Généralité Sur Les Fonctions Exercices 1 Bac SM Série 2

Monotonie d’une Fonction Numérique

Exercice 1:

Soit $h$ la fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie par:
$h (x) = x + \frac{4}{x}$
1)
a- Déterminer D l’ensemble de définition de $h$ .
b- Etudier la parité de la fonction $h$ .
2)
a- Montrer que:
quels que soient $x_{1}$ et $x_{2}$ de $D$ avec $x_{1} \neq x_{2}$
On a:
$\frac{h (x_{1}) - h (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = \frac{x_{1} x_{2} - 4}{x_{1} x_{2}}$
b- En déduire:
la monotonie de $h$ sur les intervalles ] $0, 2]$ et $[2, + \infty [$
3) Donner le tableau de variations de $h$ sur $D$ .

fonction trinôme du second degré

Exercice 2:

Soit $f$ la fonction numérique définie sur IR par:
$f (x) = x^{2} + 4 x + 3$
et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
$(O, \vec{i}, \vec{j})$
1) Dresser le tableau de variations de $f$ .
2) Tracer la courbe (C).
3) Déterminer graphiquement l’image de l’intervalle [-2,0] par la fonction $f$ .
4) Soit $h$ la fonction numérique définie sur IR par:
$h (x) = x^{2} + 4 x + 5$
Déduire le tableau de variations de $h$ .

Fonction Homographique

Exercice 3:

Soit $g$ la fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie par:
$g (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$
et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
$(0, \vec{i}, \vec{j})$ .
1) Déterminer $D$ l’ensemble de définition de $g$ .
2) Dresser le tableau de variations de $g$ .
3) Tracer la courbe (C).
4) On considère la fonction $f$ définie sur $D$ par:
f(x)=-4 g(x)
Déduire le tableau de variations de $f$

Exercice 4:

Soient $f$ et gdeux fonctions numériques d’une variable reelle $x$ définies par:
$f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sqrt{x + 1}$
et $(c f)$ et $(\forall C g)$ les courbes représentatives respectives
de $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $(0, \vec{i}, \vec{j})$
1) Déterminer $D_{f}$ et $D_{q}$ les ensembles de définition de $f$ et $g$ .
2) Tracer les courbes $(C f)$ et $(C g)$ .
3) Quel est le nombre de solutions de l’équation:
$x^{3} - \sqrt{x + 1} = 0$ .

Exercice 5:

Représenter dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$
la courbe de la fonction $f$ d’une variable réelle $x$ dans chacun des cas suivants:
1) $f (x) = \sqrt{x + 2}$
3) $f (x) = - \frac{1}{2} x^{3}$
2) $f (x) = \sqrt{x - 1}$
4) $f (x) = 2 x^{3}$

Exercice 6:

Soit $g$ la fonction numérique définie sur $I R$ par:
$g (x) = x^{2} + x + 1$
1) Donner le tableau de variations de la fonction $g$ .
2) Déterminer les extremums de la fonction $g$ .
3) Tracer $(C g)$ la courbe représentative de $g$
dans un repère orthonormé $(0, \vec{i}, \vec{j})$ .
4) a- On considère la fonction $h$ définie sur IR* par:
$h (x) = \frac{1}{x}$
Tracer dans le même repère la courbe $(C h)$ représentative de $h .$
b- Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation:
$x^{2} + 1 = \frac{1}{x} - x$
5) Déterminer graphiquement et selon le paramètre $m$
le nombre de solutions de l’équation:
$x^{2} + x - m = - 1$ .

Exercice 7:

Dans chacun des cas suivants, écrire la fonction $h$ d’une variable
réelle $x$ sous forme de la composée de deux fonctions $f$ et $g$ .
1) $h (x) = (2 x^{2} - 3 x + 1)^{3}$
3) $h (x) = \sqrt{x^{2} + 7}$
2) $h (x) = \frac{x^{3} + 3}{x^{3} - 2}$
4) $h (x) = \frac{\sqrt{x + 9} - 5}{\sqrt{x + 9} + 4}$

Exercice 8:

1) Soit $f$ la fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie par:
$f (x) = \frac{x}{x + 2}$
a- Etudier les variations de la fonction $f$ .
b-Tracer $(C f)$ la courbe représentative de $f$
dans un repère orthonormé $(0, \vec{i}, \vec{j})$
2) Soit $g$ la fonction numérique définie sur IR par:
$g (x) = x^{2} + 4 x$ .
Donner le tableau de variations de la fonction $g$ .
3) a- Montrer que: g([-3,-2]⊂]-∞,-2].
b- Déterminer les variations de fog sur l’intervalle [-3,-2]

Exercice 9:

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques
d’une variable réelle $x$ définies par:
$f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ et $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$
$(C f$ et $(C g)$ sont respectivement les courbes représentatives de $f$ et $g$
dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .
1) Donner les tableaux de variations de $f$ et $g$ .
2) Montrer que:
les deux points $A (- 1, 0)$ et $B (2, - 3)$ appartiennent à la fois à $(C f)$ et $(C g)$ .
3) Tracer les deux courbes $(C f)$ et $(C g)$ dans le même repère $(0, \vec{i}, \vec{j})$ .
4) Résoudre graphiquement l’inéquation $f (x) \geq g (x)$ .
5) Soit $h$ la fonction numérique définie sur l’intervalle [-1,3] par:
$h (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 2}{x^{2} - 2 x - 4}$
a- Montrer que pour tout x de [-1,3]:
h(x)=gof(x).
b- En déduire les variations de la fonction $h$ sur les deux intervalles [1,1] et [1,3]

Composé de deux Fonction Numérique

Exercice 10:

Soit $f$ une fonction numérique définie sur $I R$ par:
$f (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} + 2 x + 2}$
1) Montrer que ∀x ∈ IR: $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ .
2) Montrer que ∀x ∈ IR: $1 \leq f (x) < 2$ .
3) On considère les deux fonctions $g$ et $h$ définies par:
$g (x) = x^{2} + 2 x$ et $h (x) = \frac{2 x + 3}{x + 2}$
a- Donner le tableau de variations des fonctions $f$ et $g$
b- Montrer que ∀x ∈ IR: f(x)=hog(x).
c- En déduire:
les variations de $f$ sur les deux intervalles ]-∞,-1] et [-1,+∞[

Exercice 11:

Exercice 12:

1) Soit $f$ la fonction numérique à variable réelle $x$ définie par:
$f (x) = \sqrt{x + 1}$
a- Déterminer $D_{f}$ ensemble de définition de $f$ .
b- Donner la monotonie de la fonction $f$ sur $D_{f}$ .
c- Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé
$(O, \vec{i}, \vec{j})$
2) Soit $g$ la fonction numérique à variable réelle $x$ définie par:
$g (x) = \frac{x - 2}{x + 2}$
a- Déterminer $D_{q}$ ensemble de définition de $g$ .
b- Etudier la monotonie de la fonction $a$
c- Tracer la courbe représentative de la fonction $g$
dans un autre repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .
3) Soit $h$ la fonction numérique définie sur [-1,+∞[ par:
$h (x) = \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{x + 1} + 2}$
a- Vérifier que: h=gof
b- Montrer que la fonction $h$ est majorée par 1 .
c- Etudier la monotonie de $h$
(remarque que: f([-1,+∞[⊂[0,+∞[))

Exercice 13:

Soit $f$ une fonction définie sur [0,+∞[ par:
$: f (x) = \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} .$
1) Montrer que la fonction $f$ est majorée par 2 .
2) Montrer que la fonction $f$ est minorée par $- \frac{1}{2}$
3) On pose: $(\forall x \in [0, + \infty [), u (x) = \sqrt{x}$ .
a- Déterminer la fonction $v$ telle que $f =$ vou
b- En déduire les variations de $f$ sur [0,+∞[.