Suites Numériques 2 bac SM exercices Niv 3 série 2

Exercice 1:

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tel que $0 < a < b .$
On considère les suites numériques:
${(u_{n})}_{n \in N}$ et ${(v_{n})}_{n \in N}$ définies par:
$u_{0} = a$ et $v_{0} = b$ et pour tout $n \in N : u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} v_{n}}$ et $v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2}$ .

1) Montrer que:
$\forall n \in N; 0 < u_{n + 1} \leq u_{n} \leq v_{n} \leq v_{n + 1}$ .

2) a) Montrer que:
$\forall n \in N : v_{n + 1} - u_{n + 1} \leq \frac{1}{2} (v_{n} - u_{n})$ .

b) Montrer que:
pour tout $\forall n \in N : v_{n} - u_{n} \leq \frac{b - a}{2^{n}}$ .

3) Montrer que:
les suites ${(u_{n})}_{n \in N}$ et ${(v_{n})}_{n \in N}$ sont convergentes.

Exercice 2:

Pour tout $n \in N^{*}$ on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $R$ par:
$f_{n} (x) = x^{n} - 1 + A r c \tan (x)$

1) Montrer que:
$\forall n \in N^{*}, \exists! a_{n} \in [0, 1]; f_{n} (a_{n}) = 0$ .

2) Montrer que:
la suite ${(a_{n})}_{n \in N^{*}}$ est croissante . En déduire qu’elle est convergente.

3) Montrer que:
$lim_{n \to + \infty} a_{n} = \frac{π}{4}$ .

Exercice 3 :

Pour tout $n \in N^{*}$ on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $R^{+}$ par $f_{n} (x) = Arctan (\frac{x}{n}) + 2 x - 1$ .

1) Montrer que:
l’équation $f_{n} (x) = 0$ admet une unique solution $x_{n}$ dans $R^{+}$ et que $0 < x_{n} < \frac{1}{2}$ .

2) Montrer que:
la suite ${(x_{n})}_{n \in N^{*}}$ est convergente, puis déterminer $lim_{n \to + \infty} x_{n}$ .

Exercice 4 :

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l’intervalle $R^{+}$ par:
$f (x) = x + 3 \sqrt[3]{x} - 3$ .

1) Etudier la dérivabilité de $f$ à droite au point 0 puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

2) a) Montrer que:
pour tout $n \in N$ l’équation $f (x) = n$ admet une unique solution $u_{n}$ dans $R^{+}$ .

b) Montrer que:
la suite ${(u_{n})}_{n \in N}$ est croissante.

c) Montrer que:
la suite ${(u_{n})}_{n \in N}$ est non majorée puis déduire sa limite.

3) Pour tout $n \in N$ on pose $: S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{u_{k}}$ et $α_{n} = S_{2 n}$ et $β_{n} = S_{2 n + 1}$

a) Montrer que:
les suites ${(α_{n})}_{n \in N}$ et ${(β_{n})}_{n \in N}$ sont adjacentes.

b) Montrer que:
la suite ${(s_{n})}_{n \in N}$ est convergente.

Exercice 5:

Pour tout $n \in N^{*}$ on considère la fonction $P_{n}$ définie sur $R$ par $P_{n} (x) = x^{n} + x^{n - 1} + \dots + x^{2} + x - 1$
1) Montrer que:
l’équation $P_{n} (x) = 0$ admet une unique solution $α_{n} \in] 0, 1 [$ , puis déterminer $α_{1}$ et $α_{2}$

2) Etudier la variation de la suite ${(α_{n})}_{n \in N^{*}},$ puis en déduire qu’elle est convergente.

3) Montrer que :
$\forall n \in N^{*} ∖ {1}; α_{n}^{n + 1} - 2 α_{n} + 1 = 0$ .

4) Déterminer $lim_{n \to + \infty} α_{n}$ .

Exercice 6:

On considère la suite numérique ${(u_{n})}_{n \in N}$ définie par:
$u_{0} = \frac{1}{8}$ et $u_{n + 1} = \frac{3 u_{n}}{2 + \sqrt[3]{u_{n}}}$ pour tout $n \in N$ .

1) a) ) Montrer que:
$\forall n \in N; 0 \leq u_{n} \leq 1$ .
b) Etudier le sens de variation de la suite ${(u_{n})}_{n \in N} .$ On en déduire qu’elle est convergente.
c) Déterminer: $lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .

2) Pour tout $n \in N$ on pose $: v_{n} = 1 + \frac{u_{n}}{n!}$
a) Etudier la variation de la suite ${(v_{n})}_{n \in N}$ .
b) Montrer que:
les suites ${(u_{n})}_{n \in N}$ et ${(v_{n})}_{n \in N}$ sont adjacentes.