Monotonie d’une Fonction Numérique
Exercice 1:
Soit \(h\) la fonction numérique d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(h(x)=x+\frac{4}{x}\)
1)
a- Déterminer D l’ensemble de définition de \(h\).
b- Etudier la parité de la fonction \(h\).
2)
a- Montrer que:
quels que soient \(x_{1}\) et \(x_{2}\) de \(D\) avec \(x_{1}≠ x_{2}\)
On a:
\(\frac{h(x_{1})-h(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}=\frac{x_{1} x_{2}-4}{x_{1} x_{2}}\)
b- En déduire:
la monotonie de \(h\) sur les intervalles ] \(0,2]\) et \([2,+∞[\)
3) Donner le tableau de variations de \(h\) sur \(D\).
fonction trinôme du second degré
Exercice 2:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=x^{2}+4 x+3\)
et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\((O, \vec{i}, \vec{j})\)
1) Dresser le tableau de variations de \(f\).
2) Tracer la courbe (C).
3) Déterminer graphiquement l’image de l’intervalle [-2,0] par la fonction \(f\).
4) Soit \(h\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(h(x)=x^{2}+4 x+5\)
Déduire le tableau de variations de \(h\).
Fonction Homographique
Exercice 3:
Soit \(g\) la fonction numérique d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(g(x)=\frac{2 x-1}{x+1}\)
et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\((0, \vec{i}, \vec{j})\).
1) Déterminer \(D\) l’ensemble de définition de \(g\).
2) Dresser le tableau de variations de \(g\).
3) Tracer la courbe (C).
4) On considère la fonction \(f\) définie sur \(D\) par:
f(x)=-4 g(x)
Déduire le tableau de variations de \(f\)
Exercice 4:
Soient \(f\) et gdeux fonctions numériques d’une variable reelle \(x\) définies par:
\(f(x)=x^{3}\) et \(g(x)=\sqrt{x+1}\)
et \((c f)\) et \((∀{Cg})\) les courbes représentatives respectives
de \(f\) et \(g\) dans un repère orthonormé \((0, \vec{i}, \vec{j})\)
1) Déterminer \(D_{f}\) et \(D_{q}\) les ensembles de définition de \(f\) et \(g\).
2) Tracer les courbes \((C f)\) et \((C g)\).
3) Quel est le nombre de solutions de l’équation:
\(x^{3}-\sqrt{x+1}=0\).
Exercice 5:
Représenter dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
la courbe de la fonction \(f\) d’une variable réelle \(x\) dans chacun des cas suivants:
1) \(f(x)=\sqrt{x+2}\)
3) \(f(x)=-\frac{1}{2} x^{3}\)
2) \(f(x)=\sqrt{x-1}\)
4) \(f(x)=2 x^{3}\)
Exercice 6:
Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(IR\) par:
\(g(x)=x^{2}+x+1\)
1) Donner le tableau de variations de la fonction \(g\).
2) Déterminer les extremums de la fonction \(g\).
3) Tracer \((Cg)\) la courbe représentative de \(g\)
dans un repère orthonormé \((0, \vec{i}, \vec{j})\).
4) a- On considère la fonction \(h\) définie sur IR* par:
\(h(x)=\frac{1}{x}\)
Tracer dans le même repère la courbe \((C h)\) représentative de \(h .\)
b- Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation:
\(x^{2}+1=\frac{1}{x}-x\)
5) Déterminer graphiquement et selon le paramètre \(m\)
le nombre de solutions de l’équation:
\(x^{2}+x-m=-1\).
Exercice 7:
Dans chacun des cas suivants, écrire la fonction \(h\) d’une variable
réelle \(x\) sous forme de la composée de deux fonctions \(f\) et \(g\).
1) \(h(x)=(2 x^{2}-3 x+1)^{3}\)
3) \(h(x)=\sqrt{x^{2}+7}\)
2) \(h(x)=\frac{x^{3}+3}{x^{3}-2}\)
4) \(h(x)=\frac{\sqrt{x+9}-5}{\sqrt{x+9}+4}\)
Exercice 8:
1) Soit \(f\) la fonction numérique d’une variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\frac{x}{x+2}\)
a- Etudier les variations de la fonction \(f\).
b-Tracer \((Cf)\) la courbe représentative de \(f\)
dans un repère orthonormé \((0, \vec{i}, \vec{j})\)
2) Soit \(g\) la fonction numérique définie sur IR par:
\(g(x)=x^{2}+4 x\).
Donner le tableau de variations de la fonction \(g\).
3) a- Montrer que: g([-3,-2]⊂]-∞,-2].
b- Déterminer les variations de fog sur l’intervalle [-3,-2]
Exercice 9:
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques
d’une variable réelle \(x\) définies par:
\(f(x)=x^{2}-2 x-3\) et \(g(x)=\frac{1+x}{1-x}\)
\((Cf\) et \((Cg)\) sont respectivement les courbes représentatives de \(f\) et \(g\)
dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
1) Donner les tableaux de variations de \(f\) et \(g\).
2) Montrer que:
les deux points \(A(-1,0)\) et \(B(2,-3)\) appartiennent à la fois à \((Cf)\) et \((Cg)\).
3) Tracer les deux courbes \((Cf)\) et \((Cg)\) dans le même repère \((0, \vec{i}, \vec{j})\).
4) Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x) ≥ g(x)\).
5) Soit \(h\) la fonction numérique définie sur l’intervalle [-1,3] par:
\(h(x)=\frac{-x^{2}+2 x+2}{x^{2}-2 x-4}\)
a- Montrer que pour tout x de [-1,3]:
h(x)=gof(x).
b- En déduire les variations de la fonction \(h\) sur les deux intervalles [1,1] et [1,3]
Composé de deux Fonction Numérique
Exercice 10:
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur \(IR\) par:
\(f(x)=\frac{2 x^{2}+4 x+3}{x^{2}+2 x+2}\)
1) Montrer que ∀x ∈ IR: \( x^{2}+2 x+2>0\).
2) Montrer que ∀x ∈ IR: \(1 \leq f(x)<2\).
3) On considère les deux fonctions \(g\) et \(h\) définies par:
\(g(x)=x^{2}+2 x\) et \(h(x)=\frac{2 x+3}{x+2}\)
a- Donner le tableau de variations des fonctions \(f\) et \(g\)
b- Montrer que ∀x ∈ IR: f(x)=hog(x).
c- En déduire:
les variations de \(f\) sur les deux intervalles ]-∞,-1] et [-1,+∞[
Exercice 11:
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur \(IR\) par:
\(f(x)=\frac{2 x^{2}+4 x+3}{x^{2}+2 x+2}\)
1) Montrer que ∀x ∈ IR: \( x^{2}+2 x+2>0\).
2) Montrer que ∀x ∈ IR: \(1 \leq f(x)<2\).
3) On considère les deux fonctions \(g\) et \(h\) définies par:
\(g(x)=x^{2}+2 x\) et \(h(x)=\frac{2 x+3}{x+2}\)
a- Donner le tableau de variations des fonctions \(f\) et \(g\)
b- Montrer que ∀x ∈ IR: f(x)=hog(x).
c- En déduire:
les variations de \(f\) sur les deux intervalles ]-∞,-1] et [-1,+∞[
Exercice 12:
1) Soit \(f\) la fonction numérique à variable réelle \(x\) définie par:
\(f(x)=\sqrt{x+1}\)
a- Déterminer \(D_{f}\) ensemble de définition de \(f\).
b- Donner la monotonie de la fonction \(f\) sur \(D_{f}\).
c- Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé
\((O, \vec{i}, \vec{j})\)
2) Soit \(g\) la fonction numérique à variable réelle \(x\) définie par:
\(g(x)=\frac{x-2}{x+2}\)
a- Déterminer \(D_{q}\) ensemble de définition de \(g\).
b- Etudier la monotonie de la fonction \(a\)
c- Tracer la courbe représentative de la fonction \(g\)
dans un autre repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
3) Soit \(h\) la fonction numérique définie sur [-1,+∞[ par:
\(h(x)=\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+1}+2}\)
a- Vérifier que: h=gof
b- Montrer que la fonction \(h\) est majorée par 1 .
c- Etudier la monotonie de \(h\)
(remarque que: f([-1,+∞[⊂[0,+∞[))
Exercice 13:
Soit \(f\) une fonction définie sur [0,+∞[ par:
\(: f(x)=\frac{2 \sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}.\)
1) Montrer que la fonction \(f\) est majorée par 2 .
2) Montrer que la fonction \(f\) est minorée par \(-\frac{1}{2}\)
3) On pose: \((∀x ∈[0,+∞[), u(x)=\sqrt{x}\).
a- Déterminer la fonction \(v\) telle que \(f=\) vou
b- En déduire les variations de \(f\) sur [0,+∞[.