Exercice 1:
Soit \(\left(u_{n}\right)_{n\geq 0}\) la suite de nombres réels définie par: \(u_{0}∈]0,1]\)
et par la relation de récurrence:
\(u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2}+\frac{\left(u_{n}\right)^{2}}{4}\)
1. Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}>0\).
2. Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq 1\).
3. Montrer que:
la suite est monotone.
En déduire que :
la suite est convergente.
4. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{\geq 0}\).
Exercice 2:
Soit \(\left(u_{n}\right)_{n\geq 0}\) la suite de nombres réels définie par: \(\left.\left.u_{0} \in\right] 1,2\right]\)
et par la relation de récurrence:
\(u_{n+1}=\frac{\left(u_{n}\right)^{2}}{4}+\frac{3}{4}\).
1. Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}>1\).
2. Montrer que:
\(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq 2\).
3. Montrer que:
la suite est monotone.
En déduire que la suite est convergente.
4. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{\geq 0}\).
Exercice 3:
Soit \(\left(u_{n}\right)\) une suite définie par la relation de récurrence
\(u_{n+1}=\frac{1}{2} u_{n}+1\)
Et la donnée de \(u_{0}\)
1. a. Montrer que:
si \(u_{0} \leq 2\) alors pour tout \(n \geq 0, u_{n} \leq 2\)
et que la suite est monotone.
b. En déduire que la suite est convergente et déterminer
sa limite.
2. a. Montrer que:
si \(u_{0} \geq 2\) alors pour tout \(n \geq 0, u_{n} \geq 2\)
et que la suite est monotone.
b. En déduire que la suite est convergente et déterminer
sa limite.
3. a. On pose: \(v_{n}=u_{n}-2\).
Montrer que:
la suite \(\left(v_{n}\right)\) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\)
b. En déduire une expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\) et \(u_{0} .\) Retrouver le résultat des deux premières questions.
c. En déduire:
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{u_{k}}{n}\)
Exercice 4:
Soit \(\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par \(u_{0}=1\) et la relation de
récurrence
\(u_{n+1}=\frac{u_{n}+8}{2 u_{n}+1}\)
Et soit \(\left(v_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) définie par
\(v_{n+1}=\frac{u_{n}-2}{u_{n}+2}\)
1. Montrer que \(\left(v_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique de
raison \(-\frac{3}{5}\)
2. Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).
3. Exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
4. Montrer que \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) converge et déterminer sa limite.
Exercice 5:
1. Déterminer la limite de la suite:
\(\left(u_{n}\right)\) dont le terme
général est défini par: \(u_{n}=\frac{2 n+\sqrt{4 n^{2}+1}}{n+\sqrt{n^{2}+1}}\).
2. En déduire la limite de la suite de terme général \(v_{n}\)
défini par:
\(v_{n}=\frac{2 n-\sqrt{4 n^{2}+1}}{n-\sqrt{n^{2}+1}}\)
Exercice 6:
1. On pose que:
\(u_{n}=\frac{E(\sqrt{n})}{n} ;\) pour tout \(\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}\)
Montrer que:
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} U_{n}=0\)
2. On pose que:
\(v_{n}=\frac{(E(\sqrt{n}))^{2}}{n} ;\) pour tout \(\mathrm{n} \in\)
\(\mathbb{N}^{*},\)
Montrer que:
la suite \(\left(v_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}{ }^{*}\) converge et déterminer sa limite.
Exercice 7:
On considère la suite:
\(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) définie par \(u_{0}=0\) et par la celation de récurrence
\(u_{n+1}=\frac{1}{6} u_{n}^{2}+\frac{3}{2}\).
1. Montrer que:
pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}>0\).
2. Calculer:
la limite éventuelle de la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\).
3. Montrer que:
pour tout \(n \in \mathbb{N}, u_{n}<3\).
4. Montrer que:
la suite est croissante, que peut-on en conclure?
Exercice 8:
On considère la suite de nombre réel définie par:
son premier terme \(u_{0}=0\) et par la relation de récurrence :
\(u_{n+1}=2 u_{n}^{2}+\frac{1}{8}\)
Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathrm{N}}\) est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 9:
Soit \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) la suite définie par récurrence par \(u_{0}=\frac{3}{2}\)
etpar la relation de récurrence:
\(u_{n+1}=\left(u_{n}-1\right)^{2}+1\)
1. Montrer que:
pour tout \(n \in \mathbb{N}, 1<u_{n}<2\).
2. Montrer que:
\(\left(u_{n}\right)_{\in \mathbb{N}}\) est strictement monotone.
3. En déduire que:
\(\left(u_{n}\right)_{\in \mathrm{N}}\) est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 10:
Montrer que:
la suite \(\left(u_{n}\right)_{\in \mathrm{N}}\) de terme général \(u_{n}\) définie par:
\(u_{n}=\frac{2 n+1}{3 n^{2}+1}+\frac{2 n+1}{3 n^{2}+2}+\cdots+\frac{2 n+1}{3 n^{2}+n}\)
Est convergente et déterminer sa limite.