Logique et raisonnement mathématique
Exercice 18
Montrer que \(: \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \frac{2 x-y^{2}}{x^{2}+2} \neq 1\)
Exercice 19
Montrer par l’absurde, que:
\((\forall a \in[0,+\infty[), \sqrt{a+2}-\sqrt{a+1} \neq \sqrt{a+1}-\sqrt{a}\)
Exercice 20
Montrer par l’absurde, que l’équation \((E): x^{3}+x-1=0\) n’admet pas de solutions dans \(\mathbb{Z}\).
Exercice 21
Montrer que le système (S), n’admet pas de solutions, dans \(\mathbb{R}^{3}\), tel que : \((S):\left\{\begin{array}{l}2 x-3 z>3 \\ 3 y-2 x>3 \\ y-z<2\end{array}\right.\)
Exercice 22
On considère la proposition \(P\) telle que:
\(P:(\forall x \in[0,+\infty[),(\forall y \in[0,+\infty[),(x y \leq 1) \Rightarrow(x \leq 1\) ou \(y \leq 1)\)
1) Donner la négation de la proposition \(P\).
2) Montrer, par l’absurde, que \(P\) est vraie.
Exercice 23
Montrer par l’absurde que: \((\forall x \in \mathbb{R}),(\forall \varepsilon>0),|x|<\varepsilon \Rightarrow x=0\).
Exercice 24
1) Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N}),\left(n^{2}\right.\) est pair \() \Rightarrow(\) nest pair \()\).
2) Montrer que: \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
Exercice 25
Montrer que : \((\forall x \in \mathbb{R}), x+\sqrt{x^{2}+1}>0\)
Exercice 26
Résoudre, dans \(\mathbb{R}\), l’équation \(: 2|x-3|-3|x-2|=4 x-5\)
Exercice 27
Exercice Résoudre, dans \(\mathbb{R},\) l’inéquation: \(\left|x^{2}-2 x\right| \geq 2 x-3\).
Exercice 28
Montrer que : \((\forall x \in \mathbb{R}) ; \sqrt{x^{2}-2 x+2}-(x-1)>0\)
Exercice 29
Montrer par recurrence que:
1) \(\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right), 1+2+3 \ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\).
2) \(\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right), \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\).
3) \(\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right), 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(x+1)(2 x+1)}{6}\).
Exercice 30
Montrer par récurrence que:
1) \((\forall n \in \mathbb{N}), 3^{n} \geq 2 n+1\).
2) \((\forall n \in \mathbb{N}), n \geq 5,3^{n}>2^{n}+5 n^{2}\).
3) \(\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; \frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{n^{2}} \leq 2-\frac{1}{n}\).
Exercice 31
Montrer par récurrence que :
1) \(\left(\forall n \in \mathbb{N}^{+}\right), \sum_{k=1}^{n} k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\).
2) \(\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right), \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}\).
Exercice 32
Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N}) ; n \geq 3,\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<n\)
Exercice 33
Montrons par récurrence que:
1) \((\forall n \in \mathbb{N}), 2\) divise \(3^{n}+5^{n+1}\).
2) \((\forall n \in \mathbb{N}), 3\) divise \(2^{2 n}-1\).
Exercice 34
Montrer que:
1) \((\forall n \in \mathbb{N}), 3 / 2^{2 n+1}+5^{2 n}\).
2) \((\forall n \in \mathbb{N}), 7 / 2^{n+2}+3^{2 n+1}\)
3) \(\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right), 9 / 4^{n}+6 n-1\).