Suites Numériques 2 bac SM exercices série 1

Exercice 1:

Soit ${(u_{n})}_{n \geq 0}$ la suite de nombres réels définie par: $u_{0} \in] 0, 1]$
et par la relation de récurrence:
$u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2} + \frac{{(u_{n})}^{2}}{4}$

1. Montrer que:
$\forall n \in N, u_{n} > 0$ .

2. Montrer que:
$\forall n \in N, u_{n} \leq 1$ .

3. Montrer que:
la suite est monotone.
En déduire que :
la suite est convergente.
4. Déterminer la limite de la suite ${(u_{n})}_{\geq 0}$ .

Exercice 2:

Soit ${(u_{n})}_{n \geq 0}$ la suite de nombres réels définie par: $u_{0} \in] 1, 2]$
et par la relation de récurrence:
$u_{n + 1} = \frac{{(u_{n})}^{2}}{4} + \frac{3}{4}$ .

1. Montrer que:
$\forall n \in N, u_{n} > 1$ .

2. Montrer que:
$\forall n \in N, u_{n} \leq 2$ .

3. Montrer que:
la suite est monotone.
En déduire que la suite est convergente.
4. Déterminer la limite de la suite ${(u_{n})}_{\geq 0}$ .

Exercice 3:

Soit $(u_{n})$ une suite définie par la relation de récurrence
$u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 1$
Et la donnée de $u_{0}$
1. a. Montrer que:
si $u_{0} \leq 2$ alors pour tout $n \geq 0, u_{n} \leq 2$
et que la suite est monotone.
b. En déduire que la suite est convergente et déterminer
sa limite.
2. a. Montrer que:
si $u_{0} \geq 2$ alors pour tout $n \geq 0, u_{n} \geq 2$
et que la suite est monotone.
b. En déduire que la suite est convergente et déterminer
sa limite.
3. a. On pose: $v_{n} = u_{n} - 2$ .
Montrer que:
la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$
b. En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et $u_{0} .$ Retrouver le résultat des deux premières questions.
c. En déduire:
$lim_{n \to + \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{u_{k}}{n}$

Exercice 4:

Soit ${(u_{n})}_{n \in N}$ définie par $u_{0} = 1$ et la relation de
récurrence
$u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 8}{2 u_{n} + 1}$
Et soit ${(v_{n})}_{\in N}$ définie par
$v_{n + 1} = \frac{u_{n} - 2}{u_{n} + 2}$
1. Montrer que ${(v_{n})}_{\in N}$ est une suite géométrique de
raison $- \frac{3}{5}$
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
3. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
4. Montrer que ${(u_{n})}_{\in N}$ converge et déterminer sa limite.

Exercice 5:

1. Déterminer la limite de la suite:
$(u_{n})$ dont le terme
général est défini par: $u_{n} = \frac{2 n + \sqrt{4 n^{2} + 1}}{n + \sqrt{n^{2} + 1}}$ .

2. En déduire la limite de la suite de terme général $v_{n}$
défini par:
$v_{n} = \frac{2 n - \sqrt{4 n^{2} + 1}}{n - \sqrt{n^{2} + 1}}$

Exercice 6:

1. On pose que:
$u_{n} = \frac{E (\sqrt{n})}{n};$ pour tout $n \in N^{*}$

Montrer que:
$lim_{n \to + \infty} U_{n} = 0$
2. On pose que:
$v_{n} = \frac{(E (\sqrt{n}))^{2}}{n};$ pour tout $n \in$
$N^{*},$

Montrer que:
la suite ${(v_{n})}_{\in N}^{*}$ converge et déterminer sa limite.

Exercice 7:

On considère la suite:
${(u_{n})}_{\in N}$ définie par $u_{0} = 0$ et par la celation de récurrence
$u_{n + 1} = \frac{1}{6} u_{n}^{2} + \frac{3}{2}$ .

1. Montrer que:
pour tout $n \in N^{*}, u_{n} > 0$ .

2. Calculer:
la limite éventuelle de la suite ${(u_{n})}_{\in N}$ .

3. Montrer que:
pour tout $n \in N, u_{n} < 3$ .

4. Montrer que:
la suite est croissante, que peut-on en conclure?

Exercice 8:

On considère la suite de nombre réel définie par:
son premier terme $u_{0} = 0$ et par la relation de récurrence :
$u_{n + 1} = 2 u_{n}^{2} + \frac{1}{8}$

Montrer que:
la suite ${(u_{n})}_{\in N}$ est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 9:

Soit ${(u_{n})}_{\in N}$ la suite définie par récurrence par $u_{0} = \frac{3}{2}$
etpar la relation de récurrence:
$u_{n + 1} = {(u_{n} - 1)}^{2} + 1$

1. Montrer que:
pour tout $n \in N, 1 < u_{n} < 2$ .

2. Montrer que:
${(u_{n})}_{\in N}$ est strictement monotone.

3. En déduire que:
${(u_{n})}_{\in N}$ est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 10:

Montrer que:
la suite ${(u_{n})}_{\in N}$ de terme général $u_{n}$ définie par:
$u_{n} = \frac{2 n + 1}{3 n^{2} + 1} + \frac{2 n + 1}{3 n^{2} + 2} + \dots + \frac{2 n + 1}{3 n^{2} + n}$
Est convergente et déterminer sa limite.