Notions De Logique Exercices Série 3

Logique et raisonnement mathématique

Exercice 18
Montrer que $: \forall (x, y) \in R^{2} : \frac{2 x - y^{2}}{x^{2} + 2} \neq 1$

Exercice 19
Montrer par l’absurde, que:
$(\forall a \in [0, + \infty [), \sqrt{a + 2} - \sqrt{a + 1} \neq \sqrt{a + 1} - \sqrt{a}$

Exercice 20
Montrer par l’absurde, que l’équation $(E) : x^{3} + x - 1 = 0$ n’admet pas de solutions dans $Z$ .

Exercice 21
Montrer que le système (S), n’admet pas de solutions, dans $R^{3}$ , tel que : $(S) : {\begin{cases} 2 x - 3 z > 3 \\ 3 y - 2 x > 3 \\ y - z < 2 \end{cases}$

Exercice 22
On considère la proposition $P$ telle que:
$P : (\forall x \in [0, + \infty [), (\forall y \in [0, + \infty [), (x y \leq 1) \Rightarrow (x \leq 1$ ou $y \leq 1)$
1) Donner la négation de la proposition $P$ .
2) Montrer, par l’absurde, que $P$ est vraie.

Exercice 23
Montrer par l’absurde que: $(\forall x \in R), (\forall ε > 0), | x | < ε \Rightarrow x = 0$ .

Exercice 24
1) Montrer que : $(\forall n \in N), (n^{2}$ est pair $) \Rightarrow ($ nest pair $)$ .
2) Montrer que: $\sqrt{2} \notin Q$ .

Exercice 25
Montrer que : $(\forall x \in R), x + \sqrt{x^{2} + 1} > 0$

Exercice 26
Résoudre, dans $R$ , l’équation $: 2 | x - 3 | - 3 | x - 2 | = 4 x - 5$

Exercice 27
Exercice Résoudre, dans $R,$ l’inéquation: $| x^{2} - 2 x | \geq 2 x - 3$ .

Exercice 28
Montrer que : $(\forall x \in R); \sqrt{x^{2} - 2 x + 2} - (x - 1) > 0$

Exercice 29
Montrer par recurrence que:
1) $(\forall n \in N^{*}), 1 + 2 + 3 \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ .
2) $(\forall n \in N^{*}), \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}$ .
3) $(\forall n \in N^{*}), 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (x + 1) (2 x + 1)}{6}$ .

Exercice 30
Montrer par récurrence que:
1) $(\forall n \in N), 3^{n} \geq 2 n + 1$ .
2) $(\forall n \in N), n \geq 5, 3^{n} > 2^{n} + 5 n^{2}$ .
3) $(\forall n \in N^{*}); \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n}$ .

Exercice 31
Montrer par récurrence que :
1) $(\forall n \in N^{+}), \sum_{k = 1}^{n} k (k + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$ .
2) $(\forall n \in N^{*}), \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2}$ .

Exercice 32
Montrer que : $(\forall n \in N); n \geq 3, {(1 + \frac{1}{n})}^{n} < n$

Exercice 33
Montrons par récurrence que:
1) $(\forall n \in N), 2$ divise $3^{n} + 5^{n + 1}$ .
2) $(\forall n \in N), 3$ divise $2^{2 n} - 1$ .

Exercice 34
Montrer que:
1) $(\forall n \in N), 3 / 2^{2 n + 1} + 5^{2 n}$ .
2) $(\forall n \in N), 7 / 2^{n + 2} + 3^{2 n + 1}$
3) $(\forall n \in N^{*}), 9 / 4^{n} + 6 n - 1$ .