrt{2 x-3}\)
1) a- Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
b- Vérifier que pour tout \(x\) de \(D_{f}:
f(x)=\frac{1}{2}(\sqrt{2 x-3}-1)^{2}\)
2) En déduire la valeur minimale de \(f\).
Fonction Minorée – Majorée – Bornée
Exercice 8:
On considère la fonction \(f\) définie par:
\(f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x^{2}}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\)
et étudier sa parité.
2) Montrer que pour tout \(x\) de \(D_{f}\):
\(0<f(x)<\frac{1}{2}\)
3) Etudier les variations de \(f\).
Exercice 9:
On considère la fonction \(f\) d’une variable réelle \(x\), définie par:
\(f(x)=\frac{2 \sqrt{x}-1}{x+2}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Montrer que \(f\) est minorée par-1.
Exercice 10:
On considère la fonction Soit \(f\) d’une variable réelle \(x,\) définie par:
\(f(x)=\sqrt{7-x}-\sqrt{x-2}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) l’ensemble de définition de \(f\).
2) Etudier les variations de \(f\) sur \(D_{f}\).
3) En déduire que la fonction \(f\) est bornée.
Exercice 11:
1) Soit \(f\) la fonction d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x^{2}+1}+1}\)
Montrer que : \(f\) est bornée sur IR.
2) Soit \(g\) la fonction d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(g(x)=\frac{x \cos x}{x^{2}+1}\)
Montrer que: ∀x ∈IR: |g(x)|≤ \( \frac{1}{2}\)
Exercice 12:
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{x-2sinx}{|x|+3}\)
1) Montrer que pour tout x de IR on a: \(|x-2sin x|≤ |x|+2\).
2) En déduire que pour tout x de IR: |f(x)|<1
Exercice 13:
1) Soit \(f\) la fonction définie sur IR par:
\(f(x)=\sqrt{x^{2}+1}+|x|\)
a- Montrer que \(f\) est paire.
b- Etudier les variations de \(f\) sur [0,+∞[
et en déduire ses variations sur ]-∞,0].
2) Soit \(g\) la fonction définie sur IR par:
\(g(x)=\sqrt{x^{2}+1}-|x|\)
a- Vérifier que pour tout \(x\) de IR:
\(g(x)=\frac{1}{f(x)}\).
b- En déduire les variations de \(g\).